人教A版（2019）必修第二冊 第八章 8.6.3 平面與平面垂直（教學(xué)課件）

第八章

§8.6空間直線、平面的垂直8.6.3平面與平面垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，

會求簡單的二面角的平面角.2.掌握兩個平面互相垂直的概念，能用定義和定理判定面面垂直.3.掌握面面垂直的性質(zhì)定理，并能利用面面垂直的性質(zhì)定理證明

一些簡單的問題．內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE知識點一二面角的概念1.定義：從一條直線出發(fā)的

所組成的圖形.2.相關(guān)概念：(1)這條直線叫做二面角的

；(2)兩個半平面叫做二面角的

.3.畫法：兩個半平面棱面4.記法：二面角

或二面角

或二面角

或二面角P－AB－Q.5.二面角的平面角：(1)若有①O

l；②OA

α，OB

β；③OA

l，OB

l，則二面角α－l－β的平面角是

.(2)二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.α－l－βα－AB－βP－l－Q∈??⊥⊥∠AOB知識點二平面與平面垂直1.平面與平面垂直的定義(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是

，就說這兩個平面互相垂直.(2)畫法：(3)記作：

.直二面角α⊥β2.平面與平面垂直的判定定理文字語言如果一個平面過另一個平面的

，那么這兩個平面垂直符號語言l⊥α，

?α⊥β圖形語言

垂線l?β知識點三平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的

，那么這條直線與另一個平面_____符號語言α⊥β，α∩β＝l，

，

?a⊥β圖形語言

交線垂直a?αa⊥l思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.組成二面角的平面角的兩邊所在直線所確定的平面與二面角的棱垂直.(

)2.若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線，則α⊥β.(

)3.若平面α⊥平面β，任取直線l?α，則必有l(wèi)⊥β.(

)4.若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則該直線也垂直于另一平面.(

)√×√√2題型探究PARTTWO例1

(1)從空間一點P向二面角α－l－β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α－l－β的平面角的大小是A.60° B.120°C.60°或120° D.不確定一、二面角的求法√解析如圖所示，過PE，PF作一個平面γ與二面角α－l－β的棱交于點O，連接OE，OF.因為PE⊥α，PF⊥β，所以PE⊥l，PF⊥l，所以l⊥平面γ，所以l⊥OE，l⊥OF，則∠EOF為α－l－β的平面角，且它與∠EPF相等或互補(bǔ)，故二面角α－l－β的平面角的大小為60°或120°，故選C.(2)如圖所示，已知三棱錐A－BCD的各棱長均為2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值.解如圖，取CD的中點M，連接AM，BM，則AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角的定義可知∠AMB為二面角A－CD－B的平面角.設(shè)點H是△BCD的中心，連接AH，則AH⊥平面BCD，且點H在線段BM上.反思感悟求二面角的平面角的大小的步驟跟蹤訓(xùn)練1

如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.解由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑，且點C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.∴BC⊥平面PAC.二、平面與平面垂直的判定例2

如圖，在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC.證明∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.反思感悟證明平面與平面垂直的方法(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角.(2)利用面面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直.跟蹤訓(xùn)練2

如圖，已知三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求證：平面ABC⊥平面ASC.證明作SH⊥AC交AC于點H，連接BH，∵SA＝SC，∴AH＝HC.在Rt△ABC中，H是AC的中點，又SH＝SH，SA＝SB，∴△SAH≌△SBH(SSS)，又AC∩BH＝H，AC，BH?平面ABC，∴SH⊥平面ABC，又SH?平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.∴SH⊥BH，三、平面與平面垂直的性質(zhì)定理例3

如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.證明如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于點D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.反思感悟利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時，要注意以下三點(1)兩個平面垂直.(2)直線必須在其中一個平面內(nèi).(3)直線必須垂直于它們的交線.跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC.求證：BC⊥平面ACD.證明如題圖(1)，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，過C作CE⊥AB，E為垂足，∴四邊形AECD為正方形，∴CE＝AE＝EB＝2，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ACB＝90°即BC⊥AC，如題圖(2)，平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC＝AC，又BC?平面ABC且BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD.3隨堂演練PARTTHREE1.已知l⊥α，則過l與α垂直的平面A.有1個

B.有2個C.有無數(shù)個

D.不存在12345√解析由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個.123452.對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β＝m，n?αC.m∥n，n⊥β，m?α

D.m∥n，m⊥α，n⊥β√解析∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.3.在正方體ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是A.30°

B.45°C.60°D.90°√解析如圖，由正方體的性質(zhì)易知AB⊥平面ADD′A′，則AB⊥AD，AB⊥AD′，則∠D′AD為二面角D′－AB－D的平面角，又因為四邊形ADD′A′為正方形，所以∠D′AD＝45°，即二面角D′－AB－D的大小是45°，故選B.123454.在三棱錐A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，則有A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ADC⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面ADB12345√解析如圖，因為AD⊥BC，AD⊥CD，BC∩CD＝C，所以AD⊥平面BCD，又AD?平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD.故選B.5.如圖，在三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝______.解析平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，12345課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識清單：(1)二面角以及二面角的平面角.(2)平面與平面垂直的判定定理.(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：面面垂直性質(zhì)定理中在其中一個面內(nèi)作交線的垂線，與另一個平面垂直.4課時對點練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固1.下列命題正確的是A.平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥βB.若平面α⊥β，則α內(nèi)的直線垂直于平面βC.若平面α⊥β，且α∩β＝l，則過α內(nèi)一點P與l垂直的直線垂直于平面βD.若直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則不能說一定有a⊥α12345678910111213141516√12345678910111213141516解析A項，平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線，則α⊥β，故A錯誤；B項，由面面垂直的性質(zhì)定理知，只有垂直于交線的直線才垂直于另一個平面，故B錯誤；C項，平面α⊥β，且α∩β＝l，則過α內(nèi)一點P與l垂直的直線，只有當(dāng)此直線在α內(nèi)時才垂直于β，故C錯誤；D項，a與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直可以推出a⊥α，故D正確.2.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法中正確的是A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥βB.若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α∥βC.若m∥α，n⊥β，m∥n，則α⊥βD.若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥β√12345678910111213141516解析m∥α，m∥n，∴n∥α或n?α，又n⊥β，∴α⊥β.3.已知一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，若這兩個二面角的平面角均為銳角，則這兩個二面角的關(guān)系是A.相等

B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)

D.既不相等也不互補(bǔ)√12345678910111213141516解析畫圖(圖略)易得到滿足已知條件的兩個二面角相等或互補(bǔ)，若它們的平面角均為銳角，則這兩個二面角相等.4.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，則A.PD?平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD與平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC12345678910111213141516√解析因為PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.又因為平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD?平面PAB，所以PD⊥平面ABC.5.(多選)如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列說法正確的有A.平面PAD⊥平面PABB.平面PAD⊥平面PCDC.平面PBC⊥平面PABD.平面PBC⊥平面PCD√√√解析由題意可得CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，∴平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，故選ABC.123456789101112131415166.在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點，有下列四個命題：①BC∥平面PDF；②平面PDF⊥平面ABC；③DF⊥平面PAE；④平面PAE⊥平面ABC.其中正確命題的序號是________.12345678910111213141516①③④12345678910111213141516解析因為D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，所以DF∥BC，又DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故①正確；因為E是BC的中點，所以BC⊥AE，BC⊥PE.因為AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.因為BC?平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故④正確；因為DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故③正確；只有②不正確.故正確的命題為①③④.7.已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為

，則側(cè)面與底面所成的二面角的大小為______.60°123456789101112131415168.已知正三棱錐S－ABC的所有棱長均為2，則側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為____.解析如圖，取BC的中點E，連接SE，AE，∵SB＝SC＝AB＝AC，∴SE⊥BC，AE⊥BC，∴∠SEA即為所求二面角，123456789101112131415169.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點.求證：平面ABM⊥平面A1B1M.1234567891011121314151612345678910111213141516證明由長方體的性質(zhì)可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM?平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M為CC1的中點，所以C1M＝CM＝1.又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，從而BM⊥B1M.12345678910111213141516又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M?平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M，因為BM?平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.10.如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD的中點.求證：12345678910111213141516(1)BG⊥平面PAD；12345678910111213141516證明由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，又BG?平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG?平面PAD，∴BG⊥平面PAD.12345678910111213141516(2)AD⊥PB.證明由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG?平面PBG，∴AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，∴AD⊥PB.綜合運(yùn)用11.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于√解析如圖所示，連接AC交BD于點O，連接A1O，∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角，1234567891011121314151612.如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所成的角分別為

.過A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′，B′，則AB∶A′B′等于A.2∶1 B.3∶1C.3∶2 D.4∶3√1234567891011121314151612345678910111213141516∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.13.如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中正確的是A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直線BC∥平面PAED.直線PD與平面ABC所成的角為45°12345678910111213141516√12345678910111213141516解析∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直線PD與平面ABC所成的角.∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AD＝2AB，∴直線PD與平面ABC所成的角為45°.14.α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題____________.①③④?②解析m⊥n，將m和n平移到一起，則確定一平面，∴該平面與平面α和平面β的交線也互相垂直，從而平面α和平面β的二面角的平面角為90°，∴α⊥β.故答案為①③④?②.∵n⊥β，m⊥α，12345678910111213141516拓廣探究15.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足______