北京市懷柔區(qū)2022-2023學年八年級上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

懷柔區(qū)2022-2023學年度第一學期期末初二質(zhì)量檢測

數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共30分，每小題3分）第1-10題均有四個選項，符合題意的選項另有一

個

1.下列圖標是軸對稱圖形的為（）

【答案】A

【解析】

【分析】平面內(nèi)一個圖形沿著某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱

圖形，這條直線叫做對稱軸；根據(jù)軸對稱圖形的概念即可判斷得出答案.

【詳解】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義可知：A選項的圖形是軸對稱圖形，符合題意；B、C、D選項對應的

圖形均不是軸對稱圖形，不符合題意；

故選：A.

【點睛】此題考查了軸對稱圖形的概念，熟練掌握并運用軸對稱圖形的概念識別所給圖形是否為軸對稱圖

形是解答此題的關鍵.

2.2022年11月30日神舟十五號飛船載乘3名航天員成功與神舟十四號航天員乘組上演“太空相會”.航

天員的宇航服加入了氣凝膠可以抵御太空的高溫.氣凝膠，是一種具有納米多孔結構的新型材料，氣凝膠顆

粒尺寸通常小于0.00000002m,0.00000002用科學記數(shù)法表示為（）

A.2x10-9B.2xl08C.2x10-8D.0.2x108

【答案】C

【解析】

【分析】對于絕對值小于1的數(shù)可以用科學記數(shù)法表示為axl（T"的形式，其中14時＜10,九是正整數(shù);

據(jù)此可以求得答案.

【詳解】解：0.00000002用科學記數(shù)法表示為：2x10-8,

故選：C.

【點睛】此題考查了科學記數(shù)法，熟練掌握絕對值小于1的數(shù)的科學記數(shù)法表示方法是解答此題的關鍵.

3.下列計算正確的是（）

3323615

A.a-?a=aB.a+a=aC.(/)=aD.o'-aa

【答案】D

【解析】

【分析】分別根據(jù)同底數(shù)幕的除法，合并同類項，幕的乘方，同底數(shù)塞的乘法法則逐項判斷即可.

詳解】解：A.a^a3=b原計算錯誤，不符合題意；

B.。和/不是同類項，不能合并，不符合題意；

C.(。3)3=/,原計算錯誤，不符合題意；

D.43.儲=/，正確，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了合并同類項，同底數(shù)累的除法，幕的乘方，同底數(shù)累的乘法，解題的關鍵是掌握

運算法則，準確進行計算.

X

4.若分式「一有意義，則x的取值范圍是()

x-1

A.x>1B.x=lC.x<lD.x￥l

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)分式有意義，分母不等于0列不等式求解即可.

【詳解】解：由題意得，x-1加，

解得好1.

故選D.

【點睛】此題主要考查分式的性質(zhì)，解題的關鍵是熟知分母不為零.

5.下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是()

A.x{x+2)=x2+2xB.(x-3)2—x2-6x+9

C.x2+1=x^xH-1D.x2—9=(x+3)(x—3)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)因式分解的定義即可求出答案，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個

多項式因式分解，也叫做分解因式.

【詳解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；

B、是整式的乘法，不是因式分解，故此選項不符合題意；

C、右邊不是整式的積的形式，是分式，不符合因式分解的定義，故此選項不符合題意；

D、左邊是多項式，右邊是整式的積的形式，符合因式分解的定義，故此選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查因式分解的定義，解題的關鍵正確理解因式分解的定義，本題屬于基礎題型.

6.八角帽又稱“紅軍帽”，是紅軍的象征，也是中國工農(nóng)紅軍軍服佩飾最顯眼的部分之一，其帽頂近似正

八邊形.正八邊形的一個內(nèi)角的大小為（）

.

A.150°B.140°C.135°D.120°

【答案】C

【解析】

【分析】首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（〃—2）?180。（^>3,且"為正整數(shù)）求出內(nèi)角和，然后再計算一

個內(nèi)角的度數(shù).

【詳解】解：正八邊形的內(nèi)角和為：（8-2）*1800=1080°,

每一個內(nèi)角的度數(shù)為（X1080。=135°.

故答案為：C.

【點睛】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，正多邊形的性質(zhì)，關鍵是熟練掌握計算公式：（?-2）*180°

（?>3,且”為整數(shù)）.

7.計算61—+三匕.巴2的結果為（）

u+6a+92a+6a+9

A.1B.1C.-1D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】先將分式的分子分母分別因式分解，將除法轉化成乘法運算，然后分子與分母進行約分化簡，即可

得出答案.

(9—6/)(9+cT)2(〃+3)a+3

【詳解】解：原式=

(a+3)2a—9a+9

(-1)x12x11

---------------X---------X-

111

故選：D.

【點睛】此題考查了分式的乘除混合運算，熟練掌握分式的乘除運算法則是解答此題的關鍵.

8.如圖，CE是」WC的外角/ACD的平分線，且CE交B4的延長線于點E,若N3=36°,NE=20。,

則/B4C的角度是（）

BCD

A.76°B.56°C.52°D.90°

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出/ECO的度數(shù)，進而可求出NACD的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角性

質(zhì)即可求出,B4C.

【詳解】解：：N5=36°,NE=20。，

ZECD=NB+NE=56°,

VCE平分NACO,

/.ZACE=ZECD=56°,ZACD=2ZECD=112°,

：.ZBAC=ZACD-ZB=112°-36°=76°,故A正確.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義，解題的關鍵是熟練掌握三角形的外角性質(zhì)

定理.

9.小麗在學習作已知角的平分線的方法，

已知：ZAOB-,求作：NA05的平分線.

她按照教材給出的尺規(guī)作圖方法進行了如下操作：

作法：

（1）以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，交。4于點交0B于點N；

（2）分別以點N為圓心；大于的長為半徑畫弧，兩弧在nA06內(nèi)部相交于點C；

2

（3）畫射線OC,射線OC即為所求.

根據(jù)小麗的操作過程（如圖），下列說法正確的是（）

A.JWC是等邊三角形B.由于OM=ON,可得NOMC=NONC

C.OC垂直平分線段MND.此過程構造MO8,NOC的方法是SAS

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)作已知角的平分線的方法可知，OM=ON,CM=CN,再利用SSS證明三角形全等，再對

各選項進行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)作已知角的平分線的方法可知，OM=ON,CM=CN,

在△MOC和，NOC中，

OM=ON

<CM=CN,

OC=OC

:._MOC^NOC{SSS）,

:.ZMOC=ZNOC,

A選項中，只有CM=CN,故A錯誤；

B選項中，由于。0=ON,則/OMN=/ONM,故此項錯誤；

C選項中，ZMOC=ZNOC,OM=ON,

OC垂直平分線段MN，故此項正確；

D選項中，此過程構造MOC2.NOC的方法是SSS,故此項錯誤；

故選：C.

【點睛】本題考查了基本作圖，全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關鍵掌握基本作圖的方

法.

10.如圖，在RtZVRC中NACB=90。，P,。兩點分別在AC邊上（包括A,C）和過點A且垂直AC的

射線40上運動，連接尸。交A3于點M在運動過程中始終保持尸QIA3,則此圖形在這個過程中能

產(chǎn)生與.ABC全等的三角形個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】直接根據(jù)HL判斷即可.

【詳解】由題意可知NACB=NB4Q=90°,

當PQ=AB,BC=QA時,ABC^PQA.

當尸Q=AB,3C=B4時，.ABCWQPA；

故選B.

【點睛】本題考查了全等三角形判定，找出已知條件，利用HL證明三角形全等是解題的關鍵.

二、填空題（本大題共12分，每小題2分）

11.計算：（—2/6）3=.

【答案】-8a6b3##-8b3a6

【解析】

【分析】根據(jù)積的乘方運算法則進行計算即可.

【詳解】解：（―2a%了=一8。6b3.

故答案為：一846/.

【點睛】本題主要考查了積的乘方運算，解題的關鍵是熟練掌握積的乘方運算法則，準確進行計算.

12.填空：變形的依據(jù)是_____.

6x22x

【答案】分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變.

【解析】

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)矩形計算即可.

【詳解】解：至事=生3=8

6x3xxlxlx

依據(jù)是分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變.

故答案為：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變.

【點睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于。的整式，分式

的值不變.

13.一個三角形的三邊長都是整數(shù)，其中兩邊長分別為1,2,則這個三角形的第三邊長為

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊，解答此題即可.

【詳解】解：：2—1（第三邊＜2+1，

1＜第三邊＜3,

???三邊長都是整數(shù),

這個三角形第三邊長是2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查了三角形三邊關系，關鍵是求出三角形第三邊的取值范圍，熟練掌握三角形三邊關系,

是解答此題的關鍵.

3a-b

分式高與的最簡公分母是

ab~c

【答案】2a2b2c

【解析】

【分析】按照公分母的定義進行解答.

【詳解】解：題中兩分式的最簡公分母即求兩分式分母的最小公倍數(shù)，即為2/Z72c.

故答案為26yc.

【點睛】本題主要考查了最簡公分母的定義：取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次暴的積作公

分母，這樣的公分母叫做最簡公分母.

15.己知：如圖，C為BD上一點,AB=AD.只需添加一個條件則可證明人旬。四△ADC.這個條件可

以是.（寫出一個即可）.

【答案】BC=CD（答案不唯一）

【解析】

【分析】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可.

【詳解】解：添加的條件是3C=CE>,

理由是：在.ABC和「ACD中，

AB=AD

<AC=AC,

BC=CD

ABC^..ACD(SSS),

故答案為：BC=CD（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，注意：全等

三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,兩直角三角形全等還有HL等.

16.如圖，0c是/A06的平分線，動點M,N分別在射線。4,03上，連接交OC于點P,若。心

31

的長度為—?>3）,ON的長度為——。>3）當與OEV的面積比為2：1時，貝V（/>3）的值是

tt-3

【答案】9

【解析】

【分析】過尸點作尸ELQ4,尸根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，PE=PF,由二與的

面積比為2：1,列比例式求解即可.

B

N,

C

【詳解】

A

過尸點作尸E，Q4,PFLOB

?.?點P在NAOB的平分線上，

PE=PF，

,?SOPM?S^OPN-2.1,

:.-OMPE=-ONPF=2：1

22

OM:ON=2：1,

3.1°.

一.----=2.1，

tt—3

2_3

口一7

t=9

故答案為：9

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.掌握以上知識是解

題的關鍵.

三、解答題（本大題共58分，第17-24,26題，每小題5分，第25題6分，27題7分）

17.計算：（乃一3）°+[-3]+（―2）3—|—11

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)零指數(shù)塞，負整數(shù)指數(shù)塞，有理數(shù)的乘方，絕對值的性質(zhì)以及實數(shù)的運算法則進行計算即可.

[詳解]解：（乃一3）°+1—g]+（―2）3—|—11

=1+9-8-1

=1.

【點睛】本題考查的是零指數(shù)塞，負整數(shù)指數(shù)暴，有理數(shù)的乘方，絕對值的性質(zhì)以及實數(shù)的運算法則，解

題的關鍵是熟練掌握相關的運算法則.

18.分解因式：4x2y-4xy2+y3.

【答案】y(2x-y『

【解析】

【分析】先提取公因式》再利用完全平方公式分解即可.

【詳解】解：4x2y-4xy2+y3

=y(^4x2-4xy+y2)

=y(2x-y)。

【點睛】本題考查了提取公因式與公式法分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

19.已知4a2_7a+5=0，求代數(shù)式(3a?_2a)+a-(2a—l)2值.

【答案】2

【解析】

【分析】首先求出4a2—74=-5，再根據(jù)完全平方公式，多項式除以單項式化簡代數(shù)式得出原式

=-(4?2-7?)-3,代入即可得出答案.

【詳解】解：7a+5=0，

4a2一7a=-5，

(3a~-2a)+a-(2a—I)-

=3a—2—(4tz—4a+1)

=3a—2—4a~+4a—1

=—4a~+7a—3

=-(4/-7?^-3

=5—3=2.

【點睛】本題考查代數(shù)式求值，完全平方公式，多項式除以單項式，得出4a2-7a=-5,正確化簡代數(shù)

式是解題的關鍵.

X2Y

20.解分式方程：----一-=1.

x+13%+3

【答案】?=—=3■

2

【解析】

【分析】先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后進行檢驗即可.

X21*

【詳解】解：—-------=1,

x+l3x4-3

方程兩邊同乘以3（x+l）得：3x—2x=3x+3,

移項合并同類項得：-2%=3,

3

未知數(shù)系數(shù)化為1得：%=-一，

2

檢驗：把x=—|■代入3（尤+1）得：+=

3

...x=——是原方程的根.

2

【點睛】本題主要考查了解分式方程，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程的一般步驟，準確進行計算，注

意要對方程的解進行檢驗.

21.己知：如圖，ZABC=ZDBE=90°,。為邊AC上一點，△A3。是等邊三角形，且AC=DE.求證:

ABC^DBE.

【答案】見解析

【解析】

【分析】首先根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，得出=再根據(jù)直角三角形的判定定理即可得出結論.

【詳解】證明：：A8D是等邊三角形，

:.AB=BD,

?：ZABC=ZDBE=90°,

.ABC和eQBE都是直角三角形，

在RfABC和R/4DBE中，

AB=BD

AC=DE

RtABC爾fDBE(HL).

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關鍵.

22.某種消毒液原液需加水稀釋后使用，用于衣物消殺濃度是用于環(huán)境消殺濃度的2倍.取1L原液加水稀

釋用于衣物消殺，再取2L原液加水稀釋用于環(huán)境消殺.按相應濃度稀釋后發(fā)現(xiàn)，用于衣物消殺加入水的體

積比用于環(huán)境消殺加入水的體積少6L.求該消毒液用于環(huán)境消殺的濃度.（濃度=原液體積/加入水的體積，

注意此濃度無單位）

【答案】該消毒液用于環(huán)境消殺的濃度為25%

【解析】

【分析】消毒液用于環(huán)境消殺的濃度為九％,則用于衣物消殺的濃度為2尤％,然后根據(jù)題意列分式方程求

解即可.

【詳解】解：消毒液用于環(huán)境消殺的濃度為X%,則用于衣物消殺的濃度為2x%

12

由題意可得：-----1-6=-----

2x°/oX°/o

解得：x=25

經(jīng)檢驗x=25是分式方程的解.

答：該消毒液用于環(huán)境消殺的濃度為25%.

【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，根據(jù)題意正確列出分式方程是解答本題的關鍵.

23.請用直尺和圓規(guī)完成下列作圖并解答問題.

已知：如圖ABC.

求作：ABC邊A3上的高CD.

小懷設計的尺規(guī)作圖過程如下：

作法：

①以點A為圓心，AC長為半徑作??；

②以點B為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點E；

③連接CE,交AB于點D

所以線段CD就是所求作的高線.

（1）使用直尺和圓規(guī)，完成小懷的作圖（保留作圖痕跡）;

（2）分別連接AE,BE,再將該作圖證明過程補充完整:

由①可得：AC=.

???點A在線段CE的垂直平分線上.（）（填推理的依據(jù)）

由②可得：BC=.

/.點B在線段CE的垂直平分線上.

垂直平分線段CE.

CD±AB

即CD是一ABC邊A3上的高線.

【答案】（1）見解析；

（2）AE,與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，BE.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)作圖過程即可補全圖形；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可完成證明.

【小問1詳解】

如圖，線段。。就是所求作的高線

???點A在線段CE的垂直平分線上.（與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上）

由②可得：BC=BE.

/.點B在線段CE的垂直平分線上.

...AB垂直平分線段CE.

CD±AB

即CD是ABC邊A3上的高線.

故答案為：AE,與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，BE.

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握線段垂直平分線的作

法.

24.如圖，在ABC中，ZA=90°,ZC=30°,垂直平分垂足為E,交AC于點。，連接3D.

(1)求證：ABI涇ECD；

(2)若4)=1,求AC的長.

【答案】(1)見解析；

(2)3.

【解析】

【分析】(1)由NA=90。，ZC=30°,得出NA5C=60°,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得出BD=CD,

ZDEC=90°,進而得出ZABD=ZC=30°,即可證明，ABD^ECD(AAS)；

(2)根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出6D=2AD=2,即可得出AC=AD+CD=l+2=3.

【小問1詳解】

證明：：ZA=90。，ZC=30°,

ZABC=60°,

,/。石垂直平分BC,

：.BD=CD,ZDEC=90°,

：.ZZ)BC=ZC=30°,

ZABD=ZC=30°,

在△AB。和一七CD中，

NA=ZDEC

<ZABD=ZC,

BD=CD

_ABZ徑_ECD(AAS).

【小問2詳解】

解：???NABD=NC=30°,AD=1,

/.BD=2AD=2,

CD=BD=2，

AC=AD+CD=1+2=3.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，

掌握全等三角形的判定是解題的關鍵.

25.小柔在進行因式分解時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象，一個關于x的多項式尤2+依+人若能分解成兩個一次整式相乘的

形式(x+p)(x+q),則當x+p=0或尤+q=0時原多項式的值為0,因此定義％=和*=一勺為多項式

f+ax+Z，的。值，一。和一4的平均值為軸值.例：V—2x-3=(x—3)(x+l),x—3=0或x+l=0時

X2-2X-3=0>則x=3和x=—1為丁―2%+3的。值，3和-1的平均值1為#―2x+3的軸值.

(1)/一4的。值為，軸值為；

(2)若公+公+4的。值只有一個，則。=,此時。值與軸值相等；

(3)好―法3〉0)的0值為玉,/(石<々)，軸值為很，貝，若6%+m的0值與

軸值相等，則加=.

【答案】(1)2和—2,0；

(2)4；(3)0,9.

【解析】

【分析】(1)把尤2—4進行因式分解，即可求解；

(2)根據(jù)公+4的0值只有一個，則d+?x+4=(x+2)2,即可求解；

(3)根據(jù)d—bx=x(x—b),且0值為內(nèi),%(%<9)，b>0,即可得出結論，由了2一6%+機的。值與

軸值相等，即可得出￡-6x+〃z=(x-3)2=必—6x+9,即可求解.

【小問1詳解】

解：%2—4=(x—2)(%+2),

x—2=0或i%+2=0時，J—4=0,

.,.%2一4的0值為尤=2和％=—2,

又3=。，

2

.?.d—4的軸值為0,

故答案為：2和—2,0；

【小問2詳解】

解：*+雙+4的0值只有一個，

Jr?+(JX+4=(X+2)2,

即Y+改+4的0值為x=—2,

又*.(x+2)2=%2+4x+4,

「.4=4,

故答案為：4；

【小問3詳解】

解：-,X2-bx=x(x-b),

/.x2—bx的0值為：％=0和x=b,

%<%2，b>0,

Xy—0；

當f—6%+m的0值與軸值相等，

x2-6x+m的0值只有一個，

/.x2-6x+m=(x-3)2=x2-6x+9,

即機=9時，

3+3

此時f―6%+機的。值為％=3,軸值為：——=3,

2

故答案為：0,9.

【點睛】本題考查是因式分解，以及完全平方公式運用，解題的關鍵是讀懂題意，以及熟練掌握相關的

運算.

26.在平面直角坐標系中，已知點M(0,〃z),直線/是過點M且垂直于y軸的直線，點尸也力)關于直線/的

軸對稱點。，連接「。，過Q作垂直于v軸的直線與射線PM交于點P'，則P'稱為P點的M中心對稱點.

5-

4-

3-

2-

1-

I1J!1___________LJ1JI1

-5-4-3-2-\012345-5T-3-2-&123456x

圖1備用圖

(1)如圖1,當加=1,尸(2,3)時。點坐標為,P'點坐標為:

(2)若尸點的M中心對稱點為P'(—1,3),ZQP'M=45°,則機=,尸點的坐標為

(3)在(1)中，在,PQP內(nèi)部(不含邊界)存在點N,使點N到P。和P'。的距離相等，則N點橫坐

標n的取值范圍是.

【答案】(1)(2,-1)s(-2,-1)

(2)加=4或772=2;(1,5)或(1,1)

(3)0<“<2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)機=1,2(2,3),先求出點。的坐標，證明/力區(qū)4=/「跖4=3><90。=45。，得出

NPPQ=90?！?5。=45。，即NPP。=NP'P。，得出P，Q=PQ=2B4=4,即可得出答案；

(2)分兩種情況進行討論，分別作出圖形，求出機的值和點尸的坐標即可；

(3)連接。河，證明為NP0P的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，點N在上，求出〃的取值

范圍即可.

【小問1詳解】

解：=尸(2,3),

...直線/為y=l,

???p與。關系直線/對稱,

???點。的坐標為(2,-1),

APA=3-1=2,AM=2,

APA=AM，

,：ZPAM^9Q0,

：.ZMPA=ZPMA=-x9Q°=45°,

2

ZPQP'=90°,

：.ZPP'Q=90o-45o=45°,

：.ZPP'Q=ZP'PQ,

：.P'Q=PQ=2PA=4,

點P'的坐標為(—2,—1)；

故答案為：(2,-1)；(―2,—1).

【小問2詳解】

解：如圖，當點/在點尸'上方時，P'(-l,3),

:.PB=LOB=3,

?1,ZQP'M=45°,NPBM=90°,

"MB=90°-45°=45°,

/.ZP'MB=ZBP'M，

；.BM=PB=1，

：.OM=OB+BM=4,

m=4,

AQ=1,

AP=AQ=1,

PQ=2,

ZPQP'=90°,ZQP/M=45°,

NP'PQ=90。—45。=45。，

ZP/PQ=ZQP'P,

；?PQ=PQ=2,

80=2—1=1,

的坐標為(1,5)；

一/3一;-

/P'iB\Q

'i-：

iii1iiiiia

-5T-3-2-p123456.v

如圖，當點M在點尸'下方時，P'(—1,3),

；?P'B=1，OB=3,

,：ZQP'M=45°,ZP'BM=90°,

ZP'MB=90°-45°=45°,

ZP'MB=ZBP'M，

：.BM=PB=1，

：.OM=OB-BM=2,

m=2,

.?.42=3-2=1,

AP=AQ=\,

:.PQ=2,

?：ZPQP'=90°,Z.QP'M=45°,

/.NPPQ=90。-45。=45。，

ZP'PQ=ZQP'P,

：.P'Q=PQ=2,

：.80=2—1=1,

..?P的坐標為(LI)；

綜上分析可知，加=4或切=2點尸的坐標為：(1,5)或(1,1).

故答案為：加=4或相=2；(1,5)或(1,1).

【小問3詳解】

解：連接。時，如圖所示:

PM=V22+22=272，P'M=A/22+22=2&，

；.PM=PM，

根據(jù)解析(1)可知，PQ=P'Q,

：.QM平分NPQP',

，點N一定在QM上，

點橫坐標n的取值范圍是0<“<2.

故答案為：0<〃<2.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，軸

對稱的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)題意作出圖形，注意分類討論.

27.康康同學在研究等邊三角形，如圖1,已知ABC是等邊三角形，。為邊的中點，E為中線A￡>上

一點(E不可取A點，可取。點)，點E關于直線AC的對稱點是點尸.連接A尸，EF,BF-

(1)①在圖1中補全圖形；

②他發(fā)現(xiàn)E點在中線AD上運動時，△AEF是一種特殊三角形.

請你回答公AEF是三角形；

③利用圖1證明這個結論.

(2)康康同學發(fā)現(xiàn)當E點在中線A。上運動時，B尸的長度也有規(guī)律的變化.當正為最大值時，在圖

2中畫出點E并連接AfBRM與AC交于點P.

①按要求畫出圖形；

②在川上存在一點。，使PQ+QC的值最小，猜想這最小值____________BP（填＞，＜,=）；

③證明②的結論.

（3）在邊AC上存在一點M,同時滿足府一ME的值最大且石的值最小，則此時與AC

的數(shù)量關系是.

【答案】（1）①圖形見詳解；②等邊；③證明見詳解；

（2）①圖形見詳解；②二；③證明見詳解；

（3）MC=-AC.

2

【解析】

【分析】（1）①根據(jù)題意補全圖形即可；②③通過證明A