2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019必修第二冊試題6-1平面向量的概念

6.1平面向量的概念（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）

【夯實基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?黑龍江?齊齊哈爾三立高級中學(xué)有限公司高一階段練習(xí)）下列物理量中哪個是向量（????）

A.質(zhì)量B.功C.溫度D.力

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的定義判斷即可.

【詳解】質(zhì)量、功、溫度只有大小沒有方向不是向量，故ABC錯誤，

力既有大小又有方向，是向量，故D正確，

故選：D.

2.（2022?全國?高一課時練習(xí)）給出下列說法：①零向量是沒有方向的；②零向量的長度為0；③零向量

的方向是任意的；④單位向量的模都相等.其中正確的有（????）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)零向量及單位向量的概念即可求解.

【詳解】解：對①：零向量的方向是任意的，故①錯誤；

對②：零向量的長度為0,故②正確；

對③：零向量的方向是任意的，故③正確；

對④：單位向量的模都等于1,故④正確.

故選：C.

3.（2022?山東荷澤?高一期中）數(shù)軸上點A,8分別對應(yīng)-1,1,則向量4B的長度是（????）

A.OB.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點的位置，直接計算長度，即可得解.

【詳解】數(shù)軸上點A,B分別對應(yīng)-1,1,

則向量AB的長度即∣Aβ∣=2.

故選：C.

4.（2022.全國?高一課時練習(xí)）下列說法錯誤的是（????）

A.向量CD與向量。C長度相等B.單位向量都相等

C.O的長度為O,且方向是任意的D.任一非零向量都可以平行移動

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念直接判斷即可.

【詳解】因為CO=-DC,所以C。和OC互為相反向量，長度相等，方向相反，故A選項正確;

單位向量長度都為1,但方向不確定，故B選項錯誤；

根據(jù)零向量的概念，易知C選項正確；

向量只與長度和方向有關(guān)，與位置無關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動，故D選項正確；

故選：B.

5.(2022?新疆?和碩縣高級中學(xué)高一階段練習(xí))下列說法正確的是(????)

A.單位向量均相等B.單位向量e=l

C.零向量與任意向量平行D.若向量α,b滿足∣n∣=∣b∣,則α=±b

【答案】C

【分析】對于A：由方向不一定相同否定結(jié)論；對于B：單位向量Iel=I.否定結(jié)論；

對于C：零向量與任意向量平行.即可判斷；對于D：α,b的方向可以是任意的.否定結(jié)論.

【詳解】對于A：單位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A錯誤；

對于B：單位向量同=1.故B錯誤；

對于C：零向量與任意向量平行.正確；

對于D：若向量α,人滿足Ial=I們，但是α,人的方向可以是任意的.

故選：C

6.(2022?湖北?鄂州市鄂城區(qū)教學(xué)研究室高一期中)下列關(guān)于零向量的說法正確的是(????)

A.零向量沒有大小B.零向量沒有方向

C.兩個反方向向量之和為零向量D.零向量與任何向量都共線

【答案】D

【分析】根據(jù)零向量的定義和性質(zhì)即可判斷.

【詳解】根據(jù)零向量的概念可得零向量的長度為零，方向任意，故A、B錯誤：

兩個反方向向量之和不一定為零向量，只有相反向量之和才是零向量，C錯誤；

零向量與任意向量共線，D正確.

故選：D.

7.(2022?全國?高一課時練習(xí))下列說法正確的是(????)

A.向量AB與向量54的長度相等

02/22

B.兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同

C.零向量沒有方向

D.向量的模是一個正實數(shù)

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的概念、零向量的定義及向量模的性質(zhì)，即可判斷各選項的正誤.

【詳解】A：AB與54的長度相等，方向相反，正確；

B：兩個有共同起點且長度相等的向量，若方向也相同，則它們的終點相同，故錯誤；

C：零向量的方向任意，故錯誤；

D：向量的模是一個非負(fù)實數(shù)，故錯誤.

故選：A

8.（2022?山東聊城一中高一期中）下列命題中正確的個數(shù)是（????）

①起點相同的單位向量，終點必相同；

②已知向量A8〃CO,則4民C,D四點必在一直線上；

③若“〃6,6〃c,則。〃e；

④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】由平面向量的概念對選項逐一判斷，

【詳解】對于A,單位向量的方向不確定，故起點相同的單位向量，終點不一定相同，故A錯誤，

對于B,向量"〃0則4,8（,。四點共線或鉆〃0故B錯誤，

對于C,若a"b、b〃c,當(dāng)∕j=0時，C不一定平行，故C錯誤，

對于D,若A,B,C三點共線，則AC//BC，此時起點不同，終點相同，故D錯誤，

故選：A

9.（2022.山東東營.高一期中）設(shè)點。是正三角形ABC的中心，則向量AO，BO，Co是（????）

A.相同的向量B.模相等的向量C.共起點的向量D.共線向量

【答案】B

【分析】根據(jù)圖形及正三角形的集合性質(zhì)可得.

【詳解】解：如圖：

A

因為。是正ABC的中心，所以IA0∣=∣8。I=ICol=R（R為二ABC外接圓的半徑），所以向量AO,BO，CO

是模相等的向量，但方向不同.

故選：B.

二、多選題

10.（2022?全國?高一課時練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（????）

A.同與W是否相等與α,6的方向無關(guān)B.零向量相等，零向量的相反向量是零向量

C.若a,〃都是單位向量，則”bD.向量AB與BA相等

【答案】AB

【分析】由向量的模、零向量、單位向量、相等向量的定義判斷各選項.

【詳解】對于C,單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等；對于D,向量AB

與BA互為相反向量，由向量模的定義，零向量的定義AB正確.

故選：AB.

11.（2022?全國?高一課時練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（????）

A.若同=W,則α=人

B.若a=b,b=c,貝IJa=C

C.若A,B,C,。是不共線的四點，則"AB=DC”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件

D.=廠的充要條件是“同=W且

【答案】BC

【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)、平行的性質(zhì)與充分必要條件的定義逐個辨析即可.

【詳解】對于A,兩個向量的長度相等.但它們的方向不一定相同；

對于B,由平面向量相等可得B正確；

對于C,若A,B,C,。是不共線的四點，則當(dāng)AB=OC時，IAel=I兇且A8//DC,故四邊形ABC。為

平行四邊形；

當(dāng)四邊形ABC。為平行四邊形時，IABl=I因且ΛB”QC,故且A8,OC同向，故AB=OC,故C正確；

04/22

對于D,當(dāng)a。且方向相反時，即使同=W,也不能得到“=/,，故D錯誤；

故選：BC

三、填空題

12.（2022.全國.高一課時練習(xí)）下列各量中，是向量的是.（填序號）

①密度；②體積；③重力；④質(zhì)量.

【答案】③

【分析】由向量的概念判斷即可.

【詳解】向量指具有大小和方向的量.①②④僅有大小，沒有方向；③既有大小又有方向.

故答案為：③.

13.（2022.全國?高一課時練習(xí)）已知圓。的周長是2兀，AB是圓。的直徑，C是圓周上一點,

NBAC=工,CO_LAB于點0,則Ieq=___________.

611

【答案】B

2

【分析】根據(jù)題設(shè)可得圓。的半徑為1,結(jié)合已知條件及含著的直角三角形的性質(zhì)即可求「可

【詳解】由題設(shè)，圓。的半徑為1,又NBAC=F,COLA8,如下圖示：

在RtCOD中，ZDOC=2ZBAC=-,OC=I,所以Cf>=也.

32

故答案為：走

2

14.（2022?全國?高一課時練習(xí)）己知。是正方形ABC。的中心，則向量A。,。仇C。,。。是.

（填序號）

①平行向量；②相等向量：③有相同終點的向量；④模都相等的向量.

【答案】④

【分析】根據(jù)向量的有關(guān)概念及正方形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：根據(jù)向量的有關(guān)概念及正方形的性質(zhì)，可得向量AO,08,CO,OO是模都相等的向量.

故答案為：④.

15.(2022?全國?高一課時練習(xí))“AB〃Czr是％，B,C,。四點共線”的條件.

【答案】必要不充分

【分析】根據(jù)向量平行的定義結(jié)合充分性、必要性的定義判斷即可.

【詳解】當(dāng)A8〃8時，直線AB與CC的位置關(guān)系有可能是平行或共線，

當(dāng)二者平行時A,B,C,。四個點分別位于兩條平行線上而不是四點共線，

則“AB〃C無法推出“A,B,C,力四點共線”；

當(dāng)A,B,C,。四點共線時，直線AB與CZ)的位置關(guān)系為重合，此時，AB//CD，

則“A,B,C,。四點共線”可以推出"AB〃C?'，

因此是“A，B,C,。四點共線”的必要不充分條件?

故答案為：必要不充分.

16.(2022.北京市第十二中學(xué)高一期末)已知向量α=(l,2),h(2,4),且〃與人共線，則實數(shù)Z=.

【答案】2

【分析】根據(jù)向量共線，即可求解.

【詳解】解：“與b共線，所以lχ4-2x左=0,解得出=2,

故答案為：2.

17.(2022.江蘇?南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)高一期中)已知:=(3,4),8=(4,-2),^2a-b^ka+2b

為共線向量，則實數(shù)Z=.

【答案】-4

【分析】由已知，分別表示出和叔+2匕的坐標(biāo)形式，再根據(jù)兩向量共線，列出等量關(guān)系即可完成求

解.

【詳解】因為)=(3,4),?=(4,-2),所以2“一6=(2,10),上α+26=(3k+8,4Z-4),

因為2α-匕與奴+2。為共線向量，所以2(4Z-4)=10(3々+8),解得：&=T.

故答案為：-4.

18.(2022?全國?高一課時練習(xí))設(shè)空間中有四個互異的點A?B?C?O,若(OB+DC—2DA)?(AB-AC)=0,

則.HBC的形狀是.

【答案】等腰三角形

【分析】由(03+0C-2D4)(A8-AC)=0,利用向量的減法和數(shù)量積運算求解.

06/22

【詳解】解：因為(θ8+OC-2r>A)(A8-Ac)=0,

所以(A8+AC)?(A8-AC)=O,

貝I]IAB『=M『，即,耳=,斗

所以ABC的形狀是等腰三角形，

故答案為：等腰三角形

19.(2022.全國.高一專題練習(xí))已知e∣,C?是兩個不共線的向量，而。=公6+(1-|幻/,b=2q+3e?是

兩個共線向量，則實數(shù)上=.

【答案】一2或g##g或一2

【分析】由己知，根據(jù)給的4,6借助兩向量共線，可直接建立等量關(guān)系求解出實數(shù)h

【詳解】由己知，e；,02是兩個不共線的向量，

1

a-kex+(?-k)e2,b=2e∣+3e2是兩個共線向量，

?51

所以女2=2(1-∕Q,解得：Z=-2或女=]

故答案為：一2或;.

20.(2022?山東荷澤?高一期中)己知A、B、C是不共線的三點，向量機與向量AB是平行向量，與BC是

共線向量，則m=.

【答案】0

【分析】依據(jù)向量共線的定義及零向量定義即可求得向量m?

【詳解】向量加與向量48是平行向量，則向量，"與向量AB方向相同或相反；

向量加與8C是共線向量，則向量加與向量BC方向相同或相反，

又由A、B、C是不共線的三點，可知向量AB與向量BC方向不同且不共線

則加=O.

故答案為：0

四、解答題

21.(2022?全國?高一專題練習(xí))在平行四邊形43CQ中，E,尸分別為邊A。、BC的中點，如圖.

(1)寫出與向量FC共線的向量；

(2)求證：BE=FD-

【答案】(I)CF,FB,BF,BC,CB,AE,EA,ED,DE,AD,DA

⑵證明見解析

【分析】U)由題意直接寫出與向量FC共線的向量即可；

(2)證明四邊形屏Z)E是平行四邊形即可證明BE=FQ.

(1)

據(jù)題意，與向量FC共線的向量為：CF,FB,BF,BC,CB,AE,EA,ED,DE,AD,DA；

(2)

證明：ABCD是平行四邊形，且E,F分別為邊A。，BC的中點，

:.BF=ED,且BF//ED,

???四邊形B的是平行四邊形，

.-.BE=FD,且BE"FD,

BE=FD-

22.(2022?全國?高一專題練習(xí))在如圖的方格紙上，已知向量α,每個小正方形的邊長為L

⑴試以B為終點畫一個向量b，使b=”;

(2)在圖中畫一個以A為起點的向量C,使M=石，并說出向量C的終點的軌跡是什么?

【答案】(1)作圖見解析

(2)作圖見解析，向量C的終點的軌跡是以A為圓心，半徑為石的圓

08/22

【分析】(I)根據(jù)向量相等的知識畫出圖象.

(2)根據(jù)向量模的知識畫出圖象，并判斷向量C的終點的軌跡.

(1)

依題意，h=a,由此畫出圖象如下圖所示:

⑵

∣c∣=√5,故向量C的終點到A點的距離為逐，

所以向量C的終點的軌跡是以A為圓心，半徑為石的圓,

畫出圖象如下圖所示：

23.(2022?全國?高一專題練習(xí))如圖所示，在AABC中，D,F分別是BC,AC的中點,

AE=^AD,AB=a,AC=b.

B-D'C

⑴用％表示A￡>,AE,AF,BE、BF：

(2)求證：B,E,尸三點共線.

【答案】(I)AD=La,AE=-a+-b,AF=-b,BE=-b--a,BF=-b-

22332332

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)平面向量的線性運算結(jié)合圖像計算即可得解；

(2)利用平面向量共線定理證明BE〃3F，即可得證.

(1)

解：在AABC中，D,F分別是BC,AC的中點，

則Ao=4B+BO=AB+'BC=AB+1(AC-48)=,AB+'AC=1"+'人，

211

故AE=-Ao=—。+—/?,

333

一1-1-

AF=-AC=-b

22f

1112

BE=AE-AB=—a+—b-a=-b——a,

3333

BF=AF—AB=-b—a；

2

(2)

1?11

證明：因為BE=Ia=BF=-(?-2a),

2

所以8E=]8F,

所以BEaBF，

又因BE.8尸有公共點B,

所以8,E,尸三點共線.

24.(2022?全國?高一課前預(yù)習(xí))如圖，設(shè)。是?ABCQ對角線的交點，則

(1)與OA的模相等的向量有多少個？

(2)與OA的模相等，方向相反的向量有哪些?

⑶寫出與AB共線的向量.

【答案】(1)三個

⑵0C，AO

10/22

(3)DC，CD,BA

【分析】(1)(2)(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、共線向量、向量的模的定義判斷即可；

(1)

解：在平行四邊形ABC。中，。為對角線的交點，所以Ao=OC,且AB〃OC,所以與OA的模相等的向

量有oc，AO,Co三個向量.

(2)

解：與。4的模相等且方向相反的向量為0C，A0.

(3)

解：與AB共線的向量有。C，CD,BA.

【能力提升】

一、單選題

1.(2022?吉林?白城市通榆縣毓才高級中學(xué)有限責(zé)任公司高一階段練習(xí))已知空間向量α",且AB=α+2b,

BC=-5a+6b>CD-Ia-Ibi則一定共線的三點是()

A.A、B、CB.B、CDC.A、B、DD.A、C、D

【答案】C

【分析】根據(jù)向量共線判斷三點共線即可.

【詳解】解：BD=BC+CD=-5a+6h+la-2b=2a+4h

=2(α+2%)=2AB,

又A8與8。過同一點B,

：.A.B、。三點共線.

故選：C.

2.(2022?內(nèi)蒙古大學(xué)滿洲里學(xué)院附屬中學(xué)高一期末)給出下列命題：

①兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；

②若A,B,C,。是不共線的四點，則AB=。C是四邊形ABCO為平行四邊形的充要條件；

③若4與同向，且卜卜忖,則4>6;

④人”為實數(shù)，若衣=皿，則”與6共線.

其中假命題的個數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)向量共線定義判斷①；根據(jù)向量相等的定義和平行四邊形的定義判斷②；根據(jù)兩向量不能比

較大小判斷③；舉反例否定④.

【詳解】①不正確.當(dāng)起點不在同一直線上時，雖然終點相同，但向量不共線；

②正確AB=IDC，，IABl=IZ)Cl且48〃OC;

又?.?A,B,C,。是不共線的四點，.?.四邊形ABC。是平行四邊形.

反之，若四邊形ABCo是平行四邊形，

則AB〃CD且AB與OC方向相同，因此AB=OC:

③不正確.兩向量不能比較大小.

④不正確.當(dāng)2=〃=0時，〃與〃可以為任意向量，

滿足/α="b,但”與匕不一定共線.

故選：C.

3.(2022?全國?高一單元測試)已知/為“ΛBC所在平面上的一點，且A8=c,AC=A,3C=".若

aIA+bIB+cIC=O<則/是ABC的(????)

A.重心B.內(nèi)心C.外心D.垂心

【答案】B

(.、

beARAC

【分析】利用平面向量基本定理及向量數(shù)量積的運算可求得/A=———+r-F,由此可得點/在

a+b+c?^πAB??AC?

/84C的平分線上，同理可得，點/在NBC4的平分線上，由三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得選項.

【詳解】因為/3=∕A+A8,/C=/4+AC,所以

aIA+bIB+cIC=aIA+b^lA+AB^+c^lA+Ae)=(α+b+c)IA+hAB+cAC=0,

所以(α+A+c)∕4=-S?AB+c?4C),所以

..-(h`AB+c?AC)

IA=----------------------―-——AB+C—AC

a+b+ca+b+ca+b+c

----------(??AB+c?

a+h+cx

be(ABAC)

--------T---

a+b+c[^cb)

be絲+/

--------[---網(wǎng)---∣AC∣J

a+b-?-c

12/22

所以/A在角A的平分線上，故點/在/BAC的平分線上，

同理可得，點/在NBC4的平分線上，故點/在二ABC的內(nèi)心，

故選：B.

UtUI?IUUIDI

4.（2022?陜西渭南?高一期末）設(shè)e是單位向量，A8=3e,CO=-3e，陷=3,則四邊形ABCO是（？??？）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】B

【分析】由題知附=3；=-注，進而得IABI=IA耳，AB〃Co,再根據(jù)菱形的定義即可得答案.

UlU1

【詳解】解：因為48=3e,CD=-3e>

所以罰=3：=-&，即AB//CD，網(wǎng)T鉤=同=3口=3,

所以四邊形ABa）是平行四邊形，

因為I明卜3,即,耳=卜4，

所以四邊形ABGD是菱形.

故選：B

ab

5.（2022?浙江麗水?高一期末）若”,人為非零向量，則“口=面”是力共線”的（????）

H?h?

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

ah

【分析】R=M表示與Mb同向的單位向量，共線可能同向共線、也可能反向共線，再由充分性、必

要性的定義可求出答案.

ab

【詳解】依題意。,人為非零向量，∏表示與“同向的單位向量，M表示與6同向的單位向量，

ab

則∏二國表示與α,b同向的單位向量，所以能推出α,b共線，所以充分性成立；

ab

〃共線可能同向共線、也可能反向共線，所以。力共線得不出同=M，所以必要性不成立.

故選：B.

6.（2022?全國?高一課時練習(xí)）在.?.ABC中，若BC=a,CA=h,AB=c,S.a-b=bc=ca，貝IJABC的

形狀為

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.以上都不對

【答案】A

【分析】由題中〃為=人?c=c?α,結(jié)合三角形圖像找準(zhǔn)向量夾角，得出基本關(guān)系式，再根據(jù)幾何關(guān)系進行

求解

【詳解】如圖所示.

4-1=忖Wcos（乃_C）=_WWCoSC,

b?c=∣?∣HCOS（乃-A）=-MHCoSA,

HwCoS（乃-B）=TdWCoS8.

???a?Z>=4c=c?”,；?一,IWCOSC=-WH?cos4MCOSC=HCOSA.作BI)J_AC于￡),則

∣CD∣=∣α∣cosC,∣AD∣=∣c∣cosA,.?∣CD∣=AD,

二￡>為AC的中點，；.網(wǎng)=|叫.

同理可證IAq=IAC∣,.?.ΛBC為等邊三角形.

答案選A

【點睛】個別設(shè)及三角形形狀題型，可先進行預(yù)判，再想法設(shè)法去進行證明比如此題，可先預(yù)判為等邊三

角形，再進行證明，對于復(fù)雜的幾何問題，需要借助圖形來輔助求解

7.(2022?安徽?蕪湖一中高一階段練習(xí))過A4βC內(nèi)一點M任作一條直線，再分別過頂點A,B,C作/的垂

線，垂足分別為RE,F,若AQ+BE+CF=0恒成立，則點M是ΔAβC的

A.垂心B.重心C.外心D.內(nèi)心

14/22

【答案】B

【分析】本題采用特殊位置法，將直線特殊為過三角形頂點，從而可得解.

【詳解】本題采用特殊位置法較為簡單.

因為過AABC內(nèi)一點M任作一條直線，可將此直線特殊為過點A,則AO=O,有BE+CF=0?

如圖：

則有直線AM經(jīng)過BC的中點，

同理可得直線BM經(jīng)過AC的中點，直線CM經(jīng)過AB的中點，

所以點”是AABC的重心，

故選B.

【點睛】本題主要考查了向量在三角形中的應(yīng)用，采用了特殊位置法，屬于難題.

二、多選題

8.（2022.廣西賀州.高一期末）以下選項中，能使α∕g成立的條件有（????）

A.|4=忖B.同=0或W=O

C.a=-2bD.α與6都是單位向量

【答案】BC

【分析】對于A、D：取特殊向量”,b分別為小），軸上的單位向量，否定結(jié)論；

對于B：由零向量與任何向量平行，即可判斷；對于C：由向量平行的判定定理即可判斷.

【詳解】對于A、D：不妨取凡。分別為x、y軸上的單位向量，滿足“同=W'',滿足與方都是單位向量”,

但是a//6不成立.故A、D錯誤；

對于B：由零向量與任何向量平行，可知同=O或W=O時，a∕".故B正確；

對于C：因為“=-28，所以“//。.故C正確.

故選：BC

9.（2022?全國?高一單元測試）下列敘述中錯誤的是（????）

A.若a=b，則3a>2∕?

B.若α∕∕b,則α與b的方向相同或相反

C.若a//。，b//c>則?！–

D.對任一非零向量d,高是一個單位向量

【答案】ABC

【分析】根據(jù)向量不能比較大小可判斷A；根據(jù)共線向量的定義可判斷B；當(dāng)B=O時可判斷C；根據(jù)單位

向量的定義可判斷D,進而可得答案.

【詳解】對于A,因為向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比較大小，故A錯誤；

對于B,零向量與任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若〃=0，

則對于非零向量a,必有4//O，但a與0的方向不一定相同或相反，故B錯誤；

對于C,若人=0,則零向量與任意向量平行，

所以對任意向量4與￠,均有a//，b∕∕c>故此時。與C不一定平行，故C錯誤；

對于D,由單位向量的定義可得，對任一非零向量a,其單位向量為向，故D正確.

故選：ABC.

三、填空題

10.（2022.上海市向明中學(xué)高一期末）P在線段￡鳥的反向延長線上（不包括端點），且IP=2/^,則

實數(shù)λ的取值范圍是.

【答案】（—1,0）

【分析】結(jié)合題意設(shè)EP=V?（“<0）,再由6尸=4尸鳥整理得6P=∕τ[g,由此得至∣J-?="0,從

1÷A1÷Λ

而得解.

【詳解】依題意，設(shè)IP=M利（〃<0）,

因為PR,所以Ψ5=*pg+需）=一相戶+Mg,

貝∣J∕]P=?j—,故^—-=∕√<0,所以一lv∕lvθ.

1÷Λ1÷A

故答案為：（-1,0）.

V----------------?-----------A

PlPyP

11.（2022?全國?高一課時練習(xí)汨知G為,ABC內(nèi)一點，且滿足AG+BG+CG=0，則G為ΛBC的

心.

【答案】重

16/22

【分析】如圖，取AB的中點。，利用向量的加減法運算得到GC與GO共線，進一步得到G,C,。三點共

線，且GC=2GD,結(jié)合重心的性質(zhì)可判斷G為，ABC的重心.

如圖，取AB的中點。由AG+8G+CG=0?得-GC=GA+GB，

又G4+GB=2GD,故-GC=2GZ），則GC與G。共線，

又GC，G。有公共點G,

故G,C,D三點共線，且GC=2GO,

因此可得G為，AfiC的重心.

故答案為：重.

12.（2022?陜西渭南?高一期末）若α為任一非零向量，〃為單位向量，給出下列說法：

①W>M；????②a〃b;

（3）∣α∣>0;????@|?|=±1；

⑤若［是與α同向的單位向量，則4=b.

其中正確的說法有個.

【答案】1

【分析】根據(jù)平面向量的模的概念和零向量、單位向量的概念判斷①③④，根據(jù)平行向量的概念即可判斷

②⑤.

【詳解】由題意知，,卜O,W=1,

對①，當(dāng)W=g時，w<w，不一定有w>w，故①錯誤；

對②，”與6方向不一定相同或相反，所以“與6不一定平行，故②錯誤；

對③，非零向量的模必大于0,即卜卜0,故③正確；

對④，向量的模非負(fù)，故④錯誤；

LIU

對⑤，々與b方向不一定相同，所以％與人方向不一定相同，故⑤錯誤.

綜上可知，只有③正確，正確的說法只有1個.

故答案為：1

13.（2022?全國?高一課時練習(xí)）如圖，在矩形ABCO中，M,N分別為線段8C,8的中點，若

MN=4AM+4BN,ΛΛeR（則4+4的值為.

【分析】利用向量的線性運算及平面向量基本定理即可求解.

【詳解】因為M,N分別為線段8C,C。的中點，

所以MN=g8Q=g（AO-AB）=gAO-；A8,

AM=AB+BM=AB+-AD,

2

BN=BC+CN=AD--AB,

2

所以MN=4AM+4BN=4（AB+g4O）+4（A￡）-gA2）

=（4_34卜8+（；4

所以]],解得:，

-λ+λ,=-Λ=-

12"、25

132

所以4+/I2=_]+]=（,

所以4+4的值為

2

故答案為：j.

14.（2022?全國?高一課時練習(xí)）如圖，已知.ABC的面積為14cπ√,D,E分別為邊AB,BC上的點，且

AD:DBBE:EC=2:1,AE,CD交于點P,則4APC的面積為cm2.

【答案】4

18/22

【分析】以AB=α,BC=6,建立一組基底向量，再利用點A,P,E與點D,P,C分別共線的性質(zhì)表示出

DP,AP,建立二元一次方程，再采用間接法，根據(jù)SW^=5.8°-5兇研-536.求出答案，屬于難題

21

【詳解】設(shè)AB=α8C=b,以α,8為一組基底，則AE=c,+]kDC=^a+b.

???點AP,E與點、D,P,C分別共線，

21

，存在實數(shù)X和〃，使AP==+DP=μDC=-μa+μb.

又,.?AP=AD+DP=齊權(quán).+如

121

]+八,

7

解得,

4

-λ=μ,

3HF

?*?SAPAB=勺SMBC=14χ,=8(Cnr),SIJ,BC=14×fl-yj=2(cm^),

*2

..SMPC=14-8-2=4(cm).

【點睛】復(fù)雜的三角形線段關(guān)系問題，借鑒向量法進行求解時，還是需要根據(jù)向量基底進行基礎(chǔ)運算，如

本題中面積問題最終轉(zhuǎn)化成線段比例問題，在處理正面入手不好解決的問題時，可從對立面入手，采用間

接法來進行求解

四、解答題

15.(2022.全國?高一課時練習(xí))設(shè)e∣,e2是兩個不共線的向量，如果AB=3e∣-2e?,BC=4el+e2,

CD=Sel-9e2.

(1)求證：A,B,。三點共線;

(2)試確定4的值，使2；Iq+e1和q+/Ie2共線；

(3)若e∣+τ?2與2q+e]不共線，試求2的取值范圍.

【答案】(1)證明過程見解析

(2)Λ=±-

2

(3)2≠±1

【分析】(1)要證明A,B,。三點共線，只需證明向量AB與BO共線;

(2)兩向量2∕le∣+e2與e∣+Xs共線，所以存在唯一實數(shù)實數(shù)〃，使22q+e?=〃,+/le?).

由此列方程組可解;

（3）知兩向量不共線，求參數(shù).可先求兩向量共線時的參數(shù)值，實數(shù)集中去除這些值，即為不共線的參數(shù)

值或范圍.

(1)

證明：因為8。=BC+C￡)=4el+e2+8t-1-9e2=l2。-8/=4卜4-2e?)=4A8,

所以A8與B。共線.

因為A8與8。有公共點B,

所以A,B,。三點共線.

(2)

因為2√le∣+e2與e∣+λe1共線，

所以存在實數(shù)〃，^2λei+e1=μ[ex+λe2^.

f2Λ=Z/,

因為e∣,e?不共線，所以，]=/

所以彳=±叵

2

（3）

j

假設(shè)q+雞與雞+?2共線，則存在