湖南省長沙市雅禮實驗中學2023-2024學年高二下學期收心檢測數(shù)學試題

2024年上學期雅禮實驗中學高二年級收心檢測數(shù)學科目試題卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點坐標為（）A.B.C.D.2.若是等差數(shù)列，表示的前項和，，則中最小的項是（）A.B.C.D.3.將編號為的小球放入編號為的小盒中，每個小盒放一個小球.則恰有2個小球與所在盒子編號相同的概率為（）A.B.C.D.4.已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件5.已知非零向量與滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A.B.C.D.6.若直線與曲線有且僅有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.7.在等比數(shù)列中，，且前項和，則此數(shù)列的項數(shù)等于（）A.4B.5C.6D.78.已知雙曲線的右焦點為，過點且斜率為的直線交雙曲線于兩點，線段的中垂線交軸于點.若，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)為復數(shù)，下列命題正確的是（）A.B.C.若，則為純虛數(shù)D.若，且，則10.已知，下列結(jié)論正確的是（）A.若使成立的，則B.若的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱，則C.若在上恰有6個極值點，則的取值范圍為D.存在，使得在上單調(diào)遞減11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若函數(shù)存在兩個極值，則實數(shù)的取值范圍為B.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增C.當時，若存在，使不等式成立，則實數(shù)的最小值為0D.當時，若，則的最小值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則__________.13.第19屆亞運會在杭州舉行，為了弘揚“奉獻，友愛，互助，進步”的志愿服務(wù)精神，5名大學生將前往3個場館開展志愿服務(wù)工作.若要求每個場館都要有志愿者，則當甲不去場館時，場館僅有2名志愿者的情況有__________種.14.已知橢圓為的左?右焦點，為上的一個動點（異于左右頂點），設(shè)的外接圓面積為，內(nèi)切圓面積為，則的最小值為__________.四?解答題：本題共小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)存在兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍.16.（本小題滿分15分）數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和17.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，為的中點，且.記的中點為，若在線段上（異于兩點）.（1）若點是中點，證明：面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.18.（本小題滿分17分）如圖，為圓上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，連接并延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若過點的兩條直線分別交曲線于兩點，且，求證：直線過定點；（3）若曲線交軸正半軸于點，直線與曲線交于不同的兩點，直線分別交軸于兩點.請?zhí)骄浚狠S上是否存在點，使得？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由.19.（本小題滿分17分）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.（1）若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；（2）若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：.2024年上學期雅禮實驗中學高二年級收心檢測數(shù)學科目答案1.D【解答】解：拋物線的焦點坐標為：2.C【解答】解：，則，解得，則，故，等差數(shù)列的公差，所以中最小的項是.3.A4.C【解答】解：由已知可得，由可得，解得，所以由與的夾角為鈍角可得解得，且.因此，當時，與的夾角不一定為鈍角，則充分性不成立；當與的夾角為鈍角時，，且，即成立，則必要性成立.綜上所述，“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.5.C6.A7.B【解答】解：在等比數(shù)列中，，所以是方程的兩個根，所以，或.當時，，解得，由，解得.當時，，解得，由，解得.8.B9.AD10.BC【詳解】對于A，若，則，則，故A錯誤；對于B，將的圖象向左平移個單位長度后得到，若所得圖象關(guān)于軸對稱，則，得，所以，故B正確；對于，由，得，若在上恰有6個極值點，則，解得，故C正確；對于D，由，得，因為，所以在上不可能單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：BC.11.BC【解答】解：對選項：，若函數(shù)存在兩個極值，則函數(shù)必有兩個變號零點，令，則，令，則，則當時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，又當時，恒成立，當時，，故當，函數(shù)有兩個變號零點，即若函數(shù)存在兩個極值，則實數(shù)的取值范圍為，故錯誤；對選項：當時，，令，則，則當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確：對選項：當時，，令，則，則當時，；當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，則存在，使不等式成立，等價于存在，使不等式成立，則當時，有成立，由當時，，且在上單調(diào)遞增，故，即實數(shù)的最小值為0，故正確；對選項：當時，由可知，均為定義域上的增函數(shù)，由，故有，由，則，即，故，又，故，令，則，令，則，則當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，故在上單調(diào)遞增，故無最小值，即無最小值，故錯誤.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.13.4214.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.【解答】解：（1），則，解得.（2），令，則，當時，在單調(diào)遞增，即在上最多只有1個零點，不符合題意；當時，令，解得，且當，當，所以，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當，即時，有兩個零點，有兩個極值點，綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.16.（1）（2）17.（1）證明：取線段的中點，連接，因為為的中點，則且，因為為的中點，則且，因為分別為的中點，所以，且，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為平面平面，所以，平面.（2）解：連接，因為為的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，且，因為，則，又因為，則，因為為的中點，則，因為，所以，，所以，，則，又因為平面，所以，平面，以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，若直線與平面所成角的正弦值為，則，整理可得，因為，解得，故.18.【解答】解：（1）不妨設(shè)，此時，因為，所以，此時，即因為點在圓上，所以，則，故曲線的方程為；（2）證明：易知直線與坐標軸不平行，不妨設(shè)直線的方程為，此時直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得或（舍去），所以，此時，同理得，當時，直線的斜率存在，此時，所以直線的方程為，易知直線過定點；當時，直線斜率不存在，此時直線的方程為，則直線過定點，綜上，直線過定點；（2）假設(shè)存在點使得，不妨設(shè)，因為，所以，此時，即，所以，因為直線與曲線交于不同的兩點，易知關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)，易知，所以直線方程為，令，解得，而直線方程為，令，解得，因為，所以，因為點在橢圓上，所以，解得，故存在點，使得.19.【解析】（1）對于任意不同的，有，，所以，，所以是上的“3類函數(shù)”.（2）因為，由題意知，對于任意