2023-2024學(xué)年浙江名校協(xié)作體高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年浙江名校協(xié)作體高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試卷（本卷滿分150分，考試時間120分鐘）2024.02選擇題部分一、選擇題：本題8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．2．?dāng)?shù)列1，，，…的通項公式可能是（

）A． B． C． D．3．已知直線：，：，若，則m的值為（

）A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或34．已知兩條直線m，n，兩個平面，，則下列命題正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若且，則D．若且，則5．已知點和圓Q：，則以PQ為直徑的圓與圓Q的公共弦長是（

）A． B． C． D．6．江南水鄉(xiāng)多石拱橋，現(xiàn)有等軸雙曲線形的石拱橋（如圖），拱頂離水面10米，水面寬米，若水面上升5米，則水面寬為（

）A．米 B．米 C．米 D．30米7．在正三棱臺中，，，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．8．如圖，是由一系列直角三角形拼接而成的幾何圖形，已知，記，，…，的長度構(gòu)成的數(shù)列為，則的整數(shù)部分是（

）

A．87 B．88 C．89 D．90二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯和不選的得0分.9．已知向量，，則下列正確的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量為10．若正項數(shù)列為等比數(shù)列，公比為q，其前n項和為，則下列正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．若是遞減數(shù)列，則D．若，則11．如圖所示，拋物線的焦點為F，過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，分別過點A，B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為，，則（

）A．A，B兩點的縱坐標(biāo)之和為常數(shù)B．在直線l上存在點P，使C．三點共線D．在直線l上存在點P，使得的重心在拋物線上12．在正三棱錐中，兩兩垂直，，點是側(cè)棱的中點，在平面內(nèi)，記直線與平面所成角為，則當(dāng)該三棱錐繞旋轉(zhuǎn)時的取值可能是（

）A．53° B．60° C．75° D．89°非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．經(jīng)過兩點的直線的方向向量為，則．14．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比，若是數(shù)列的前n項積，當(dāng)取最大值時，.15．已知某圓錐底面直徑與母線長之比為，其內(nèi)切球半徑為1，則此圓錐的體積等于.16．已知雙曲線C的漸近線方程為，兩頂點為A，B，雙曲線C上一點P滿足，則.四、解答題：共6大題，共70分，其中第17題10分，第18題~第22題每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知等差數(shù)列的前n項和為，，.(1)求；(2)若、、成等比數(shù)列，求k的值.18．已知圓C的圓心在直線上，且過，兩點.(1)求圓C的方程；(2)已知l：，若直線l與圓C相切，求實數(shù)m的值.19．如圖，已知斜三棱柱，底面是正三角形，，，點N是棱的中點，.(1)求證：；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.20．已知點F為拋物線C：的焦點，點在拋物線C上，且.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l與拋物線C交于M，N兩點，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為，，且，求證：直線l過定點.21．已知數(shù)列滿足，.(1)若，求數(shù)列的前n項和；(2)若，設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：.22．已知離心率為的雙曲線：過橢圓：的左，右頂點A，B.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上一點，直線AP，BP與橢圓分別交于D，E，設(shè)直線DE與x軸交于，且，記與的外接圓的面積分別為，，求的取值范圍.1．C【分析】求出焦參數(shù)，根據(jù)焦點的位置確定準(zhǔn)線方程．【詳解】由題意焦點在軸正半軸，，，所以準(zhǔn)線方程為．故選：C．2．A【分析】代入即可結(jié)合選項逐一排除.【詳解】當(dāng)時，對于B中，當(dāng)時，對于C中，對于D中，四個選項中只有同時滿足，，.故選：A3．B【分析】根據(jù)向量平行得到方程，求出或1，檢驗后得到答案.【詳解】由題意得，解得或1，當(dāng)時，直線：，：，兩直線平行，滿足要求.當(dāng)時，直線：，：，兩直線重合，舍去，故選：B4．C【分析】根據(jù)線面平行，線面垂直，面面垂直的判定和性質(zhì)依次判斷各選項.【詳解】對于A，若，，則或，故A錯誤；對于B，若，，則或與異面，故B錯誤；對于C，由線面垂直的性質(zhì)定理可知C正確；對于D，若，，則可能在內(nèi)，可能與平行，可能與相交，故D錯誤.故選：C.5．D【分析】由題可得以PQ為直徑的圓的方程，兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，后由弦長公式可得答案.【詳解】由題可得，則以PQ為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為4，則PQ為直徑的圓的方程為：.將兩圓方程相減可得公共弦方程為：.則圓Q圓心到公共弦方程距離為2，又圓Q半徑為4，則公共弦長為：.故選：D6．D【分析】設(shè)雙曲線方程為，如圖建立直角坐標(biāo)系，水面上升5米后，設(shè)水面寬為CD，設(shè)D.由題可得，代入方程可得，后可得x，即可得答案.【詳解】設(shè)雙曲線方程為，如圖建立直角坐標(biāo)系.水面上升5米后，設(shè)水面寬為CD，設(shè)D，其中.又由題可得，代入雙曲線方程可得：，則D.將D點坐標(biāo)代入雙曲線方程可得：，則D.又由對稱性可得，則水面上升5米，則水面寬為30米.故選：D7．B【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法求異面直線所成角.【詳解】取中點，取中點，連接，O在上，且，因為在正三棱臺中，所以，，又，，在梯形中，過點作，垂足為R，過點作，垂足為S，過點作，垂足為T，所以，則，設(shè)，在和中，，即，解得，，因為與相似，所以，即，

如圖，分別以所在直線為軸，軸，過且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則，故選：B.8．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列、放縮法、裂項求和法等知識進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題意知，，且，，…，都是直角三角形，所以，且，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，，，即，所以所求整數(shù)部分都是.故選：B.

【點睛】方法點睛：定義法：若常數(shù)，則是等差數(shù)列；等差中項法：若，則是等差數(shù)列.數(shù)列求和的方法可以考慮等差數(shù)列的前項和公式，也即公式法，也可以考慮利用裂項求和法.9．ACD【分析】ABC選項，根據(jù)得到且，AC正確，B錯誤；D選項，利用投影向量的求解公式得到答案.【詳解】ABC選項，由題意得，故且，AC正確，B錯誤；D選項，在方向上的投影向量為，D正確.故選：ACD10．ABC【分析】設(shè)正項等比數(shù)列的首項為，則通項公式，利用等比、等差數(shù)列的定義可判定A、B，由，可求的范圍，判斷C，由求出，再由正項數(shù)列的條件，得的范圍，判斷D.【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列的首項為，則通項公式，則，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，A正確；則，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，故B正確；若是遞減數(shù)列，則，因為，則，則，C正確；若，則，則，D錯誤.故選：ABC11．CD【分析】對于A：設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，通過韋達(dá)定理來判斷；對于B：通過計算的正負(fù)來判斷；對于C：通過計算是否相等來判斷；對于D：求出重心，代入拋物線方程，看方程是否有解來判斷.【詳解】對于A：設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消去得，所以，不為常數(shù)，A錯誤；對于B：設(shè)，，，則則，故在直線l上不存在點P，使，B錯誤；對于C：由題可得，則，所以，即三點共線，C正確；對于D：設(shè)，又，則的重心坐標(biāo)為，即，代入拋物線方程得整理得，，所以在直線l上存在點P，使得的重心在拋物線上，D正確.故選：CD12．AB【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線與平面所成角的正弦，求其范圍，然后比較角的大小即可.【詳解】因為兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系：則則，設(shè)面的法向量為，則，取可得，所以，令，則，則當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，又，則，所以又，則當(dāng)該三棱錐繞旋轉(zhuǎn)時的取值可能是AB.故選：AB.

【點睛】方法點睛：對于線面角，可通過建立空間直角坐標(biāo)系將其表示出，然后求其范圍.13．2【分析】方向向量與平行，由此可得．【詳解】由已知，是直線的方向向量，則，故答案為：2.14．6【分析】先求出的通項公式，當(dāng)時，其前n項積最大，得解.【詳解】由題意可得，，，且，當(dāng)時，最大，即，解得.故答案為：6.15．##【分析】畫出圓錐的軸截面后進(jìn)行分析，注意利用三角形面積公式與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系，然后利用圓錐體積公式即得.【詳解】圓錐的軸截面如圖所示：

設(shè)該圓錐的底面直徑為，則底面半徑為.因為底面直徑與母線長之比為，所以母線長，所以該圓錐的高,因為內(nèi)切球的半徑為1，根據(jù)面積相等，可得圓錐軸截面的面積為，解得，所以圓錐的底面半徑為，高為，所以此圓錐的體積.故答案為：.16．##【分析】先設(shè)，根據(jù)列出方程，得到，聯(lián)立橢圓方程得到，作出輔助線，得到，，利用正切的差角公式求出答案.【詳解】不妨設(shè)雙曲線C的方程為，A，B為左右頂點.設(shè)，因為，所以，化簡得：，則，解得，所以，不妨設(shè)在第一象限，作軸于D，則，，，故，，

.故答案為：17．(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，依題意得到方程組，解得、d，即可求出通項公式與；（2）由（1）可得、、的值，再根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到方程，求出.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，由，，所以，解得，所以，則.（2）由（1）可知，，，又、、成等比數(shù)列，所以，即，解得或（舍去），.18．(1)（或）(2)或【分析】（1）方法一：設(shè)出圓心，根據(jù)和圓心在直線上得到方程組，求出，，得到圓心和半徑，得到答案；方法二：求出AB的中垂線方程，聯(lián)立得到圓心坐標(biāo)，進(jìn)而得到半徑，得到圓的方程；（2）利用圓心到直線的距離等于半徑得到方程，求出實數(shù)m的值.【詳解】（1）方法一：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，則，又，則，即，解得，，所以圓C的半徑，所以圓C的方程是（或）.方法二：AB的中點坐標(biāo)為，，則AB的中垂線方程為.則，解得，所以圓心C的坐標(biāo)為，所以圓C的半徑，所以圓C的方程是（或）.（2）設(shè)圓心C到直線的距離為d，由題意可得，平方整理后可得，解得或.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接，，，，即可證明、，從而得到平面，即可得證；（2）解法一：連接，，利用余弦定理求出，在平面中，過點作交于點，則，從而建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得；解法二：連接，利用余弦定理求出，作于，連接，即可得到為二面角的平面角，再由銳角三角函數(shù)計算可得.【詳解】（1）取的中點，連接，，，，∵三棱柱中，，∴，又∵，∴，∴，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴.（2）方法一：連接，，在中，，，，所以，則，顯然且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則，在平面中，過點作交于點，則，則，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的一個法向量，∴，所以平面與平面的夾角的余弦值為.

方法二：顯然且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，連接，在中，，，，即，即.作于，連接.因為平面，平面，所以，又，平面所以平面，平面，所以，所以為二面角的平面角.在中，，解得.則，所以.所以平面與平面的夾角的余弦值為.

20．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義與點在拋物線C上列式求解即可；（2）方法一：分直線斜率存在于不存在兩種情況，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得出韋達(dá)定理，進(jìn)而表達(dá)再化簡即可；方法二：設(shè)，，代入化簡，結(jié)合直線l的方程為即可.【詳解】（1）由題意得：，解得，或（舍去），所以拋物線C的方程為.（2）方法一：①當(dāng)直線l斜率存時，設(shè)直線l：，，，則，消去x，整理得，則，，，而，整理得，所以，所以直線l：，所以直線l過定點.②當(dāng)直線l斜率不存在時，設(shè)直線l：，則，，則，得，所以直線l：，則點在直線l上.綜上：直線l過定點.方法二：設(shè)，，則，則，直線l的方程為，則，所以直線l過定點.21．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由數(shù)列遞推公式可得其通項公式，再由錯位相減法求數(shù)列的前n項和；（2）若，可得，從而，利用裂項相消法推導(dǎo)出前n項和為，再由的單調(diào)性可證明不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)時，則，得，所以，所以數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列.所以，則，所以，，兩式相減得，所以.（2）當(dāng)時，由，得，所以，所以數(shù)列單調(diào)遞增，因為，所以，又由，可得，所以，即，則，所以，易知為遞增數(shù)列，且，所以，即：.【點睛】數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；（3）對于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項相消法求和.22．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓與雙曲線的基本量求解即可；（2）方法一：設(shè)直線AP：，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合在雙曲線上，化簡可得，同理，代入化簡