2023-2024學年人教A版必修第一冊 第一章 集合與常用邏輯用語

章末梳理

①知識結陽?理脈絡?

概念元素性質

集合

屬于關系

包含關系

判定定理

常

用

邏

輯

用

語

全稱量詞命題的否定是存在量詞命題

含有一個量詞的命題的否定

存在量詞命題的否定是全稱量詞命題

◎要點梳理?晰精華?

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(1)集合中元素的三個特性：確定性、無序性、互異性.

(2)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

(3)自然數(shù)集記作"；正整數(shù)集記作N*或作;整數(shù)集記作/_；有理數(shù)集記作_Q_；實數(shù)

集記作j_.

(4)4是」的子集記作4￡庾或524),/是6的真子集記作/B謨BA).

(5)由集合之間的基本關系推出的結論即/U4若4匚8,且6UC,則/UC.

(6)并集/U6={x|xC4或xC6}；交集4C-x1x=4且xd/}；補集［〃=卜|工

RU,且超4}.

(7)如果gq,那么p是q的充分條件,q是.p的必要條件.如果p^q,那么p與q

互為充要條件.

(8)全稱量詞命題X/x￡么o(x)的否定：mxRM,~7?(x)；存在量詞命題mxW",A(x)的

否定：RxRM,~77(x).

⑤素養(yǎng)突破?提技能④

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核心素養(yǎng)一

數(shù)學抽象

考查方向集合的基本概念

9

典例1(1)集合"=3己3—3x—2=0,a￡R}中只有一個元素，則實數(shù)a的值是0或一京.

3

(2)已知集合［={勿+2,2勿2+就，若3￡4則■的值為一￡.

［解析］(1)由題意可知若集合〃中只有一個元素，則方程a/—3x—2=0只有一個根.

2

當3=0時，方程為一3x—2=0,只有一個根x=—g；當aWO時，A=(―3)2—4XaX(―

9

2)=0,得之=一d

O

9

綜上所述，a的值是0或一小

⑵因為3^4則〃+2=3或2R2+〃=3.

當〃+2=3,即必=1時，m+2—2/n-\-m,不符合題意，故舍去；

33

當2勿2+加=3,即m=1或〃=一萬，0=1不合題意，若〃=-5,m+2豐2點m,滿足題意，

生3

故m=--.

［歸納提升］解決集合的概念問題的關注點

(1)研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件.當集合用描述

法表示時，注意弄清元素表示的意義是什么.

(2)對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合的元素是否滿足互異性.

核心素養(yǎng)二

數(shù)學運算

考查方向集合基本運算

典例2(1)設全集〃={xeM|x<6},集合力={1,3},B={3,5},則［〃(/口⑤等于(D)

A.{1,4}B.{1,5}

C.{2,5}D.{2,4}

⑵設集合/={-1,2,7},6={x［V—7x+〃=0},若⑵，則6=(C)

A.{2,-10}B.{2,0}

C.{2,5}D.{2,10)

［解析］⑴因為合口，2,3,4,5},ZU-5},所以［〃(/U6)={2,4}.

(2)由題意知2是方程/一7葉卬=0的解，把x=2代入方程得勿=10,

因為V-78+10=0的解為x=2或x=5,所以6={2,5}.故選C.

［歸納提升］集合基本運算的方法

一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實數(shù),

則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況.

考查方向利用集合運算求參數(shù)

典例3(1)已知集合［={1,3,6},B—{1,勿},A^JB—A,則〃等于(B)

A.0或娟B.0或3

C.1或福D.1或3

(2)設集合4={0,1},集合6={x|x>a},若則實數(shù)a的取值范圍是(B)

A.{a|aWl}B.{a|a》l}

C.{a|a20}D.{a|aW0}

［解析］(1)由知AC/,所以m=3或加=g.

當〃=3時，4={1,3,/},6={1,3},滿足/口夕=小

若即〃=1或0,當勿=1時，6=1,不合題意，舍去，

當〃=0時，A={1,3,0},B={1,0},滿足力U6=4

(2)因為力。6=0,所以046,且146,所以aNl.

［歸納提升］利用集合的運算求參數(shù)的范圍的注意點

(D要弄清楚集合運算的結果或可能的結果，再根據(jù)其中的結果判定參數(shù)的值或范圍.

(2)當集合的運算較為復雜時，要借助于數(shù)軸或Venn圖解決問題.

(3)注意參數(shù)的值或范圍應該滿足集合中元素的互異性.

核心素養(yǎng)三

直觀想象

考查方向集合運算的綜合應用

典例4已知集合4={x|0WW2}*6={x|aWxWa+3}.

(1)若(}/)U6=R,求a的取值范圍；

⑵是否存在a,使(［M〃=口且/。6=0?

［解析］（D因為/={x|0WW2},

所以限力={x\x<0或X>2}.

因為（3）UQR.（如圖）

aWO,

a+322,

所以一IWaWO.即a的取值范圍是{a|-1WaWO}.

⑵由⑴知當（b4U6=R時，一IWaWO,則2Wa+3W3,

所以4=6,這與4A5=0矛盾.

即這樣的a不存在.

［歸納提升］集合運算的綜合應用的注意點

（1）進行集合的運算時要看集合的組成，并且要對有的集合進行化簡.

（2）涉及含字母的集合時，要注意該集合是否可能為空集.

考查方向充分必要條件的判斷

典例5設集合S={0,a},7={xGZ|/<2}，則“a=1”是“SUP的充分不必要條件.（填

“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

［解析］7'={^eZ|/<2}={-1,0,1},a=l時，S={0,1},所以SU7；

反之，若SC7,則S={0,1}或5={0,-1}.所以“a=l”是“SU7”的充分不必要條件.

［歸納提升］充分（必要）條件是學習中的一個難點.要解決這個難點，將抽象的概念用直

觀、形象的圖形表示出來，看得見、想得通，才是最好的方法.本章使用集合模型對充要條件

的外延與內涵作了直觀形象的解釋，實踐證明效果較好.集合模型解釋如下：（1）力是3的充分

條件，即為

（2）/是B的必要條件，即砥4

（3）/是B的充要條件，即力=B

A(B)

(4)4是6的既不充分也不必要條件，

即或46既有公共元素也有非公共元素.

核心素養(yǎng)四

邏輯推理

考查方向充分必要條件的判斷

典例6設集合〃={x|x>2},P={x|水3},那么“xG〃或xd嚴'是財”的必要

不充分條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

［解析］條件0：xc〃或xGP；結論g：xw(PCM).

若則X不一定屬于R即X不一定屬于尸Cl",所以戶57；若xdGm①，貝1|

且xGP,所以戶p.綜上知，“xd〃或xGP”是“xG(尸。腸”的必要不充分條件.

［歸納提升］利用定義判斷充分必要條件的方法

如果戶(7,那么稱p是g的充分條件，同時稱g是p的必要條件.判斷時的關鍵是分清條

件與結論.

考查方向利用充分必要條件求參數(shù)的取值范圍

典例7已知集合/={x|2—aW盡2+a},6={x|xWl,或x24}.

(1)當a=3時，求氏

(2)若“xe%”是“了曰,的充分不必要條件，且求實數(shù)