認(rèn)識三角形知識點(diǎn)

./認(rèn)識三角形1．三角形有關(guān)的概念<1>三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形,組成三角形的線段叫做三角形的邊,相鄰兩邊公共的端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)．相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角〔簡稱三角形的角〕．<2>三角形的表示三角形用符號"△"表示,頂點(diǎn)是A、B、C的三角形,記作"△ABC",讀作"三角形ABC"。如圖7-4一l,三角形有三個頂點(diǎn)：A、B、C；有三條邊：AB、BC、AC;有三個角：、、．△ABC的三邊用表示時,所對的邊BC用表示．所對的邊AC用表示．所對的邊AB用c表示．2．三角形的分類注意：根據(jù)角的大小來識別三角形的形狀時,一般只要考慮三角形中的最大角；若最大角是銳角,則三角形是銳角三角形；若最大角是直角,則三角形直角三角形；若最大角是鈍角,則三角形鈍角三角形．3．三角形中邊的關(guān)系〔1〕三角形的任意兩邊之和大于第三邊；〔2〕三角形的任意兩邊之差小于第三邊如圖7-4-1中,。注意：在任意給定的三條線段中,當(dāng)三條線段中較短的兩條線段之和大于另一條線段時,才能組成三角形。例如：有三條線段的長分別為3、4、6因為3+4>6,所以這三條線段能組成三角形．又如：有三條線段的長分別為3、4、8要為3+4<8,所以這三條線段不能組成三角形．4．三角形的三種主要線段<1>高：從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線畫垂線,頂點(diǎn)和垂足間的線段,叫做三角形的高。如圖7-4-2,AD是△ABC的高,可表示為ADBC或=90°或=90°。<2>中線：在三角形中,連接頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段,叫做三角形的中線。如圖7-4-3,AE是△ABC的中線,表示為BE=EC或BE=BC或BC=2EC.<3>角平分線：在三角形中,一個內(nèi)角的平分線和這個角的對邊相交,這個角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線,一個角的平分線是一條射線,而三角形的角平分線是一條線段．如圖7-4-4,AF是的角平分線,可表示為或或.一個三角形中三條中線交于一點(diǎn),三條角平分線交于一點(diǎn),三條高所在直線交于一點(diǎn)。5．三角形的高、角平分線、中線的畫法<1>三角形高的畫法,如圖7-4-5．注意：①銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形都有三條高．②銳角三角形的三條高交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)．如圖7-4-5甲,③鈍角三角形的三條高交于三角形外部一點(diǎn)．如圖7-4-5乙,④直角三角形的三條高交于直角頂點(diǎn)．如圖7-4-5丙．<2>三角形的中線的畫法：將三角形一邊的中點(diǎn)與這邊所對角的頂點(diǎn)連接起來,就得到三角形一邊上的中線．<3>三角形的角平分線的畫法：三角形的角平分線的畫法與角平分線的畫法相同,可以用量角器。防錯檔案：畫鈍角三角形的高容易出錯,要抓住從三角形一頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€段．6．面積法解題例如：如圖7-4-6,在△ABC中,AB=AC,AC邊上的高BD=10,求AB邊上的高CE的長．解析：由三角形面積公式有：因為AB=AC,BD=10,所以CE=BD=10.名題詮釋[例題1]如圖7-4-7,點(diǎn)D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn),點(diǎn)E在AD上．<1>圖中共有____個三角形；<2>以.AC為邊的三角形是____；<3>以BDE為內(nèi)角的三角形是____.[解析]<1>的左右兩側(cè)各有3個三角形,分別是△ABE、△ABD、△EBD、△ACE、△.ACD、△ECD,左右兩側(cè)組合又形成2個以BC為邊的三角形,它們是△ABC、△EBC.故共有8個三角形．<2>以AC為邊的三角形有3個,它們是△.ACE、△ACD、△ACB.<3>以BDE為內(nèi)角的三角形有2個,它們是△EBD、△ABD．[答案]<1>8<2>△ACE、△ACD、△ACB<3>△EBD、△ABD[點(diǎn)評]數(shù)三角形要注意選擇恰當(dāng)?shù)捻樞?做到不重不漏,注意最容易漏掉的是最大的三角形．[例題2]下列三角形分別是什么三角形？〔1〕已知一個三角形的兩個內(nèi)角分別是50°和60°；<2>已知一個三角形的兩個內(nèi)角分別是35°和55°；<3>已知一個三角形的兩個內(nèi)角分別是30°和45°；<4>已知一個三角形的周長為16cm,有兩邊的長分別是6cm和4cm.[解析]確定三角形的形狀,應(yīng)緊扣定義．[答案]<1>銳角三角形,因為三角形內(nèi)角和為180°,而兩個內(nèi)角分別是50°和60°,所以第三個內(nèi)角是70°,即這個三角形是銳角三角形．<2>直角三角形,同理．<3>鈍角三角形,同理．<4>等腰三角形．因為第三條邊的長為16-6-4=6<cm>．[點(diǎn)評]應(yīng)全面考慮三角形的邊和角的條件,再根據(jù)定義判別．[例題3]下列長度的三條線段能組成三角形的是<>．A.lcm、2cm、3.5cmB.4cm、5cm、9cmC.5cm、8cm、15cmD.8cm、8cm、9cm[解析]因為1+2<3.5,所以lcm、2cm、3.5cm的三條線段不能構(gòu)成三角形因為4+5=9,所以4cm、5cm、9cm的三條線段不能構(gòu)成三角形；因為5+8<15,所以5cm、8cm、15cm的三條線段不能構(gòu)成三角形；因為8+8>9,所以8cm、8cm、9cm的三條線段能構(gòu)成三角形．[答案]D[點(diǎn)評]三條線段能否構(gòu)成三角形的條件是三角形三邊的關(guān)系,即是否滿足任意兩邊之和大于第三邊．簡便方法是檢驗較小的兩邊之和是否大于最大邊．[例題4]甲地離學(xué)校4km,乙地離學(xué)校lkm．記甲、乙兩地之間的距離為dkm,則d的取值為<>．A.3B.5C.3或5D．3≤d≤5[解析]本題應(yīng)分兩種情況討論：<1>甲、乙兩地與學(xué)校在一條直線上；<2>甲、乙兩地與學(xué)校不在同一條直線上,則構(gòu)成三角形,可利用三角形三邊關(guān)系解題．[答案]D[例題5]如圖7-4-8,在△ABC中,=,G為AD的中點(diǎn),延長BG交AC于E．F為AB上一點(diǎn),CFAD于H,下面判斷正確的有<>．①AD是△ABE的角平分線；②BE是△ABD邊AD上的中線；③CH為△ACD邊AD上的高；④AH是△ACF的角平分線和高線．A.l個B．2個C.3個D．4個[解析]由=知AD平分BAE．但AD不是△ABE內(nèi)的線段,故①錯,AD應(yīng)是△ABC的角平分線；同理,BE經(jīng)過△ABD的邊AD的中點(diǎn)G,但BE不是△ABD中的線段,故②不正確,正確的說法應(yīng)是BG是△ABD邊AD上的中線；由于CHAD于H,故CH是△ACD邊AD上的高,故③正確；AH平分FAC并且在△ACF內(nèi),故AH是△ACF的角平分線,同理AH也是△ACF的高,故④正確．[答案]B[點(diǎn)評]三角形的角平分線和角的平分線之間的區(qū)別：前者是線段,在三角形的內(nèi)部,后者是射線,可以無限延伸．[例題6]在△ABC中,AB=AC,AC邊上的中線BD把三角形的周長分為12cm和15cm兩部分,求三角形各邊的長,[解析]中線BD把三角形的周長分為12cm和15cm兩部分,要分類討論：<1>當(dāng)腰長小于底邊時,AB+AD=12,如圖7-4-9①；<2>當(dāng)腰長大于底邊時,AB+AD=15,如圖7-4-9②．[答案]設(shè)AB=,則有：AD=DC=．<1>若AB+AD=12,即+=12,=8．AB=AC=8,DC=4,故BC=15-4=11.此時AB+AC>BC,所以三角形三邊長分別為8cm,8cm,llcm.<2>若AB+.4D=15,即+=15,=10．即AB=AC=10,DC=5,故BC=12-5=7．顯然,此時三角形存在,所以三角形三邊長分別為l0cm,l0cm,7cm．綜上所述,此三角形的三邊長分別為8cm,8cm．llcm或l0cm,l0cm,7cm．[例題7]如圖7-4-10,是甲、乙、丙、丁四位同學(xué)畫的鈍角△ABC的高BE,其中畫法錯誤的是____________[解析]甲圖錯在把三自形的高線與AC邊的垂線定義相混淆,把"線段"畫成"直線"；乙圖錯在未抓住"垂線"這一特征,畫出的BE與AC不垂直；丙圖錯在沒有過點(diǎn)B畫AC的垂線,故不是高；丁圖錯在沒有向點(diǎn)B的對邊畫垂線．[答案]甲、乙、丙、丁[例題8]如圖7—4-11,在△ABC中,AB=AC,AC邊上高BD=10,P為邊BC上任意一點(diǎn),PMAB,PNAC,垂足分別為M,N．求PM+PN的值．[解析]連接AP后,PM、PN就轉(zhuǎn)化為△APB和△APC的高,從而由面積法可求得PM+PN的值．[答案]連接AP,由圖7-4-11可知：,即因為AB=AC,BD=10,所以PM+PN=BD=10.速效基礎(chǔ)演練1如圖7-4-12,圖中三角形的個數(shù)共有<>．A1個B．2個C.3個D．4個2三角形兩邊的長分別為lcm和4cru,第三邊的長是一個偶數(shù),則第三邊的長是________,這個三角形是___________三角形3如圖7-4-13．<1>ADBC,垂足為D,則AD是___________的高,_______=_______=90°；<2>若AE平分,交BC于E點(diǎn),AE叫___________的角平分線,=_______=________;<3>若AF=FC,則△ABC的中線是_________;<4>若BC=GH=HF．則AG是________的中線,AH是_________的中線。4如圖7-4-14,在△ABC中,=90°,D、E為AC上的兩點(diǎn),且AE=DE,=,則下列說法中不正確的是<>．A．BC是△ABE的高B．BE是△ABD的中線C．BD足△EBC的角平分線D．5如圖7-4-15,哪一個圖表示AD為△ABC的高？<>6如果三角形的兩邊分別為3和5,那么這個三角形的周長可能是<>．A．15B．16C．8D．77下列長度的三條線段,能組成三角形的是<>．A.lcm,2cm,3cmB.2cm,3cm,6cmC.4cm,6cm,8cmD.5cm,6cm,12cm8如圖7-4-16,為估計池塘岸邊A、B兩點(diǎn)的距離,小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O,測得OA=15米,OB=10米,A、B間的距離不可能是<>．A．5米B．10米C．15米D．20米9如圖7-4-17,在△ABC中,<1>畫出的平分線CD；<2>畫出AC邊上的中線BM；<3>畫出△ABM的邊BM上的高AH.10如圖7-4-18．△ABC是周長為18cm的等邊三角形,D是BC上一點(diǎn),△ABD的周長比△ADC的周長多2cm,求BD、DC的長。11等腰三角形的周長為30,一腰上的中線把其周長分成差為3的兩部分,試求腰長．12已知如圖7-4-19,在△ABC中,BE平分,交AC于點(diǎn)E,DE∥BC,EF∥AB,分別交AB、BC于點(diǎn)D、F,則BE是的平分線嗎？請說明理由．13在△ABC中,=90°,BC=6,AC=8,AB=10,求邊AB上的高．知能提升突破1如圖7-4-20,在△ABC