中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)?？碱}型練習(xí)-圓的綜合問題

圓的綜合問題

圓的有關(guān)內(nèi)容在歷年的中考題中均有考查,考查內(nèi)容涉及利用圓周角定理及

推論,圓內(nèi)接四邊形、特殊三角形、三角函數(shù)求角度、線段長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、陰影面積

等,綜合性較強(qiáng).

一、判定切線的常見方法

1.(2021?黃岡)如圖,在Rt△八BC中,N八CB=90°,O。與8C/C分別相切于點(diǎn)E,F,8。

平分N48C,連接OA

(1)求證:A8是ΘO的切線；

⑵若BE=AC=Z1QO的半徑是1,求圖中陰影部分的面積.

2.(2022?賀州)如圖,AABC內(nèi)接于。。/8是直徑,延長(zhǎng)到點(diǎn)E使得BE=BC=G1

連接Ec且NECB=NCW,點(diǎn)D是AB上的點(diǎn),連接AO,8,且CD交AB于點(diǎn)F.

(1)求證:EC是。。的切線；

⑵若BC平分NEeD,求AD的長(zhǎng).

二'圓中求線段長(zhǎng)度

3.（2022?湖州）如圖,已知在Rt?Λ6Cφ,ZC=90°Q是AB邊上一點(diǎn),以8D為直徑

的半圓O與邊八C相切,切點(diǎn)為E,過(guò)點(diǎn)。作OFj_8C,垂足為F.

⑴求證：。F=EC

⑵若NA=30°,8。=2,求AD的長(zhǎng).

4.（2022?河南）為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)體育文化,某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校

運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽項(xiàng)目.滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成.小明對(duì)滾鐵環(huán)的啟動(dòng)階段進(jìn)行

了研究,如圖,滾鐵環(huán)時(shí),鐵環(huán)。。與水平地面相切于點(diǎn)&推桿48與鉛垂線ZID的夾

角為NBAD,點(diǎn)、OAB,CQ在同一平面內(nèi).當(dāng)推桿AB與鐵環(huán)。。相切于點(diǎn)B時(shí),手上

的力量通過(guò)切點(diǎn)B傳遞到鐵環(huán)上,會(huì)有較好的啟動(dòng)效果.

CD

⑴求證：N80C+ZBAD=90

⑵實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),切點(diǎn)B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時(shí),才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動(dòng).圖中

點(diǎn)B是該區(qū)域內(nèi)最低位置,此時(shí)點(diǎn)A距地面的距離AD最小,測(cè)得cosN8AD總已知

鐵環(huán)00的半徑為25Cm,推桿A8的長(zhǎng)為75Cm,求此時(shí)AD的長(zhǎng).

5.（2021?陜西）如圖58是00的直徑,點(diǎn)E、F在。。上,且∕=2施，連接OE、AF1

過(guò)點(diǎn)B作。。的切線,分別與。E、AF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C、D.

⑴求證:NCoB=N八；

⑵若A8=6,CB=4,求線段FD的長(zhǎng).

三'圓與三角形函數(shù)相結(jié)合

6.（2022?南充）如圖/8為0。的直徑,點(diǎn)C是。。上一點(diǎn),點(diǎn)。是。。外一

點(diǎn),N8CD=N8AC,連接OD交BC于點(diǎn)E.

⑴求證：CD是。。的切線.

⑵若CE=OASinN8AC=，求IanZCEO的值.

7.（2022?雅安）如圖,在Rt△4BC中,N4C8=90°,AO是C的角平分線,以。為

圓心QC為半徑作0。與直線AO交于點(diǎn)E和點(diǎn)D.

（1）求證FB是。。的切線；

⑵連接CE,求證:AACES∕?ADC;

⑶若笫O的半徑為6,求tanNOAC

四、強(qiáng)化訓(xùn)練

8.（2021?廣東改編）如圖,在四邊形ABCD中∕B"CO,A8≠CD,NABC=90°,點(diǎn)E、F

分別在線段BC、AD上,且EF//CD1AB=AF1CD=DF.

⑴求證：CF，F(xiàn)B；

⑵求證:以AD為直徑的圓與BC相切.

9.（2020?雅安）如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于QaNABC=60°,對(duì)角線DB平分NADC.

⑴求證:△八BC是等邊三角形；

⑵（選做）過(guò)點(diǎn)B作BE//3沃DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若AD=2,DC=3,^?BDE的面積.

圓的綜合問題參考答案

一'判定切線的常見方法

1.解:⑴證明漣接OE,過(guò)點(diǎn)0作OOLAB,垂足為D.

:。。與BC相切于點(diǎn)El.'.OE±BCl

VBO是NA8C的平分線,OD_LAB,

*

..OD=OE1

YOE是圓的一條半徑，

，。。是0。的半徑，

.?.4B是。。的切線.

（2）如圖,連接OF.

?.?BC1AC與Θ。分別相切于點(diǎn)E1F1

ΛOE±BC,OF1AC1

又，：ZACB=90°,

，四邊形OECF是正方形,

.?.OE=OF=EC=FC=I1

：.BC=BE+EC=4l：.AB=5.

易得Rt?Λ0D^Rt?Λ0F,

：.ZOAD=ZOAF=-ZBAC

21

：.ZOBD=Z0AD=-ZABC+-ZBAC=^5

22

：.NAOB=I80°-45°=135°,

.ccc53π53π

???陰影='z?408??扇形Λ40Λ∕=--=T--.

ZOLo

故圖中陰影部分的面積是爐?.

28

2.解:⑴證明:連接OC

"：OA=OC1：.ZCAB=ZACO.

".'ZECB=ZCABI

。NECB=NACO,.?.AB是。。的直徑.

?.?ZACB=90°,：.ZACO+ZOCB=QO°,

：.NECB+NOCB=90°,即OClEC.

又?.?0C是0。的半徑，

,EC是。。的切線.

(2)VBC平分/ECD1：.ZBCD=ZECB.

"：ZBCD=ZBAD,：.ZECB=ZBAD.

又?/ZECB=ZCAB1：.ZBAD=ZCAB.

又?.N8是。。的直徑,.?.48LDC.

在Rt?FCfΦ,VBE=BC1:.ZE=ZECB1

：.NE=NECB=NBCF=30°.

在Rt?6CF中,8C=6,NBCF=30:

：.CF=BC?cosZ6CF=6×y=3√3.

?,ABLCD1AB是0。的直徑，

/.DF=CF=35

在RtZ?4DF中,NDAF=NBCF=30°,

DF3√3

：=6λ∕3.

.AD=SinzDTlF--

二'圓中求線段長(zhǎng)度

3⑴證明:如圖,連接OE1

C

?.NC切半圓。于點(diǎn)E1：.OE.LAC.

VOF±BClZC=90°,

，NoEC=NOFC=NC=90°,

/.四邊形OFCE是矩形,.,.OF=EC1

⑵解:BD=2,：.OE=-BD=-X2=1,

o

?/ZΛ=30,OE±ACl

.".AO=2OE=2×l=2l

：.AD=AO-DO=2-1=1.

4.(1)證明:?.?。。與水平地面相切于點(diǎn)C1

：.OClCDl

,

'.AD±CDl：.AD//OC.

?.MB與。。相切于點(diǎn)B,.,.ABIOB1

4084=90°.

過(guò)點(diǎn)B作BE〃/W,則BE//OC1

：.ZBAD=ZEBA,ZCOB=ZOBE1

：.ZCOB+ZBAD=ZOBE+ZABE=ZOBA=90

ZBOC+ZBAD=SO°.

⑵解:如圖,過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線，

交AD于點(diǎn)G,交OC于點(diǎn)F1

.'.FG±AD,FG±OCl

則四邊形CFGD是矩形，

ZBOC+ZBAD=SOσ,ZABO=90

：.NOBF=90°-ZFOB=ZA1

在M∕?ABG中，

cosZBAD=-AB=75cm

5l'z'

O

.,.AG=AB×cosZBAD=75×-=45(cm),

在MAOBF中，

3

cosZθ8F=cosA=-OB=25cm,

5I''

βF=0β×∣=25×∣=15(cm),

/.OF=>∕OB2-BF2=y∕252-152=20(cm),

，ΓC=OC-OF=25-20=5(cm),

DG=FC=Scm,

ΛΛD=ΛG+GD=45+5=50(cm).

5.⑴證明:如圖,取小的中點(diǎn)M,連接OMQF.

BF=2BE,：.BM=MF=BE,

.?ZCOB=^ZBOFl

?/ZA=^ZBOFι:.ZCOB=ZA-,

⑵解:連接BF.

,JCD為。。的切線,.?.A8LC0,

ZOBC=ZABD=90°,

?.?ZCOB=NA,，AOBCSjBD,

.?.絲="即北二解得80=8,

ABBD,6BD1'

在Rt?Λ6D中，

AD=y∕AB2+BD2=y∕62+82=10,

?,AB是。。的直徑,，ZAFB=90°,

".'ZBDF=ZADBI

RtZWBFSRQOAB,

?DFDB日HOF8A7,4HCL32

??一=—,即一二一,解得DF=-

DBDA1810'5

三'圓與三角形函數(shù)相結(jié)合

6.⑴證明:連接OC1

；AB為Θ。的直徑,ZACB=BOo,

：.ZACO+ZOCB=SO°.

OA=OC1：.ZA=ZACO.

"：ZBCD=ZBAC1：.ZBCD=ZACO1

：.ZBCD+ZOCB=90o,ΛOC±CD,

...CD是。。的切線.

(2)解:過(guò)點(diǎn)。作OFtBC于點(diǎn)F1

4

"CE=OAlSlnZBAC=-,

.設(shè)8C=4x,則AB=5x,OA=CE=2.5xl

.BE=BC-CE=ISx,

,ZC=90:

.AC=Λ∕AB2-BC2=3x,

'OA=OBOF//AC：.—=—=1,

11CFOA

.CF=BF=2x,EF=CE-CF=OSx,

?OF為∕?A8C的中位線，

.OF=-AC=ISx

2t

.tanZCEO=-=—=3.

EF0.5%

7⑴證明:如圖,過(guò)O作OHlAB于H1

,ZACB=90o,AO是aABC的角平分線,

.OC=OH1

,。為圓心,。，為半徑,

.?.4B是。。的切線.

⑵證明:如圖,連接CE.

?；DE為。。的直徑，

/.NoCE=90°=ZDCO+ZOCE1

,：NAC8=90°=NACE+NBCE,

：.ZDCO=ZACEI

"：OD=OC1：.ZODC=ZOCD,

：.NACE=NADC,

".'ZCAE=ZDACI：.XACESXAOC.

⑶解:?.?NCEs人Dc,祟W

.AE_AC_1

**AcΓAlT

設(shè)AE=X,則AC=2xlAD=^×l

而AD=AE+DE=x+12l

.?.4x=x+12,解得x=4,

J.AE=4lAC=SlAD=16l

.OC63

..tianZOAC=——

AC84

四、強(qiáng)化訓(xùn)練

8.證明:⑴；CD=DF,

設(shè)NDCF=NDFC=a,

.".ZFDC=ISO°-2a,

oo

?'CD∕∕ABl.'.ZBAF=180-(180-2σ)=2a,

又?.NB=AF,

,

..ZABF=ZAFB=^-^=90°-al

2,

：.NCFB=I80o-ZCFD-ZBFA=ISOO-a-(900-o)=90°,

.?CF±BF.

(2)作AD的中點(diǎn)為。,過(guò)點(diǎn)。作OGlCB于點(diǎn)G,連接CA交OG于點(diǎn)H.

o

VOGlBClZABC=ZBCD=90,

：.OG//CD//AB.

"：AO=DO1.,.AH=CH1CG=BG.

.?.GH是4A8C的中位線，

.?.GH=∕B.同理OH=TCD.

：.OG=^(AB+CD)l

'：AD=AFWF,又?"AF=AB1DF=DC1

：.AD=AB+CD=20G,：.OG=^AD=OD1

又；OGLBC,.?.以AD為直徑的圓與BC相切.

9.⑴證明:???四邊形八88內(nèi)接于圓0,

，ZABC+ZADC=180°.

'：ZABC=GO°,：.ZADC=120°.

,.?DB平分NADa

：.ZADB=ZCDB=GO0.

'."AB=AB1BC=BC1

O

ZACB=ZADB=GOI

ZBAC=ZCDB=60°l

ZABC=ZACB=ZBACI

.??ABC是等邊三角形?

⑵解:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AMLC。,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)B作8N，八&垂足為N1

.ZAMD=90