2023年陜西省寶雞市高考文科數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷及答案解析

2023年陜西省寶雞市高考文科數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）己知集合4={x∣-l<x<l},B={x∣0≤x≤2},則AnB=（）

A.{Λ-∣-l<x≤2}B.{Λ∣0≤X<1}C.{x∣l<x≤2}D.{x∣0<x<l}

2.（5分）已知復(fù)數(shù)Z=（1+/）3+j,則復(fù)數(shù)Z的模為（）

A.√T1B.2√3C.√13D.√14

3.（5分）若函數(shù)/（-χ）=Λ3+X2,則曲線y=∕（x）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線方程為（）

A.y=5x-3B.y=-x+1C.y=5x-5D.y=x-1

4.（5分）在區(qū)間（-2,2）內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)達(dá)使得4χVκ-3的概率為（）

Illl

A?一B.-C.-D.-

2345

χ2

5.（5分）已知雙曲線=-y2=［（〃>0）的焦距為4,則該雙曲線的離心率為（）

L2√34

A.2B.2√3C.------D,一

33

6.（5分）在正項(xiàng)等比數(shù)列{◎}中，若優(yōu)，3〃5,幻依次成等差數(shù)列，則{〃〃}的公比為（）

11

A.2B.—C.3D.一

23

7.（5分）己知函數(shù)/（E）=S譏（2x+￠）（0V0V分設(shè)甲：UVφ≤%乙：函數(shù)f（%）在

區(qū)間（0,強(qiáng)）上單調(diào)遞增，則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.（5分）中國最早的天文觀測儀器叫“圭表”，最早裝置圭表的觀測臺(tái)是西周初年在陽城

建立的周公測景（影）臺(tái).“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的桿子，

太陽光照射在“表”上，便在“圭”上成影.到了周代，使用圭表有了規(guī)范，桿子（表）

規(guī)定為八尺長.用圭表測量太陽照射在竹竿上的影長，可以判斷季節(jié)的變化，也能用于

丈量土地.同一日子內(nèi)，南北兩地的日影長短倘使差一寸，它們的距離就相差一千里，

所謂“影差一寸，地差一尺"（1尺=10寸）.記“表”的頂部為A,太陽光線通過頂部A

投影到“圭”上的點(diǎn)為B.同一日子內(nèi)，甲地日影長是乙地日影子長的兩倍，記甲地中

直線AB與地面所成的角為。，且tan。='則甲、乙兩地之間的距離約為（)

A.15千里B,14千里C.13千里D?12千里

9.（5分）已知oc∈（O,π）,tan2a=則α=（）

π57Γ3π2τr

A.-B.—C.—D.—

3643

10.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序圖，若輸入的〃=16,則輸出的i,攵的值分別為（）

A.3,5B.4,7C.5,9D.6,Il

11.（5分）已知α=2°3,?=0.32,C=IOg23,則（）

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

12.（5分）在直角坐標(biāo)系Xoy中，已知點(diǎn)尸是圓0：f+y2=ι上一動(dòng)點(diǎn)，若直線/：kχ-y

-2?+3=0上存在點(diǎn)Q,滿足線段PQ的中點(diǎn)也始終在圓O上,則k的取值范圍是（）

A.（一導(dǎo)，O）B.（-∞,一韻U（0,+8）

C.[--?/0]D.（-8,--?]U[0,+8）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知向量Z=（-2,x）,b=（—1,3）,若b∣∣（α+b）,則X=.

14.（5分）從某校隨機(jī)抽取某次數(shù)學(xué)考試100分以上的學(xué)生成績，將他們的分?jǐn)?shù)數(shù)據(jù)繪制

成如圖所示頻率分布直方圖.若共抽取了100名學(xué)生的成績，則分?jǐn)?shù)在[120,130）內(nèi)的

人數(shù)為.

15.（5分）已知拋物線Cy2^2px（p>0）上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離比到），軸的距離大2,

貝IJp=.

16.（5分）柏拉圖多面體并不是由柏拉圖所發(fā)明，但卻是由柏拉圖及其追隨者對(duì)它們所作

的研究而得名，由于它們具有高度的對(duì)稱性及次序感，因而通常被稱為正多面體.柏拉

圖視“四古典元素”中的火元素為正四面體，空氣為正八面體，水為正二十面體，土為

正六面體.如圖，在一個(gè)棱長為4力〃的正八面體（正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八

面體）內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切圓柱（圓柱的底面與構(gòu)成正八面體的兩個(gè)正四棱錐的底面平行），則

三、解答題：共7（）分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

b2——coS

17.（12分）在aABC中，角4,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,一=-----.

a1+cosA

(1)證明:2a=b+c;

(2)若COSA=[,a-2y∕6,求AABC的面積.

18.(12分)如圖，在三棱柱ABC-AIBICI中，平面ABBiAi，平面ABC,四邊形ABBIAl

是邊長為2的菱形，z^ABC為等邊三角形，ZAιAB=60o,E為BC的中點(diǎn)，。為CCl

的中點(diǎn)，P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若ABi〃平面POE,請(qǐng)確定點(diǎn)尸在線段AC上的位置；

(2)若點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，求三棱錐C-PZ)E的體積.

19.(12分)一位父親在孩子出生后，每月給小孩測量一次身高，得到前7個(gè)月的數(shù)據(jù)如下

表所示.

月齡X

身高y(單52566063656870

位：厘米)

(1)求小孩前7個(gè)月的平均身高；

(2)求出身高y關(guān)于月齡X的回歸直線方程(計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分)；

(3)利用(2)的結(jié)論預(yù)測一下8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=Inx-ax+a(a>0).

(1)當(dāng)α=2時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)的最大值為相，證明：機(jī)20.

42y2

21.(12分)已知橢圓C：丁+77=l(a>b>O)的短軸長和焦距相等，長軸長是2√Σ

aLDΔ

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

，、一_3√5一

(2)直線/與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，原點(diǎn)。到直線/的距高為——.點(diǎn)M在橢圓C

上，且滿足OM=OP+OQ,求直線/的方程.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系Xo)，中，直線/的參數(shù)方程為C二:J1(r為參數(shù))，以坐

標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p2(i+side)

=2?

(1)求直線/的一般式方程和曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)尸(1,0),求∣∕?∣?∣PB∣的值.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知函數(shù)/(x)=∣Λ-l∣+∣x+2∣-1.

(1)求不等式/(x)W4的解集；

14

(2)設(shè)x∈R時(shí)，f(x)的最小值為M?若正實(shí)數(shù)”,h,滿足4+b=M,求一+工的最小

值.

2023年陜西省寶雞市高考文科數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合A={x∣-1Vχ<l},B={x∣0≤x≤2},則ACB=()

A.{x?-l≤x≤2}B.{Λ∣O≤X<?}C.{Λ∣1<X≤2}D.{Λ∣0<X<1}

【解答】解：?.?A={x∣-l<χVl},B={Λ∣0≤X≤2};

ΛA∩B={x∣0≤x<l}.

故選：B.

2.(5分)已知復(fù)數(shù)Z=(1+/)?,則復(fù)數(shù)Z的模為()

A.√∏B.2√3C.√13D.√14

【解答】解：因?yàn)?l+i)2=l+ι2+2i=2z,

所以z=2i(l+i)+i=-2+3/,

所以IZl=√(-2)2+32=√13.

故選：C.

3.(5分)若函數(shù)/(-χ)=4+),則曲線y=∕(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為()

A.y=5x-3B.y=-x+↑C.y=5x-5D.y=x-1

【解答】解：函數(shù)/(-X)=/+/

：.f(X)=-3X2+2X,/(I)=-1+1=0,

/(I)=-1,即函數(shù)y=∕-x+2在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率是-1,

曲線y=∕(x)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線方程為

所以切線方程為：y=-x+?,

故選：B.

4.(5分)在區(qū)間(-2,2)內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)X,使得4x<χ-3的概率為()

Illl

A.-B.-C.一D.一

2345

【解答】解：由4χVχ-3,解得XV-1,

使得4x<x-3的概率P=(El)](容=?

故選：C.

5.（5分）己知雙曲線=-y2=1（a>o）的焦距為4,則該雙曲線的離心率為（）

L2√34

A.2B.2√3C.-----D.一

33

【解答】解：由雙曲線"-y2=i（α>O）的焦距為4可得c=2,b=l,

則α=yjc2—b2=V3,所以e=W=^~γ~?

故選：C.

6.（5分）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛α,,｝中，若。6,3公，幻依次成等差數(shù)列，則｛珈｝的公比為（）

11

A.2B.-C.3D.-

23

【解答】解：正項(xiàng)等比數(shù)列｛坳｝的公比設(shè)為％<7>O,

46,3。5,47依次成等差數(shù)列，可得6α5="6+”7,

即有（ya?qi-a?<f,+a?^,

化為q2+c]-6=0,解得q=2（-3舍去），

則｛如｝的公比為2,

故選：A.

7.（5分）已知函數(shù)f（x）=sin（2x+w）（0〈即V號(hào)），設(shè)甲：OVS≤看，乙：函數(shù)f（x）在

區(qū)間（0,看）上單調(diào)遞增，則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：當(dāng)0<?V看時(shí)，φ<2x+φ<j+φ,又因?yàn)镺VpV5,若函數(shù)/（%）在區(qū)

間（0,9上單調(diào)遞增，則有<p+.≤*,可得OVp≤*

若。<φ≤奈,當(dāng)OVXv熱，2x+φW（φ,+（p）ɑ（0,分則函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,

裝）上單調(diào)遞增；

故甲是乙的充要條件.

故選：C.

8.（5分）中國最早的天文觀測儀器叫“圭表”，最早裝置圭表的觀測臺(tái)是西周初年在陽城

建立的周公測景（影）臺(tái).“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的桿子，

太陽光照射在“表”上，便在“圭”上成影.到了周代，使用圭表有了規(guī)范，桿子（表）

規(guī)定為八尺長.用圭表測量太陽照射在竹竿上的影長，可以判斷季節(jié)的變化，也能用于

丈量土地.同一日子內(nèi)，南北兩地的日影長短倘使差一寸，它們的距離就相差一千里，

所謂‘'影差一寸，地差一尺"（1尺=10寸）.記“表”的頂部為A,太陽光線通過頂部A

投影到“圭”上的點(diǎn)為B.同一日子內(nèi)，甲地日影長是乙地日影子長的兩倍，記甲地中

直線A8與地面所成的角為。，且tan。=2則甲、乙兩地之間的距離約為（）

A.15千里B.14千里C.13千里D.12千里

O

【解答】解：由題意可知甲地的日影子長為亙=3尺,從而得到乙地的日影子長為1.5尺,

3

則甲、乙兩地之間的距離約為（3-1.5）XIo=I5千里.

故選：A.

Csina

9.(5分)已知a∈(0,π),tan2a=-------,則a=()

τ1+icosa

π5TT3π2π

A.-B.C.—D.

3643

sinaz∣sin2a2sinacosasina

【解答】解:由ta∏2a=1Va∈(0,π),

1+cosa付?cos2a2cos2a-l1+cosa

Λsina>0,

2cosa1

?一，

2cosza-l1+cosa

解得：cosa=-?,

.2τr

??cx二丁?

故選：D,

10.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序圖，若輸入的〃=16,則輸出的i,&的值分別為（)

z=lΛ=l^=θ

fc=2M

A.3,5B.4,7C.5,9D.6,11

【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得

〃=16,Z=L&=1,S=O

不滿足條件s>〃,執(zhí)行循環(huán)體,5=2,i=2,k=3

不滿足條件s>小執(zhí)行循環(huán)體,5=7,i=3,k=5

不滿足條件5>〃，執(zhí)行循環(huán)體，S=I5,i=4,4=7

不滿足條件執(zhí)行循環(huán)體,5=26,i=5,k=9

滿足條件s>小退出循環(huán)，輸出入攵的值分別為5,9.

故選：C.

11.(5分)已知〃=2°3,?=0.32,C=Iog23,則()

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

【解答】解：因?yàn)?°V2°?3<2°?5,

所以α∈(1,√2),

因?yàn)?<0.32<0.30,

所以?∈(0,1),

O

S^j∕052√8<log23<log24,所以c∈(],2),則bV〃Vc.

故選：A.

12.(5分)在直角坐標(biāo)系XO)，中，已知點(diǎn)P是圓0：f+)2=ι上一動(dòng)點(diǎn)，若直線/：kx-y

-2k+3=0上存在點(diǎn)Q,滿足線段PQ的中點(diǎn)也始終在圓Ot,則k的取值范圍是()

A.(-導(dǎo)，0)B.(-8,T)U(0,+8)

C.[-導(dǎo)，0]D.(-8,—U[0/+∞)

【解答】解：由題意分析可知，直線/：fcv-y-2%+3=0過定點(diǎn)M(2,3),設(shè)PQ的中

點(diǎn)為A,

因?yàn)閳A。：/+y2=l的圓心。(0,0),半徑為r=l,

若滿足線段PQ的中點(diǎn)A點(diǎn)在圓上，則IPQ=2∣∕?∣W2X2r=4,

又IPQI=2∣AQ,則2∣AQ∣W4,即IAQlW2,

所以IOQWla4∣+∣AQlW3,

設(shè)圓心O到直線I的距離為d,則√≤∣0β∣≤3,

所以與當(dāng)坦<3)解得上》0或％≤一?，

√k2+l5

故A€(-00,-?]U[0,+∞).

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知向量或=(-2,x),b=(-1,3),若b∣∣G+b),貝IJ尤=6

【解答】解：因?yàn)橄蛄?=(-2,x),b=(-1,3),

所以Q+b=(-3,%+3),

由b∣∣G+b)可得-(X+3)=-9,解得x=6.

故答案為：6.

14.（5分）從某校隨機(jī)抽取某次數(shù)學(xué)考試IOO分以上的學(xué)生成績，將他們的分?jǐn)?shù)數(shù)據(jù)繪制

成如圖所示頻率分布直方圖.若共抽取了100名學(xué)生的成績，則分?jǐn)?shù)在［120,130）內(nèi)的

人數(shù)為30.

驪年

【解答】解：因?yàn)轭l率分布直方圖中所以小矩形面積和為I,

所以（0.005+0.035+a+0.020+0.010）×10=1,解得α=0.030,

所以分?jǐn)?shù)在［120,130）內(nèi)的人數(shù)為100X0.030X10=30.

故答案為：30.

15.（5分）已知拋物線C：y2=2px（p>0）上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大2,

則P=4.

【解答】解：：點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大2,

.?.點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離比到y(tǒng)軸的距離大2,

P

.,Λ=2,.?.p=4.

故答案為：4.

16.（5分）柏拉圖多面體并不是由柏拉圖所發(fā)明，但卻是由柏拉圖及其追隨者對(duì)它們所作

的研究而得名，由于它們具有高度的對(duì)稱性及次序感，因而通常被稱為正多面體.柏拉

圖視“四古典元素”中的火元素為正四面體，空氣為正八面體，水為正二十面體，土為

正六面體.如圖，在一個(gè)棱長為4曲］的正八面體（正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八

面體）內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切圓柱（圓柱的底面與構(gòu)成正八面體的兩個(gè)正四棱錐的底面平行），則

這個(gè)圓柱的體積的最大值為四包dm3.

—27—

【解答】解：如圖，設(shè)該圓柱的底面半徑為〃=3R高h(yuǎn)=2BC,

由題可知，CO=2,AD=2√3,則力C=2√Σ.

又?=四?場J

h=2√2(2—r),

乂ACCDt??2√2

：.圓柱的體積V=πr2h=2√2ττ(2r2—r3),V,=2√2ττ(4r—3r2)=2√2ττr(4—3r),

可知，當(dāng)re(O,$時(shí)，V>0；當(dāng)2)時(shí)，VVO,

22

所以當(dāng)r∈(O,=2√2π(2r-吟單調(diào)遞增，當(dāng)r∈&,2)時(shí)，V=2√2π(2r-

N)單調(diào)遞減,

當(dāng)r=飄，％=笠算

64√?π?

故答案為:

27

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

b2—coS

17.(12分)在aABC中，角A,B,C所對(duì)邊分別為4,b,c,-=-----.

a1+cosA

(1)證明：2a=b+c;

(2)若CoSA=M〃=2乃，求AABC的面積.

b2—CosB

【解答】解：(1)證明：因?yàn)橐?------，可得2〃-αcos3=b+桃OS4,

a1+cosA

b2+c2-a2a2+c2-b2

所以由余弦定理可得2a=b+b?-------------+??--------------

2bc2ac

整理可得2α=Hc,得證;

,4一

(2)因?yàn)镃OSA=可，t∕=2√6,2a=b+c,

所以由余弦定理a2=b2+c1-2?ccosA,可得24=?2+c2-2×bc×=(/?+C)2-2bc-2×

44

bc×?=96-2bc-2×?c×耳，

解得bc=20,

又sinΛ=Vl-cos2i4=1,

,117

所以AABC的面積S=IbCSinA=ax2OX耳=6.

18.(12分)如圖，在三棱柱ABC-AlBlCl中，平面ABBIAlJ_平面4BC,四邊形ABBl4

是邊長為2的菱形，AABC為等邊三角形，NAIAB=60°,E為BC的中點(diǎn)，D為CCl

的中點(diǎn)，P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若ABi〃平面POE,請(qǐng)確定點(diǎn)P在線段AC上的位置；

(2)若點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，求三棱錐C-Pz)E的體積.

【解答】解：(1)如圖，連接BIC與。E相交于F,連接PF,連接BCI交BIC于點(diǎn)M,

〃平面POE,平面ABIC∩平面PoE=PF,ABlU平面ABiC,

.?AB?∕/PF,

"：BE=CE,CD=DC?,

：.ED//BC\,CF=FM,又CM=BIM,

.".BιF=3CF,

'：AB\//PF,BιF=3CF,

：.AP=3PC,

.?.點(diǎn)P是線段AC上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn);

(2)取AB的中點(diǎn)0,連接。C,04,

：四邊形ABBiAi為邊長為2的菱形，ZAιAB=60°,

.?.4B=2,ZVlAiB為等邊三角形，

"：OA=OB,Z?44B為等邊三角形，

.,?OAιXAB,

；平面ABBiAU平面ABC,平面A88ιAiC平面A2C=A8,OAI_LA8,04u平面ABBIAI,

.?.04_1_平面ABC,

又由48=2,尸為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，可得PE=CE=CP=1,

???四邊形ABBiAi為邊長為2的菱形，AABC為等邊三角形，ZAMB=60o,

.,.A1O=√3,

：。為CCl的中點(diǎn)，平面ABC〃平面ALBlC1,

點(diǎn)C1到平面ABC的距離h與點(diǎn)Ai到平面ABC的距離相等,

.*?∕ι=?/?,

√3

??.。為Ca的中點(diǎn)，...點(diǎn)。到平面ABC的距離為三，

/?三棱錐D-PCE的體積為一X-XlXlXSm60。×—=-

3228

C1

A金

OB

Ci

占

AT-R

19.（12分）一位父親在孩子出生后，每月給小孩測量一次身高，得到前7個(gè)月的數(shù)據(jù)如下

表所示.

月齡X1234567

身高y（單52566063656870

位：厘米）

(1)求小孩前7個(gè)月的平均身高;

(2)求出身高y關(guān)于月齡X的回歸直線方程(計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分)；

(3)利用(2)的結(jié)論預(yù)測一下8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高.

二∑之1（Xi-元）（%一刃—∑MιXM-幾取

參考公式:b

,∑JLι（X-%）2-∑陶瞪-荷，a=y-bx.

1

【解答】解：(1)小孩前7個(gè)月的平均身高為歹=；(52+56+60+63+65+68+70)=

62.

(2)設(shè)回歸直線方程是y=bx+α,

由表可知，%=:（1+2+3+4+5+6+7）=4,

Xiyi=1x52+2x56+3x60+4x63+5x65+6x68+7x70=1819,

22222222

$=1xi=I÷2+3+4+5+6÷7=140,

rixy=7×4×62=1736,nx=7×42=112,

1819-1736

所以b=≈2.96,

2140-112

∑∕L1x?-7x

計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分，所以b=3,

所以以=y—bx=62-3X4=50,

故身高y關(guān)于月齡%的回歸直線方程為y=3x÷50.

(3)由(2)知，y=3x+50,

當(dāng)工=8時(shí)，y=3X8+50=74,

所以預(yù)測8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高為74厘米.

20.(12分)己知函數(shù)/(無)=bυc-ax+a(α>0).

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)的最大值為“，證明：機(jī)20.

11—二

,

【解答】(I)解：a=2時(shí)，f(x)=Inx-2x+af∕(x)=--2=?-

當(dāng)%>方時(shí)，/(X)<0,f(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)0<χV4時(shí)，/(X)>0,/(x)單調(diào)遞增，

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為8,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1).

(2)證明：令g(x)=Inx,h(?)=aCx-1),

則/(無)=g(x)-h(x).

當(dāng)a=?時(shí)，h(X)為g(x)的切線，此時(shí)加=0,

當(dāng)白≠1時(shí)，h(%)與g(x)至少有兩個(gè)交點(diǎn)

則不存在x∈(0,+8),滿足g(X)>h(?),此時(shí)機(jī)>0.

綜上可得：加20.

22

21.(12分)已知橢圓C：-7+77=l(Q>b>0)的短軸長和焦距相等，長軸長是2a.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，原點(diǎn)。到直線/的距離為Tg?點(diǎn)M在橢圓C

上，且滿足俞=C?+O?,求直線/的方程.

【解答】解：(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c,

因?yàn)闄E圓C：—+?=l(α>b>0)的短軸長和焦距相等，長軸長是2√Σ,

azDz

'2b=2c

所以2α=2√∑,解得Q=√Lb=?,c=l,

α2=h2+C2

χ2

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為萬+y2=1.

(2)若直線/的斜率不存在，則直線/的方程為X=±考，

此時(shí)滿足。命=法+防的點(diǎn)M顯然不在橢圓C上，可得直線I的斜率存在，

設(shè)直線/的方程為y=Ax+j%P(XI,yi),Q(x2,”)，M(xo,?o),

聯(lián)立方程T+y2=1,消去y后整理為(2k2+l)x2+4kmx+2m2-2=0,

ιy=fcx+m

2

可得x+X=—~7~,yι+%=k(x?+x)+2m——πi+2m—2丁

l22F+1l22fc2+l2y+1

由△=160∏2-4(2*2+1)(2W2-2)=8(2?2-ra2+l)>0,可得2好+1>川,

又由盛=OP+OQ,4km2m

可得&=-,Vo=

2fc2+l2∕C2+1

?4∕c7722771.

2222

將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓C的方程,有：;(-—τ-)+(―^-)=1,所以4W=2?+1,

22k2+l2k2+l

又由原點(diǎn)O到直線/的距離為7嗎=空,可得20%2=9+9?2,

√l+∕c210

聯(lián)立方程欺2廣2給?可得廣；飛,

(20m2=9kz+9InI=.

(k=2(k=2(k=—2(k=-2

解得［3或］3或J3或I3,

［m=2(m=~2Im=2