2022-2023學(xué)年河南省鄭州市魯莊第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年河南省鄭州市魯莊第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合，，那么等于(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A2.以F（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．x=4y2 B．y=4x2 C．x2=4y D．y2=4x參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計(jì)算題；方程思想；數(shù)學(xué)模型法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由題意設(shè)出拋物線方程y2=2px（p＞0），結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求得p值得答案．【解答】解：∵拋物線焦點(diǎn)為F（1，0），∴可設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），且，則p=2，∴拋物線方程為：y2=4x．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是基礎(chǔ)題．3.設(shè)函數(shù)f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤4π），則函數(shù)f（x）的所有極大值之和為（）A．e4π B．eπ+e2π C．eπ﹣e3π D．eπ+e3π參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而找到其極大值f（2kπ+π）=e2kπ+π，即可求函數(shù)f（x）的各極大值之和．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ex（sinx﹣cosx），∴f′（x）=（ex）′（sinx﹣cosx）+ex（sinx﹣cosx）′=2exsinx，∵x∈（2kπ，2kπ+π）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時(shí)，f′（x）＜0，∴x∈（2kπ，2kπ+π）時(shí)原函數(shù)遞增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時(shí)，函數(shù)f（x）=ex（sinx﹣cosx）遞減，故當(dāng)x=2kπ+π時(shí)，f（x）取極大值，其極大值為f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]=e2kπ+π×（0﹣（﹣1））=e2kπ+π，又0≤x≤4π，∴函數(shù)f（x）的各極大值之和S=eπ+e3π．故選：D．4.下面的幾種推理過程是演繹推理的是（）A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A+∠B=180°B．由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體性質(zhì)C．某校高三共有10個(gè)班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測(cè)各班都超過50人D．在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（n=1，2，3，…），由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式參考答案：A【考點(diǎn)】演繹推理的基本方法．【分析】演繹推理是由普通性的前提推出特殊性結(jié)論的推理．其形式在高中階段主要學(xué)習(xí)了三段論：大前提、小前提、結(jié)論，由此對(duì)四個(gè)命題進(jìn)行判斷得出正確選項(xiàng)．【解答】解：A選項(xiàng)是演繹推理，大前提是“兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，”，小前提是“∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角”，結(jié)論是“∠A+∠B=180°”B選項(xiàng)“由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體性質(zhì)”是類比推理；C選項(xiàng)：某校高二共有10個(gè)班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測(cè)各班都超過50人，是歸納推理；D選項(xiàng)中，在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（n=1，2，3，…），由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式，是歸納推理．綜上得，A選項(xiàng)正確故選A．5.已知拋物線上有三點(diǎn)A，B，C，AB，BC，CA的斜率分別為3,6，－2，則A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】設(shè)，，，利用兩點(diǎn)連線斜率公式可求出縱坐標(biāo)之間關(guān)系為：，進(jìn)而可求得三點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線方程即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，可得：；同理可得：三式相加得：故與前三式聯(lián)立得：，，，，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)連線斜率公式的應(yīng)用、拋物線方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠通過斜率公式建立起拋物線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)之間的關(guān)系.6.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則等于（

）A．13

B．35

C．49

D．63

參考答案：C7.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1,3，-5）關(guān)于平面xoy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A.（-1,3，-5） B.（1,3，5） C..（1,-3，5） D.（-1,-3，5）參考答案：B8.P為△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA、PB、PC兩兩垂直，則下列命題①PA⊥BC②PB⊥AC③PC⊥AB④AB⊥BC，其中正確的個(gè)數(shù)是 A．3 B．2 C．1 D．0參考答案：A略9.某機(jī)械零件由2道工序組成，第一道工序的廢品率為a，第二道工序的廢品率為b，假設(shè)這兩道工序出廢品是彼此無關(guān)的，那么產(chǎn)品的合格率為

(

)A．a(chǎn)b-a-b+1

B．1-a-b

C．1-ab

D．1-2ab

參考答案：A略10.已知不等式()≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)，恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為（

）A.2

B.4

C.6

D.8參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的最小正周期為_______參考答案：【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)，再利用三角函數(shù)的周期公式求解.【詳解】由題得所以函數(shù)的最小正周期為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的周期的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.12.觀察如圖，則第行的各數(shù)之和等于20172．參考答案：1009【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】由題意及所給的圖形找準(zhǔn)其排放的規(guī)律，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)及其前n項(xiàng)和公式即可求解．【解答】解：由題意及所給的數(shù)據(jù)排放規(guī)律如下：①第一行一個(gè)數(shù)字就是1；第二行3個(gè)數(shù)字，構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；第三行5個(gè)數(shù)字，構(gòu)成以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列…②第一行的最后一項(xiàng)為1；第二行的最后一項(xiàng)為4；第三行的最后一項(xiàng)為7…③所給的圖形中的第一列構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；④有圖形可以知道第n行構(gòu)成以n為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式給以知道第n行共2n﹣1個(gè)數(shù)；由以上的規(guī)律及等差數(shù)列的知識(shí)可以設(shè)第n行的所有數(shù)的和為20172，列出式為n（2n﹣1）+=2017×2017∴n=1009故答案為1009．13.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為，若兩人各投2次，則兩人都投中1次的概率為

．參考答案：0.2016

略14.

參考答案：1515.F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M，若，則C的離心率是

．參考答案：直線的方程為，由得：；由得：，的中點(diǎn)為.據(jù)題意得，所以.

16.AB是拋物線y=x2的一條弦，若AB的中點(diǎn)到x軸的距離為1，則弦AB的長(zhǎng)度的最大值為 .參考答案：17.大小、形狀相同的白、黑球各一個(gè)，現(xiàn)依次有放回地隨機(jī)摸取2次，則摸取的2個(gè)球均為白色球的概率是_______.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.參考答案：解析：（I）是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列（4分）（Ⅱ）由（I）得（6分）（Ⅲ）

（9分）

又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)）

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列（12分）19.(本題滿分12分)已知函數(shù)．（I）當(dāng)時(shí)，求在最小值；（Ⅱ）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；（Ⅲ）求證：（）．參考答案：(本題滿分12分)（I），定義域?yàn)椋?/p>

，

在上是增函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，；

3分（Ⅱ），因?yàn)槿舸嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，所以有正數(shù)解．即有的解．

5分①當(dāng)a=0時(shí)，明顯成立．

②當(dāng)a<0時(shí)，開口向下的拋物線，總有的解；

③當(dāng)a>0時(shí)，開口向上的拋物線，即方程有正根．因?yàn)椋苑匠逃袃烧?，解得?/p>

綜合①②③知：．

9分（Ⅲ）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．令，則有，

．，．

12分

(法二)當(dāng)時(shí)，．，，即時(shí)命題成立．設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即．

時(shí)，．根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．令，則有，則有，即時(shí)命題也成立．因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．

12分略20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，F(xiàn)、E分別是PB、PC中點(diǎn).（1）證明：（2）求平面ADEF與平面PCD所成銳二面角的值.參考答案：（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)要證，可證平面，利用線面垂直即可得到線線垂直.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，利用向量夾角公式即可得到答案.【詳解】(1)平面，又，為平面上相交直線，平面，而等腰三角形中有平面而平面，.(2)易知兩兩垂直，故分別以其所在直線為坐標(biāo)軸建系則求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量平面與平面所成銳二面角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中線線垂直，二面角的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的空間想象能力，計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力，難度中等.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值和最大值；（2）當(dāng)a≤0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（3）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有恒成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，；對(duì)f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與求出函數(shù)的最值；（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），，對(duì)參數(shù)a分類討論逐步判斷原函數(shù)單調(diào)性即可；（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，設(shè)0＜x1＜x2，，即f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1，；轉(zhuǎn)化為：使g′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，求a的范圍．【解答】（1）當(dāng)a=1時(shí)，．則，x∈[1，e]∴當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（2，e）時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，e）上是增函數(shù)．∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得最小值，其最小值為f（2）=﹣2ln2．又，.，∴f（e）＜f（1）∴．（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），，①當(dāng)﹣2＜a≤0時(shí)，f（x）在（0，﹣a）上是增函數(shù)，在（﹣a，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)．②當(dāng)a=﹣2時(shí)，在（0，+∞）上是增函數(shù)．③當(dāng)