2023-2024學年上海市楊浦區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年上海市楊浦區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列各式中與，I是同類二次根式的是（）

A.720B.JIC.yp2AD.<02

2.用配方法解一元二次方程/一6%-7=0,則方程變形為（）

A.（x-6）2=43B.（%+6）2=43C.（x-3）2=16D.（x+3）2=16

3.下面各組變量的關系中，成正比例關系的有（）

A.人的身高與年齡B.汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度

C.正方形的面積與它的邊長D.圓的周長與它的半徑

4.如圖，點P在反比例函數(shù)y=；（%>0）第一象限的圖象上，PQ垂直x軸，垂足為

Q,設APOQ的面積是s,那么s與k之間的數(shù)量關系是（）

C.s=k

D.不能確定

5.下列給出的三條線段中，不能構成直角三角形的是（）

A.4,8,4/3B.4,8,475C.7,24,25D.7,14,15

6.已知下列命題中：

①有兩條邊分別相等的兩個直角三角形全等；

②有一條腰相等的兩個等腰直角三角形全等；

③有一條邊與一個銳角分別相等的兩個直角三角形全等；

④頂角與底邊分別對應相等的兩個等腰三角形全等.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共12小題，每小題3分，共36分。

7.計算：72a-76a=

8.方程產=5%的根是.

9.函數(shù)y=，2久一1的定義域是.

-1

10.已知/Q）=—,那么f（五）=.

11.若函數(shù)y=（fc+l）x是正比例函數(shù)，且y的值隨x的值增大而減小，貝心的取值范圍是.

12.關于x的一元二次方程一2%+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)小的取值范圍是

13.到點4的距離等于2厘米的點的軌跡是.

14.若直角三角形斜邊上的高是3,斜邊上的中線是6,則這個直角三角形的面積是.

15.如圖，在AABC中，NC=90。，邊4B的垂直平分線DE交AC于。,

CD-10cm,AD—20cm,則Z71=

16.若點P在x軸上，點4坐標是（2,-1）,且則點P的坐標是

17.在證明“勾股定理”時，可以將4個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個

大正方形（如圖所示，AB<BC）.如果小正方形的面積是25,大正方形的面積為49,

那么

BC

AB=-----'

18.我們規(guī)定：如果一個三角形一邊上的高等于這條邊，那么這個三--------------------------

角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個三角形的“等底”汝口

圖，已知直線?！╗2,11與，2之間的距離是3，“等高底”△48C的“等

底”BC在直線匕上（點B在點C的左側），點4在直線。上，AB=

y[2BC,將AABC繞點B順時針旋轉45。得到AaiBCi，點4、C的對應點分別為點&、的，那么&C的長

為一

三、解答題：本題共8小題，共52分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.（本小題5分）

計算：露

20.（本小題5分）

如圖，點B、F、C、E在同一直線上，AB1BE,垂足為B,DELBE,垂足為E,AC.DF相交于點G,且

AC=DF,BF=CE.求證：FG=CG.

21.（本小題5分）

如圖，走廊上有一梯子以45。的傾斜角斜靠在墻上，墻與地面垂直，梯子影響了行人的行走，工人將梯子

挪動位置，使其傾斜角變?yōu)?0。，如果梯子的長為4米，那么行走的通道拓寬了多少米？（結果保留根號）.

22.（本小題5分）

某市半程馬拉松比賽，甲乙兩位選手的行程（千米）隨時間（小時）變化的圖象如圖所示.

⑴哪位選手先到終點？（填“甲”或“乙”）；

（2）甲選手跑到8千米時，用了小時.起跑小時后，甲乙兩人相遇；

（3）乙選手在0<%<2的時段內，y與x之間的函數(shù)關系式是；

（4）甲選手經(jīng)過1.5小時后，距離起點有千米.

23.（本小題6分）

如圖，在△48C中，AB=AC,NB=30。.

（1）在BC邊上求作一點N,使得力N=BN；（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，求證：CN=2BN.

24.（本小題8分）

如圖，已知在△ABC中，AB=AC,ABAC=30°,。是BC的中點，DElAB^E,。尸//AB交2C于尺求

.1

證：DE=^DF.

25.（本小題8分）

如圖，已知一次函數(shù)y=；%和反比例函數(shù)y=g（k力0）的圖象交點是4（4,m）.

(1)求反比例函數(shù)解析式；

(2)在x軸的正半軸上存在一點P,使得A/IOP是等腰三角形，請求出點P的坐標.

26.(本小題10分)

如圖，在RtAZBC中，/.ACB=90°,C：A=CB,點、D、E在線段4B上.

(1)如圖1,若CD=CE,求證：AD=E出；

(2)如圖2,若“CE=45。,求證：DE7!=AD2+BE2；

(3)如圖3,若點P是△ABC內任意一點,^BPC=135°,設4P=a、BP=b、CP=c,請直接寫出a,b,c

之間的數(shù)量關系.

ADEBDEBB

圖1圖2圖3

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：力、=2門與，I不是同類二次根式；

B、「=￡與是同類二次根式；

C、，苕=2五與，^不是同類二次根式；

。、舊=?與合不是同類二次根式；

故選：B.

化簡二次根式，即可判定.

本題主要考查了同類二次根式，解題的關鍵是能正確化簡二次根式.

2.【答案】C

【解析】【分析】

首先進行移項變形成/-6久=7,兩邊同時加上9,則左邊是一個完全平方式，右邊是一個常數(shù)，即可完

成配方.

配方法的一般步驟：

(1)把常數(shù)項移到等號的右邊；

(2)把二次項的系數(shù)化為1；

(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)是2的倍數(shù).

【解答】

解：%2-6%-7=0,

■?-X2—6x=7,

%2—6%+9=7+9,

(x-3)2=16.

故選：C.

3.【答案】D

【解析】【分析】

此題主要考查了正比例函數(shù)的定義，此題屬于辨識成正、反比例的量，就看這兩個量是對應的比值一定，

還是對應的乘積一定，再做判斷.判斷兩個相關聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應的比值一

定，還是對應的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例.

【解答】

解：力、人的身高與年齡不成比例，故此選項不符合題意；

2、汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度成反比例關系，故此選項不符合題意；

C、正方形的面積與它的邊長的平方成正比例，故此選項不符合題意；

。、圓的周長與它的半徑成正比例關系，故此選項符合題意；

故選：D.

4.【答案】B

【解析】解：,:點P是反比例函數(shù)y=g圖象上一點，且PQlx軸于點Q,

1

S^POQ=1^1=s,

解得：|k|=2s.

???反比例函數(shù)在第一象限有圖象，

k=2s,即s=1

故選：B.

根據(jù)點P在反比例函數(shù)圖象上結合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義就可以求出s與k之間的數(shù)量關系.

本題考查了反比例函數(shù)的性質以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關鍵是根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾

何意義找出△POQ面積s與k的關系.

5.【答案】D

【解析】解：4742+(4/^2=64=82,???能夠成直角三角形，故本選項錯誤；

8、?.?42+82=80=(4/5)2,.?.能夠成直角三角形，故本選項錯誤；

2

C、???7+242=625=252,.?.能夠成直角三角形，故本選項錯誤；

D、?:72+142=245豐152,.?.不能夠成直角三角形，故本選項正確.

故選：D.

根據(jù)勾股定理的逆定理對四個選項進行逐一判斷即可.

本題考查的是如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+F=c2,那么這個三角形就是直角三角形.

6.【答案】B

【解析】解：①有兩條邊分別相等的兩個直角三角形不一定全等，原命題是假命題；

②有一條腰相等的兩個等腰直角三角形全等，是真命題；

③有一條邊與一個銳角分別相等的兩個直角三角形不一定全等，原命題是假命題；

④頂角與底邊分別對應相等的兩個等腰三角形全等，是真命題.

其中真命題的個數(shù)是2個；

故選：B.

根據(jù)全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性質分別對每一項進行分析即可.

本題考查了命題與定理，用到的知識點是全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性質，主要考查

學生的分析問題和解決問題的能力，是一道比較容易出錯的題目.

7.【答案】2y/~3a

【解析】解：V2a-V6a=72a?6a—V12a2=2V-3cz，

故答案為：20a.

根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可.

本題考查了二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題的關鍵.

8.【答案】%i=0,久2=5

【解析】解：x2-5%=0,

%(%-5)=0,

???x=0或久—5=0,

*,*X]=0,%2=5.

故答案為巧=0,%2=5.

先把方程變形為/-5x=0,把方程左邊因式分解得x(x-5)=0,則有x=0或％-5=0,然后解一元一

次方程即可.

本題考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程變形為一元二次方程的一般形式，然后把方程左邊

因式分解，這樣就把方程轉化為兩個一元一次方程，再解一元一次方程即可.

9.【答案】x>l

【解析】解：根據(jù)題意得：2比—120,

解得：xj

故答案為無>

根據(jù)二次根式的性質的意義，被開方數(shù)大于或等于0,可以求出x的范圍.

本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍問題，函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：

(1)當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

(2)當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

(3)當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負.

10.【答案】

【解析】解：〃門)=出

2—4

-(2+AA3)(2-73)

=2—s/~3-

故答案為：2—，^.

把x=門代入函數(shù)表達式，再分母有理化即可得解.

本題考查了函數(shù)值的求解，掌握分母有理化是關鍵.

11.【答案】k<-l

【解析】解：,?,正比例函數(shù)y=(k+l)x中，y的值隨自變量x的值增大而減小，

/c+1<0,

解得，k<—1；

故答案為：k<-1.

根據(jù)正比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關系列出關于k的不等式k+1<0,然后解不等式即可.

本題主要考查正比例函數(shù)圖象在坐標平面內的位置與k的關系.解答本題注意理解：直線y=kx所在的位

置與k的符號有直接的關系.k>0時，直線必經(jīng)過一、三象限，y隨久的增大而增大；k<OHt,直線必經(jīng)

過二、四象限，y隨比的增大而減小.

12.【答案】m<1且m豐0

【解析】解：由題意得：/>0,

(-2)2—4mx1>0,

整理得：m<1.

又?:m0,

二實數(shù)nt的取值范是爪<1且m*0.

故答案是：m<1且m豐0.

由題意可得/>0且6力0,然后解不等式即可.

本題考查了一元二次方程根的判別式的應用.切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條

件.

13.【答案】以點a為圓心，2厘米長為半徑的圓

【解析】解:到點4的距離等于2厘米的點的軌跡是：以點力為圓心，2厘米長為半徑的圓.

故答案為：以點力為圓心，2厘米長為半徑的圓.

根據(jù)圓的定義解答.

本題考查了軌跡，主要是對圓的軌跡定義的考查，比較簡單.

14.【答案】18

【解析】解：???直角三角形斜邊上的中線是6,

?,?斜邊長=2x6=12,

???直角三角形斜邊上的高是3,

???這個直角三角形的面積=1x12x3=18,

故答案為：18.

利用直角三角形斜邊上的中線性質可求出斜邊長，然后利用三角形的面積公式進行計算即可解答.

本題考查了直角三角形斜邊上的中線，三角形的面積，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質是解題的關

鍵.

15.【答案】30。

【解析】解：???DE垂直平分4B,

??.BD=AD=20cm,AE=BE,DE1AB,

在Rt△BCO中，Z-C=90°,

BC=y/BD2-CD2=V202-102=10<3,

在Rt△力BC中，AB=yjBC2+AC2=J(1073)2+302=20AA3>

ABE=^AB=10V-3，

，BE=BC,

在Rt△BCD^Rt△BEO中，

(BD=BD

Sc=BE'

???Rt△BCD=Rt△BED(HL),

???Z.CBD=乙EBD,

DA=DB,

???Z-EBD=乙A,

???Z-ABC=2乙4,

???Z.A+乙ABC=90°,

???5+2/4=90°,

解得乙4=30°.

故答案為：30。.

先根據(jù)線段垂直平分線的性質得到BD=力。=20cm,AE=BE,DELAB,再利用勾股定理計算出BC=

10/3,AB=20<3>貝!1BE=1OV^,接著證明Rt△BCDmRt△BED,所以4CBD=KEBD,貝IJNABC=

2N4然后根據(jù)三角形內角和計算出乙4的度數(shù).

本題考查了線段垂直平分線的性質：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意■點，到線段

兩端點的距離相等.

16.【答案】(3,0)或(1,0)

【解析】解：由題意設PQ,0),因為P2=

7(2-x)2+(-l-0)2=y[2,

解得：x=3或x=1,

所以點P的坐標是(3,0)或(1,0),

故答案為：(3,0)或(1,0),

設出P的坐標，利用兩點距離公式，求出P的坐標.

此題考查點的坐標問題，關鍵是兩點間距離公式的應用，考查計算能力.

17.【答案嗎

【解析】【分析】

此題考查勾股定理的證明.首先求出小正方形的邊長和大正方形的邊長然后再求出4B和8c的長，進而可

端的值?

【解答】

解：???小正方形的面積是25,

AC=5,

???△HAG=ABCA,

??.AH=CB,

???大正方形的面積為49,

???BH=7,

AB+AH=7,

設力B=x,

則力"=7-x,

在RtAABC中：久2+（7一久）2=52,

解得：X1=4,g=3，

當％=4時，7—x=3,

當％=3時，7-x=4,

1?■AB<BC,

AB=3，BC-4,

.BC_4

“而一于

18.【答案】3，1一3

【解析】解：如下圖：

BC=3,AC=3,AB=ArB=

711C=ArB-BC=3-\/~2-3,

故答案為：3，1-3.

先根據(jù)勾股定理求出BC,再根據(jù)旋轉法性質求解.

本題考查了旋轉的性質，掌握勾股定理是解題的關鍵.

19.【答案】解：原式=2--|1-/3|+2/3

=2-73+1-^43+2門

=3.

【解析】先分母有理化，再根據(jù)二次根式的性質化簡，然后合并即可.

本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則、除法法則是解決問題

的關鍵.

20.【答案】證明：BF=CE,

BF+FC=CE+FC,

即BC=EF,

AB1BE,DE1BE,

NB=NE=90°,

^.RtABC^WRthDEF,

(BC=EF

Uc=DF'

RtAABC三RtADEF(HL),

/.ACB—/-DFE,

GF=GC.

【解析】由“HL”可證RtAABC三RtADEF,可得乙4cB=NDFE,可得結論.

本題考查了全等三角形的判定和性質，證明三角形全等是解題的關鍵.

21.【答案】解：在RtAABO中，^ABO=45°,

則。B=OA,

???4B=4米，

OA2+OB2=AB2=16,

OB=271(米)，

在RMCD。中，^ADO=60°,

?-,乙DCO=30°,

-1

OD=^CD=2(米)，

BD=OB-OD=(2AA2-2)米，

答：行走的通道拓寬了(2，1-2)米.

【解析】根據(jù)勾股定理求出。B,再根據(jù)含30。角的直角三角形的性質求出。D,進而求出BD.

本題考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性質、含30。角的直角三角形的性質，靈活運用相關的定理是

解題的關鍵.

22.【答案】乙0.51y=10x(0<%<2)12

【解析】解：(1)由圖可知，乙選手先到終點，

故答案為：乙；

(2)由圖可知，甲選手跑到8千米時，用了0.5小時，起跑1小時后，甲乙兩人相遇，

故答案為：0.5,1；

⑵由圖可得，乙選手的速度為與=10(千米/小時)，

y與x之間的函數(shù)關系式是y=10x(0<x<2)；

故答案為：y=10x(0<x<2)；

⑶由圖可知，甲0.5小時距離起點8千米，1小時距離起點10千米，

.-?0.5<x<1.5時,甲用0.5小時跑了(10—8)=2(千米)，

x=1.5時，甲距離起點10+2=12(千米)，

故答案為：12.

(1)觀察圖象直接可得答案；

(2)觀察圖象直接可得答案；

(3)求出乙的速度，即可得到y(tǒng)與尤之間的函數(shù)關系式；

(4)由圖象知：0.5WXW1.5時，甲用0.5小時跑了2千米，即可得到答案.

本題考查一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能從圖象中獲取有用的信息.

23.【答案】(1)解：作圖正確；

(2)證明：連接4V.',4^

???AB=AC,

Z-B=Z.C=30°.

???^BAC=180°-2乙B=120°.

???AN=BN,

???^NAC=Z.BAC-乙NAB=120°-30°=90°.

???Z.C=30°,

??.CN=2AN.

??.CN=2BN.

【解析】(1)作線段4B的垂直平分線上；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質計算出NC的度數(shù)，再計算出NC4N的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的性質可得CN=

2AN,進而得到CN=2BN.

此題主要考查了作圖，以及直角三角形的性質，關鍵是正確畫出圖形,掌握在直角三角形中，30。角所對

的直角邊等于斜邊的一半.

A

24.【答案】證明：如圖，過點。作DH12C于點H,

--AB=AC,。是BC的中點，

2D平分N84C,/\

???DE1AB,DH1AC,/\

DE=DH,//\

???DF//AB,ABAC=30°,

BD0

.-.乙DFH=ABAC=30°,

1

??.DH=”F,

DE=^DF.

【解析】過點。作DH1AC于點H,根據(jù)等腰三角形的性質得到4D平分ABAC,根據(jù)角平分線的性質得到

DE=根據(jù)含30。角的直角三角形的性質得到DH=|DF,等量代換證明結論.

本題考查的是等腰三角形的性質、角平分線的性質、含30。角的直角三角形的性質，靈活運用等腰三角形

的三線合一是解題的關鍵.

25.【答案】解：(1);4點是一次函數(shù)y=和反比例函數(shù)y=2(k豐0)圖象的交點，

1A

m=-X4,

解得租=2,

即4(4,2),

把4點坐標代入反比例函數(shù)y=§(k手0)得，2=

解得k=8,

二反比例函數(shù)的解析式為y=g；

(2)設P點的坐標為(71,0),

若使AAOP是等腰三角形，分以下三種情況：

①當。a=OP時，

由(1)知，4(4,2),

???n=V42+22=2V-5?

即尸(2A,0);

???4(4,2),

??.OH=4,

OA=AP,

OP=2OH=2x4=8,

即P(8,0)；

???n=J(4—幾)2+22,

即九2=(4—n)2+22,

解得7?=I，

即P(|,。)，

綜上，符合條件的P點坐標為(2/耳,0)或(8,0)或(|,0).

【解析】(1)根據(jù)一次函數(shù)解析式求出a點坐標，再用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；

(2)若使A/IOP是等腰三角形，分。力=0P,OA=AP,OP=AP三種情況討論分別求出P點的坐標即可.

本題主要考查反比例函數(shù)的性質，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式以及分類討論思想是解題的關鍵.

26.【答案】(1)證明：如圖1,"A=CB,工

???Z-A=乙B,Iy\u

VCD=CE,//\

??.Z.CEA=乙CDB,,/