2023年高考數(shù)學(xué)大題練習(xí)（新高考） 21 隨機(jī)變量與分布列 含解析

專題21隨機(jī)變量與分布列

一、解答題

1.(2022?全國?高考真題(理))甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個

項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠

軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率：

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

【答案】(1)0.6；

(2)分布列見解析,E(X)=I3.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為AB,C,再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項

目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；

(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,再分別計算出對應(yīng)的概率，列出分布列，即

可求出期望.

(1)設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A8,C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

P=尸(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)依題可知，X的可能取值為010,20,30,所以，

P(X=O)=O.5x0.4x0.8=0.16,

P(X=10)=0,5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44,

P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,

p(X=30)=0.5X0.6X0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=OXo.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

2.(2021?北京?高考真題)在核酸檢測中,7合1“混采核酸檢測是指：先將％個人的樣本混

合在一起進(jìn)行1次檢測,如果這發(fā)個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人

的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這人個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，

此時需對每人再進(jìn)行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.

現(xiàn)對IOO人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.

(I)將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù)；

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為'.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的

分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).

(II)將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是

檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(F)與⑴中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)

【答案】(1)①20次；②分布列見解析；期望為子；(2)E(K)>E(X).

【解析】

【分析】

(1)①由題設(shè)條件還原情境，即可得解；

②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進(jìn)而可得分布列，再由期望的公式即可得解；

(2)求出兩名感染者在一組的概率，進(jìn)而求出E(Y),即可得解.

【詳解】

(1)①對每組進(jìn)行檢測，需要10次：再對結(jié)果為陽性的組每個人進(jìn)行檢測，需要10次;

所以總檢測次數(shù)為20次；

②由題意，X可以取20,30,

P(X=20)=?,P(X=3O)=1-?=E

則X的分布列:

X2030

110

PTTTT

LLL∕,?CC1“10320

所以E(X)=20X??+30×??=[]-

(2)由題意，Y可以取25,30,

兩名感染者在同一組的概率為6=強(qiáng)支=《，不在同一組的概率為2=照

ClOO9999

則E(y)=25χW+30χ史=生W>E(X).

v,999999v,

3.(2022?青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(理))“民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興”，為了加強(qiáng)鄉(xiāng)村

振興宣傳工作，讓更多的人關(guān)注鄉(xiāng)村發(fā)展，某校舉辦了有關(guān)城鄉(xiāng)融合發(fā)展、人與自然和諧共

生的知識競賽.比賽分為初賽和復(fù)賽兩部分，初賽采用選手從備選題中選一題答一題的方式

進(jìn)行，每位選手最多有5次答題機(jī)會，選手累計答對3題或答錯3題即終止比賽，答對3

題者直接進(jìn)入復(fù)賽，答錯3題者則被淘汰.已知選手甲答對每個題的概率均為I,且相互間

沒有影響.

(1)求選手甲被淘汰的概率；

(2)設(shè)選手甲在初賽中答題的個數(shù)為X,試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)急992

(2)分布列見解析，黑2541

625

【解析】

【分析】(1)分情況①甲答了3題都錯②甲答了4個題，前3個1對2錯③甲答了5個題,

前4個2對2錯分別求解即可；

(2)易得X的可能取值為3,4,5,再分別求概率，得到分布列與數(shù)學(xué)期望即可

(1)設(shè)“選手甲被淘汰”為事件/，

因為甲答對每個題的概率均為13，所以甲答錯每個題的概率均為2

則甲答了3題都錯，被淘汰的概率為C；信丫=盤；

甲答了4個題，前3個1對2錯，被淘汰的概率為CeJXgX?∣=卷；

甲答了5個題，前4個2對2錯，被淘汰的概率為U(∣J.(IJXI=急.

所以選手甲被海的概率P(A)=&+急+黑=黑?

125oz??lz??lZJ

(2)易知X的可能取值為3,4,5,對應(yīng)甲被淘汰或進(jìn)入復(fù)賽的答題個數(shù),

則p(χ=3)=q∣'Cd3

*χ=4)=q∣jχ∣χ*232234

X—x—=--------

555625

p(χ=5)=C

X的分布列為

X345

7234216

P(X)

25625625

,,/??72342162541

則lllEc(Xv)=3x----F4X------F5X------—

,725625625625

4.(2022?湖北?黃岡中學(xué)三模)2022世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽將于2022年9月30日至10月

9日在成都舉行.近年來，乒乓球運動已成為國內(nèi)民眾喜愛的運動之一.今有甲、乙兩選手

爭奪乒乓球比賽冠軍，比賽采用三局兩勝制，即某選手率先獲得兩局勝利時比賽結(jié)束.根據(jù)

以往經(jīng)驗，甲、乙在一局比賽獲勝的概率分別為：9、1且每局比賽相互獨立.

(1)求甲獲得乒兵球比賽冠軍的概率；

(2)比賽開始前，工作人員買來兩盒新球，分別為“裝有2個白球與1個黃球”的白盒與“裝有

1個白球與2個黃球”的黃盒.每局比賽前裁判員從盒中隨機(jī)取出一顆球用于比賽，且局中

不換球，該局比賽后，直接丟棄.裁判按照如下規(guī)則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比

賽用球的顏色一致，且第一局從白盒中取球.記甲、乙決出冠軍后，兩盒內(nèi)白球剩余的總數(shù)

為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】(愣20

(2)分布列見解析，W

【解析】

【分析】(1)甲獲得乒兵球比賽冠軍這個事件為前兩局甲全獲勝，或前兩局中甲勝一局第三

局甲勝，由獨立事件與互斥事件概率公式計算；

(2)甲乙決出冠軍共進(jìn)行了y局比賽，易知y=2或y=3,記叫表示第i局從白盒中抽取的

白色球，X表示第i局從黃盒中抽取的黃色球，X的所有可能取值為1,2,3,根據(jù)卜=2和丫=3

分類討論確定事件X=l,X=2,X=3的情形，求出概率得分布列，再由期望公式計算期

望.

⑴記事件4：“甲在第i局比賽中獲勝”,(i=1,2,3),事件4甲在第i局比賽中末勝”

(/=1,2,3).

P(4)=1.[可)=1-*4)=!，(，=1，2,3).記事件上“甲奪得冠軍"，

則P(A)=P(AA2)+P(AkJ+P(*A3)=《j+；x0+∣×[∣∫=∣^.

(2)設(shè)甲乙決出冠軍共進(jìn)行了y局比賽，易知y=2或Y=3.

貝泵故()()；

∣JP(Y=2)=P(AIA2)+P()=0+W=1,py=3=i-py-2=

記w,表示第i局從白盒中抽取的白色球，Z表示第i局從黃盒中抽取的黃色球,

X的所有可能取值為1,2,3；

P(X=I)=P(Y=2)P(Wi叼+尸(丫=3)(p(w∣V?叼+p(W]的引+P他百%))

214

52xlxl+2χιχι+ιχιχl35

—X—H---；

932932323338?

P(X=2)=P(Y=2)(P佃叼+P(而Q)+P(Y=3)(P佃匈)+P(袍孫

5(2111、4(212121A32

=——X--I--X-+——×-×-+—×-×-=—?

913233；9(323332J81,

P(X=3)=P(y=2)P(^)+Λr=3)P(?)=∣d×∣]+∣(∣×∣×^=?.

綜上可得，X的分布列如下：

XI23

353214

P8?8?而

數(shù)學(xué)期望為E(X)=喘35+2若32+3x《14吟47

5.(2022?全國?南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測)真人密室逃脫將玩家關(guān)在一間密閉的房間中，主

持人講述相關(guān)的故事背景和注意事項，不同的主題有不同的故事背景，市面上較多的為電影

主題，寶藏主題，牢籠主題等.由甲、乙、丙三個人組成的團(tuán)隊參加真人密室逃脫，第一關(guān)

解密碼鎖，3個人依次進(jìn)行，每人必須在5分鐘內(nèi)完成，否則派下一個人.3個人中只要有

一人能解開密碼鎖，則該團(tuán)隊進(jìn)入下一關(guān)，否則淘汰出局.甲在5分鐘內(nèi)解開密碼鎖的概率

為0.8,乙在5分鐘內(nèi)解開密碼鎖的概率為0.6,丙在5分鐘內(nèi)解開密碼鎖的概率為0.5,各

人是否解開密碼鎖相互獨立.

(1)求該團(tuán)隊能進(jìn)入下一關(guān)的概率；

(2)該團(tuán)隊以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最??？

并說明理由.

【答案】⑴0.96

(2)先派出甲，再派乙，最后派丙，這樣能使所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)學(xué)期望)達(dá)到

最小，理由見解析.

【解

【分析】

(1)根據(jù)獨立事件的乘法公式得出不能進(jìn)入下一關(guān)的概率，利用對立事件的概率公式即可

得出能進(jìn)入下一關(guān)的概率.

(2)設(shè)按先后順序各自能完成任務(wù)的概率分別R,P2,P3,根據(jù)題意得出X的可能的取

值，分別計算概率，得出數(shù)學(xué)期望E(X)的表達(dá)式，判斷P∣,Pi,小的大小對E(X)的影響

即可得出結(jié)論.

(1)解：記“團(tuán)隊能進(jìn)入下一關(guān)''的事件為A,則''不能進(jìn)入卜一關(guān)''的事件為N,

Pp)=(1-0.8)(1-0.6)(1-0.5)=0.04,

所以該團(tuán)隊能進(jìn)入下一關(guān)的概率為P(A)=I-P(A)=1-0.04=0.96.

(2)解：設(shè)按先后順序各臼能完成任務(wù)的概率分別p∣,P2,外，且Pi，小，P3互不相等，

根據(jù)題意知X的所有可能的取值為1,2,3；

則P(X=I)=PI，P(X=2)=(1-P,)A,P(X=3)=(1-PJ(I-P2)，

E(X)=R+2。一PJP2+3(I-PI)(I-P2)=3-2p∣-0+R0,

所以E(X)=3??(p1+P2)+P∣P2-Pi?

若交換前兩個人的派出順序，則變?yōu)?-(月+0)+月0-，2，

由此可見，當(dāng)P∣>P2時,，

交換前兩人的派出順序可增大均值，應(yīng)選概率大的甲先開鎖：

若保持第一人派出的人選不變，交換后兩人的派出順序，

由交換前E(X)=3-(口+2)+PiP2-Pl=3-2pl-(l-p1)p2,

所以交換后的派出順序則變?yōu)?-2月一(1-pj小，

當(dāng)P2>P3時，交換后的派出順序可增大均值.

所以先派出甲，再派乙，最后派丙，這樣能使所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)學(xué)期望)達(dá)到

最小.

6.(2022?全國?模擬預(yù)測)北京時間2021年7月25日，2020東京奧運會射箭女子團(tuán)體決賽

在夢之島公園射箭場結(jié)束.決賽規(guī)則為每局比賽雙方各派一名隊員射擊6次，6次總分高的

一方獲得2分，若總分持平，雙方各得1分，先得6分的一方獲得比賽的勝利.韓國隊提前

一局結(jié)束比賽，以6-0完勝俄羅斯奧委會隊，自該項目1988年進(jìn)入奧運會大家庭以來，韓

國隊包攬了全部9枚金牌.在本屆賽事中，韓國代表團(tuán)迄今收獲的兩金均來于射箭項目，其

中20歲的安山有望在東京奧運會上成為三冠王,俄羅斯奧委會隊連續(xù)兩屆摘得該項目銀牌,

德國隊獲得季軍，決賽的成績(單位：環(huán))統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖所示.

RepublicofKorea：?：ROC

KOR6-0ROC

ANSan∞MBOEVASvetlana

JANGMinheeOSIPOVAElena

PfROVAKsenia

(1)分別求韓國隊、俄羅斯奧委會隊第3局比賽成績的中位數(shù)；

(2)比較韓國隊、俄羅斯奧委會隊第2局比賽的平均水平和發(fā)揮的穩(wěn)定性；

(3)從韓國隊三局比賽成績(每一局的總得分)中隨機(jī)抽取一個，記為X,從俄羅斯奧委會隊

三局比賽成績(每一局的總得分)中隨機(jī)抽取一個，記為y,設(shè)Z=X-y,求Z的數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)韓國隊第3局比賽成績的中位數(shù)9,俄羅斯奧委會隊第3局比賽成績的中位數(shù)8.5

(2)韓國隊的平均水平高，發(fā)揮更穩(wěn)定

嗚

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)圖形可得到韓國和俄羅斯的比賽成績，然后分別計算中位數(shù)即可

(2)通過計算第2局比賽韓國隊和俄羅斯隊的平均分和方差，根據(jù)方差的意義確定比賽成

績的穩(wěn)定性

(3)根據(jù)題意可得Z的取值是0,1,2,3,4,5,然后分別計算其對應(yīng)的概率，最后計算

E(Z)即可

(1)

韓國隊第3局比賽成績的中位數(shù)叫=等=9,

俄羅斯奧委會隊第3局比賽成績的中位數(shù)%=甘=8.5

Q)

第2局比賽，韓國隊的分?jǐn)?shù)依次為10,9,9,10,9,9,

平均分為—玉=；1x56=2§8,

63

222222

C2-A10-^

'l^6>E號)+E號Μ。圄+(瑤)+E罔4

俄羅斯奧委會隊的分?jǐn)?shù)依次為9,8,8,10,8,10,

平均分為——x,=}1x53=5?3,

66

?29

636

因為s；＜尺,

所以韓國隊的平均水平高，發(fā)揮更穩(wěn)定

(3)Z的所有可能結(jié)果有0,1,2,3,4,5,

p(z=0)=---=—,P(Z=I)=I+1=2,P(Z=2)=?+?=—,

v73×39'73×39173x39

1+12

P(Z=3)=p(Z=4)=-?p(Z=5)=-=~

3^3^9I)3x39'73×39

1222117

.*.E(Z)=0×-+l×-+2×-+3×-+4×-+5×-=-

v79999993

7.(2022?遼寧?渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)模擬預(yù)測)對于中國航天而言，2021年可以說是歷史

上的超級航天年，用“世界航天看中國''來形容也不為過.2021年10月16日，神舟十三號載

人飛船將翟志剛、王亞平、葉光富三名航天員送入太空，2022年4月16日安全返回地球,

返回之后他們與2名航天科學(xué)家從左往右排成一排合影留念.求：

(1)總共有多少種排法；

(2)3名宇航員互不相鄰的概率；

(3)若2名航天科學(xué)家之間航天員的數(shù)量為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)120種

(3)分布列見解析；期望為1

【解析】

【分析】

(1)由全排列定義計數(shù)可得；

(2)用插入法，先排2名航天科學(xué)家，然后在3個空檔插入3名航天員即可得，再用概率

公式求解即可；

(3)由題意得X的可能值為0,1,2,3,分別求得概率得分布列，再由期望公式計算期望.

⑴由全排列定義知共有A；=120種排法；

(2)用分步計數(shù)原理，先排2名航天科學(xué)家，然后插入3名航天員，方法數(shù)A；A；=12：概率

P=I?

(3)由題意X的可能值為O,1,2,3,

P(X=O)=攀VP(X=I)=半?P(X=2)/A滬y,

z*?D/'s?V./√??D

121

P(X=3)=Q=G,所以X的分布列為

∕?r1U

XOI23

23?1

P

io5To

311

E(X)=1×-+2×-+3×-=1.

10510

8.(2022?全國?模擬預(yù)測(理))九連環(huán)是中國傳統(tǒng)的有代表性的智力玩具，凝結(jié)著中國傳

統(tǒng)文化，具有極強(qiáng)的趣味性九連環(huán)既能練腦又能練手，對開發(fā)人的邏輯思維能力及活動手指

筋骨大有好處.同時它還可以培養(yǎng)學(xué)習(xí)工作的專注精神和耐心，實為老少咸宜.據(jù)明代楊慎

《丹鉛總錄》記載，曾以玉石為材料制成兩個互貫的圓環(huán)，“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)換，

解之為二，又合而為一后來，以銅或鐵代替玉石.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行九連環(huán)比賽，每

局不存在平局.比賽規(guī)則規(guī)定，領(lǐng)先3局者獲勝.若比賽進(jìn)行了7局，仍然沒有人領(lǐng)先3

局，比賽結(jié)束，領(lǐng)先者也獲勝.已知甲同學(xué)每局獲勝的概率為：，且每局之間相互獨立.現(xiàn)

比賽已經(jīng)進(jìn)行了2局，甲同學(xué)2局全輸.

(1)由于某種原因，比賽規(guī)則改為“五局三勝制”，試判斷新規(guī)則對誰更有利，并說明理由；

(2)設(shè)比賽總局?jǐn)?shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及期望.

【答案】(1)對乙有利，理由見解析；

149

(2)分布列見解析，期望為下.

【解析】

【分析】

(1)利用獨立事件的乘法公式及互斥概率求法求規(guī)則不變或'‘五局三勝制''情況下甲獲勝的

概率，判斷大小關(guān)系，即可得結(jié)論.

(2)由題設(shè)分析有Xe{3,5,7},求出對應(yīng)概率，進(jìn)而寫出分布列，并求期望.

(1)比賽己經(jīng)進(jìn)行了2局，甲同學(xué)2局全輸，

若規(guī)則不變，要使甲同學(xué)勝出，則第3局甲勝，后4局情況如下：

221232

2

第4、5局甲乙各勝一局，則第6、7局甲全勝，此情況概率為P1=-×(2×-×-)×(-)=^-；

第4、5局甲全勝，則第6、7局甲乙各勝一局或甲全勝，此情況概率為

C22.2.21/2d64

P)=-×(-z)^×r[2×-×-+(-)^]=——

233333243

綜上，甲獲勝的概率為示+干=77,故乙獲勝概率為77：

243243o1o1

若改為“五局三勝制”，要使甲要勝出，后三局必須全勝，

7QIQ

所以甲獲勝的概率為P=(W)3==，故乙獲勝的概率為:77;

32727

顯然，甲獲勝的概率變小，而乙獲勝概率變大，故對乙有利.

(2)比賽總局?jǐn)?shù)Xe{3,5,7},且尸(X=3)=；,P(X=5)=gx(>2=曰，P(X=7)喙,

所以X的分布列如下：

X357

?216

P(X)

32727

,…、51u2=16149

所cc以uE(X)=3x—h5×-----h7×—=----.

3272727

9.(2022?黑龍江?大慶實驗中學(xué)模擬預(yù)測(理))核酸檢測是診斷新冠肺炎的重要依據(jù)，首

先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質(zhì)，如果有病毒，樣

本檢測會呈現(xiàn)陽性，否則為陰性.某檢測點根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該處疑似病例核酸檢測呈陽性的

概率為1.現(xiàn)有4例疑似病例，分別對其取樣檢測，多個樣本檢測時，既可以逐個化驗，也

可以將若干個樣本混合在一起化驗.混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗結(jié)果就會呈陽

性.若混合樣本呈陽性,則再將該組中每一個備份的樣本逐一進(jìn)行化驗;若混合樣本呈陰性，

則判定該組各個樣本均為陰性，無需再檢驗.現(xiàn)有以下兩種方案：

方案一：逐個化驗；

方案二：平均分成兩組，每組兩個樣本混合在一起，再分組化驗.

在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢查能力不足，化驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)

(1)求4個疑似病例中至少有1例呈陽性的概率；

(2)現(xiàn)將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗，請問：方案一、二中哪個較“優(yōu)”？做出判斷并說明理

由.

175

【答案】⑴發(fā)

(2)方案二較“優(yōu)”；理由見解析

【解析】

【分析】(1)由題意可得4個疑似病例中化驗呈陽性的人數(shù)服從二項分布，由概率公式可得

答案.

(2)分別計算利用方案一、方案二進(jìn)行檢驗的次數(shù)，進(jìn)行比較可得答案.

(1)用4表示4個疑似病例中化驗呈陽性的人數(shù)，則J~B卜,")，

由題意可知，設(shè)4個疑似病例中至少有1例呈陽性為事件/

P(A)=I-P(J=O)=I-11-13

I256

(2)方案一：逐個檢驗，檢驗次數(shù)為4.

方案：：每組兩個樣本檢測時，呈陰性的概率為=2,

I4)16

設(shè)方案二的檢測次數(shù)為隨機(jī)變量匕則丫的可能取值為2,4,6,所以

97126

p(y=4)=C×--

1616256

p(y=6)=Y,

所以隨機(jī)變量丫的分布列為:

Y24()

8112649

P

256256256

所以方案二檢測次數(shù)y的期望為E(y)=2xy+4x空+6x當(dāng)=婆15

256256256256T

則采取方案二較“優(yōu)”.

10.(2022?全國?模擬預(yù)測)某紫砂壺加工工坊在加工一批紫砂壺時，在出窯過程中有的會

因為氣溫驟冷、泥料膨脹率不均等原因?qū)е伦仙皦爻霈F(xiàn)一定的瑕疵而形成次品，有的直接損

21

毀.通常情況下，一把紫砂壺的成品率為不，損毀率為對于燒窯過程中出現(xiàn)的次品，會

通過再次整形調(diào)整后入窯復(fù)燒，二次出窯，其在二次出窯時不出現(xiàn)次品，成品率為3;.已知

4

一把紫砂壺加工的泥料成本為500元/把，每把壺的平均燒窯成本為50元/次，復(fù)燒前的整形

工費為100元/次，成品即可對外銷售，售價均為1500元.

(1)求一把紫砂壺能夠?qū)ν怃N售的概率；

(2)某客戶在一批紫砂壺入窯前隨機(jī)對一把紫砂壺坯料進(jìn)行了標(biāo)記，求被標(biāo)記的紫砂壺的最

終獲利X的數(shù)學(xué)期望.

7

【答案】⑴6

(2)440.

【解析】

【分析】

(1)計算出第一次為次品，經(jīng)過復(fù)燒，二次出窯為成品的概率，加上第一次即為正品的概

率，求出答案：(2)求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，求出分布列，計算出期望.

(1)

2I?

設(shè)一把紫砂壺第一次出窯為次品為事件4則尸(A)=I-M-1=《，

則第一次為次品，經(jīng)過復(fù)燒，：次出窯為成品的概率為I=(X2M3=點3，

則一把紫砂壺能夠?qū)ν怃N售的概率g=g2+R3=而7，

(2)

X的可能取值為1500-500-50=950,1500-500-50-100-50=800,-500-50=-550,

-500-50-100-50=-700,

則P(X=950)=(,P(X=8。0)=(I-M-SXW=5，

P(X75。)4P(X=WHl-捐尺寸，

則X的分布列為：

X950800-550-700

23?1

P

W5Io

2311

所以最終獲利X的數(shù)學(xué)期望為：EX=950×-+800×-^-550×--700×-=440

11.(2022?山東?德州市教育科學(xué)研究院三模)某學(xué)校對男女學(xué)生是否喜歡長跑進(jìn)行了調(diào)查,

調(diào)查男女生人數(shù)均為10"("eN"),統(tǒng)計得到以下2x2列聯(lián)表，經(jīng)過計算可得K=4.040.

男生女生合計

喜歡6/7

不喜歡5n

合計IOnIOn

(I)完成表格求出〃值，并判斷有多大的把握認(rèn)為該校學(xué)生對長跑的喜歡情況與性別有關(guān)；

(2)①為弄清學(xué)生不喜歡長跑的原因，采用分層抽樣的方法從調(diào)查的不喜歡長跑的學(xué)生中隨

機(jī)抽取9人，再從這9人中抽取3人進(jìn)行面對面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；

②將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，記其中對長跑喜

歡的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

附表:

2

P(κ>k0)0.100.050.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.63510.828

n(^ad-bc?

(α+?)(c+J)(α+c)(?+

【答案】(1)列聯(lián)表答案見解析，〃=20,有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對長跑喜歡情況與性

別有關(guān)；

⑵①余吟

【解析】

【分析】

(1)利用給定數(shù)據(jù)完善2/2列聯(lián)表，計算K,的觀測值即可求出〃，再與臨界值表比對作答.

(2)①利用分層抽樣求出抽取的9人中男女生人數(shù)，再利用古典概型結(jié)合對立事件概率求

解作答；②利用二項分布的期望公式計算作答.

(1)

2×2列聯(lián)表如下表所示：

男生女生合計

喜歡6〃5nIIn

不喜歡4〃5n9〃

合計10?107720n

“220n×(6n×5n-4n×5n)220〃，…八

K~=-----------------------------—=-----≈4.040.而〃eN'，「是個"=20.

10n×10>ι×llπ×9n99

又K晨4.040>3.841,

所以有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對長跑喜歡情況與性別有關(guān).

(2)①采用分層抽樣的方法從調(diào)查的不喜歡長跑的學(xué)生中隨機(jī)抽取9人，這9人中男生的人

數(shù)為4,女生的人數(shù)為5,

再從這9人中抽取3人進(jìn)行面對面交流，”至少抽到一名女生”的概率為

②由(1)知，任抽1人喜歡長跑的概率P=*,

依題意，X~8(10,分)，所以X的數(shù)學(xué)期望是E(X)=IOX，=，.

12.(2022?河南?平頂山市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測(理))已知某射擊運動員射中固定靶的概

率為e4，射中移動靶的3概率為每次射中固定靶、移動靶分別得1分、2分，脫靶均得0

分，每次射擊的結(jié)果相互獨立，該射擊運動員進(jìn)行3次打靶射擊；向固定靶射擊2次，向移

動靶射擊1次.

(1)求“該射擊運動員沒有射中移動靶且恰好射中固定靶1次”的概率；

(2)若該射擊運動員的總得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴言

(2)分布列見解析：期望為京

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)獨立事件概率乘法公式P(AB)=P(4)P(B)計算；(2)根據(jù)題意X的所有可能取值

為0,1,2,3,4,分別求其概率，進(jìn)而求期望.

(1)

(1)記“該射擊運動員沒有射中移動靶且恰好射中固定1次”為事件4

……1411142

則P(A)=-×-×-+-×-×-=

45545525

(2)

X的所有可能取值為0，1,2,3,4,

貝IJp(X=O)=(I141-1

100

P(X=I)=L-

45545525

31114419

P{X=2)=—X—X—+—×—X—二，

455455100

3413146

P(X=3)×-×+—x-x—=

45545525

34412

P(X=4)=-×-×-=-,

45525

所以X的分布列為：

X0I234

1219612

P

Ioo25Ioo2525

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=OX-!-+Iχ2+2χ^+3χ9+4x”=衛(wèi).

'10025100252510

13.(2022?湖北?模擬預(yù)測)第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，于

2022年2月4日星期五開幕，2月20日星期日閉幕，該奧運會激發(fā)了大家對冰雪運動的熱

情，某冰雪運動品商店對消費達(dá)一定金額的顧客開展了“冬奧”知識有獎競答活動，試題由若

干選擇題和填空題兩種題型構(gòu)成，共需要回答三個問題，對于每一個問題，答錯得0分；答

對填空題得30分答對選擇題得20分現(xiàn)設(shè)置了兩種活動方案供選擇,方案一：只回答填空題；

方案二：第一題是填空題，后續(xù)選題按如下規(guī)則：若上一題回答正確，則下一次是填空題，

若上題回答錯誤，則下一次是選擇題.某顧客獲得了答題資格，已知其答對填空題的概率均

為答對選擇題的概率均為P,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)

(1)若該顧客采用方案一答題，求其得分不低于60分的概率；

(2)以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù)，該顧客選擇何種方案更加有利？并說明理由.

【答案】⑴T

333

(2)0</?<-,選方案一；P=:,方案一、方案二均可；:選方案二.

444

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)題意得分不低于60分的情況為至少答對兩道填空題,結(jié)合二項分布概率公式求解;

(2)根據(jù)題意分別求E(X)=45,E(K)=-IOp2+y/2+^,作差比較大小.

(1)

采用方案一答題，得分不低于60分的情況為至少答對兩道填空題

.?.其概率為CC+e?f?l=∣+∣=i

(2)

若采用方案一，設(shè)其答對題數(shù)為九得分為X

則X=3034"回，

.?.E(X)=30E(?)=30?3?∣=45

若采用方案二，設(shè)其得分為匕則y=0,20,30,50,60,90

尸(y=0)=g(JP)1尸(y=20)=J?p]+g(l-p)?p=當(dāng)空

P(y=30)=g?g(I-P)=一

P(y=50)=gP(y=60)=(Kp(y=90)=?=:

E(y)=θ?°-p)+20?*-2/+30.1z￡+50.e+602+90」

v7244288

65105

=-1ι0np2+?p+-^-

E(X)-E(X)=IOp2

35

令E(X)—E(y)>O,則8∕-26p+15>0,解得p<j或p>j(舍去)

3

即°<P<['選方案一數(shù)學(xué)期望大

3

E(X)-E(K)=O,則〃=：,方案一、方案二數(shù)學(xué)期望一樣

3

E(x)-f(y)<o,則?<p<ι,選方案二數(shù)學(xué)期望大

333

綜上所述：。<7選方案一；PW方案一、方案二均可；VX選方案二

14.(2022?遼寧?東北育才學(xué)校模擬預(yù)測)下圍棋既鍛煉思維又愉悅身心，有益培養(yǎng)人的耐

心和細(xì)心，舒緩大腦并讓其得到充分休息現(xiàn)某學(xué)校象棋社團(tuán)為豐富學(xué)生的課余生活，舉行象

棋大賽，要求每班選派一名象棋愛好者參賽.現(xiàn)某班有12位象棋愛好者，經(jīng)商議決定采取

單循環(huán)方式進(jìn)行比賽，(規(guī)則采用“中國數(shù)目法“，沒有和棋)即每人進(jìn)行11輪比賽，最后靠

積分選出第一名去參加校級比賽積分規(guī)則如下(每輪比賽采取5局3勝制，比賽結(jié)束時，取

勝者可能會出現(xiàn)3:0,3:1,3:2三種賽式).

3:0或3:13:2

勝者積分3分2分

負(fù)者積分0分1分

9輪過后，積分榜上的前兩名分別為甲和乙，甲累計積分26分，乙累計積分22分.第10

輪甲和丙比賽，設(shè)每局比賽甲取勝的概率均為I,各局比賽結(jié)果相互獨立.

(1)①在第10輪比賽中，甲所得積分為X,求X的分布列；

②求第10輪結(jié)束后，甲的累計積分丫的期望；

(2)已知第10輪乙得3分，判斷甲能否提前一輪獲得累計積分第一，結(jié)束比賽.(“提前一輪”

即比賽進(jìn)行10輪就結(jié)束，最后一輪即第U輪無論乙得分結(jié)果如何，甲累計積分最多)？若

能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請說明理由.

2290

【答案】（1）①分布列見解析；②冬

【解析】

【分析】

（I）①X可能取值為：0、1、2、3,分別求出甲得0分（丙3：0、3：1）、甲得1分（丙

3：2）、甲得2分（甲3：2）、甲得3分（甲3：0、3：1）的概率即可得出分布列；②Y可

能取值為：26、27、28、29,與①的概率對應(yīng)，用定義求期望即可；

（2）甲要提前一輪獲得累計積分第一，第10輪結(jié)束后，甲的累計積分需比乙的累計積分至

少多4分，即29分，由（1）可得對應(yīng)的概率

（1）

①第10輪比賽的可能情況如下：

丙3：0勝，甲得0分，P=fl↑=X;丙3：1勝，甲得0分，P=cj1]2=Z;丙

（3）27313）327

3：2勝,甲得I分，P=C噌J（IJ哈

甲3：0勝，甲得3分，P=I2]=色；甲3：1勝，甲得3分，P=Ci/2][=色；甲

27??j327

3：2勝，甲得2分，P=c；GJ；

X可能取值為：0、1、2、3,故P（X=O）=導(dǎo)—J,P（X=I）=?P（χ=2）吟，

16

P(X=3)=

27

X的分布列為

X0I23

?81616

P

9818127

②第10輪結(jié)束后，丫可能取值為：26、27、28、29,由①得，甲的累計積分Y的期望:

r-∕s“1C-,8CC16CC162290

E(Y\=26×—F27×F28X----F29X—=-------

'J981812781

（2）如題，甲要提前一輪獲得累計積分第一，第10輪結(jié)束后，甲的累計積分需比乙的累計積

分至少多4分，即甲至少29分，由（1）得，概率為M

15.（2022?江西?上高二中模擬預(yù)測（理））冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行

的第24屆冬季奧運會的比賽項目之一.冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端(投擲線MN的

左側(cè))有一個發(fā)球區(qū)，運動員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線MN將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行,

冰道的右端有一圓形的營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心。的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)，甲、

乙兩人進(jìn)行投擲冰壺比賽,規(guī)定冰壺的重心落在圓。中，得3分,冰壺的重心落在圓環(huán)A中，

得2分，冰壺的重心落在圓環(huán)B中，得1分，其余情況均得O分.已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)

果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為g,；；甲、乙得2分的概率分別為I,3；甲、

乙得1分的概率分別為：，?

56

(1)求甲所得分?jǐn)?shù)大于乙所得分?jǐn)?shù)的概率；

(2)設(shè)甲、乙兩人所得的分?jǐn)?shù)之差的絕對值為X,求X的分布列和期望.

【答案】⑴,

169

(2)分布列見解析，期望為：—

180

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)題意先求出甲乙分別得0分的概率，甲所得分?jǐn)?shù)大于乙所得分?jǐn)?shù)分為：甲得3分

乙得2或1或0分，甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分，再分析求解概率即可；(2)

根據(jù)題意得X可能取值為0,1，2,3,再分別求概率，再畫出分布列，求解期望即可.

(?)

1211

由題意知甲得0分的概率為“鳥一弓-》一百，

乙得0分的概率為1—1—:一!=L,

甲所得分?jǐn)?shù)大于乙所得分?jǐn)?shù)分為：甲得3分乙得2或1或0分，甲得2分乙得1或0分，甲

得1分乙得O分

所以所求概率WX（IT+∣4+A+3分M

（2）

X可能取值為O,1,2,3,

II21I11129

P(X=O)=—X—+—×-+—X—H---X—

345256151290

11212111111183

P(X=I)=—X—+—X—+—X—+—X—+—X--1---X—=

32545652512156180

1111211131

P(X=2)=-X—+—x—+—X---F-X—

3645512215?80

11112

P(X=3)=—X------F-

31241545

所以，隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123

2983312

P

90Tso18045

?oSTO169

所以E(X)=0x-+lx——+2×—+3×-

',9018018045-T80

16.（2022?北京?北大附中三模）北京市某區(qū)針對高三年級的一次測試做調(diào)研分析，隨機(jī)抽

取同時選考物理、化學(xué)的學(xué)生330名，下表是物理、化學(xué)成績等級和人數(shù)的數(shù)據(jù)分布情況：

物理成績等級ABC

化學(xué)成績等級ABCABCABC

人數(shù)（名）11053255701531210

（I）從該區(qū)高三年級同時選考物理、化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知該生的物理成績等級為

A,估計該生的化學(xué)成績等級為A的概率：

（2）從該區(qū)高三年級同時選考物理、化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以X表示這2人中物理、化

學(xué)成績等級均為A的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望（以上表中物理、化學(xué)成績等級均為A

的頻率作為每名學(xué)生物理、化學(xué)成績等級均為A的概率）；

（3）記抽取的330名學(xué)生在這次考試中數(shù)學(xué)成績（滿分150分）的方差為S?,排名前50%的

成績方差為s；,排名后50%的成績方差為sj,則S?不可能同時大于父和sj,這種判斷是否

正確.（直接寫出結(jié)論）.

【答案】（1）|

(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為:

(3)不正確

【解析】

【分析】

(1)由表可知，樣本中物理成績等級為A的人數(shù)為165,在該群體中化學(xué)成績等級為A的

人數(shù)為110,即可估計該生的化學(xué)成績等級為A的概率；

(2)從該區(qū)高三年級同時選考物理、化學(xué)的學(xué)生隨機(jī)選取一名，物理、化學(xué)成績等級均為A

的概率估計為g,可知隨機(jī)變量X的取值范圍{0,1,2},分別求出相應(yīng)概率即可得到X分布

列及其數(shù)學(xué)期望；