2024年中考數(shù)學4 二次根式 講義學案（解析版）

第04講二次根式

目錄

技巧四換元法

一、考情分析

技巧五拆項法

二、知識建構技巧六整體代入法

考點一二次根式的相關概念

題型01二次根式有意義的條件技巧七因式分解法

題型02判斷最簡二次根式技巧八配方法

題型03判斷同類二次根式技巧九輔元法

考點二二次根式的性質與化簡技巧十先判斷后化解

題型01利用二次根式的性質化簡..考點三二次根式的運算

題型02常見二次根式化簡的10種題型01二次根式的乘除運算

技巧題型02二次根式的加減運算

技巧一數(shù)形結合法題型03二次根式的混合運算

技巧二估值法題型04二次根式的化簡求值

技巧三公式法題型05二次根式的應用

考點要求新課標要求命題預測

中考中，對二次根式的考察主

二次根式的相關概

了解二次根式、最簡二次根式的概念

念要集中在對其取值范圍、化簡計算

等方面，其中取值范圍類考點多出

選擇題、填空題形式出現(xiàn)，而化

二次根式的性質與

掌握二次根式的性質，再根據(jù)二次根式的性質化簡

化簡簡計算則多以解答題形式考察.此

外，二次根式還常和銳角三角函

數(shù)、實數(shù)、其他幾何圖形等結合出

了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）力口、減、乘、除

二次根式的運算題，難度不大，但是也多屬于中考

運算法則，會用它們進行簡單的四則運算

必考題.

考點一二次根式的相關概念

.夯基-必備基礎知識梳理

二次根式的概念：一般地，我們把形如歷（a'O）的式子叫做二次根式，“廠”稱為二次根號，二次根號

下的數(shù)叫做被開方數(shù).

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最簡二次根式：開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最

簡二次根式.

同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是同類二次

根式.

1.二次根式定義中規(guī)定，任何非負數(shù)的算術平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結果，如：V4

-V9都是二次根式.

2.二次根式有意義的條件：當a叁0時，即被開方數(shù)大于或等于0,二次根式歷有意義.

3.在關于代數(shù)式有意義的問題中，要注意二次根式（被開方數(shù)大于或等于0）、分式（分母不等于0）等

有意義的綜合運用.

4.最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：

①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不應含有根號）；

②不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.

［補充］含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、1、（x+y）;乂，2*丫+/等.

5.幾個同類二次根式在沒有化簡前，被開方數(shù)可以完全互不相同，如：或、雙、電是同類二次根式.

.提升-必考題型幽

題型01二次根式有意義的條件

【例1】（2023?黑龍江綏化?中考真題）若式子區(qū)至有意義，則X的取值范圍是_____.

X

【變式1T】（（2023?江西?中考真題）若歷力有意義,貝布的值可以是（）

A.-1B.0C.2D.6

【變式1-2］（2023?內蒙古通遼?中考真題）二次根式6』在實數(shù)范圍內有意義，則實數(shù)尤的取值范圍在數(shù)

軸上表示為（）

-I------1----------j）［A-1-------1---------11?

A.-1012B.-1012

i?1——?—>?i<!）_i_?

C.-1012D.-1012

【變式1-3］（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）在函數(shù)丫=高+￡中，自變量尤的取值范圍是.

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方法技巧

解決二次根式有無意義的關鍵：

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須

是非負數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零.

題型02判斷最簡二次根式

【例2】（2023?上海青浦?二模）下列二次根式中，最簡二次根式的是（）

A.V02B.A/8C.V6D.

【變式2-1］（2022?河南南陽?二模）寫出一個實數(shù)尤，使77^是最簡二次根式，則尤可以是

題型03判斷同類二次根式

【例3】（2023?山東煙臺?中考真題）下列二次根式中，與魚是同類二次根式的是（）

A.V4B.V6C.V8D.V12

【變式3-1］（2021?江蘇泰州?中考真題）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）

A.我與皆B.或與gC.逐與后D.后與歷

【變式3-2】下列各式中，能與迎合并的是（）

A.V4B.V24C.V12D.冊

【變式3-3】若最簡根式，-2m+9與痂二不是同類二次根式,則爪=—,

方法技巧

判斷同類二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最簡二次根式，再根據(jù)被開方數(shù)是否相同來加

以判斷，要注意同類二次根式與根號外的因式無關.

考點二二次根式的性質與化簡

.夯基■必備基礎期以儂

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雙敢非負性①?開方數(shù)是1：負數(shù).即“NO：

②：次根式的做是等負故，即430.

性題

(DG/S)z—(aN0)

a(a>0)

其它性質②=同=<o(a=0)

-a[a<0)

即任。?個數(shù)的y方的腎術T方根等于它本身的絳對值

③v京(aN0bN0)

④]哎(aNQ.b>0)

二次根式的化簡方法：

1）利用二次根式的基本性質進行化簡；

2）利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡.痼亦聲（a>0,b>0）,

=坐（a>0,b>0）

7b

化簡二次根式的步驟：

1）把被開方數(shù)分解因式；

2）利用積的算術平方根的性質，把各因式（或因數(shù)）積的算術平方根化為每個因式（或因數(shù)）的算術平方

根的積；

3）化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.

1.根據(jù)二次根式的性質化簡時，前無化簡出來就不可能是一個負數(shù).

2.利用二次根式性質時，如果題目中對根號內的字母給出了取值范圍，那么應在這個范圍內對根式進

行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所

限定的取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內進行化簡.

3.化簡后的最后結果應為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式.

.提升-必考題型歸納

題型01利用二次根式的性質化簡

【例1】（2023?江蘇泰州?中考真題）計算正可等于（）

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A.±2B.2C.4D.V2

【變式IT】（2022.廣西桂林.中考真題）化簡g的結果是（）

A.2V3B.3C.2V2D.2

【變式1-2］（2023?湖北黃岡?中考真題）請寫出一個正整數(shù)相的值使得環(huán)是整數(shù)；m=.

【變式1-3］（2022?四川南充?中考真題）若衍三為整數(shù)，x為正整數(shù)，則尤的值是.

題型02常見二次根式化簡的10種技巧

技巧一數(shù)形結合法

方法簡介：利用數(shù)軸和數(shù)學表達式相結合，達到快速化簡的目標.

【例2】（2022?內蒙古?中考真題）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應位置如圖所示，則，灌+1+|a-1|的化簡結果是

（）

A.1B.2C.2aD.1-2a

【變式2-1】實數(shù)爪在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡：-2尸=.

【變式2-2](2022遂寧中考真題)實數(shù)a,6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|a+1|—J(b-1尸+

J(a-6)2-.

ab,

I，11.1I?II1

-4-3-2-101234

技巧二估值法

方法簡介：先運用二次根式的運算法則化簡，再將最后的化簡結果化成根式再確定取值范圍.

【例3】（2023?重慶?中考真題）估計應（聲+VT0）的值應在（）

A.7和8之間B.8和9之間

C.9和10之間D.10和11之間

【變式3-1］（2023?山東臨沂?中考真題）設m=54一回,則實數(shù)機所在的范圍是（）

A.in<-5B.—5<??1<—4C.-4<7?1<—3D.m〉—3

【變式3-2］若將三個數(shù)-8，V7,V1T表示在數(shù)軸上，其中一個數(shù)被墨跡覆蓋（如圖所示），則這個被覆

蓋的數(shù)是.

?2045

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技巧三公式法

方法簡介：根據(jù)題目已知條件，通過變形、湊元等方法，湊成可用乘法公式，快速求解.

［例4］（2022.天津紅橋三模）計算（2必+3）（2遍-3）的結果等于.

【變式4-1］（2023?河北保定??？家荒＃┮阎海?+舊）2=5+2m，則。=

____2

【變式4-2］計算：（於+1）（V3-1）-V16+（3V2-1）.

【變式4-3】計算：（5+遙）x（5/-2g）.

100V3

【變式4-4］(V2+V3-V5)(2+V6+V10)

技巧四換元法

方法簡介：根據(jù)已知條件，利用未知變量替換有規(guī)律表達式，尋找規(guī)律，快速求解.

n+2-Vn2-4

【例5】已知n=&+l,求n+2+嘿三+的值.

n+2-Vn2-4n+2+Vn2-4

技巧五拆項法

方法簡介：分子為多項式的和，分母為多項式的積，將分子拆出與分母相同或相似的項.

［例6］計算：手齡.％［提示:V6+4V3+3A/2=（A/6+V3）+3（V3+V2）］

技巧六整體代入法

方法簡介：由已知條件，通過加減乘除運算，得到與求解表達式相關的表達數(shù)值，整體代入.

【例7】已知％=y=蓋》則第2+y2—%y=.

【變式7-1］已知％=9，y=高，求2+上+5的值.

V5-2V5+2yx

【變式7-2］已知：％=—,y=7上一.求值：

V10+3/V10-3

（l）x+y

（2）x2y+xy2

【變式7-3］已知。=答，6=需，求公+三

V5—V3V5+V3a.b

技巧七因式分解法

方法簡介：與分式的化簡相同，代數(shù)式的化簡也要“變肥為瘦”.此題分母較為復雜，結合分子可將分母進

行因式分解，約去公因式從而達到“瘦身”的效果.

【例］計算:

82+76+7104-^15'

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技巧八配方法

【例9】若a,b為實數(shù)，且b=VI=茄+，^=+15,試求/F+2-1+一的值.

yabyab

【變式9-1］可以用配方法化簡二重根式，

例如：d4-2百=-1)2=V3—1,

請化簡式子：,5—2Vs+J7-4v5+展=.

技巧九輔元法

方法簡介：所謂輔元法，就是引入一個新的未知數(shù)把其他未知數(shù)表示出新的未知數(shù)的代數(shù)式，然后再代入

求值.

【例10］已知x：y：z=l：2:3(x>0,y>0,z>0),求及善哭天的值.

【變式10-1】《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊。、6、c

求面積的公式，其求法是：“以小斜幕并大斜幕減中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜塞乘大斜累減上，余

四約之，為實.一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即為S=目匠邛耳耳［.現(xiàn)

有周長為18的三角形的三邊滿足a:b:c=4:3:2,則用以上給出的公式求得這個三角形的面積為.

技巧十先判斷后化解

【例H】已知a+6=—6,ab=5,求6代+a/2的值.

\a7b

【變式11-1】先化簡再求值

(1)已知：y>V3x-2+V2-3x+2,求隹西+5-3x的值.

2-y

(2)已知a=熹，求當-等磬的值.

2+V3Q—3a”-2a

方法技巧

1.二次根式化簡的結果一定是被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)中的每一個因式或因數(shù)都開不盡.

2.如果被開方數(shù)是分式或分數(shù)(包括小數(shù))，先利用商的算術平方根的性質把它寫成分式或分數(shù)的形式，

然后利用分母有理化化簡.

3.如果被開方數(shù)是整式或整數(shù)，先將它分解因式或分解因數(shù)，然后把開方開得盡的因式或因數(shù)開方，從

而將式子化簡.

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考點三二次根式的運算

?夯基?必備基礎知識梳理

乘法法則：兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：VaF=Va*VF（a>0,b>G）.

除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：窄=Jj（a>0，b>0）.

加減法法則：先把各個二次根式化為最簡二次根式后，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并.

【口訣】一化、二找、三合并.

分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程.

【分母有理化方法】

1）分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分.即：：=4=叵

7aVCLa.

2）分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構成平方差的另一部分.

日n1_Va+VK_yfa+y/b

?Va-Vb（Va-Vib）（Va+Vib）a-b'

混合運算順序：先乘方、再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去掉括號）.

1.在使用=y/a9Vb（a>0,b>0）時一定要注意aNO,b>0的條件限制.

2.在使用半=（I（a》0,b>0）時一定要注意a20,b>0的條件限制.

3.合并被開方數(shù)相同的二次根式與合并同類項類似，將被開方數(shù)相同的二次根式的“系數(shù)”相加減，被

開方數(shù)和根指數(shù)不變.

4.二次根式加減混合運算的實質就是合并被開方數(shù)相同的二次根式，被開方數(shù)不同的二次根式不能合

并.

5二次根式進行加減運算時，根號外的系數(shù)因式必須為假分數(shù)形式.

6.在二次根式的混合運算中，乘方公式和實數(shù)的運算律仍然適用。而且運算結果應寫成最簡二次根式的

形式.

■提升.必道蟹歸納

題型01二次根式的乘除運算

【例1】（2023?湖南?中考真題）對于二次根式的乘法運算，一般地，有歷=.該運算法則成立的

條件是（）

A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a<0,b<0D.a>0,b>0

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【變式IT】（2023?青海西寧?中考真題）下列運算正確的是（）

A.V2+V3=V5B.J(—5)2=-5

C.(3-V2)2=11-6V2D.6+專義遮=3

【變式1-2](2023?河北?中考真題)若a=VLb=47,則晤=()

A.2B.4C.V7D.V2

【變式1-3］（2022.廣東廣州.廣東番禺中學?？既＃┯嬎悖嚎?而?住等于（）

\b7ab

A.--y/abB.—7abC.—y/cibD.b7ab

\a\b2abb

【變式1-4］（2023益陽市中考）計算：V20XV5=

方法技巧

二次根式乘除混合運算的方法與整式乘除混合運算的方法相同，整式乘除法的一些法則、公式在

二次根式乘除法中仍然適用.在運算時要明確運算符號和運算順序.若被開方數(shù)是帶分數(shù),則要先將其化

為假分數(shù).

題型02二次根式的加減運算

【例2】（2023?遼寧盤錦?中考真題）計算：V9-V4=.

【變式2-1］（2022.黑龍江哈爾濱?中考真題）計算百+34的結果是.

【變式2-2］（2023?廣西玉林?一模）下列運算正確的是（）

A.V2+V5=V7B.5V2+y=5+y

C.V5-V3=V2D.2V3-V3=V3

【變式2-3］（2023淄博市一模）己知實數(shù)相、"滿足瘋=5+忱一12|=0,則標+小=

【變式2-4］（2020.河北?中考真題）已知：V18-V2=aV2-V2=bV2,則ab=.

方法技巧

二次根式的加減與整式的加減相比，可將被開方數(shù)相同的二次根式看作整式加減中的同類項進行合

并.另外有理數(shù)的加法交換律、結合律，都適用于二次根式的運算.

題型03二次根式的混合運算

【例3】（2023?山東聊城?中考真題）計算:

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【變式3-1］（2022?湖北荊州?中考真題）若3的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為6,則代數(shù)式（2+&a）?b的

值是.

【變式3-2］（2023?湖北荊州?中考真題）已知上=企（述+值>（4-百），則與k最接近的整數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式3-3】（2023?甘肅武威?中考真題）計算：V27-x2V2-6^2.

題型04二次根式的化簡求值

【例4】（2023?湖南湘西?中考真題）先化簡，再求值：。+力）+品，其中a=&-L

【變式4-1］（2022.湖北襄陽,中考真題）先化簡,再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a）,其中a

=V3-V2,/?=V3+V2.

【變式4-2］（2021.北京.一模）已知m+2n=有，求代數(shù)式（溪+2）+總正的值.

【變式4-3］（2021?江蘇蘇州?蘇州市景范中學校?？级＃┫然啠偾笾担焊嗜?三，其中

xz-2x+lxz-lx-1

x—y/3+1.

【變式4-4］（2022淄博市一模）已知：〃7=夜+1,?=V2-1,則，Hi?+濘+3nm=（）

A.±3B.-3C.3D.V5

題型05二次根式的應用

［例5］（2023?黑龍江綏化?模擬預測）古希臘幾何學家海倫和我國宋代數(shù)學家秦九韶都曾提出利用三角形的

三邊求面積的公式，稱為海倫-秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是a,b,c,記「=竺歲，那么

三角形的面積為S=Jp（p-a）（p—b）（p—c）,乙4,Z-B,b,c,若a=5,b=6,C=7,貝的面積

為.

【變式5-1］（2022?江蘇無錫?校聯(lián)考一模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：V3,噂，孚，亨，……其中第5個

234

數(shù)為,第〃個數(shù)為（〃為正整數(shù)）.

【變式5-2］（2022.湖北武漢.校考模擬預測）觀察下列各式：①J1+1=21，②^2+1=3缶，③^3+|=

4請寫出第6個式子：,用含〃（n>l）的式子寫出你猜想的規(guī)律：.

【變式5-3］（2023?河南洛陽?二模）閱讀材料：我們學習了《二次根式》和《乘法公式》，可以發(fā)現(xiàn)：當a>0,

b>0時，有（依+=a-+620，a+6N當且僅當a=6時取等號.

請利用上述結論解決以下問題：

（1）當久>0時，x+工的最小值為；當x<0時，x+工的最大值為；

XX

11/44

(2)當x＞。時，求y=/+?+16的最小值;

(3)如圖，四邊形4BCD的對角線AC、BD相交于點。，4A0B、△COD的面積分別為9和16,求四邊形ABCD

的最小面積.

【變式5-4](2023?江蘇?二模)問題:已知實數(shù)a、6、c滿足a豐6,且2023(a-b)+72023(/?-c)+(c-a)=0,

求證：3)(c；a)-V2023=2023.

(a-》/

小明在思考時，感覺無從下手，就去請教學霸小剛，小剛審題后思考了片刻，對小明說：我們可以構造一個

一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系及整體代入即可解答，并寫下了部分解題過程供小明參

考：

令歷數(shù)=x,則2023=/,原等式可變形為關于x的一元二次方程：

(a—b)x2+(b—c)x+(c—a)—0(a*b).

可以發(fā)現(xiàn)：(a-b)X]2+(匕—c)X1+(c-a)=0.

從而可知構造的方程兩個根分別是i和^.

利用根與系數(shù)的關系得：1+72023=；1x72023=；...

請你根據(jù)小剛的思路完整地解答本題.

【變式5-5](2023?山東濟寧?二模)探究問題：探究等與倆的大小關系.

(1)觀察猜想：手與我的大小關系是手4ab.

(2)計算驗證：當a=8,6=8時，+與的大小關系是雷Vab；當a=2,6=6時，+與的大

小關系是等_____AO.

(3)推理證明：如圖，以4B為直徑作半圓。，點C半圓上一動點，過C作CD14B于點。，設4。=a,BD=b.先

用含a,6的式子表示出線段。C,CD,再寫出他們(含a,6的式子)之間存在的大小關系.

(4)實踐應用：要制作一個面積為1平方米的矩形，請直接利用探究得出的結論，求矩形周長的最小值.

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第04講二次根式

目錄

技巧五拆項法

一、考情分析

技巧六整體代入法

二、知識建構技巧七因式分解法

考點一二次根式的相關概念

題型01二次根式有意義的條件技巧八配方法

題型02判斷最簡二次根式技巧九輔元法

題型03判斷同類二次根式技巧十先判斷后化解

考點二二次根式的性質與化簡考點三二次根式的運算

題型01利用二次根式的性質化簡題型01二次根式的乘除運算

題型02常見二次根式化簡的10種題型02二次根式的加減運算

技巧題型03二次根式的混合運算

技巧一數(shù)形結合法題型04二次根式的化簡求值

技巧二估值法題型05二次根式的應用

技巧三公式法

技巧四換元法

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考點要求新課標要求命題預測

中考中，對二次根式的考察主

二次根式的相關概

>了解二次根式、最簡二次根式的概念

念要集中在對其取值范圍、化簡計算

等方面，其中取值范圍類考點多出

選擇題、填空題形式出現(xiàn)，而化

二次根式的性質與>掌握二次根式的性質，再根據(jù)二次根式的

化簡性質化簡簡計算則多以解答題形式考察.此

外，二次根式還常和銳角三角函

數(shù)、實數(shù)、其他幾何圖形等結合出

>了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）力口、減、

二次根式的運算乘、除運算法則，會用它們進行簡單的四題，難度不大，但是也多屬于中考

則運算必考題.

/二次根式的概念：一般地，我們把形如Va（20）的式子叫做二次根

\式，7"稱為二次根號，二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù).

Y二次根式的相關概念\,最簡二次根式：開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的題型01二次根式有意義的條件

題型02判斷最簡二次根式

因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式.

題型03判斷同類二次根式

」,同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相一

飛同，則這幾個二次根式就是同類二次根式.,

二次根式）

考點一二次根式的相關概念

.夯基.必備基礎龍識儂

二次根式的概念：一般地，我們把形如迎（a20）的式子叫做二次根式，“廠”稱為二次根號，二次根號

下的數(shù)叫做被開方數(shù).

最簡二次根式：開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最

簡二次根式.

同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是同類二次

根式.

1.二次根式定義中規(guī)定，任何非負數(shù)的算術平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結果，如：V4

-V9都是二次根式.

2.二次根式有意義的條件：當aMO時，即被開方數(shù)大于或等于0,二次根式莉有意義.

3.在關于代數(shù)式有意義的問題中，要注意二次根式（被開方數(shù)大于或等于0）、分式（分母不等于0）等

有意義的綜合運用.

4.最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：

①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不應含有根號）；

②不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為L

［補充］含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、1、（x+y）=乂、2*丫+/等.

5.幾個同類二次根式在沒有化簡前，被開方數(shù)可以完全互不相同，如：夜、限電是同類二次根式.

.提升-必考題型幽

題型01二次根式有意義的條件

【例1】（2023?黑龍江綏化?中考真題）若式子區(qū)至有意義，則X的取值范圍是_____.

X

【答案】x>—5且％H0/x。。且無>—5

【提示】根據(jù)分母不為零，二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，列出不等式計算即可.

【詳解】?.?式子殂有意義，

X

.*.%+5>0且x豐0,

'.x>—5且x豐0,

故答案為：xN—5且

【點睛】本題考查了分母不為零，二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，熟練掌握二次根式和分式有意義的條件

是解題的關鍵.

【變式1T】（（2023?江西?中考真題）若雨』有意義,貝必的值可以是（）

A.-1B.0C.2D.6

【答案】D

【提示】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求解.

【詳解】解：：擊彳有意義，

a—420,

解得：a24,則a的值可以是6

故選：D.

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵.

【變式1-2］（2023?內蒙古通遼?中考真題）二次根式，1在實數(shù)范圍內有意義，則實數(shù)尤的取值范圍在數(shù)

軸上表示為（）

---------1--------i--------1------>-J--------1-------6-------1----->

C.-1012D.-1012

【答案】C

【提示】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列不等式計算即可得到無的取值范圍，然后在數(shù)軸上表示即可得解.

【詳解】解：根據(jù)題意得，1一X20,

解得x<1,

在數(shù)軸上表示如下：

III-------1-?

-1012

故選：C.

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，不等式的解法，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，理解二次

根式有意義的條件是解題關鍵.

【變式1-3］（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）在函數(shù)、=盤+￡中，自變量x的取值范圍是.

【答案】x>1且x*2

【提示】根據(jù)分式有意義的條件，二次根式有意義的條件得出x-l>0,x-2不0,即可求解.

【詳解】解：依題意，X-1>0,X-2K。

.'.x>1且xH2,

故答案為：%>1且x*2.

【點睛】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍，熟練掌握分式有意義的條件，二次根式有意義的條件是解

題的關鍵.

方法技巧

解決二次根式有無意義的關鍵：

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須

是非負數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零.

題型02判斷最簡二次根式

【例2】（2023?上海青浦?二模）下列二次根式中，最簡二次根式的是（）

A.V0^B.V8C.V6D.

【答案】C

【提示】對各選項逐一進行化簡，判斷是否為最簡二次根式即可得出答案.

【詳解】A、＜2=^,不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

B、m=2近,不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

C、乃是最簡二次根式，故此選項符合題意；

D、”=吟,不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

722

故選C.

【點睛】本題主要考查最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵.

【變式2-1］（2022?河南南陽?二模）寫出一個實數(shù)X,使是最簡二次根式，則無可以是.

【答案】5（答案不唯一）

【提示】本題主要考查了最簡二次根式的定義.

【詳解】解：x=5時，V%—3=V5—3=V2,&是最簡二次根式，

的值可以是5.

故答案為：5.（答案不唯一）

【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，解題的關鍵是熟練掌握最簡二次根式的條件，最簡二次根

式的條件是（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

題型03判斷同類二次根式

【例3】（2023?山東煙臺?中考真題）下列二次根式中，與近是同類二次根式的是（）

A.V4B.V6C.V8D.V12

【答案】C

【提示】根據(jù)同類二次根式的定義，逐個進行判斷即可.

【詳解】解：A、〃=2,與企不是同類二次根式，不符合題意；

B、傷與魚不是同類二次根式，不符合題意；

C、V8=2V2,與魚是同類二次根式，符合題意；

D、V12=2V3,與企不是同類二次根式，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了同類二次根式，解題的關鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根式化為最簡二

次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式是同類二次根式；最簡二次根式的特征：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）

被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

【變式3-1］（2021?江蘇泰州?中考真題）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）

A.遮與百B.魚與VHC.有與底D.聞與何

【答案】D

【提示】把每個選項中的不是最簡二次根式化為最簡二次根式即可作出判斷.

【詳解】A、皿=2V2,2a與舊不是同類二次根式，故此選項錯誤；

B、V12=2V3,企與2舊不是同類二次根式，故此選項錯誤；

C、遍與6不是同類二次根式，故此選項錯誤；

D、V75=5V3,V27=3V3,5遮與3百是同類二次根式，故此選項正確.

故選：D.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡，同類二次根式的識別等知識，注意二次根式必須化成最簡二次根式.

【變式3-2】下列各式中，能與&合并的是（）

A.V4B.V24C.V12D.V8

【答案】D

【提示】先化成最簡二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可.

【詳解】A.四化簡后不能與混合并，不合題意；

B.g=2迎化簡后不能與夜合并，不合題意；

C.g=2舊化簡后不能與迎合并，不合題意；

D.我=2企化簡后能與應合并，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了二次根式的性質和同類二次根式，能熟記同類二次根式的性質是解題的關鍵.

【變式3-3］若最簡根式V-2nl+9與45nl-5是同類二次根式,則機=.

【答案】2

【提示】根據(jù)同類根式及最簡二次根式的定義列方程求解.

【詳解】解：:最簡二次根式V-2m+9與廝=是同類二次根式,

—2m+9=5m—5,

解得血=2,

故答案為：2.

【點睛】此題考查的是同類二次根式與最簡二次根式，掌握其概念是解決此題關鍵.

方法技巧

判斷同類二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最簡二次根式，再根據(jù)被開方數(shù)是否相同來加

以判斷，要注意同類二次根式與根號外的因式無關.

考點二二次根式的性質與化簡

■■夯基.必備基購識磔

雙篁非負性①被開方散足■負數(shù).Wa^O,

②二次根式的是*負數(shù).即依？0.

CO(V>)a=?(QN0)

a(a>0)

其它性項=同=<0(a=0)

—a(a<0)

卸任老個題的平力的算術平力根哼于它本身的絕對值

③V56一■?、b(a>0.b>0)

④色W(a^o.b>0)

二次根式的化簡方法：

1）利用二次根式的基本性質進行化簡；

2）利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡.痼=此冊（a>Q,b>0）,

=坐（a>0,b>0）

7b

化簡二次根式的步驟：

1）把被開方數(shù)分解因式；

2）利用積的算術平方根的性質，把各因式（或因數(shù)）積的算術平方根化為每個因式（或因數(shù)）的算術平方

根的積；

3）化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.

1.根據(jù)二次根式的性質化簡時，傷前無，歷化簡出來就不可能是一個負數(shù).

2.利用二次根式性質時，如果題目中對根號內的字母給出了取值范圍，那么應在這個范圍內對根式進

行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所

限定的取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內進行化簡.

3.化簡后的最后結果應為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式.

提升-必考題型歸納

題型01利用二次根式的性質化簡

［例1］（2023?江蘇泰州?中考真題）計算正可等于（）

A.±2B.2C.4D.V2

【答案】B

【提示】直接利用二次根式的性質化簡得出答案.

【詳解】解：口丁="=2.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確化簡二次根式是解題關鍵.

【變式1T】（2022.廣西桂林.中考真題）化簡g的結果是（）

A.2V3B.3C.2V2D.2

【答案】A

【提示】將被開方數(shù)12寫成平方數(shù)4與3的乘積，再將4開出來為2,易知化簡結果為2次.

【詳解】解：g=V43T3=V22X3=2V3,

故選：A.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡，關鍵在于被開方數(shù)要寫成平方數(shù)乘積的形式再進行化簡.

【變式1-2］（2023?湖北黃岡?中考真題）請寫出一個正整數(shù)機的值使得盡是整數(shù)；m=.

【答案】8

【提示】要使河是整數(shù)，貝U8巾要是完全平方數(shù)，據(jù)此求解即可

【詳解】解：：廝是整數(shù)，

8m要是完全平方數(shù)，

.?.正整數(shù)機的值可以為8,即8nl=64,即兩^=網(wǎng)=8,

故答案為：8（答案不唯一）.

【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡，正確理解題意得到8nl要是完全平方數(shù)是解題的關鍵.

【變式（2022?四川南充?中考真題）若年N為整數(shù)，x為正整數(shù)，則尤的值是.

【答案】4或7或8

【提示】根據(jù)根號下的數(shù)大于等于。和x為正整數(shù)，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8,再根據(jù)回V為整

數(shù)即可得”的值.

【詳解】解：：8-x20

<8

???%為正整數(shù)

可以為1、2、3、4、5、6、7、8

?.?歷與為整數(shù)

為4或7或8

故答案為：4或7或8.

【點睛】本題考查了利用二次根式的性質化簡、解一元一次不等式等知識點，掌握二次根式的性質是解答

本題的關鍵.

題型02常見二次根式化簡的10種技巧

技巧一數(shù)形結合法

方法簡介：利用數(shù)軸和數(shù)學表達式相結合，達到快速化簡的目標.

【例2】(2022?內蒙古.中考真題)實數(shù)a在數(shù)軸上的對應位置如圖所示，則后+1+|a-1|的化簡結果是

()

a

-1012

A.1B.2C.2aD.1-2a

【答案】B

【提示】根據(jù)數(shù)軸得：得到。>0,利用二次根式和絕對值的性質化簡求解即可.

【詳解】解:???根據(jù)數(shù)軸得:0<?<1,

a>0,a-l<0,

原式=|a|+l+l-a

=4+1+1-a

=2.

故選：B.

【點睛】本題考查二次根式的性質與化簡，實數(shù)與數(shù)軸，掌握癥=㈤是解題的關鍵.

【變式2-1]實數(shù)m在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡：J(zn-2尸=.

_I____|____?%??

-1012

【答案】2-m/-m+2

【提示】利用二次根式的性質和絕對值的性質，即可求解.

【詳解】由數(shù)軸位置可知1<巾<2,

y/(m-2)2=|m-2|=