北京孝義營(yíng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

北京孝義營(yíng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.以橢圓+=1的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線C，其左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，已知點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，1），雙曲線C上點(diǎn)P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）滿足=，則﹣S（）A．2 B．4 C．1 D．﹣1參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】通過已知條件，寫出雙曲線方程，結(jié)合已知等式及平面幾何知識(shí)得出點(diǎn)M是△F1PF2的內(nèi)心，利用三角形面積計(jì)算公式計(jì)算即可．【解答】解：∵橢圓方程為+=1，∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）、（﹣3，0），焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）、（﹣2，0），∴雙曲線方程為，設(shè)點(diǎn)P（x，y），記F1（﹣3，0），F(xiàn)2（3，0），∵=，∴=，整理得：=5，化簡(jiǎn)得：5x=12y﹣15，又∵，∴5﹣4y2=20，解得：y=或y=（舍），∴P（3，），∴直線PF1方程為：5x﹣12y+15=0，∴點(diǎn)M到直線PF1的距離d==1，易知點(diǎn)M到x軸、直線PF2的距離都為1，結(jié)合平面幾何知識(shí)可知點(diǎn)M（2，1）就是△F1PF2的內(nèi)心．故﹣===2，故選：A．2.連擲兩次骰子得到點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量的夾角為的概率是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略3.若直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交，則點(diǎn)P(a,b)的位置是（

）A、在圓上

B、在圓外

C、在圓內(nèi)

D、都有可能參考答案：B4.甲、乙兩人在相同條件下進(jìn)行射擊，甲射中目標(biāo)的概率為,乙射中目標(biāo)的概率為，兩人各射擊1次，那么甲、乙同時(shí)射中目標(biāo)的概率為

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B5.如果兩直線與互相平行，那么它們之間的距離為（

）． A． B． C． D．參考答案：D對(duì)變形可得，∵直線與平行，∴，∴兩條平行線間的距離為：，故選．6.

（

）（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：C略7.已知，猜想的表達(dá)式為（）A. B.C. D.參考答案：B∵∴，即.∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.∴∴故選B.8.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6＋a2a9＝18，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值為()A．12

B．10

C．8

D．2＋log35參考答案：B9.已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足，且導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A．(1,+∞)

B．(e,+∞)

C．(0,1)

D．(0,e)參考答案：D10.曲線|x―1|+|y―1|=1所圍成的圖形的面積為

A.1

B.2

C.4

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（4，3）到直線3x﹣4y+a=0的距離為1，則實(shí)數(shù)a的值是．參考答案：±5【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式，建立方程，即可求出實(shí)數(shù)a的值．【解答】解：由題意，=1，∴a=±5．故答案為±5．12.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱AB的中點(diǎn)，則直線A1P與BC1所成角為

參考答案：略13.(|x﹣1|+|x﹣3|)dx=

．參考答案：10【考點(diǎn)】定積分．【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由和的積分等于積分的和展開，把被積函數(shù)去絕對(duì)值后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為四個(gè)定積分求解．【解答】解：（|x﹣1|+|x﹣3|）dx=|x﹣1|dx+|x﹣3|dx=（1﹣x）dx+（x﹣1）dx+（3﹣x）dx+（x﹣3）dx==10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了定積分，關(guān)鍵是把被積函數(shù)去絕對(duì)值后注意積分區(qū)間的變化，是基礎(chǔ)題．14.數(shù)列中，，則

；參考答案：15.方程的解可視為函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).若方程的各個(gè)實(shí)根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（=1,2,…，k）均在直線的同側(cè)（不包括在直線上），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.參考答案：或.16.某學(xué)習(xí)小組進(jìn)行課外研究性學(xué)習(xí)，為了測(cè)量不能到達(dá)的A、B兩地，他們測(cè)得C、D兩地的直線距離為2km，并用儀器測(cè)得相關(guān)角度大小如圖所示，則A、B兩地的距離大約等于（提供數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）參考答案：1.4km【考點(diǎn)】正弦定理．【專題】計(jì)算題；解三角形．【分析】在△ADC中，可求得AC=2，在△BDC中，利用正弦定理可求得BC，最后在△ABC中，利用余弦定理可求得AB．【解答】解：依題意，△ADC為等邊三角形，∴AC=2；在△BDC中，CD=2，由正弦定理得：==2，∴BC=；在△ABC中，由余弦定理得AB2=BC2+AC2﹣2BC?ACcos45°=2+4﹣2××2×=2，∴AB=≈1.4km．故答案為：1.4km．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理與余弦定理，考查解三角形，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．17.在△ABC中，若，則△ABC的面積S是

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.上周某校高三年級(jí)學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測(cè)試，年部組織任課教師對(duì)這次考試進(jìn)行成績(jī)分析現(xiàn)從中隨機(jī)選取了40名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，已知這40名學(xué)生的成績(jī)?nèi)吭?0分至100分之間，現(xiàn)將成績(jī)按如下方式分成6組：第一組[40,50)；第二組[50,60)；…；第六組[90,100]，并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）估計(jì)這次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和眾數(shù)；（Ⅱ）從成績(jī)大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選2名，求至少有1名學(xué)生的成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]內(nèi)的概率．參考答案：（1）65分（2）【分析】（1）先利用頻率和為1，求得的頻率，然后利用每組中點(diǎn)值作為代表，計(jì)算出平均數(shù).眾數(shù)是頻率分布直方圖最高的長(zhǎng)方形的中點(diǎn)，故為.（2）分別計(jì)算出內(nèi)的學(xué)生數(shù)，然后利用列舉法求得至少有1名學(xué)生的成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率.【詳解】（1）成績(jī)?cè)趦?nèi)頻率為：平均分為眾數(shù)的估計(jì)值是（2）成績(jī)?cè)趯W(xué)生有人，記此人分別為，，，，成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生有人，記此人分別為，，則從這人中任選人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共個(gè).記事件“在成績(jī)大于等于分的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，至少有名學(xué)生的成績(jī)?cè)趦?nèi)”為事件，則事件包含的基本事件有，，，，，，，，共個(gè).故事件發(fā)生的概率為【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和眾數(shù)，考查利用列舉法求解古典概型問題，屬于基礎(chǔ)題.19.在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，直線，點(diǎn)P在棱DF上。（1）

若P是棱DF的中點(diǎn)，①求證：BF∥平面ACP；②求異面直線BE與CP所成角的余弦值；（2）若二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)度.參考答案：

略20.(本小題滿分14分)在如圖所示的空間幾何體中，平面平面，與是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，和平面所成的角為，且點(diǎn)在平面上的射影落在的平分線上．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．參考答案：（Ⅰ）由題意知，，都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，，又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，那么，根據(jù)題意，點(diǎn)落在上，

……………3分∴，易求得，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面……………7分（Ⅱ）解法一：作，垂足為，連接，∵⊥平面，∴，又，∴平面，∴，∴就是二面角的平面角…………10分中，，，．∴．即二面角的余弦值為．…………14分解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可知平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，可求得．

……10分所以，所以二面角的余弦值為．

…………14分21..已知向量,滿足，．(1)求關(guān)于k的解析式f(k)．(2)若，求實(shí)數(shù)k的值．(3)求向量與夾角的最大值．參考答案：（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積即可。（2）根據(jù)向量平行時(shí)的條件即可。（3）根據(jù)向量的夾角公式即可?！驹斀狻?1)由已知，有，．又因?yàn)椋?，所以，即?2)因?yàn)?，，所以，則與同向．因?yàn)?，所以，即，整理得，所以，所以?dāng)時(shí)，．(3)設(shè)與的夾角為θ，則．當(dāng)，即時(shí)，取最小值，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的平以及數(shù)量積和夾角，屬于基礎(chǔ)題。22.已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（0，﹣），（0，），且AC，BC所在直線的斜率之積等于．（1）求頂點(diǎn)C的軌跡M的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)P（1，t）為曲線M上點(diǎn)，且點(diǎn)P為第一象限點(diǎn)，過點(diǎn)P作兩條直線與曲線M交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線PE，PF斜率互為相反數(shù)，則直線EF斜率是否為定值，若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，可得所求軌跡方程，注意去除y軸上的點(diǎn)；（2）設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），令直線PE：y﹣=k（x﹣1），聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理求得E的坐標(biāo)，同理將k換為﹣k，可得F的坐標(biāo)，再由直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到定值．【解答】解：（1）令C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則直線A