2023屆高考數學試題一輪總復習題型練習第13講　函數的圖象講義

第13講函數的圖象

考點1：作函數的圖象

考點2:函數圖像的識S!)

函數的圖象研更函數的性質

考點3:函數圖象的應用[解不等式

\求參數的取值范圍

----------------------W

走進教材?自主回顧

1.利用描點法作函數圖象

其基本步驟是：列表、描點、連線.

首先：①確定函數的定義域：②化簡函數解析式；③討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱

性等).

其次：列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線.

2.利用圖象變換法作函數的圖象

(1)平移變換

上k(k>O)

移個單位

(y=∕α+A)為翟位(Ta))A"位

(八>0)下k(k>O)(Λ>0)

移個單位

[r=∕ω-?)

(2)對稱變換

G"、關于X軸對稱

①y=∕(x)------?y=-∕U)?

自°、關于)，軸對稱°、

②y=√(x)------?y=fi-x).

ZS"、關于原點對稱?、

③3y=∕W------>y=-fi-x).

@y=a'\a>0且a≠?^^~~稱.y=logax(x>0).

(3)翻折變換

保留無軸及上方圖象

①)'=於)將X軸卜萬圖萬翻折上去>=IAX)I；

保留y軸及右邊圖象，并作其

②y=?Aχ)關于》軸對稱的圖象y=Am)?

(4)伸縮變換

”>l，橫坐標縮短為原來的!倍，縱坐標不變

①y=∕(χ)---------------------------------------j------------------------y=31.

O<α<l`橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變

a>?`縱坐標伸長為原來的。倍，橫坐標不變

②)'=危，縱坐標縮短為原來的4倍，橫坐標不變「丫=如.

?常用結論

1.函數圖象平移變換的八字方針

(1)“左加右減”，要注意加減指的是自變量.

(2)“上加下減”，要注意加減指的是函數值.

2.函數圖象自身的軸對稱

(1)/(一X)=/(x)?函數y=∕(x)的圖象關于)，軸對稱.

(2)函數y=7(x)的圖象關于x=a對稱冰a+x)=/(a—x)O(x)=y(2a—x)”(—x)=H24+x).

(3)若函數y=∕(x)的定義域為R,且有/(α+X)=火人-x),則函數y=∕(x)的圖象關于直線x="”對稱.

3.函數圖象自身的中心對稱

(1成一幻=—/0)?函數y=∕(x)的圖象關于原點對稱.

(2)函數y=∕(x)的圖象關于(小0)對稱狄“+x)=一火"一x)"U)=x))—x)=-/(2α+x).

(3)函數y=7(x)的圖象關于點(α,打成中心對稱”(α+X)=2〃一/(。-x)Mx)=2h-/(2a—x).

4.兩個函數圖象之間的對稱關系

h—a

(1)函數y="z+x)與y=/S—x)的圖象關于直線X=f對稱(由a+x=b-x得對稱軸方程)；

(2)函數y="r)與)，=次2〃-x)的圖象關于直線元=〃對稱；

(3)函數y=∕(x)與y=2b-*-χ)的圖象關于點(0,8)對稱.

I-----------------------@------------------------1

考點探究?題型突破

A考點1作函數的圖象

［名師點睛］

函數圖象的畫法

當函數解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基

直接法本函數時，就可根據這些函數的特征找出圖象的

關健點直接作出圖象

含有絕對值符號的函數，可脫掉絕對值符號，轉

轉化法

化為分段函數來畫圖象

若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、

翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注

圖象

變換法意變換順序，對不能直接找到熬悉的基本函數的

要先變形，并應注意平移變換的順序對變換單位

及解析式的影響

02/34

［典例］(2022?全國?高三專題練習)分別畫出下列函數的圖象：

⑴y=IIgR;⑵y=2x+2;

X+2

(3)y=x2-2∣x∣-l;???????(4)y=——.

X-I

［舉一反三］

1.(2022?全國?高三專題練習)作出下列函數的大致圖像，并寫出函數的單調區(qū)間和值域：

jc—I?1

⑴?=-7；(2)y=x-4∣x∣;(3)y=(x-i)5+2；

Y?

(4)y=--；(5)y=∣x(l-x)∣;(6)J=

x+22-∣x∣

2.(2022?北京?高三專題練習)已知函數/(》)=1。8。武。＞0)且。聲1),作出y=l∕(x)l的大致圖像并寫出它

的單調性；

＞考點2函數圖象的識別

［名師點睛］

(1)抓住函數的性質，定性分析

①從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象上下位置；

②從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；

③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復；

④從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

(2)抓住函數的特征，定量計算

利用函數的特征點、特殊值的計算，分析解決問題.

［典例］

1.(2021?天津?高考真題)函數y=學鳥的圖像大致為(???????)

年+2

2.(2022?浙江臺州?二模)函數/(x)的圖象如圖所示，則其解析式可能是(???????)

4

X——

c?"(7?D.?(?)3

X(X-I)

3.(2022?浙江?慈溪中學模擬預測)已知函數/(X)=2*,g(x)=sinx,則圖像為下列圖示的函數可能是

(9999999)

g(χ)

A.y="(χ)+f(-χ)]?g(χ)B.y=

/(x)+∕(-x)

g(x)

C.y=[f(χ)-/(-X)]?g(χ)D.y=

/(X)-/(-X)

04/34

［舉一反三］

1.(2022?江蘇鹽城?三模)函數/(x)=4'--4f的大致圖象是(???????)

2.(2022?浙江金華?三模)若函數/(x)=α'+αcosx(o>0),則下列圖象不可能是(??????????)

4.（2022?山東荷澤?二模）函數F（X）=駕盧+xcosx在［-2萬,2句上的圖象大致為（？?????？）

el-1

5.（2022?浙江紹興?模擬預測）函數/（x）=>+'”）-’的圖象如圖所示，則（???????）

a-a~

C.ιn>0,0<a<]D,fn>0,a>1

6.（2022?遼寧遼陽?二模）函數"x）=xlg（∕+l）+2x的部分圖象大致為（??????？）

06/34

7.(2022?江蘇南京?三模)函數/(X)=

y

9.(2022?福建寧德?模擬預測)函數y=∕(x)的圖象如圖所示，則/(x)的解析式可能是(???????)

B./(x)=Iog2(x+2)

C./(x)=√x+2D."x)=I-(X-2)2

?考點3函數圖象的應用

［名師點睛］

對于已知解析式或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數，其性質常借助圖象研究：

(1)從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；

(2)從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；

(3)從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性.

利用函數的圖象研究不等式的思路

當不等式問題不能用代數法求解但其與函數有關時，常將不等式問題轉化為兩函數圖象的上下關系問

題或函數圖象與坐標軸的位置關系問題，從而利用數形結合法求解.

［典例］

1.(2022?浙江杭州?高三期末)設函數f(x)=(X-α)∣x-4∣+6(α,AeR),則(???????)

A.對任意α,bwR,函數y=∕(x)是奇函數

B.存在α∕eR,使函數y=∕(x)是偶函數

C.對任意a,beR,函數y=∕(x)的圖象是中心對稱圖形

08/34

D.存在a,beR,使函數y=∕(x)的圖象是軸對稱圖形

2.(2022?北京?模擬預測)已知函數/(x)=10g2(x+l)-陣則不等式"x)>0的解集是(???????)

A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)D.0

3.(2022?天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學模擬預測)已知函數AX)=［2f-4∣x∣+4,x>l,若不等式

e+x,x≤l

：/(2_以-5|<0的解集為0,則實數加的取值范圍為(???????)

A1,5-21n3B，,5-31n3

1_4」1_3_

C.；,6-21n3D.∣,6-3ln3

［舉一反三］

1.(2022?全國?高三專題練習)已知函數/(X)=X"+孩(〃為正整數)，有下列四種說法：

①函數/*)始終為奇函數；

②當〃為偶數時，函數/O)的最小值為8；

③當〃為奇數時，函數Ax)的極大值為-8；

④當”=1時，函數y=∕(χ)的圖像關于直線y=2χ對稱.

其中所有正確說法的序號是(???????)

A.①②B.②③C.②④D.③④

2.(2022?全國?高三專題練習)已知定義在R上的偶函數/(χ),在(-8,0］上為減函數，且/(3)=0,則不等

式(x+3)∕(x)<0的解集是(???????)

A.(-∞,-3)53,+8)B.(-∞,-3)U(0,3)

C.(-3,0)50,3)D.(-∞,-3)∣J(-3,3)

3.(2022?北京豐臺?一模)已知函數/(x)=［無最小值，則”的取值范圍是(???????)

［X-3x,x≥a

A.(-∞,-l］B.(-∞,-l)C.［l,+∞)D.(l,+∞)

4.(2022?全國?高三專題練習)當x∈［0,1］時，下列關于函數y=(如-I)。的圖象與y=47m的圖象交點

個數說法正確的是()

A.當mw［0,l］時，有兩個交點B.當me(l,2］時，沒有交點

C.當me(2,3］時，有且只有一個交點D.當m∈(3,+e)時，有兩個交點

16x2-24x÷9,x≤?

5.(多選)(2022?重慶八中高三階段練習)已知函數，(幻=1“、則下列結論正確的有

5〃XT),χ>ι

(9999999)

A./(π)=91^,?〃∈N*

B.?x∈(O,+∞),∕U)<-恒成立

X

C.關于X的方程/(x)=m(m∈R)有三個不同的實根，R∣J?<w<1

D.關于X的方程/(x)=9j(∕2∈N*)的所有根之和為〃2+g

'3ΛX<0

6.(多選)(2022?全國?高三專題練習)已知函數〃X)=1B32C八，則下列結論正確的是

—XH—X—2x+l,x>0

32

A./(X)值域為(fθ,l]

B./(x)在(Tl)上遞增

C./(log,2)>/(Iog42)

D.當7，,；)時，函數g(x)=[∕(x)]-(l+∕)∕(x)+f恰有5個不同的零點

6?(2022?全國?高三專題練習)方程引+小1=7表示的曲線即為函數y=∕(χ)的圖象,對于函數y=∕(χ),

169

有如下結論：

①/(x)在R上單調遞減;

②函數尸(X)=4f(x)+3x不存在零點；

③函數y="χ)的值域是R;

④/(x)的圖象不經過第一象限.

其中正確的命題是.(填寫命題序號)

7.(2022?全國?高三專題練習)若/(χ)是奇函數，且在(YO,0)上是減函數，又/(-4)=0,則

"x+2)-∕(τ-2)>0的解集是

X

8.(2022?全國?高三專題練習)己知函數y=∕(x+l)是定義在R上的偶函數，且"x)在上單調遞減,

/(2)=0,則"χ)∕(χ+l)<0的解集為

10/34

第13講函數的圖象

考點1：作函數的圖象

考點2:函數圖像的識S!)

函數的圖象研更函數的性質

考點3:函數圖象的應用[解不等式

\求參數的取值范圍

----------------------W

走進教材?自主回顧

1.利用描點法作函數圖象

其基本步驟是：列表、描點、連線.

首先：①確定函數的定義域：②化簡函數解析式；③討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱

性等).

其次：列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線.

2.利用圖象變換法作函數的圖象

(1)平移變換

上k(k>O)

移個單位

(y=∕α+A)為翟位(Ta))A"位

(八>0)下k(k>O)(Λ>0)

移個單位

[r=∕ω-?)

(2)對稱變換

G"、關于X軸對稱

①y=∕(x)------?y=-∕U)?

自°、關于)，軸對稱°、

②y=√(x)------?y=fi-x).

ZS"、關于原點對稱?、

③3y=∕W------>y=-fi-x).

@y=a'\a>0且a≠?^^~~稱.y=logax(x>0).

(3)翻折變換

保留無軸及上方圖象

①)'=於)將X軸卜萬圖萬翻折上去>=IAX)I；

保留y軸及右邊圖象，并作其

②y=?Aχ)關于》軸對稱的圖象y=Am)?

(4)伸縮變換

”>l，橫坐標縮短為原來的!倍，縱坐標不變

①y=∕(χ)---------------------------------------j------------------------y=31.

O<α<l`橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變

a>?`縱坐標伸長為原來的。倍，橫坐標不變

②)'=危，縱坐標縮短為原來的4倍，橫坐標不變「丫=如.

6常用結論

1.函數圖象平移變換的八字方針

(1)“左加右減”，要注意加減指的是自變量.

(2)“上加下減”，要注意加減指的是函數值.

2.函數圖象自身的軸對稱

(1)/(一X)=/(x)?函數y=∕(x)的圖象關于)，軸對稱.

(2)函數y=7(x)的圖象關于x=a對稱冰a+x)=/(a—x)O(x)=y(2a—x)”(—x)=H24+x).

(3)若函數y=∕(x)的定義域為R,且有/(α+X)=火人-x),則函數y=∕(x)的圖象關于直線x="”對稱.

3.函數圖象自身的中心對稱

(1成一幻=—/0)?函數y=∕(x)的圖象關于原點對稱.

(2)函數y=∕(x)的圖象關于(小0)對稱狄“+x)=一火"一x)"U)=x))—x)=-/(2α+x).

(3)函數y=7(x)的圖象關于點(α,打成中心對稱”(α+X)=2〃一/(。-x)Mx)=2h-/(2a—x).

4.兩個函數圖象之間的對稱關系

h—a

(1)函數y="z+x)與y=/S—x)的圖象關于直線X=f對稱(由a+x=b-x得對稱軸方程)；

(2)函數y="r)與)，=次2〃-x)的圖象關于直線元=〃對稱；

(3)函數y=∕(x)與y=2b-*-χ)的圖象關于點(0,8)對稱.

I-----------------------@------------------------1

考點探究?題型突破

A考點1作函數的圖象

［名師點睛］

函數圖象的畫法

當函數解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基

直接法本函數時，就可根據這些函數的特征找出圖象的

關健點直接作出圖象

含有絕對值符號的函數，可脫掉絕對值符號，轉

轉化法

化為分段函數來畫圖象

若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、

翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注

圖象

變換法意變換順序，對不能直接找到熬悉的基本函數的

要先變形，并應注意平移變換的順序對變換單位

及解析式的影響

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［典例］(2022?全國?高三專題練習)分別畫出下列函數的圖象:

(l)y=∣lgx∣;(2)y=2x+2；

X+2

(3)y=x2-2∣x∣-l;???????(4)y=——.

x-1

{lɑ??≥?

【解】(1)y=∣lgR=,；一，的圖象如圖①.

1'I-Igx,0<x<I

(2)將y=2*的圖象向左平移2個單位即得y=2z的圖象.

圖象如圖②.

(4)因為y==r÷2=l+二3，

X-IX-I

a

所以先作出y=±的圖象，

X

將其圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位,

Y??

即得y=弋的圖象，如圖④.

X-I

［舉一反三］

1.(2022?全國?高三專題練習)作出下列函數的大致圖像，并寫出函數的單調區(qū)間和值域:

X一?J

=；

(1)y~~2⑵y=∕-4∣x∣;(3)y=(x-i)3+2;

??

(4)y=--；(5)γ=∣χ(l-χ)∣;(6)y=-

x+22-∣xI

【解】(1)y=±N=l+—二，圖象如圖所示：

x-2x-2

函數在（-∞,2）和（2,+8）為減函數.

因為工40,所以1+工"，故值域為：（-∞,l）5L+∞）;

x-2x-2

X2+4x=(x+2)2-4,X<0

(2)y=f-4∣M=<圖象如圖所示:

X2-4x=(x-2)2-4,x>0

函數在（-∞,-2］和［0,2］為減函數，在［-2,0］和⑵?H>o）為增函數,

當x=±2時，》取得最小值-4,故值域：T,+∞）;

（3）函數y=（χ-∕+2的圖象如圖所示:

函數在R上為增函數，值域：R.

XX+2-2—2

（4）y=--=———=1+—-,圖象如圖所示:

x+2x+2x+2

14/34

4

函數在(-8,-2)和［O,+∞)為增函數，在(-2,0］為減函數,

值域為：［0,+∞).

(5)y=?x(l-x)?=?x(x-l)?,圖象如圖所示：

函數在(rθ,0］和?,?為減函數，在J。，；］和［l,+∞)為增函數.

值域為：?+8);

函數在(-8,-2)和(-2,0］為減函數，在［0,2)和(2,+∞)為增函數,

值域為：(-8,0)U∣,+∞j.

2.(2022?北京?高三專題練習)已知函數/(x)=Iog(IX3>0)且α≠D,作出y=I/(x)I的大致圖像并寫出它

的單調性；

【解】當時,函數f(x)=log,,X的圖象，如圖所示:

由圖象知：y=lf(χ)I在(0,1)上遞減，在(l,*o)上遞增;

當0<a<l時,函數/(X)=Iog"*的圖象，如圖所示：

則y="WI的圖象，如圖所示:

16/34

由圖象知：y=1∕(χ)I在(0,1)上遞減，在(LE)上遞增;

A考點2函數圖象的識別

［名師點睛］

(1)抓住函數的性質，定性分析

①從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象上下位置;

②從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；

③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復；

④從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

(2)抓住函數的特征，定量計算

利用函數的特征點、特殊值的計算，分析解決問題.

［典例］

的圖像大致為(???????)

【答案】B

【解析】

設y=∕(χ)=黑，則函數/(χ)的定義域為3?0},關于原點對稱,

又"τ)=(筆所以函數，(力為偶函數，排除AC;

當x∈(0,l)時，InIMO,d+2)θ,所以/(x)<0,排除D.

故選：B.

2.(2022?浙江臺州?二模)函數/(x)的圖象如圖所示，則其解析式可能是(???????)

4

X——X—

a?/(X)=3B.?(?)=3

(el-l)(x-l)e*(l)

4

X

c.〃X)=X——

(J)(X-I)D.”加而?

【答案】A

【解析】由圖象得，函數的定義域為{χ∣χxθ且xxl},故排除B,

/(x)=0有一解X=XO>1,當χ<0或1<X<Λ0時，f(x)<0,當O<x<l時或x>/時,f(x)>0,故排除C,

當X無限接近負無窮大時，/(X)無限接近-1,故排除D,

故選:A

3.(2022?浙江?慈溪中學模擬預測)己知函數/(x)=2',g(x)=sinx,則圖像為下列圖示的函數可能是

(9999779)

18/34

g(x)

A.y=[f(x)+/(-χ)]-g(χ)B.y=

f(x)+f(-x)

g(x)

C.y="(χ)-f(-χ)]?g(χ)D.y=

/(x)-/(-%)

【答案】C

【解析】解：依題意圖示對應的函數為偶函數，考慮到/(x)+∕(-x)=2'+2-*為偶函數,

/(x)-∕(-x)=2*-2τ為奇函數，g(x)=Sinx為奇函數.

因為y="(χ)+/(T)］?g(χ)為奇函數，故排除A,

又、為奇函數,故排除B,

/(χ)+∕(-χ)

對于D：y=門呵、定義域為{x∣xxθ},故排除D;

/(?)-/(-?)

因為F(X)-/(-X)=2jc-2-,在定義域上單調遞增，g(x)=sinX在［O,∣J上單調遞增,

又函數圖象在X=O的右側部分函數為單調遞增的,

符合條件的只有V="(X)-f(T)]?g(x)=(2'-2-t)?sinx,

故選：C.

［舉一反三］

1.(2022?江蘇鹽城?三模)函數/(x)=4、-4x2的大致圖象是(???????)

【答案】B

【解析】x→+8時，指數函數增速快于二次函數，故凡T)-+?,圖象單調遞增，故排除C：

2

Xf-OO時，4'→0.-4X→→O.故/(X)<0,故排除D；

乂/(l)=f(2)=0,即T(X)>0時有兩個零點，故圖象B符合，圖象A不符合.

故選：B.

2.(2022?浙江金華?三模)若函數f(x)=α'+4cOSMa>0),則下列圖象不可能是(??????????)

【答案】B

【解析】當α=l時，/(x)=cosx+l,與選項C相符;

當α>l時，%)=a"+αcos乃=α"-α>0；/(-?)=a~ff+acos(^-π^=a~π-a<0,與選項D相符；

當O<α<l時，f^π^=aπ-a<0?f^2π')-a2π+acos2π-a2π+a>0,?A#1^；

???f(x)圖象不可能是B中圖象.

故選：B.

3.(2022?江蘇連云港?模擬預測)已知函數/(x)=sin3x_6x的圖象大致為(？?????？)

20/34

【答案】D

【解析】函數/(x)的定義域為R，/S)=Sm3(第6(-X)=_Sin6x=寸⑴,即函數/(?是R上的奇函

數，B不滿足；

而當x>，時，sin3x≤l,6x>1,J">O,/(x)<0,選項A,C不滿足，選項D符合題意.

故選：D

4.(2022?山東黃澤?二模)函數/(X)=縹?+XCOSX在[-2],2句上的圖象大致為(???????)

el1

【答案】C

【解析】首先/'(τ)=-∕(x),所以函數是奇函數，故排除D,/(2ι)=2萬，故排除B,

當x∈恒J時，/(x)>0,故排除A,只有C滿足條件.

故選：C

5.(2022?浙江紹興?模擬預測)函數AX)=(X+〃曠,的圖象如圖所示，則(???????)

ax-a~x

【答案】C

【解析】由圖像可知,當x>0時，f(x)<O,則x>0時，(x+m)2>0,則加≥O,

乂由/(.*)圖像不關于原點中心對稱可知機#0,則機>0

A?X_1

則x>0f?,ax-a'x<0?即^~^<0,則O<a<l

ax

故選：C

6.(2022?遼寧遼陽?二模)函數/(x)=Xlg(X'l)+2x的部分圖象大致為(???????)

【答案】A

【解析】因為〃x)=Xlg(Xjl)+2x,定義域為R,X/(-x)=-xlg(x2+l)-2x=-f(x),

所以/(x)是奇函數，排除C；

22/34

22

當x>0時，χ+l>l,lg(x+l)>O,則〃力>0且/(x)單調遞增，排除B,D.

故選：A.

7.(2022?江蘇南京?三模)函數/(X)=COSX的部分圖象大致是(???????)

【解析】函數/(x)的定義域為{χ∣χ*o},關于原點對稱,

/(-?χ)=∣∣cos(-?r)zz-[?-?∣cosχ=-∕(^)

所以“X)為奇函數排除A,

又“l(fā))=f圖=O排除B,當XfO+,/(Λ-)<0,排除D；

故選：C.

【答案】B

【解析】因為a,6,ceR,所以取々>0,。>0,。=0,此時/(工)=弋—，Λ>OH?,/(X)>0,x<O時，/(Λ)<0,

故只有B符合題意.故選：B.

9.(2022?福建寧德?模擬預測)函數y="x)的圖象如圖所示，則/(x)的解析式可能是(??????？)

A./(x)=2-2'B./(x)=Iog2(x+2)

C./(x)=Jx+2D.〃x)=l-(x-2)2

【答案】B

【解析】

A函數為遞減的，錯誤；C函數的值域大于等于0,錯誤；D函數為二次函數，錯誤，只有B符合.

故選：B.

>考點3函數圖象的應用

［名師點睛］

對于已知解析式或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數，其性質常借助圖象研究：

(1)從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；

(2)從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；

(3)從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性.

利用函數的圖象研究不等式的思路

當不等式問題不能用代數法求解但其與函數有關時，常將不等式問題轉化為兩函數圖象的上下關系問

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題或函數圖象與坐標軸的位置關系問題，從而利用數形結合法求解.

［典例］

1.(2022?浙江杭州?高三期末)設函數/(x)=(x-α)∣x-α∣+b(α,beR),則(???????)

A.對任意4,beR,函數y=∕(x)是奇函數

B.存在α,A∈R,使函數y=∕(x)是偶函數

C.對任意α,b∈R,函數y=∕(x)的圖象是中心對稱圖形

D.存在使函數y=∕(x)的圖象是軸對稱圖形

【答案】C

【解析】解：因為/。)=卜一")：；””“，所以作出函數y="χ)的大致圖象，如圖所示:

-(x-a)'+b,x<a

由圖可知，對任意α,beR,函數y=∕(x)不一定是奇函數；不存在α,beR,使函數y="x)是偶函數;

對任意”,beR,函數y=∕(x)的圖象是中心對稱圖形，且對稱中心為(α力)；不存在α,bwR,使函數

y="χ)的圖象是軸對稱圖形；

故選：C.

2.(2022?北京?模擬預測)已知函數〃x)=log2(x+l)-W，則不等式f(x)>0的解集是(???????)

A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)D.0

【答案】B

【解析】不等式/(x)>0=log?(x+l)>k∣,

分別畫出函數y=l0g2(χ+l)和y=W的圖象,

由圖象可知y=log2(χ+1)和y=國有兩個交點，分別是(。，0)和1)，

山圖象可知iog2(χ+1)>∣X的解集是(0,1)

即不等式/(χ)>o的解集是(OR?

故選：B

3?(2。22?天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學模擬預測)已知函數/(幻f=2/χ2，+—4]1rl+4X〉1'若不等式

3/。)-|8-￡|<0的解集為0,則實數優(yōu)的取值范圍為(??????？)

A.R,5-21n3B.∣,5-31n3

_4_

C.7,6-2ln3D.—,6—3ln3

_4_2

【答案】D

【解析】不等式；/(x)-IX-￡K0的解集為0,等價于/S)≥l2x-郵在我上恒成立.

?x>ll?,∕(x)=2x2-4∣x∣+4,此時f(χ)在x>l上單調遞增,

當X≤I/。)=**+%,則f'(x)=-e'-χ+1,當XVl時,∕,(x)<0,??/(χ)在x<l上單調遞減.

,

當y=2x-機與/(x)=2f-4W+4相切時,設切點為(%,%),所以∕(x0)=4x0-4=2,解得Xo='J(|)=|,此

時切線方程為y=2k∣)+?∣,該切線與X軸的交點為電,0),同理可得當y=-2x+m與f(x)=ei+X相切時,

切線與X軸的交點為B(3-|ln3,0),

又因為y=∣2x-機I與X軸的交點為C&0)

要使F(X)≥∣2x-””在R上恒成立,則點C在A3之間移動即可.故!≤(≤3-;ln3,解得!≤∕"≤6-31n3

4222

故選:D

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［舉一反三］

1.(2022?全國?高三專題練習)已知函數/(X)=X"+?為正整數)，有下列四種說法：

①函數/(x)始終為奇函數；

②當〃為偶數時，函數/S)的最小值為8；

③當n為奇數時，函數/*)的極大值為-8；

④當”=1時，函數y=/(x)的圖像關于直線y=2X對稱.

其中所有正確說法的序號是(???????)

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B

【解析】F(X)=X"+蔡的定義域為So)一(0,+8).

對于①，當〃=2時，/(X)=/+二，滿足/(-X)寸(X),則/(χ)為偶函數；故①錯誤.

X

對于②，當〃為偶數時，x">0,所以/(X)=x"+∕≥2卜詈8,當/考，即x=±/時取等號，所

以函數/(x)的最小值為8；故②正確.

對于③，當“為奇數時，作出f(x)=x"+稱的圖像如圖示：

由圖像可得：/(X)的極大值為-8；故③正確.

對于④,當〃=1時，作出函數F(X)=X+3和y=2χ的圖像如圖示:

X

顯然函數y=/(χ)的圖像不關于直線y=2χ時稱，故④錯誤.

故選:B

2.(2022?全國?高三專題練習)已知定義在R上的偶函數/(X),在(-8,0］上為減函數，且"3)=0,則不等

式(x+3)∕(x)<0的解集是(???????)

A.(―,-3)53,+8)B.(v,-3)I(0,3)

C.(—3,0)50,3)D.(-∞,-3)l(-3,3)

【答案】D

x+3<0,x+3>0

【解析】由題意，畫出/S)的圖象如圖，(x+3)∕(x)<0等價于∕ω>o,或〃、C，由圖可知，不

/(?)<O

等式的解集為(-∞,-3)(-3,3)

3.(2022?北京豐臺?一模)已知函數/(x)=3；J無最小值，則4的取值范圍是(???????)

?x—JX,XN。

A.(―∞,-1]B.(―∞,-1)C.[l,+∞)D.(l,+∞)

【答案】D

【解析】對于函數y=V-3x,

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可得y=3x2-3=3(x+l)(x-l),

由>'>0,得XC-I或x>l,由y'<0,得-ICXC1,

.?.函數尸丁-3》在(F,T)上單調遞增，在(Tl)上單調遞減，在(l,+∞)上單調遞增,

二函數y=?-3χ在X=T時有極大值2,在X=I時有極小值-2,

作出函數y=丁-3x與直線y=-2x的圖象，

由圖可知，當時，函數“X)有最小值F(I)=-2,當α>l時，函數”x)沒有最小值.

故選：D.

4.(2022?全國?高三專題練習)當x∈［0,1］時，下列關于函數y=(蛆-I)?的圖象與y=4Tm的圖象交點

個數說法正確的是()

A.當m∈［0,l］時，有兩個交點B.當m∈(l,2］時，沒有交點

C.當me(2,3］時，有且只有一個交點D.當m∈(3,+e)時，有兩個交點

【答案】B

【解析】設f(x)=Gnr-I尸，g(x)=√χ+w,其中x∈［0,1］

A.若m=0,則/(x)=l與g(x)=4在［0,1］上只有一個交點(1,1),故A錯誤.

B.當mG(I,2)時，?<?<1.?./(x)≤/(0)=↑,g(x)≥g(0)=?［m>1f(x)<g(x)

2m

即當m∈(1,2］時，函數y=(mx-1)?的圖象與y=JU/的圖象在x∈［0,1］無交點，故B正確，

C.當m∈(2,3］時，：v,<:??.f(x)≤/⑴=?！ㄒ籰)2,g(x)≤g⑴=,

3m2

當JiT荷>(加一1)2時/(X)Vg(X),此時無交點,即C不一定正確.

D.當me(3,+∞)時，g(O)=J百>1,此時f(l)>g(1),此時兩個函數圖象只有一個交點，故D

錯誤，

故選B.

1Gx2-24X+9,x≤1

5.(多選)(2022?重慶八中高三階段練習)已知函數/(X)=1/、則下列結論正確的有

-/(x-l),x>l

(9999999)

A./(H)=91^Π,〃∈N"

B.Vx∈(O,+oo),/(x)<-恒成立

X

C.關于X的方程/(x)=,*Q"∈R)有三個不同的實根，則g<m<l

D.關于X的方程/(x)=