![24.2.2 第3課時 切線長定理及三角形的內(nèi)切圓_第1頁](http://file4.renrendoc.com/view11/M02/14/28/wKhkGWXv51OAOJKPAAFiEwNnQVo339.jpg)
![24.2.2 第3課時 切線長定理及三角形的內(nèi)切圓_第2頁](http://file4.renrendoc.com/view11/M02/14/28/wKhkGWXv51OAOJKPAAFiEwNnQVo3392.jpg)
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文檔簡介
24.2直線和圓的位置關(guān)系第3課時切線長定理及三角形的內(nèi)切圓學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握切線長的定義及切線長定理.(重點)2.初步學(xué)會運用切線長定理進(jìn)行計算與證明.(難點)導(dǎo)入新課情境引入同學(xué)們玩過空竹和悠悠球嗎?在空竹和悠悠球的旋轉(zhuǎn)的那一瞬間,你能從中抽象出什么樣數(shù)學(xué)圖形?講授新課切線長定理及應(yīng)用一互動探究問題1
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了過圓上一點作已知圓的切線(如左圖所示),如果點P是圓外一點,又怎么作該圓的切線呢?過圓外的一點作圓的切線,可以作幾條?POBAO.PABP1.切線長的定義:
切線上一點到切點之間的線段的長叫作這點到圓的切線長.AO①切線是直線,不能度量.②切線長是線段的長,這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點,可以度量.2.切線長與切線的區(qū)別在哪里?知識要點問題2PA為☉O的一條切線,沿著直線PO對折,設(shè)圓上與點A重合的點為B.
OB是☉O的一條半徑嗎?PB是☉O的切線嗎?(利用圖形軸對稱性解釋)
PA、PB有何關(guān)系?
∠APO和∠BPO有何關(guān)系?O.PABBPOA切線長定理:
過圓外一點作圓的兩條切線,兩條切線長相等.圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.PA、PB分別切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言:切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法.注意知識要點O.P已知,如圖PA、PB是☉O的兩條切線,A、B為切點.求證:PA=PB,∠APO=∠BPO.證明:∵PA切☉O于點A,∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△OAP≌Rt△OBP,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.推理驗證AB想一想:若連結(jié)兩切點A、B,AB交OP于點M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.OP垂直平分AB.證明:∵PA,PB是⊙O的切線,點A,B是切點∴PA=PB
,∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形,PM為頂角的平分線∴OP垂直平分AB.O.PABM想一想:若延長PO交⊙O于點C,連結(jié)CA、CB,你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.證明:∵PA,PB是⊙O的切線,點A,B是切點,∴PA=PB
,∠OPA=∠OPB.∴PC=PC.∴△PCA≌△PCB,
∴AC=BC.CA=CBO.PABC典例精析例1
已知:如圖,四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切與點E、F、G、H.求證:AB+CD=AD+BC.·ABCDO證明:∵AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切與點E、F、G、H,EFGH∴AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.例2
為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑,某同學(xué)采用了如下辦法:將鐵環(huán)平放在水平桌面上,用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺,按如圖所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù),進(jìn)而可求得鐵環(huán)的半徑,若三角板與圓相切且測得PA=5cm,求鐵環(huán)的半徑.解析:欲求半徑OP,取圓的圓心為O,連OA,OP,由切線性質(zhì)知△OPA為直角三角形,從而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半徑.O在Rt△OPA中,PA=5,∠POA=30°,OQ解:過O作OQ⊥AB于Q,設(shè)鐵環(huán)的圓心為O,連接OP、OA.∵AP、AQ為⊙O的切線,∴AO為∠PAQ的平分線,即∠PAO=∠QAO.又∠BAC=60°,∠PAO+∠QAO+∠BAC=180°,∴∠PAO=∠QAO=60°.即鐵環(huán)的半徑為BPOAPA、PB是☉O的兩條切線,A,B是切點,OA=3.(1)若AP=4,則OP=
;(2)若∠BPA=60°,則OP=
.56練一練
小明在一家木料廠上班,工作之余想對廠里的三角形廢料進(jìn)行加工:裁下一塊圓形用料,怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢?三角形的內(nèi)切圓及作法二互動探究問題1如果最大圓存在,它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系?
OOOO最大的圓與三角形三邊都相切三角形角平分線的這個性質(zhì),你還記得嗎?問題2如何求作一個圓,使它與已知三角形的三邊都相切?
(1)如果半徑為r的☉I與△ABC的三邊都相切,那么圓心I應(yīng)滿足什么條件?(2)在△ABC的內(nèi)部,如何找到滿足條件的圓心I呢?
圓心I到三角形三邊的距離相等,都等于r.三角形三條角平分線交于一點,這一點與三角形的三邊距離相等.圓心I應(yīng)是三角形的三條角平分線的交點.為什么呢?已知:△ABC.求作:和△ABC的各邊都相切的圓.MND作法:1.作∠B和∠C的平分線BM和CN,交點為O.2.過點O作OD⊥BC.垂足為D.3.以O(shè)為圓心,OD為半徑作圓O.☉O就是所求的圓.做一做1.與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓.2.三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個三角形的內(nèi)心.3.這個三角形叫做這個圓的外切三角形.BACI
☉I是△ABC的內(nèi)切圓,點I是△ABC的內(nèi)心,△ABC是☉I的外切三角形.知識要點三角形的內(nèi)心的性質(zhì)三BACI問題1如圖,☉I是△ABC的內(nèi)切圓,那么線段OA,OB,OC有什么特點?互動探究線段OA,OB,OC分別是∠A,∠B,∠C的平分線.BACI問題2如圖,分別過點作AB、AC、BC的垂線,垂足分別為E、F,G,那么線段IE、IF、IG之間有什么關(guān)系?EFGIE=IF=IG知識要點三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上.三角形的內(nèi)心到三角形的三邊距離相等.BACIEFG
IA,IB,IC是△ABC的角平分線,IE=IF=IG.例3
如圖,△ABC中,∠B=43°,∠C=61°,點I是△ABC的內(nèi)心,求∠
BIC的度數(shù).解:連接IB,IC.ABCI∵點I是△ABC的內(nèi)心,∴IB,IC分別是∠B,∠C的平分線,在△IBC中,例4
如圖,一個木模的上部是圓柱,下部是底面為等邊三角形的直三棱柱.圓柱的下底面圓是直三棱柱上底面等邊三角形的內(nèi)切圓,已知直三棱柱的底面等邊三角形的邊長為3cm,求圓柱底面圓的半徑.該木??梢猿橄鬄閹缀稳缦聨缀螆D形.CABrOD解:如圖,設(shè)圓O切AB于點D,連接OA、OB、OD.∵圓O是△ABC的內(nèi)切圓,∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分線∵△ABC是等邊三角形,∴∠OAB=∠OBA=30o∵OD⊥AB,AB=3cm,∴AD=BD=AB=1.5(cm)∴OD=AD·tan30o=(cm)答:圓柱底面圓的半徑為cm.例5△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F,且AB=13cm,BC=14cm,CA=9cm,求AF、BD、CE的長.想一想:圖中你能找出哪些相等的線段?理由是什么?BACEDFO解:設(shè)AF=xcm,則AE=xcm.∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm),
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由
BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14,∴AF=4(cm),BD=9(cm),CE=5(cm).方法小結(jié):關(guān)鍵是熟練運用切線長定理,將相等線段轉(zhuǎn)化集中到某條邊上,從而建立方程.解得
x=4.ACEDFO比一比名稱確定方法圖形性質(zhì)外心:三角形外接圓的圓心內(nèi)心:三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三邊中垂線的交點1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內(nèi)部.三角形三條角平分線的交點1.到三邊的距離相等;2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部.ABOABCOCABOD1.求邊長為6cm的等邊三角形的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑.解:如圖,由題意可知BC=6cm,∠ABC=60°,OD⊥BC,OB平分∠ABC.∴∠OBD=30°,BD=3cm,△OBD為直角三角形.內(nèi)切圓半徑外接圓半徑練一練變式:求邊長為a的等邊三角形的內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R的比.sin∠OBD=sin30°=CABRrODABCODEFABCDEFO2.設(shè)△ABC的面積為S,周長為L,△ABC內(nèi)切圓的半徑為r,則S,L與r之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?ABCOcDEr3.如圖,直角三角形的兩直角邊分別是a、b,斜邊為c,則其內(nèi)切圓的半徑r為___________(以含a、b、c的代數(shù)式表示r).解析:過點O分別作AC,BC,AB的垂線,垂足分別為D,E,F(xiàn).F則AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因為AF=AD,BF=BE,AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以A2.如圖,已知點O是△ABC
的內(nèi)心,且∠ABC=60°,∠ACB=80°,則∠BOC=
.1.如圖,PA、PB是☉O的兩條切線,切點分別是A、B,如果AP=4,∠APB=40°,則∠APO=
,PB=
.BPOA第1題BCO第2題當(dāng)堂練習(xí)20°4110°(3)若∠BIC=100°,則∠A=
度.(2)若∠A=80°,則∠BIC=
度.130203.如圖,在△ABC中,點I是內(nèi)心,(1)若∠ABC=50°,∠ACB=70°,∠BIC=_____.ABCI(4)試探索:∠A與∠BIC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?120°4.如圖所示,已知在△ABC中,∠B=90°,O是AB上一點,以O(shè)為圓心,OB為半徑的圓與AB交于E,與AC相切于點D.求證:DE∥OC.證明:連接OD,∵AC切⊙O點D,∴OD⊥AC,∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中,OD=OB,OC=OC∴Rt△ODC≌Rt△OBC(HL),∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED,∵∠DOB=∠ODE+∠OED,∴∠BOC=∠OED,∴DE∥OC.方法二:證明:連接BD,∵AC切⊙O于點D,AC切⊙O于點B,∴DC=BC,OC平分∠DCB.∴OC⊥BD.∵BE為⊙O的直徑,∴DE⊥BD.∴DE∥OC.5.如圖,△ABC中,I是內(nèi)心,∠A的平分線和△ABC
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