22.3 實(shí)際問題與二次函數(shù)：商品利潤最大問題

22.3實(shí)際問題與二次函數(shù)第二十二章二次函數(shù)第2課時(shí)商品利潤最大問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決商品銷售過程中的最大利潤問題.（重點(diǎn)）2.弄清商品銷售問題中的數(shù)量關(guān)系及確定自變量的取值范圍.（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課情境引入

在日常生活中存在著許許多多的與數(shù)學(xué)知識有關(guān)的實(shí)際問題.商品買賣過程中，作為商家追求利潤最大化是永恒的追求.如果你是商場經(jīng)理，如何定價(jià)才能使商場獲得最大利潤呢？利潤問題中的數(shù)量關(guān)系一講授新課

某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，則每星期銷售額是

元，銷售利潤

元.探究交流180006000數(shù)量關(guān)系（1）銷售額=售價(jià)×銷售量;（2）利潤=銷售額-總成本=單件利潤×銷售量;（3）單件利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià).

例1

某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤最大？漲價(jià)銷售①每件漲價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤y元，填空：單件利潤（元）銷售量（件）每星期利潤（元）正常銷售漲價(jià)銷售2030020+x300-10xy=(20+x)(300-10x)建立函數(shù)關(guān)系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.如何定價(jià)利潤最大二6000②自變量x的取值范圍如何確定？

營銷規(guī)律是價(jià)格上漲，銷量下降，因此只要考慮銷售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0,因此自變量的取值范圍是0≤x≤30.③漲價(jià)多少元時(shí)，利潤最大，最大利潤是多少？y=-10x2+100x+6000，當(dāng)

時(shí),y=-10×52+100×5+6000=6250.

即定價(jià)65元時(shí)，最大利潤是6250元.降價(jià)銷售①每件降價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤y元，填空：單件利潤（元）銷售量（件）每星期利潤（元）正常銷售降價(jià)銷售2030020-x300+18xy=(20-x)(300+18x)建立函數(shù)關(guān)系式：y=(20-x)(300+18x)，即：y=-18x2+60x+6000.

例1

某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤最大？6000綜合可知，應(yīng)定價(jià)65元時(shí)，才能使利潤最大.②自變量x的取值范圍如何確定？營銷規(guī)律是價(jià)格下降，銷量上升，因此只要考慮單件利潤就可以，故20-x

≥0，且x≥0,因此自變量的取值范圍是0≤x≤20.③漲價(jià)多少元時(shí)，利潤最大，是多少？當(dāng)

時(shí),

即定價(jià)57.5元時(shí)，最大利潤是6050元.即：y=-18x2+60x+6000，由(1)(2)的討論及現(xiàn)在的銷售情況,你知道應(yīng)該如何定價(jià)能使利潤最大了嗎?例2某網(wǎng)絡(luò)玩具店引進(jìn)一批進(jìn)價(jià)為20元/件的玩具，如果以單價(jià)30元出售，那么一個(gè)月內(nèi)售出180件，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價(jià)會導(dǎo)致銷售量的下降，即銷售單價(jià)每上漲1元，月銷售量將相應(yīng)減少10件，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該店能在一個(gè)月內(nèi)獲得最大利潤？①每件商品的銷售單價(jià)上漲x元，一個(gè)月內(nèi)獲取的商品總利潤為y元，填空：單件利潤（元）銷售量（件）每月利潤（元）正常銷售漲價(jià)銷售1018010+x180-10xy=(10+x)(180-10x)1800建立函數(shù)關(guān)系式：y=(10+x)(180-10x),即：y=-10x2+80x+1800.營銷規(guī)律是價(jià)格上漲，銷量下降，因此只要考慮銷售量就可以，故180-10x≥0，因此自變量的取值范圍是x≤18.③漲價(jià)多少元時(shí)，利潤最大，最大利潤是多少？y=-10x2+80x+1800

=-10(x-4)2+1960.

當(dāng)x=4時(shí)，即銷售單價(jià)為34元時(shí)，y取最大值1960元.

答：當(dāng)銷售單價(jià)為34元時(shí)，該店在一個(gè)月內(nèi)能獲得最大利潤1960元.②自變量x的取值范圍如何確定？知識要點(diǎn)求解最大利潤問題的一般步驟（1）建立利潤與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式：運(yùn)用“總利潤=總售價(jià)-總成本”或“總利潤=單件利潤×銷售量”（2）結(jié)合實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；（3）在自變量的取值范圍內(nèi)確定最大利潤：可以利用配方法或公式求出最大利潤；也可以畫出函數(shù)的簡圖，利用簡圖和性質(zhì)求出.例3：某商店試銷一種新商品，新商品的進(jìn)價(jià)為30元/件，經(jīng)過一段時(shí)間的試銷發(fā)現(xiàn)，每月的銷售量會因售價(jià)的調(diào)整而不同.令每月銷售量為y件，售價(jià)為x元/件，每月的總利潤為Q元.

（1）當(dāng)售價(jià)在40～50元時(shí)，每月銷售量都為60件，則此時(shí)每月的總利潤最多是多少元？解：由題意得：當(dāng)40≤x≤50時(shí)，Q=60(x－30)=60x－1800∵y=60>0，Q隨x的增大而增大∴當(dāng)x最大=50時(shí)，Q最大=1200答：此時(shí)每月的總利潤最多是1200元.

（2）當(dāng)售價(jià)在50～70元時(shí)，每月銷售量與售價(jià)的關(guān)系如圖所示，則此時(shí)當(dāng)該商品售價(jià)x是多少元時(shí)，該商店每月獲利最大，最大利潤是多少元？解：當(dāng)50≤x≤70時(shí)，設(shè)y與x函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,∵線段過(50，60)和(70，20).50k+b=6070k+b=20∴∴y

=－2x+160（50≤x≤70）

解得：k

=－2b=160∴y

=－2x+160（50≤x≤70）

∴Q=(x－30)y

=(x－30)(－2x+160)=－2x2+220x－4800=－2(x－55)2+1250(50≤x≤70)

∵a=－2＜0，圖象開口向下，∴當(dāng)x=55時(shí)，Q最大=1250∴當(dāng)售價(jià)在50～70元時(shí)，售價(jià)x是55元時(shí)，獲利最大，最大利潤是1250元.

解：∵當(dāng)40≤x≤50時(shí)，Q最大=1200＜1218當(dāng)50≤x≤70時(shí)，Q最大=1250＞1218∴售價(jià)x應(yīng)在50~70元之間.

∴令：－2(x－55)2+1250=1218解得：x1=51，x2=59當(dāng)x1=51時(shí)，y1=－2x+160=－2×51+160=58(件)當(dāng)x2=59時(shí)，y2=－2x+160=－2×59+160=42(件)∴若4月份該商品銷售后的總利潤為1218元，則該商品售價(jià)為51元或59元，當(dāng)月的銷售量分別為58件或42件.

（3）若4月份該商品銷售后的總利潤為1218元，則該商品售價(jià)與當(dāng)月的銷售量各是多少？變式：(1)若該商品售價(jià)在40～70元之間變化，根據(jù)例題的分析、解答，直接寫出每月總利潤Q與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；并說明，當(dāng)該商品售價(jià)x是多少元時(shí)，該商店每月獲利最大，最大利潤是多少元？解：Q與x的函數(shù)關(guān)系式為：60x－1800（40≤x≤50

）－2(x－55)2+1250（50≤x≤70）Q=由例3可知：若40≤x≤50，則當(dāng)x=50時(shí)，Q最大=1200若50≤x≤70，則當(dāng)x=55時(shí)，Q最大=1250∵1200＜1250∴售價(jià)x是55元時(shí)，獲利最大，最大利潤是1250元.（2）若該商店銷售該商品所獲利潤不低于1218元，試確定該商品的售價(jià)x的取值范圍；解：①當(dāng)40≤x≤50時(shí)，∵Q最大=1200＜1218，∴此情況不存在.

60x－1800（40≤x≤50

）－2(x－55)2+1250（50≤x≤70）Q=②當(dāng)50≤x≤70時(shí)，

Q最大=1250>1218，

令Q=1218，得

－2(x－55)2+1250=1218解得：x1=51，x2=59

由Q=－2(x－55)2+1250的圖象和性質(zhì)可知:

當(dāng)51≤x≤59時(shí)，Q≥1218∴若該商品所獲利潤不低于1218元，則售價(jià)x的取值范圍為51≤x≤59.

xQ055121859511250（3）在（2）的條件下，已知該商店采購這種新商品的進(jìn)貨款不低于1620元，則售價(jià)x為多少元時(shí)，利潤最大，最大利潤是多少元？解：由題意得：51≤x≤5930(－2x+160)≥1620解得：51≤x≤53∵Q=－2(x－55)2+1250的頂點(diǎn)不在51≤x≤53范圍內(nèi)，又∵a=－2＜0，∴當(dāng)51≤x≤53時(shí)

，

Q隨x的增大而增大∴當(dāng)x最大

=53時(shí)，Q最大=1242∴此時(shí)售價(jià)x應(yīng)定為53元，利潤最大，最大利潤是1242元.xQ055124253511.某種商品每件的進(jìn)價(jià)為20元，調(diào)查表明：在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元（20≤x≤30)出售，可賣出（300－20x）件，使利潤最大，則每件售價(jià)應(yīng)定為

元.25當(dāng)堂練習(xí)2.進(jìn)價(jià)為80元的某件定價(jià)100元時(shí)，每月可賣出2000件，價(jià)格每上漲1元，銷售量便減少5件，那么每月售出襯衣的總件數(shù)y(件）與襯衣售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為

.每月利潤w(元)與襯衣售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為

.(以上關(guān)系式只列式不化簡）.

y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)3.一工藝師生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為9個(gè)檔次.第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)80件，每件可獲利潤12元.產(chǎn)品每提高一個(gè)檔次，每件產(chǎn)品的利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少4件.如果只從生產(chǎn)利潤這一角度考慮，他生產(chǎn)哪個(gè)檔次的產(chǎn)品，可獲得最大利潤？w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]

=(10+2x)(84－4x)=－8x2+128x+840=－8(x－8)2+1352.解：設(shè)生產(chǎn)x檔次的產(chǎn)品時(shí)，每天所獲得的利潤為w元，則當(dāng)x=8時(shí)，w有最大值，且w最大=1352.答：該工藝師生產(chǎn)第8檔次產(chǎn)品，可使利潤最大，最大利潤為1352.xy516O74.某種商品每天的銷售利潤y（元）與銷售單價(jià)x(元）之間滿足關(guān)系：y=ax2+bx-75.其圖象如圖.（1）銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該種商品每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？解：(1)由題中條件可求y=-x2+20x-75∵-1<0,對稱軸x