CHP3離散時間信號的傅立葉變換

第二局部

傅立葉變換及其快速算法

之

第三章

離散時間信號的傅里葉變換趙發(fā)勇物電學院目錄引言3.1連續(xù)時間信號的傅里葉變換3.2離散時間信號的傅里葉變換〔DTFT〕3.3連續(xù)信號的抽樣

3.4離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)〔DFS〕

3.5離散傅里葉變換〔DFT〕

3.6用DFT計算線性卷積

3.7與DFT有關(guān)的幾個問題引言傅里葉變換

建立以時間t為自變量的“信號”與以頻率f為自變量的“頻率函數(shù)”(頻譜)之間的某種變換關(guān)系?！皶r間”或“頻率”取連續(xù)還是離散值,就形成各種不同形式的傅里葉變換對。已經(jīng)學過1、傅里葉級數(shù)(FS)：連續(xù)時間,離散頻率的傅里葉變換。2、傅里葉變換(FT)：連續(xù)時間,連續(xù)頻率的傅里葉變換。本章將討論另外兩種不同形式的傅里葉變換：3、序列的傅里葉變換(DTFT):離散時間,連續(xù)頻率的傅里葉變換。4、離散傅里葉級數(shù)和變換(DFT):離散時間,離散頻率的傅里葉變換。注：本書中數(shù)字頻率為ω,模擬角頻率為。引言3.1連續(xù)時間信號的傅里葉變換傅里葉級數(shù)：周期連續(xù)時間信號

非周期離散頻譜密度函數(shù)：設(shè)周期為T的連續(xù)時間函數(shù)x(t)可展成傅里葉級數(shù)X(kΩ0),是離散非周期性頻譜,表示為:變換對：正變換：反變換：x(t)的信號分解，復正弦基3.1連續(xù)時間信號的傅里葉變換

傅立葉變換：非周期連續(xù)時間信號通過連續(xù)付里葉變換(FT)得到非周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)，表示為:變換對：正變換：反變換：3.1連續(xù)時間信號的傅里葉變換

幾個重要的公式:1、周期信號的傅立葉變換2、時域沖激序列的傅立葉級數(shù)3、頻域沖激序列的傅立葉級數(shù)3.2離散時間信號的傅里葉變換〔DTFT〕

DTFT：對于任一非周期離散的時間信號序列，定義單位圓上的Z變換為該序列的傅立葉變換：變換對：正變換：反變換：幾點說明DTFT的物理含義：序列的傅里葉變換實質(zhì)上就是單位圓上的z變換。序列傅里葉變換X(ejw)是ω的連續(xù)周期函數(shù)，周期為2π。假設(shè)z變換存在，且收斂域包含單位圓，那么序列傅氏變換存在；如果z變換收斂域不包含單位圓，那么序列傅氏變換不存在。分析：略。3.2離散時間信號的傅里葉變換〔DTFT〕

可以看出,時域的離散造成頻域的周期延拓

,而時域的非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù)。例題：1.線性2.時移3.2離散時間信號的傅里葉變換〔DTFT〕序列傅氏變換的性質(zhì)(1/7)對于任意常數(shù)a和b有：3.2離散時間信號的傅里葉變換〔DTFT〕3.奇、偶、虛、實對稱性質(zhì)設(shè)序列及其傅立葉變換均表達成復數(shù)的實部和虛部形式:序列傅氏變換的性質(zhì)(2/7)3.2離散時間信號的傅里葉變換〔DTFT〕4.時域卷積定理序列傅氏變換的性質(zhì)(3/7)3.2離散時間信號的傅里葉變換〔DTFT〕5.頻域卷積定理序列傅氏變換的性質(zhì)(4/7)3.2離散時間信號的傅里葉變換〔DTFT〕6.時域相關(guān)定理序列傅氏變換的性質(zhì)(5/7)假設(shè)有證明：略。說明：序列為實序列。另，如果為序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，有即：能量信號的自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換等于序列傅立葉變換的幅值平方。3.2離散時間信號的傅里葉變換〔DTFT〕7.Parsval定理序列傅氏變換的性質(zhì)(6/7)能量信號在時域的總能量等于其頻域的總能量。3.2離散時間信號的傅里葉變換〔DTFT〕8.Winener-Khinchin定理序列傅氏變換的性質(zhì)(7/7)假設(shè)序列x(n)是功率信號，其自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換為功率信號的自相關(guān)函數(shù)與功率譜是一對傅立葉變換3.2離散時間信號的傅里葉變換〔DTFT〕一些典型序列的DTFT3.2離散時間信號的傅里葉變換〔DTFT〕用計算機處理數(shù)字信號時，序列長度有限，存在一個截短問題，通常采用一個矩形窗函數(shù)去乘該信號，可能導致問題一：降低對譜峰的分辨率。

信號截短對DTFT的影響問題二：頻譜的“泄漏”。3.2離散時間信號的傅里葉變換〔DTFT〕信號截短對DTFT的影響3.3連續(xù)信號的抽樣抽樣定理設(shè)連續(xù)信號x(t),其抽樣相當于將其一個沖激序列相乘,即其中設(shè)那么利用時域乘積等于頻域的卷積3.3連續(xù)信號的抽樣3.3連續(xù)信號的抽樣說明:上面分析進一步說明了連續(xù)信號x(t)經(jīng)抽樣后得到的序列x(nTs),其頻譜變?yōu)橹芷诘?相對于模擬頻率Ω周期為ΩS=2π/TS=2πfs。相對于數(shù)字頻率ω周期為〔ω=ΩTS〕ΩSTS=2π/TS*TS=2π。這種現(xiàn)象，我們稱為周期延拓。進而得到頻率不混迭，即x(nTs)包含x(t)全部信息的抽樣定理：內(nèi)容略。3.3連續(xù)信號的抽樣正弦信號的抽樣比方有兩個正弦信號,抽樣頻率為信號最高頻的二倍,有

由于正弦信號是一類特殊的信號(特殊在它是單頻率信號，帶寬為零)，抽樣需要單獨考慮。3.3連續(xù)信號的抽樣正弦信號的抽樣幾點建議：

按以上要求，對離散正弦信號做DFT得到的頻譜正好是線譜，完全等同于連續(xù)正弦信號的線譜。1.抽樣頻率應(yīng)為正弦頻率的整數(shù)倍；2.抽樣點數(shù)應(yīng)包含整周期，數(shù)據(jù)長度最好是2的整次冪；3.每個周期最好是四個點或更多；4.數(shù)據(jù)后不要補零。3.4離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)〔DFS〕上面討論的三種傅里葉變換對,都不適用在計算機上運算,因為至少在一個域(時域或頻域)中,函數(shù)是連續(xù)的.從數(shù)字計算角度,我們感興趣的是時域及頻域都是離散的情況，且序列為有限的。同時，從上面的分析可知：周期性時間信號可以產(chǎn)生頻譜是離散的〔傅立葉級數(shù)〕。離散時間信號可以產(chǎn)生頻譜是周期性的〔DTFT或抽樣定理〕。推斷周期離散時間信號的頻譜為周期性離散的。或者說時頻域均為離散的，也即我們所希望的。下面首先分析離散時間周期信號的傅立葉級數(shù)〔時頻域離散，但具有無限長〕，進而分析DFT〔時頻域離散，且有限長〕。

設(shè)為周期為N的序列,其離散傅里葉級數(shù)(DFS)變換對定義為:

正變換

反變換其中:稱為旋轉(zhuǎn)因子。逆變換式的獲得:略.

3.4離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)〔DFS〕方法一：周期性連續(xù)時間信號函數(shù)推出DFS周期性連續(xù)時間信號函數(shù)經(jīng)采樣后，得到周期性的離散時間函數(shù)(DFS)。x(t)X(ejw)tw采樣x(n)nDFS3.4離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)〔DFS〕方法二：非周期離散時間信號推出DFS非周期離散時間信號經(jīng)過序列付里時變換(即單位園上的Z變換)DTFT,得到周期連續(xù)譜密度函數(shù)，再經(jīng)采樣為周期離散頻譜密度函數(shù)(DFS)。x(t)tΩX(ejΩT)wX(ejw)DTFT采樣3.4離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)〔DFS〕方法三：由非周期連續(xù)時間信號推出DFSx(t)經(jīng)過抽樣為x(nT),對離散的時間信號進行DTFT得到周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)。再經(jīng)過抽樣，得到周期性離散頻譜密度函數(shù)即為DFS。x(t)t取樣x(t)tDTFTX(ejΩT)Ω采樣wX(ejw)3.4離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)〔DFS〕DTFT:設(shè)有一個有限長N序列,其傅立葉變換為下面首先利用方法二推導3.4離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)〔DFS〕現(xiàn)將DTFT離散化一個周期取N點有離散、非周期FS:離散化下面利用方法一推導3.4離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)〔DFS〕離散、周期周期為多少呢?3.4離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)〔DFS〕即：是周期的，周期是，間隔是

是周期的，周期是，間隔是所以，各取一個周期，有：此即DFS的逆變換表達式下面推導DFS的正變換表達式3.4離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)〔DFS〕3.4離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)〔DFS〕可得X(k)為式〔3.4.6)稱為離散周期序列的傅立葉級數(shù)〔DFS〕，兩者的等價性可以從抽樣定理去理解?；?.4離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)〔DFS〕從實際上，當我們在計算機上實現(xiàn)信號的頻譜分析時，要求：時域、頻域都是離散的；時域、頻域都是有限長；FT、FS、DTFT、DFS都不符合要求,但利用DFS的時域、頻域的周期性，各取一個周期，就形成新的變換對：DFT從原理上，和的各自一個周期即可表示完整的序列；但DFT并不是“第五種”傅立葉變換！為什么要由DFS過渡到DFT？3.5離散傅里葉變換〔DFT〕3.5離散傅里葉變換〔DFT〕一、DFT的定義具體而言:時域周期序列看作是有限長序列x(n)的周期延拓;頻域周期序列看作是有限長序列X(k)的周期延拓。

現(xiàn)取DFS一個主值區(qū)間〔一個周期〕，定義有限長序列的傅里葉變換(DFT)：DFT的圖形解釋3.5離散傅里葉變換〔DFT〕二、時頻域近似說明

3.5離散傅里葉變換〔DFT〕三、DFT與DTFT及Z變換的關(guān)系注意：求DFT時，已經(jīng)假設(shè)此序列為周期N的序列。重申：DTFT是單位圓上的Z變換，DFT為單位圓上取等間隔N點的DTFT。關(guān)系：在求出DFT后，可以利用它們的關(guān)系進一步求出Z變換及DTFT,見P121面式(3.5.9)和式(3.5.10)。設(shè)有長度為N的序列x(n),那么3.5離散傅里葉變換〔DFT〕1、線性特性

設(shè)有長度為N的序列x1(n)和x2(n),那么離散傅氏變換的性質(zhì)(1/16)假設(shè)x1(n)和x2(n)長度不等,分別為N1和N2,那么ax1(n)+bx2(n)的長度應(yīng)為N=max[N1,N2],故DFT必須按長度N計算。需將短者補上N2-N1〔設(shè)N2>N1)個零值點后變成長度為N序列,然后都作N點的DFT。2、正交性3.5離散傅里葉變換〔DFT〕令矩陣向量離散傅氏變換的性質(zhì)(2/16)3.5離散傅里葉變換〔DFT〕那么矩陣為正交陣,且滿足矩陣的逆交陣為根據(jù)上面的定義,DFT正變換可表示為DFT反變換可表示為離散傅氏變換的性質(zhì)(3/16)3、移位性質(zhì)設(shè)有N點序列x(n),那么3.5離散傅里葉變換〔DFT〕離散傅氏變換的性質(zhì)(4/16)證明本性質(zhì)采用循環(huán)移位這一能表達DFT的隱含周期性的移位方式,才能得到本性質(zhì)所描述的結(jié)果。4、DFT的奇、偶、虛實對稱特性

3.5離散傅里葉變換〔DFT〕〔1〕x(n)為復序列證明：離散傅氏變換的性質(zhì)(5/16)3.5離散傅里葉變換〔DFT〕〔2〕x(n)為實序列證明：將DFT變換X(k)表示為離散傅氏變換的性質(zhì)(6/16)3.5離散傅里葉變換〔DFT〕離散傅氏變換的性質(zhì)(7/16)（3）若x(n)為實序列，且滿足（實偶對稱），則DFT變換X(K)為實序列。（4）x(n)為奇序列，即滿足則DFT變換X(K)為純虛序列。奇對稱(序列)和偶對稱(序列)稱x(n)與-x(-n)互為奇對稱；滿足x0(n)=-x0(-n)的序列x0(n)稱為奇對稱序列。稱x(n)與x(-n)互為偶對稱;滿足xe(n)=xe(-n)的序列xe(n)稱為偶對稱序列如以下圖所示0xe(n)n0x(n)n0y(n)=x(-n)nx(n)與y(n)互為偶對稱為偶對稱序列0x(n)n0x(-n)n互為奇對稱0xo(n)n為奇對稱序列3.5離散傅里葉變換〔DFT〕離散傅氏變換的性質(zhì)(8/16)x(n)與X(k)的奇,偶,虛,實關(guān)系,利用這些關(guān)系,可減少計算DFT時的運算量.。一次完成兩個實序列N點DFT的方法如下：3.5離散傅里葉變換〔DFT〕離散傅氏變換的性質(zhì)(9/16)5、Parsval〔帕塞瓦爾〕定理〔DFT形式的能量定理〕3.5離散傅里葉變換〔DFT〕DFT下的能量守恒定理，類似于FS，F(xiàn)T和DTFT，設(shè)有N點序列x(n)，有證明：離散傅氏變換的性質(zhì)(10/16)6、時域循環(huán)卷積

時域的循環(huán)卷積對應(yīng)于頻域的乘積，稱為時域循環(huán)卷積定理。時域的乘積對應(yīng)于頻域的循環(huán)卷積，稱為循環(huán)卷積逆定理。3.5離散傅里葉變換〔DFT〕離散傅氏變換的性質(zhì)(11/16)3.5離散傅里葉變換〔DFT〕

下面首先介紹循環(huán)卷積的概念設(shè)序列x(n)和h(n)均為長度為N的序列，其循環(huán)卷積定義為離散傅氏變換的性質(zhì)(12/16)循環(huán)卷積又稱圓卷積：其過程是周期化、反折、平移、相乘、相加。可簡寫為注：線性卷積：反折、平移、相乘、積分〔或相加〕。3.5離散傅里葉變換〔DFT〕圖循環(huán)卷積離散傅氏變換的性質(zhì)(13/16)3.5離散傅里葉變換〔DFT〕上述的計算過程可表示為如下的矩陣形式離散傅氏變換的性質(zhì)(14/16)線性卷積、循環(huán)卷積二者的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：a．具有不同的卷積特性①序列的線性卷積對應(yīng)于頻域的DTFT或z變換相乘；②有限長序列的循環(huán)卷積對應(yīng)于頻域的DFT相乘。b．對運算對象有不同要求①線性卷積的對象可以是有限長或無限長非周期序列。假設(shè)兩個序列分別是M和N長的有限長序列，那么卷積后的序列長度為L=M+N-1；②循環(huán)卷積的對象是兩個同長度(假設(shè)長度不同，可用補零的方法到達相同長度)的有限長序列，并且循環(huán)卷積的結(jié)果也是具有同一長度的有限長序列。3.5離散傅里葉變換〔DFT〕離散傅氏變換的性質(zhì)(15/16)線性卷積、循環(huán)卷積二者的區(qū)別與聯(lián)系二種卷積之間的聯(lián)系：

①循環(huán)卷積又稱圓周卷積，有限長序列的線性卷積與循環(huán)卷積關(guān)系是:

循環(huán)卷積就是周期卷積取主值序列。當循環(huán)卷積的長度L≥N+M一1時，可以用圓周卷積代替線性卷積而不產(chǎn)生失真。3.5離散傅里葉變換〔DFT〕離散傅氏變換的性質(zhì)(16/16)3.6用DFT計算線性卷積引言時域循環(huán)卷積,頻域是兩序列的DFT相乘；時頻兩域的轉(zhuǎn)換(即DFT及IDFT)有快速傅里葉變換(FFT)算法。所以利用循環(huán)卷積定理計算循環(huán)卷積比計算線性卷積的計算速度快得多。實際問題中x(n)通過線性時不變系統(tǒng)h(n)后的響應(yīng)y(n)是線性卷積運算。假設(shè)線性卷積的兩序列都是有限長序列,能否用它們的循環(huán)卷積代替線性卷積呢?3.6用DFT計算線性卷積一、用DFT計算線性卷積的方法和步驟設(shè)有限長序列x(n)0≤n≤M-1,h(n)0≤n≤L-1，y(n)為它們的線性卷積〔長度為M+L-1序列〕。方法：將兩序列擴充成長度為M+L-1序列，作循環(huán)卷積，結(jié)果即為線性卷積。步驟：3.6用DFT計算線性卷積例3.6用DFT計算線性卷積二、長卷積的計算信號x(n)通過數(shù)字系統(tǒng)h(n)后得到輸出y(n)，y(n)＝x(n)*h(n)。有時x(n)可能會很長，如果將x(n)存儲完畢再做卷積特產(chǎn)生兩個問題：一是要求計算機的存儲量過大;一是要等待x(n)輸入的時間過長，即不能實現(xiàn)信號的“實時處理”。解決這一問題的方法是采用塊卷積:將x(n)分成較小的段(如每段長為L)，得xi(n)\i＝l，2，…，N/L，N是信號的總長度。將式xi(n)與h(n)做卷積得到相應(yīng)的輸出yi(n)，然后把yi(n)按一定的規(guī)那么首尾相加，即可得到完整的輸出y(n)。由于數(shù)字系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)h(n)一般比較短，這樣做有可能實現(xiàn)信號的實時處理。把長序列分成短序列做卷積的方法有兩種，一是疊接相加法，二是疊接舍去法.3.6用DFT計算線性卷積1、疊接相加法

由于線性卷積的特點是將一個序列(如h(n))翻轉(zhuǎn)后，沿坐標抽左邊“移入x(n)，在右邊“移出x(n)，所以在x(n)的前后將有一“過渡過程”。其長度均為M一1。因此，將x(n)分段后，在每一段的前后都特產(chǎn)生這樣的“過渡過程”，使得每一段的yi(n)都不能完全和相對應(yīng)的y(n)相等。由表3．6．1可以看出:3.6用DFT計算線性卷積1、疊接相加法3.7與DFT有關(guān)的幾個問題問題一：頻率分辨率與DFT參數(shù)的選擇頻率分辨率定義為某一個算法(如譜分析方法，功率譜估計方法等)將原信號中兩個靠的很近的譜峰保持分