《兩角分別相等的兩個三角形相似》課件（兩套）

第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定第4課時兩角分別相等的兩個三角形相似學習目標1.探索兩角分別相等的兩個三角形相似的判定定理；2.掌握利用兩角來判定兩個三角形相似的方法；（重點、難點）3.掌握判定兩個直角三角形相似的方法.問題1

觀察學生與老師的直角三角板（30°與60°），會相似嗎？測量一下，得出你的猜想.觀察與思考導入新課問題2兩個人畫出兩個三角形，使三個角分別為60°，45°,75°.①分別量出兩個三角形三邊的長度；②這兩個三角形相似嗎?講授新課如圖，△ABC與△A′B′C′中，∠A=∠A′,∠B=∠B′，探究下列問題：（1）請你借助刻度尺度量AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的長，并計算出它們的比值.由此，你能得到什么？CAA'BB'C'合作探究兩角分別相等的兩個三角形相似一我發(fā)現這兩個三角形是相似的（2）試證明△ABC∽△A′B′C′.

證明：在△ABC的邊AB（或AB的延長線）上，截取AD=A′B′，過點D作DE//BC，交AC于點E，則有△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B.∵∠B=∠B′，∴∠ADE=∠B′.又∵

AD=A′B′，∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.CAA'BB'C'DE由此得到相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似.

如圖，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC.

AEFBCD證明:∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.

∴△ADE∽△EFC.（兩角分別相等的兩個三角形相似）練一練典例精析例1.如圖，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°,∠E=80°

,∠F=60°

．求證：△ABC∽△DEF.

AFECBD證明：∵在△

ABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°－∠A－∠B=60°.∵在△

DEF中，∠E=80°，∠F=60°.∴∠B=∠E，∠C=∠F.

∴△ABC∽△DEF（兩角分別相等的兩個三角形相似）.例2

如圖，弦AB和CD相交于⊙O內一點P,求證:PA·PB=PC·PD.證明:連接AC，DB.∵∠A和∠D都是弧CB所對的圓周角∴∠A=_______同理∠C=_______∴△PAC∽△PDB∴______

即PA·PB=PC·PD∠D∠B如圖，

∠ABD=∠C,AD=2，AC=8，求AB的長.

ABCD解：∵∠A=∠A，∠ABD=∠C，

∴△ABD∽△ACB.∴AB:AC=AD:AB.∴AB2=AD·AC.∵AD=2，AC=8，∴AB=4.做一做判定兩個直角三角形相似二如圖，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C′=90°.CAA'BB'C'探究歸納根據前面的判定定理，不難得知當

或

時，Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.∠A=∠A′∠B=∠B′由此得到一個判定直角三角形相似的方法：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似.思考：對于兩個直角三角形，我們還可以用“HL”判定它們全等，那么，滿足斜邊和一直角邊成比例的兩個直角三角形相似嗎？如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°,

.求證:Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.CAA'BB'C'目標：證明：設____________=k.由

，得

∴∴＿＿＿＿＿＿＿＿∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.勾股定理CAA'BB'C'由此得到另一個判定直角三角形相似的方法：斜邊和一直角邊成比例的兩個直角三角形相似.當堂練習1．如圖，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，則圖中相似三角形共有(

)A．1對B．2對C．3對D．4對C證明：∵△ABC的高AD、BE交于點F，∴∠FEA=∠FDB=90°,∠AFE

=∠BFD(對頂角相等).∴△FEA

∽△FDB，∴2.如圖，△ABC

的高AD、BE交于點F．求證：

3.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D.若AB=6,AD=2,則AC=.

BD=.

BC=.18

DBCA4.如圖，∠1=∠2=∠3，求證：△ABC∽△ADE．證明：∵∠BAC=∠1+∠DAC

,∠DAE=∠3+∠DAC，∵∠1=∠3，∴∠BAC=∠DAE.∵∠C=180°－∠2－∠DOC

，∠E=180°－∠3－∠AOE.

又∵∠DOC=∠AOE（對頂角相等），∴∠C=∠E.∴△ABC∽△ADE

兩角分別相等的兩個三角形相似利用兩角判定三角形相似課堂小結直角三角形相似的判定27.2.1相似三角形的判定第4課時1.理解定理“兩角對應相等，兩三角形相似”；2.能靈活地選擇定理判定相似三角形.這兩個三角形的三個內角的大小有什么a關系？三個內角對應相等的兩個三角形一定相似嗎？三個內角對應相等.觀察你與老師的直角三角尺,相似嗎？畫一個三角形，使三個角分別為60°，45°,75°.①分別量出兩個三角形三邊的長度；②這兩個三角形相似嗎?即：如果一個三角形的三個角分別與另一個三角形的三個角對應相等，那么這兩個三角形_______．相似一定需三個角對應相等嗎？相似三角形的判別方法：如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應相等，那么這兩個三角形相似．如果兩個三角形僅有一對角是對應相等的，那么它們是否一定相似嗎？

CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用數學符號表示：相似三角形的判別(兩個角分別對應相等的兩個三角形相似.)【例1】弦AB和CD相交于⊙o內一點P，求證：PA·PB=PC·PD.ABCDPO證明:連接AC、BD∵∠A、∠D都是所對的圓周角，∴∠A=∠D.同理:∠C=∠B.∴△PAC∽△PDB.即PA·PB=PC·PD.【例2】如圖所示，在兩個直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判斷這兩個三角形是否相似．

C'B'A'CBA解析：∵∠B＝∠B′＝90°（已知），∠A＝∠A′（已知），∴△ABC∽△A′B′C′（兩個角分別對應相等的兩個三角形相似．）ABCED在△ABC中，D、E分別是AB、AC延長線上的點，且DE∥BC，試說明△ABC與△ADE相似．解析:

∵DE∥BC（已知）∴∠AED＝∠C（兩直線平行，內錯角相等），∵∠EAD＝∠CAB.（對頂角）∴△ADE∽△ABC.（兩組對應角分別相等的兩個三角形相似.）ABCDEABCDE21OCBADOCDABABCDE常見的相似圖形ABDC圖11.填一填（1）如圖1，點D在AB上，當∠

＝∠

時，

△ACD∽△ABC.（2）如圖2，已知：點E在AC上，若點D在AB上，則滿足

條件

，就可以使△ADE與原△ABC相似.ABCE圖2ACD

B

(或者∠ACB＝∠ADC)DE//BCD(或者∠C＝∠AED)(或者∠B＝∠ADE)2．如圖，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的長．解析：∵DE:EA=2:3∴DE：DA=2：5∵EF∥AB∴△DEF∽△

DAB∴DE：DA=EF：AB2：5=4：ABAB=10CD=103.如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，試說明△ADE∽△EFC.AEFBCD解析:∵DE∥BC，EF∥AB（已知），∴∠ADE＝∠B＝∠EFC（兩直線平行同位角相等）∠AED＝∠C.（兩直線平行同位角相等）∴△ADE∽△EFC.（兩個角分別對應相等的兩個三角形相似．）解析：

∵∠A=∠A，∠ABD=∠C∴△ABD∽△ACB∴AB:AC=AD:AB∴AB2=AD·AC∵AD=2，AC=8∴AB=4.4.已知如圖，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.ABCD解析：（1）△ABC與△FOA相似,因為直線l垂直平分線段AC，所以∠AFO=∠CFO=∠BAC，又∠AOF=∠ABC＝90°，所以△ABC與△FOA相似.（２）四邊形AFCE是菱形，⊿AOE≌⊿COF，所以AE＝CF，又AE＝CE，AF＝CF，所以，