特殊四邊形-矩形（講義）（解析版）-中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（全國通用）

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考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測矩形的性質(zhì)與判定探索并證明矩形的性質(zhì)定理.探索并證明矩形的判定定理.矩形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個圖形之一，年年都會考查，預(yù)計2024年各地中考還將出現(xiàn).其中，矩形還經(jīng)常成為綜合壓軸題的問題背景來考察，而矩形其他出題類型還有選擇、填空題的壓軸題，難度都比較大，需要加以重視.解答題中考查特殊四邊形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大．矩形的折疊問題考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形的性質(zhì)：1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）矩形的四個角都是直角；3）對角線互相平分且相等；4）矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.矩形的對稱中心是矩形對角線的交點(diǎn)；矩形有兩條對稱軸，矩形的對稱軸是過矩形對邊中點(diǎn)的直線；矩形的對稱軸過矩形的對稱中心.【推論】1）在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.2）直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半.矩形的判定：1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

2）對角線相等的平行四邊形是矩形；3）有三個角是直角的四邊形是矩形.【解題思路】要證明一個四邊形是矩形，首先要判斷四邊形是否為平行四邊形，若是，則需要再證明對角線相等或有一個角是直角；若不易判斷，則可通過證明有三個角是直角來直接證明．1.對于矩形的定義要注意兩點(diǎn):a.是平行四邊形;b.有一個角是直角.1.對于矩形的定義要注意兩點(diǎn):a.是平行四邊形;b.有一個角是直角.2.定義說有一個角是直角的平行四邊形才是矩形,不要錯誤地理解為有一個角是直角的四邊形是矩形.題型01利用矩形的性質(zhì)求角度【例1】（2023·廣東江門·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，已知∠BAC=35°，則∠BOC的度數(shù)是（

）A．65° B．70° C．75° D．80°【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，證出OA=OB，得出∠OAB=∠ABO，再由三角形的外角的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABO=35°，∴∠BOC=2×35°=70°；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理；證出OA=OB是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·安徽安慶·安慶市第二中學(xué)?？既＃┤鐖D，O是矩形ABCD的對角線交點(diǎn)，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO的度數(shù)為（

）

A．10° B．15° C．25° D．30°【答案】D【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和∠AOD=120°證明△BAO是等邊三角形，△BAE是等腰直角三角形，推出OB=BE，再根據(jù)等腰對等角求出∠BEO，則∠AEO=∠BEO?∠BEA．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠BAO=∠ABO，∵∠AOD=∠BAO+∠ABO=120°，∴∠BAO=∠ABO=1∴△BAO是等邊三角形．∴AB=OB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=1∴∠BAE=∠BEA=45°，∴AB=BE，∴OB=BE，∴∠BOE=∠BEO，又∵∠OBE=∠ABC?∠ABO=30°，∴∠BEO=1∴∠AEO=∠BEO?∠BEA=75°?45°=30°．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是證明△BAO是等邊三角形．【變式1-2】（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）翻花繩是中國民間流傳的兒童游戲，在中國不同的地域，有不同的稱法，如線翻花、翻花鼓、挑繃繃、解股等等，如圖1是翻花繩的一種圖案，可以抽象成如右圖，在矩形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH，∠1=∠2=30°，

A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】D【分析】由矩形的性質(zhì)可得∠D=∠C=90°，進(jìn)而可得∠HGC=∠IJD=60°；再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠GMJ=60°；然后再證四邊形NUMV是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得∠VNU=∠GMJ=60°，最后由對頂角相等即可解答．【詳解】解：如圖：∵矩形ABCD中，∴∠D=∠C=90°,∵∠1=∠2=30°，∴∠HGC=∠IJD=60°,∴∠GMJ=60°,∵IJ∥∴四邊形NUMV是平行四邊形，∴∠VNU=∠GMJ=60°,∴∠3=∠VNU=60°．故選D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定、性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？既＃┤鐖D，矩形ABCD中，點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)，連接AE，過E作EF⊥AE交BC于點(diǎn)F，連接AF，若∠BAF=α，則∠EFC的度數(shù)為（

）

A．α B．45°+α2 C．45°?α【答案】B【分析】延長AE，交BC的延長線于點(diǎn)G，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°，AD∥BC，可證△ADE≌△GCE(ASA)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=GE，可知EF垂直平分AG，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AF=GF，進(jìn)一步可得∠G=∠FAE，根據(jù)AD∥BC，可得∠DAE=∠G，可表示出∠DAE的度數(shù)，進(jìn)一步可得【詳解】解：延長AE，交BC的延長線于點(diǎn)G，如圖所示：在矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°，AD∥∴∠ECG=90°，∵E為CD邊中點(diǎn)，∴DE=CE，在△ADE和△GCE中，∠D=∠ECGDE=CE∴△ADE≌△GCE(ASA∴AE=GE，∵EF⊥AE，∴EF垂直平分AG，∴AF=GF，∴∠FAE=∠G，∵AD∥∴∠DAE=∠G，∴∠DAE=∠FAE，∵∠BAF=α，∴∠DAE=90°?α∵∠DAE+∠AED=90°，∠AED+∠FEC=90°，∴∠FEC=∠DAE=90°?α∵∠FEC+∠EFC=90°，∴∠EFC=90°?90°?α故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，添加合適的輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023·安徽合肥·?？既＃┤鐖D，a∥b，矩形ABCD的頂點(diǎn)B在直線a上，若∠1=34°，則∠2的度數(shù)為（

A．34° B．46° C．56° D．66°【答案】C【分析】過點(diǎn)A作AE∥【詳解】解：過點(diǎn)A作AE∥∴∠EAB=∠1=34°．∵a∥b，∴AE∥∴∠2=∠DAE，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAE=90°?∠EAB=56°，∴∠2=56°．故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，過點(diǎn)A作AE∥題型02利用矩形的性質(zhì)求線段長【例2】（2022·安徽·合肥38中?？寄M預(yù)測）如圖，矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過點(diǎn)O且EF⊥BD，EF分別與AD，BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AB=2，BC=4，則AE等于（

）

A．32 B．2 C．52【答案】A【分析】連接BE，由矩形的性質(zhì)可得OB=OD，AD=BC=4，∠BAD=90°，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE=DE=AD?AE，由勾股定理可得(4?AE)2【詳解】解：如圖，連接BE，

，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OD，AD=BC=4，∠BAD=90°，∵EF⊥BD，OB=OD，∴EF是BD的垂直平分線，∴BE=DE=AD?AE=4?AE，在Rt△ABE中，B則(4?AE)2解得：AE=3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·廣西南寧·?？级＃┰诰匦蜛BCD中，AB=3，將AB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到BE，連接DE，若DE的最小值為2，則

【答案】4【分析】根據(jù)三角形不等式得到BE+DE＞BD，當(dāng)點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時，BE+DE取得最小值，得到BD=5，根據(jù)勾股定理計算【詳解】∵BE+DE＞∴當(dāng)點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時，BE+DE取得最小值，∵BE=AB=3,∴DE的最小值為2，∴BD=5，∵矩形ABCD，AB=3，∴AB=CD=3,∠BCD=90°∴BC=B故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·海南儋州·海南華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點(diǎn)E為對角線BD上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE交BC于點(diǎn)F．連接AF交BE于點(diǎn)O，若AB=AE，則線段AF與BD的位置關(guān)系為；BF的長為

【答案】AF⊥BD9【分析】先證Rt△ABF≌Rt△AEF可得∠BAF=∠EAF，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AF⊥BD，再由面積法可求AO=125【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°．∵AB=3，∴BD=AB2∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°．在Rt△ABF和RtAB=AE,∴△ABF≌△AEFHL∴∠BAF=∠EAF．又∵AB=AE，∴AF⊥BD．∴12∴AO=AB?AD∴BO=A∴cos∠CBD=∴BF=5故答案為AF⊥BD，94【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定、性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，矩形ABCD的兩條對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，垂足為E，F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)P，那么OPPB=

【答案】1【分析】取OB的中點(diǎn)H，連接EH，根據(jù)矩形性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得EH=OH=BH，AE=BE，根據(jù)EH∥AC可證得△OFP∽△HEP，可求得【詳解】如圖，取OB的中點(diǎn)H，連接EH，

∵ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∵OE⊥AB，點(diǎn)H為OB中點(diǎn)，∴EH=OH=BH，AE=BE，∴EH∴△OFP∽△HEP∴∵F是OC的中點(diǎn)，∴OF=1∴OP=PH=∴PB=3OP∴OP故答案為：13【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2022·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在EF上．且滿足PQ=2，則四邊形APQB周長的最小值為

【答案】12【分析】因?yàn)镻Q和AB是定長，所以要使四邊形APQB的周長最小，只要AP+BQ最小即可，在AB上截取AM=PQ，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B關(guān)于EF的對稱點(diǎn)是C點(diǎn)，連接CM與EF交于點(diǎn)Q，則CM即為AP+BQ的最小值；【詳解】解：∵四邊形APQB周長=AP+PQ+QB+AB，∵AB=5，∴四邊形APQB周長=AP+PQ+QB+AB=7+AP+BQ，要使四邊形APQB的周長最小，只要AP+BQ最小即可，在AB上截取AM=PQ，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B關(guān)于EF的對稱點(diǎn)是C點(diǎn)，連接CM與EF交于點(diǎn)Q，則CM即為AP+BQ的最小值，

∴BQ=CQ，∴MB=3，在Rt△BCMMC=3∴四邊形APQB周長=AP+PQ+QB+AB=7+AP+BQ=7+5=12．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱最短路線問題、矩形的性質(zhì)，能夠?qū)⑺笏倪呅蔚闹荛L轉(zhuǎn)化為求AP+BQ的最小值是解題的關(guān)鍵．題型03利用矩形的性質(zhì)求面積【例3】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別在AB，BC，CD，DA上，且AE=13AB，BF=13BC，CG=1

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】設(shè)AE=a，BF=b，根據(jù)AE=13AB，BF=13BC，CG=13CD，DH=13DA可知AB=CD=3a，AD=BC=3b，AE=CG=a，BF=DH=b，BE=DG=2a，AH=CF=2b，從而得到【詳解】解：設(shè)AE=a，BF=b，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∵AE=13AB∴AB=CD=3a，又∵CG=13CD∴AE=CG=a，BF=DH=b，∴BE=DG=2a，∴△AEH的面積=△BEF的面積=△CGF的面積=△DGH的面積=ab，∴AB=3a，∵矩形ABCD面積為9，∴AB·AD=3a·3b=9ab=9，∴ab=1，∵△AEH的面積=△BEF的面積=△CGF的面積=△DGH的面積=ab，∴四邊形EFGH的面積=9?4ab=9?4=5．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和直角三角形的面積公式，掌握矩形的面積公式及合理設(shè)未知數(shù)列方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，延長AB至E，使得ABBE=56，連接CE，若矩形ABCD的面積為20，則

A．16 B．14 C．12 D．10【答案】C【分析】先由矩形的性質(zhì)求出S△ABC=1【詳解】解：∵矩形ABCD的面積為20，∴S∵矩形ABCD，∴BC⊥AB∴S△ABCS△BEC∴S△BEC故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形的面積，得出S△ABC【變式3-2】（2023·山西太原·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A和C分別落在y軸與x軸的正半軸上，OA=6，OC=8．若直線y=2x+b把矩形面積兩等分，則b的值等于（

）

A．5 B．2 C．?2 D．?5【答案】D【分析】直線y=2x+b把矩形面積兩等分,一定經(jīng)過對角線中點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求解析式即可．【詳解】解：∵OA=6，OC=8，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，6)，C點(diǎn)坐標(biāo)為則AC中點(diǎn)坐標(biāo)為(4，因?yàn)榫匦问侵行膶ΨQ圖形，對稱中心是對角線中點(diǎn)，所以直線y=2x+b把矩形面積兩等分,一定經(jīng)過對角線中點(diǎn)，代入解析式得，3=2×4+b，解得，b=?5；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和求一次函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是明確平分矩形面積一定經(jīng)過對角線中點(diǎn)，再用待定系數(shù)法求解．【變式3-3】（2023·江蘇常州·?？家荒＃┤鐖D，現(xiàn)將四根木條釘成的矩形框ABCD變形為平行四邊形木框A'B'C'D'，且A'D'與CD相交于CD邊的中點(diǎn)E，若【答案】10?2【分析】根據(jù)矩形和平行四邊形的性質(zhì)可得：AD∥BC∥A'D'，CD⊥BC，AB=CD=CD'=4，AD=BC=A'【詳解】解：∵矩形木框ABCD變形為平行四邊形木框A∴AD∥BC∥A'D'，CD⊥BC，∴CD⊥∵點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，∴CE=1在Rt△CED'中，根據(jù)勾股定理可得：∴AE=AD∴S陰影=故答案為：10?23【點(diǎn)睛】此題考查的是矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)定理、平行四邊形的性質(zhì)定理、用勾股定理解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2023·湖南湘西·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是對角線AC上一點(diǎn)，AP=2，連接BD，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】21【分析】作DE⊥AC于點(diǎn)E，作BF⊥AC于點(diǎn)F，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，根據(jù)勾股定理求出AC=5，則OA=OC=52，進(jìn)而得出OP=12，PC=3，根據(jù)S△ADC=1【詳解】解：如圖，作DE⊥AC于點(diǎn)E，作BF⊥AC于點(diǎn)F，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°∴AB=DC=3，BC=AD=4，∴AC=A∴OA=OC=1∵AP=2，∴OP=OA?AP=1∴PC=OP+OC=3，∵S△ADC∴5DE=12，∴DE=12同理可得：BF=∴S陰影部分所以圖中陰影部分的面積為215故答案為：215【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握矩形四個角都是直角，矩形對角線互相平分且相等，以及勾股定理內(nèi)容．題型04求矩形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)【例4】（2023·河南駐馬店·駐馬店市第二初級中學(xué)?？级＃┤鐖D，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，OB=4，OA=3，AD=10，將矩形ABCD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A．(6,5) B．(5,6) C．(?6,?5) D．(?5,?6)【答案】C【分析】過點(diǎn)D作DT⊥x軸于點(diǎn)T．首先證明△ATD∽△BOA，利用相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DT⊥x軸于點(diǎn)T．∵OA=3，OB=4，∠AOB=90°，∴AB=O∵∠ATD=∠AOB=∠BAD=90°，∴∠DAT+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAT=∠ABO，∴△ATD∽△BOA，∴ADAB∴105∴AT=8，DT=6，∴OT=AT?OA=8?3=5，∴D(?5,6)，∵矩形ABCD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,5)；則第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,?6)；則第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(?6,?5)；

則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(?5,6)；…發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)4次一個循環(huán)，∴2023÷4=505…3，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(?6,?5)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化?旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型?點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律．【變式4-1】（2023·天津河?xùn)|·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在第一象限，B，D分別在y軸上，O是BD的中點(diǎn).若AB=OB=23，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

A．（3，3） B．?3,?3 C．(3【答案】B【分析】過點(diǎn)A作AF⊥x軸，垂足為F，由四邊形ABCD是矩形易證得△AOB是等邊三角形,進(jìn)而∠AOF=30°，解直角三角形得AF=OA?sin∠AOF=3，OF=OA?cos30°=3，所以A(3,3)【詳解】∵四邊形ABCD是矩形∴OA=OB∵AB=OB=2∴OA=AB=OB=23，過點(diǎn)A作AF⊥x軸，垂足為F，

則AF=OA?OF=OA?∴點(diǎn)A(3,∵點(diǎn)A，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴點(diǎn)C(?3,?3故選：B【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形，點(diǎn)坐標(biāo)的含義；結(jié)合已知條件構(gòu)建直角三角形求解相關(guān)線段是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·山東聊城·校聯(lián)考一模）如圖，已知矩形AOBC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（－2，1），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）A．?12,4 B．?23,4【答案】A【分析】作BD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作FE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作FG⊥y軸于點(diǎn)G，先通過角度等量代換證明ΔEAO～ΔDOB，求出OD=32，再證明ΔDBO?ΔFAC，求出【詳解】解：如圖，作BD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作FE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作FG⊥y軸于點(diǎn)G，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（－2，1），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是3，∴AE=1，OE=2，BD=3，∵BD⊥x軸，F(xiàn)E⊥x軸，F(xiàn)G⊥y軸，∴∠AFC=∠OEA=∠BDO=90°，∵四邊形AOBC是矩形，∴∠CAO=∠AOB=90°，∴∠EAO+∠EOA=∠DOB+∠EOA=∴∠EAO=∠DOB，∴ΔEAO～∴ODAE=BD∴OD=3∵四邊形AOBC是矩形，∴AC=OB，∵∠EAO+∠EOA=∠FAC+∠EAO=∴∠EOA=∠FAC，又∵ΔEAO～∴∠EOA=∠DBO，∴∠DBO=∠FAC，在ΔDBO和Δ∠DBO=∠FAC∠ODB=∠CFA∴ΔDBO?∴FC=OD=32，∴CG=OE?CF=2?32=∵點(diǎn)C在第二象限，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是?1故選A．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過作輔助線構(gòu)造全等及相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2021·湖南株洲·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊，折疊后頂點(diǎn)D恰好落在邊OC上的點(diǎn)F處．若點(diǎn)D的坐標(biāo)為10,8，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A．10,3 B．10,5 C．6,3 D．4,3【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后設(shè)EC=x，則EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根據(jù)勾股定理列方程求出EC可得點(diǎn)E的坐標(biāo)．【詳解】解：∵四邊形AOCD為矩形，D的坐標(biāo)為(10,8)，∴AD=OC=10，DC=AO=8，∵矩形沿AE折疊，使D落在BC上的點(diǎn)F處，∴AD=AF=10，DE=EF，在Rt△AOF中,OF=AF∴FC=10?6=4，設(shè)EC=x，則DE=EF=8?x，在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，即(8?x)2=x2+42，解得x=3，即EC的長為3，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(10,3)．故選擇A．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．【變式4-4】（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?12x+2分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，若以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，則點(diǎn)N

【答案】4,2或3,?2或?4,?6【分析】分類討論：①點(diǎn)M在x軸上；②點(diǎn)M在原點(diǎn)；③點(diǎn)M在y軸上，利用相似及平移規(guī)律即可求解．【詳解】解：直線y=?12x+2分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A當(dāng)x=0時，y=2，y=0時，x=4，∴A點(diǎn)坐標(biāo)4,0，B點(diǎn)坐標(biāo)B0,2分三種情況：①點(diǎn)M在原點(diǎn)，矩形BMAN中，如圖，

BO=AN=2,BN=AO=4，∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（4②如圖1，點(diǎn)M在x軸上，如圖，

矩形BMNA中，OB⊥AM，∴∠OBM+∠OMB=∠OBM+∠OBA=90°，∴∠OMB=∠OBA，∴△BOM∽△AOB，∴BOAO∴MO=B∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（?1將點(diǎn)M向右平移4個單位，向下平移2個單位得到點(diǎn)N，∴N的坐標(biāo)為（3②如圖2，點(diǎn)M在y軸上，如圖，

矩形BAMN中，OA⊥MB，由②同理可得：△MOA∽△AOB，∴BO∴MO=A∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,?8)，將點(diǎn)M向左平移4個單位，向上平移2個單位得到點(diǎn)N，∴N的坐標(biāo)為（?4，?6），∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（4，2）或故答案為：（4，2）或【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與矩形的綜合題型，解題關(guān)鍵是分類討論和利用相似三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)線段之間的關(guān)系．題型05根據(jù)矩形的性質(zhì)證明【例5】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，連接DE，BF．(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；(2)若AB=3，BC=4，求BE的長；(3)求證：BE【答案】(1)證明見解析(2)12(3)證明見解析【分析】（1）證明△ABE≌△CDFAAS，則BE=DF，由BE⊥AC，DF⊥AC，可得BE∥DF（2）由勾股定理得，AC=AB2（3）證明△AEB∽△BEC，則BEEC=AE【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEA=∠DFC=90°，BE∥DF，∵∠BEA=∠DFC=90°，∠BAE=∠DCF，AB=CD，∴△ABE≌△CDFAAS∴BE=DF，又∵BE∥DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）解：由勾股定理得，AC=A∵S△ABC∴12解得，BE=12∴BE的長為125（3）證明：由題意知，∠ABE+∠CBE=90°=∠ABE+∠BAE，∴∠BAE=∠CBE，又∵∠AEB=∠BEC=90°，∴△AEB∽△BEC，∴BEEC∴BE【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識．熟練掌握矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·江西吉安·校考模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，E是OA上一點(diǎn)，連接BE并延長至點(diǎn)F，使得∠ADF=

(1)求證：DF∥(2)若OE=1，求DF的長．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OA=OD，再由等邊對等角及等量代換得出∠ADF=（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出BEBF【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD中是矩形，∴OA=12AC，OD=∴OA=OD，∴∠ADB=∵∠ADF=∴∠ADF=∴DF∥（2）解：∵DF∥∴△BEO∽△BFD，∵點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)，∴BEBF∵OE=1∴DF=2OE=2．【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，矩形ABCD中，E、F為對角線AC上兩點(diǎn)，連接BE、DF，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于

(1)如圖1，求證：AE=CF；(2)如圖2，連接DE、BF，當(dāng)∠ACD=2∠ABE時，請直接寫出圖中面積為【答案】(1)見解析(2)△ABF，△CBE，△ADF，△CDE【分析】（1）由矩形可證得∠BAE=∠DCF，求證△ABE≌△CDF，結(jié)論得證；（2）由△ABE≌△CDF得∠ABE=∠CDF，可求得∠CDF=30°，CD=2CF，AC=2CD.連接BD，交AC于點(diǎn)O，由矩形知，OA=OC=12AC=OB=OD，得OD=CD，于是OF=CF，可求證AE=OE=OF=CF，得AF=CE=3AE【詳解】（1）證明：∵ABCD為矩形∴AB=CD，AB∥∵AB∥∴∠BAE=∠DCF．∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F∴∠AEB=∠CFD=90°．∴△ABE≌△CDF．∴AE=CF．（2）解：∵△ABE≌△CDF,∴∠ABE=∠CDF.∵∠ACD=2∠ABE,∠DFC=90°,∴∠DCF+∠CDF=3∠CDF=90°．∴∠CDF=30°．∴CD=2CF．Rt△CAD中,∠CAD=30°，AC=2CD連接BD，交AC于點(diǎn)O，由矩形知，OA=OC=1∴OD=CD．∵DF⊥AC，∴OF=CF．同理，OE=AE，于是AE=OE=OF=CF．∴AF=CE=3AE，∵BE=DF∴S△ABF故△ABE面積3倍的所有三角形：為△ABF，△CBE，△ADF，△CDE.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形；熟練運(yùn)用矩形性質(zhì)尋求線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接EC，EB，過點(diǎn)B作EC的垂線交CD，CE于點(diǎn)F，G．設(shè)ADDC

(1)求證：△BGC∽△BAE；(2)如圖1，連接AG，若∠GAB=30°，求m的值；(3)如圖2，若AG平分∠DAB，過點(diǎn)D作AG的垂線交EC，EB及CB的延長線分別于點(diǎn)P，H，M．若DH?CB=32，求EH【答案】(1)見解析(2)4?2(3)3【分析】（1）證出∠GBC=∠ABE，由相似三角形的判定可得出結(jié)論；（2）設(shè)BG=k，則EB=2k，EG=3k，得出EC=EB=2k，證出（3）連接CH，證明△DPC∽△EPH，由相似三角形的性質(zhì)得出DFEF=CPHF，證明△DPE∽△CPH，得出∠ECH=∠EDP=45°，證出△CEH為等腰直角三角形．過點(diǎn)C作EC垂線交EB延長線于點(diǎn)N，則△CEN為等腰直角三角形，∠N=45°，證明【詳解】（1）證明：由題意得，∠BGC=∠DCB=90°，∴∠GBC+∠GCB=∠GCB+∠DCE=90°，∴∠GBC=∠ECD，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴DE=AE，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD，∠EDC=∠BAE=90°，∴△ECD≌△EBA，∴∠ECD=∠EBA，∴∠GBC=∠ABE，∵∠BGC=∠A=90°，∴△BGC∽△BAE；（2）解：∵△BGC∽△BAE，∴BGBC∵∠ABE+∠EBG=∠GBC+∠EBG，∴∠ABG=∠EBC，∴△ABG∽△EBC，∴∠CEB=∠GAB=30°，在Rt△EBG中，設(shè)BG=k，則EB=2k，EG=∴EC=EB=2k，∴GC=2?∴tan∠GBC=∴tan∠ECD=∴m=AD（3）解：∵AG平分∠DAB，∴∠GAB=∠DAG=45°，又DH⊥AG，∴∠ADH=∠CDH=45°，由（2）知△ABG∽△EBC，∴∠CEH=∠GAB=45°，∴∠PEH=∠CDP，連接CH，

又∵∠CPD=∠EPH，∴△DPC∽△EPH，∴DPEP∵∠DPE=∠CPH，∴△DPE∽△CPH，∴∠ECH=∠EDP=45°，∴∠CEH=∠ECH=45°，∴∠EHC=180°?45°?45°=90°，∴△CEH為等腰直角三角形，∴CE=2過點(diǎn)C作EC垂線交EB延長線于點(diǎn)N，∴∠ECN=90°，∴△CEN為等腰直角三角形，∴CN=CE=2EH，∴∠N=∠EDH，又∵DE∥BC，∴∠DEH=∠CBN，∴△CBN∽△HED，∴CBEH∴DH?CB=EH?CN=EH·2解得：EH=3【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．題型06矩形的判定定理的理解【例6】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖為小亮在家找到的一塊木板，他想檢驗(yàn)這塊木板的表面是不是矩形，但僅有一根足夠長的細(xì)繩，現(xiàn)提供了如下兩種檢驗(yàn)方法：下列說法正確的是（

）A．方法一可行，方法二不可行 B．方法一不可行，方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行【答案】A【分析】根據(jù)矩形的判定進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：方法一中：第一步得出四邊形為平行四邊形，結(jié)合第二步得出：四邊形為矩形；方法二中不能直接得出是矩形，可能是等腰梯形，故方法一可行，方法二不可行，故選：A．【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形的判定，熟練掌握矩形的判定定理是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）下列圖形一定為矩形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形的判定定理逐一判定即可．【詳解】解：A、只有兩個角是直角，無法證明該四邊形是矩形，不符合題意；B、只有兩個角是直角，進(jìn)而證明有一組對邊平行，無法證明該四邊形是矩形，不符合題意；C．有兩個角是直角，可以證明邊長為3的兩邊平行，則該四邊形是平行四邊形，再由有兩個角是直角，可證明該四邊形是矩形，符合題意；D、只有兩個角是直角，無法證明該四邊形是矩形，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）要判斷一個四邊形的窗框是否為矩形，可行的測量方案是（）A．測量兩組對邊是否相等B．測量對角線是否相等C．測量對角線是否互相平分D．測量對角線交點(diǎn)到四個頂點(diǎn)的距離是否都相等【答案】D【分析】根據(jù)矩形的判定定理判定即可．【詳解】A.測量兩組對邊是否相等，能判定平行四邊形，故A錯誤；B.對角線相等的四邊形不一定是矩形，不能判定四邊形的形狀，故B錯誤；C.測量對角線是否互相平分，能判定平行四邊形，故C錯誤；D.根據(jù)對角線相等且互相平分四邊形是矩形，可知量出對角線的交點(diǎn)到四個頂點(diǎn)的距離，看是否相等，可判斷是否是矩形．故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．【變式6-3】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，給出部分?jǐn)?shù)據(jù)，若添加一個數(shù)據(jù)后，四邊形ABCD是矩形，則添加的數(shù)據(jù)是（

）A．CD=4 B．CD=2 C．OD=2 D．OD=4【答案】D【分析】根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)OD=4時，由題意可知，AO=CO=4，BO=DO=4，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC=BD=8,∴四邊形ABCD是矩形，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的判定，熟練掌握矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵．題型07添加一個條件使四邊形是矩形【例7】（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中，M、N是BD上的兩點(diǎn)，BM=DN，連接AM、MC、CN、NA．請你添加一個條件，使得四邊形AMCN是矩形．

【答案】OM=1【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可知，OA=OC，OB=OD，再證OM=ON，則四邊形AMCN是平行四邊形，然后證MN=AC，即可得出結(jié)論．【詳解】解：添加一個條件，使四邊形AMCN是矩形，這個條件是OM=1∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=12AC∵BM=DN，∴OB?BM=OD?DN，即OM=ON，∴四邊形AMCN是平行四邊形，∴OM=1∴MN=AC，∴平行四邊形AMCN是矩形．故答案為：OM=1【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請你添加一個條件使?ABCD成為矩形，這個條件可以是．

【答案】AC=BD（答案不唯一）【分析】依據(jù)矩形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴當(dāng)AC=BD時，四邊形ABCD為矩形．故答案為AC=BD(答案不唯一)．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定條件是關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE=CF，連接BE，ED，DF，F(xiàn)B．若添加一個條件使四邊形BEDF是矩形，則該條件可以是．（填寫一個即可）

【答案】BD=EF（答案不唯一）【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理以及矩形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：BD=EF，理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO，∵AE=CF，∴AO?AE=CO?CE．即EO=FO．∴四邊形BEDF為平行四邊形，∵BD=EF，∴四邊形BEDF是矩形．故答案為：BD=EF（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型08證明四邊形是矩形【例8】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠AOB:∠ODC=6:7，求∠ADO的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)27°【分析】（1）先判斷四邊形ABCD是平行四邊形，繼而根據(jù)已知條件推導(dǎo)出AC=BD，然后根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形即可得證；（2）由矩形的性質(zhì)得到AB∥CD，再由平行線的性質(zhì)得到∠ABO=∠CDO，然后由三角形的內(nèi)角和求出【詳解】（1）證明：∵AO=OC，BO=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，∴∠DAO=∠ADO，∴AO=DO，∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∵∠AOB:∠ODC=6:7，∴∠AOB:∠ABO=6:7，∴∠BAO:∠AOB:∠ABO=7:6:7，∴∠ABO=180°×7∵∠BAD=90°，∴∠ADO=90°?63°=27°．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，證明AC=BD是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2022·山東濱州·校考一模）如圖，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形．（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；（2）如果AB=AE，求證：四邊形ACED是矩形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)以及點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，得到AD∥CE，AD=CE，從而證明四邊形ACED是平行四邊形；（2）由平行四邊形的性質(zhì)證得DC=AE，從而證明平行四邊形ACED是矩形．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四邊形ACED是平行四邊形，∴四邊形ACED是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形和矩形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于D點(diǎn)，E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，分別過D，E兩點(diǎn)作線段AC的垂線，垂足分別為G，F(xiàn)兩點(diǎn)．(1)求證：四邊形DEFG為矩形；(2)若AB=10，EF=4，求CG的長．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）欲證明四邊形DEFG為矩形，只需推知該四邊形為平行四邊形，且有一內(nèi)角為直角即可；（2）首先根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求得AE＝DE＝5；然后在直角△AEF中利用勾股定理得到AF的長度；最后結(jié)合AB＝AC＝AF+FG+CG＝10求解即可．【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．∵E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線．∴DE∥AC.∵DG⊥AC，EF⊥AC，∴EF∥DG∴四邊形DEFG是平行四邊形．又∵∠EFG＝90°，∴四邊形DEFG為矩形；（2）解：∵AD⊥BC交BC于D點(diǎn)，∴∠ADB=∠ADC=90°∴△ADB是直角三角形∵E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，AB＝10，∴DE＝AE＝12BC由（1）知，四邊形DEFG為矩形，∴GF＝DE＝5在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，由勾股定理得：AF＝AE∵AB＝AC＝10，F(xiàn)G＝ED＝5，∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，根據(jù)題意找到長度相等的線段是解題的關(guān)鍵．題型09根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度【例9】（2021·河北唐山·統(tǒng)考二模）將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<360°，得到矩形AEFG．當(dāng)GC=GB時，下列針對α值的說法正確的是（

A．60°或300° B．60°或330° C．30° D．60°【答案】A【分析】當(dāng)GB=GC時，點(diǎn)G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論，依據(jù)∠DAG=60°，即可得到旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．【詳解】如圖，當(dāng)GB=GC時，點(diǎn)G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)G在AD右側(cè)時，取BC的中點(diǎn)H，連接GH交AD于M，∵GC=GB，∴GH⊥BC，∴四邊形ABHM是矩形，∴AM=BH=12∴GM垂直平分AD，∴GD=GA=DA，∴△ADG是等邊三角形，∴∠DAG=60°，∴旋轉(zhuǎn)角α=60°；②當(dāng)點(diǎn)G在AD左側(cè)時，同理可得△ADG是等邊三角形，∴∠DAG=60°，∴旋轉(zhuǎn)角α=360°-60°=300°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解題時注意：對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．【變式9-1】（2020·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，∠MON＝90°，動點(diǎn)A、B分別位于射線OM、ON上，矩形ABCD的邊AB＝6，BC＝4，則線段OC長的最大值是（）A．10 B．8 C．6 D．5【答案】B【分析】取AB中點(diǎn)E，連接OE、CE，求出OE和CE值，利用三角形三邊關(guān)系分析出當(dāng)O、E、C三點(diǎn)共線時，OC最大為OE＋CE．【詳解】解：取AB中點(diǎn)E，連接OE、CE，如圖所示：則BE＝12∵∠MON＝90°，∴OE＝12在Rt△BCE中，利用勾股定理可得CE＝32在△OCE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知CE+OE＞OC，∴當(dāng)O、E、C三點(diǎn)共線時，OC最大為OE+CE＝3+5＝8．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理以及三角形三邊關(guān)系，解決動態(tài)問題的最值問題一般轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段最短或三角形三邊關(guān)系問題．【變式9-2】（2022·河北·一模）如圖，四邊形ABCD為矩形，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，∠α與∠β的度數(shù)之間的關(guān)系為(

)A．β=180-α B．β=180°-12α C．β=90°-α 【答案】D【分析】如圖，根據(jù)題意得∠DAC=∠α，∠EAO=12∠α，∠AEO=∠β,∠EOA=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得β=90°-1【詳解】如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠α由作圖痕跡可得AE平分∠DAC，EO⊥AC∴∠EAO=12∠α，∠EOA=90又∠AEO=∠β，∠EAO+∠AOE+∠AEO=180°，∴12∠α+∠β+90°=180°∴β=90°-1故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵.【變式9-3】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，BD=2，DE∥AC，將△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D、E旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別是D'、E'，當(dāng)A、D'【答案】30°或90°【分析】分兩種情況討論，由矩形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)D'在線段A∵∠ACD=90°，∠ABC=30°，AC=2，∴AB=4，BC=A∵將△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△B∴D'B=DB=2∴AD∴AD又∵AC=BD∴四邊形ACBD∵∠ACB=90°，∴四邊形ACBD∴∠D∵∠ABC=30°，∴∠EBD∵∠E∴∠EBE如圖：當(dāng)點(diǎn)D'在線段A∵∠ACD=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=90°?30°=60°，∵將△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△B∴D'B=DB=2，∵AC=2，∴AC=BD在Rt△ABC與RtAC=B∴Rt∴∠BAC=∠ABD∴∠EBE'=∠ABD'綜上，∠EBE'的度數(shù)為30°或故答案為：30°或90°．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，利用分類討論解決問題是本題的關(guān)鍵．題型10根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長【例10】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考三模）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動；若EF=1，則GE+CF的最小值為【答案】3【分析】如圖，作G關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長，即可求解．【詳解】解：如圖，作G關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點(diǎn)，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴HG即GE+CF的最小值為32故答案為：3【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，確定GE+CF最小時E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．【變式10-1】（2021·廣東中山·校聯(lián)考一模）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實(shí)物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計算發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E是AD的黃金分割點(diǎn)，即DE≈0.618AD．延長HF與AD相交于點(diǎn)G，則EG≈DE.（精確到0.001）

【答案】0.618【分析】設(shè)每個矩形的長為x，寬為y，則DE＝AD－AE＝x－y，四邊形EFGM是矩形，則EG＝MF＝y(tǒng)，由DE≈0.618AD得x－y≈0.618x，求得y≈0.382x，進(jìn)一步求得EGDE【詳解】解：如圖，設(shè)每個矩形的長為x，寬為y，則DE＝AD－AE＝x－y，由題意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，∴四邊形EFGM是矩形，∴EG＝MF＝y(tǒng)，∵DE≈0.618AD，∴x－y≈0.618x，解得y≈0.382x，∴EGDE∴EG≈0.618DE．故答案為：0.618．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、分式的化簡、等式的基本性質(zhì)、二元一次方程等知識，求得y≈0.382x是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)E是CD邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），延長DC到點(diǎn)F，使EC=2CF，且AF與BE交于點(diǎn)G.(1)當(dāng)EC=4時，求線段BG的長:(2)設(shè)CF=x，△GEF的面積為y，求y與x的關(guān)系式，并求出y的最大值:(3)連接DG，求線段DG的最小值.【答案】(1)2(2)y=12x(3)12【分析】（1）先利用矩形的性質(zhì)證明ΔAGB≌ΔFGEAAS，證得BG=GE，在（2）設(shè)AF與BC交于點(diǎn)P，過點(diǎn)G作GM⊥BC于M，利用相似三角形的判定和性質(zhì)分別求得GM，PC，PM，最后求得CM，在△GEF中利用三角形的面積公式即可求解；（3）過點(diǎn)G作GN⊥CD，連接DG，則四邊形CNGM是矩形，在RtΔDGN中，利用勾股定理求得【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=6，AD=8，∴AB=CD=6，AD=BC=8，AB∥CD，AD∥BC，∠BCD=90°，∴∠BAG=∠F，∵EC=2CF，EC=4，∴CF=2，∴EF=CE+CF=6，∴EF=AB，又∵∠AGB=∠FGE，∴ΔAGB≌∴BG=GE，在RtΔBCE中，∴BG=1（2）解：設(shè)AF與BC交于點(diǎn)P，過點(diǎn)G作GM⊥BC于M，如圖所示，∵CD∥AB，∴ΔGEF∽∴GEBG∵AB=6，EF=CE+CF=2x+x=3x，∴GEBG∵GM⊥BC，∠BCD=90°，∴GM∥CE，∴CEGM即2xGM∴GM=4x∵AD∥BC，∴ΔFCP∽∴PCAD=CFDF，即又∵GM∥CE，∴ΔFCP∽∴GMCF=PM解得PM=32x∴CM=PM+PC=32x∴y=S∴y與x的關(guān)系式為:y=12∵點(diǎn)E是CD邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），CE=2x，∴0＜2x≤6，即∴當(dāng)x=3時，y的最大值=12×（3）解：過點(diǎn)G作GN⊥CD，連接DG，則四邊形CNGM是矩形，∴GN=CM=8xx+2，∴DN=CD?CN=6?4x在RtΔDGN中，DG令m=4xx+2，則∴當(dāng)m=4xx+2=65∴DG的最小值為125【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出適當(dāng)?shù)妮o助線．題型11根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積【例11】（2023·甘肅白銀·統(tǒng)考一模）在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，若△AOB的面積為2，則矩形ABCD的面積為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA=OB=OC=OD，推出S△ADO【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD∴S∴矩形ABCD的面積為4故選：C【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)：矩形的對角線相等，且互相平分，由此可以將矩形的面積四等分，由此可以解決問題，熟記矩形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.【變式11-1】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，AC＝8，BC＝6，則四邊形CEDF的面積是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】B【分析】利用三角形的中位線定理，先證明四邊形DECF是矩形，再利用矩形的面積公式進(jìn)行計算即可.【詳解】解：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，AC＝8，BC＝6，∴DE//∴四邊形DECF是平行四邊形，∵∠C=90°,∴四邊形DECF是矩形，∴S故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中位線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，掌握利用三角形的中位線證明四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵.【變式11-2】（2020·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）矩形ABCD的邊BC上有一動點(diǎn)E，連接AE、DE，以AE、DE為邊作平行四邊形AEDF．在點(diǎn)E從點(diǎn)B移動到點(diǎn)C的過程中，平行四邊形AEDF的面積（

）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【答案】D【分析】過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，證四邊形ABEG是矩形，得出EG＝AB，S?AEDF【詳解】解：過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，如圖所示：則∠AGE＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴四邊形ABEG是矩形，∴EG＝AB，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴S?AEDF即?AEDF的面積保持不變，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形面積等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)，證出?AEDF的面積＝矩形ABCD的面積，是解題的關(guān)鍵．【變式11-3】（2020·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，有一塊四邊形的鐵板余料ABCD．經(jīng)測量，AB＝50cm，BC=108cm，CD＝60cm，tanB＝tanC＝43，M、N邊BC上，頂點(diǎn)P在CD上，頂點(diǎn)Q在AB上，且面積最大的矩形PQMN面積為cm2．【答案】1944【分析】設(shè)QM=PN=4k，BM=CN=3k，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：如圖，∵四邊形MNPQ是矩形，tanB=tanC=43∴設(shè)QM=PN=4k，BM=CN=3k，∴MN=108-6x，∴S矩形MNPQ=4k(108-6k)=-24(k-9)2+1944，∵-24＜0，∴k=9時，矩形MNPQ的面積最大，最大值為1944cm2，此時BQ=PC=5k=45，符合題意，∴矩形MNPQ的面積的最大值為1944cm2．故答案為：1944．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的知識，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．【變式11-4】（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）矩形ABCD中，AB=m，AD=n，連接BD，點(diǎn)P在線段BD上，連接AP過點(diǎn)P作PE⊥AP，交直線BC于點(diǎn)E，連接AE、PC．(1)若m=6，n=63；①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，求線段DP的長；②當(dāng)EB=EP時，求線段BP的長；(2)若m=6，n=8，△PEC面積的最大值為(直接寫出答案)．【答案】(1)①9；②6；(2)75【分析】（1）①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，AP⊥BD，證得△ADP∽△BDA，即可求解；②設(shè)AE交BP于點(diǎn)O，由EB=EP，可得到AE垂直平分BP，即可求解；（2）過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，PG⊥AB于點(diǎn)G，延長GP交CD于點(diǎn)H，則PH⊥CD，可得四邊形BFPG，四邊形CFPH是矩形，然后設(shè)PF=x，PH=y，則BG=x，根據(jù)12×6×8=12×8x+12×6y，可得y=8?43x，再證得△APG【詳解】（1）解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，AP⊥BD，在矩形ABCD中，∠BAD=90°，∴∠BAP+∠DAP=90°，BD=A∵AP⊥BD，∴∠APD=∠BAD=90°，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DAP，∴△ADP∽△BDA，∴DPAD∴DP63=②如圖，設(shè)AE交BP于點(diǎn)O，∵EB=EP，∴∠PBE=∠BPE，∵∠APE=∠ABE=90°，∴∠ABP=∠APB，∴AB=AP，∴AE垂直平分BP，由（1）得：OD=9，BD=12，∴OB=3，∴BP=6，（2）如圖，過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，PG⊥AB于點(diǎn)G，延長GP交CD于點(diǎn)H，則PH⊥CD，∴∠GBE=∠BFP=∠BGP=90°，∴四邊形BFPG是矩形，同理四邊形CFPH是矩形，∴BG=PF=CH，PG=BF，PH=CF，∴GH=BC，設(shè)PF=x，PH=y，則BG=x，∴AG=6-x，PG=8-y，∵S△BCD∴12∴y=8?4∴PG=43x∵∠APE=∠GPF=90°，∴∠APG=∠EPF，∴△APG∽△EPF，∴EFAG∴EF6?x=x∴CE=25∴△PEC面積為12∴當(dāng)x=3時，△PEC面積的最大，最大值為758故答案為：758【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型12根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題【例12】（2023·河北·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=8cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，兩個動點(diǎn)同時停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t

A．當(dāng)t=3s時，四邊形ABMP為矩形 B．當(dāng)t=4s時，四邊形C．當(dāng)CD=PM時，t=3s D．當(dāng)CD=PM時，t=3s【答案】D【分析】對于選項A、B，分別計算當(dāng)t=3s與t=4s時相應(yīng)線段的長度結(jié)合平行四邊形的判定方法判斷即可；對于C、D選項，作CE⊥AD,MF⊥AD，垂足分別為E、F，如圖，證明Rt△DCE?Rt△PMF【詳解】解：當(dāng)t=3s時，PD=3cm，PA=8?3=5cm，∴AP≠BM，∴四邊形ABMP不為矩形，故選項A結(jié)論錯誤；當(dāng)t=4s時，PD=4cm，BM=4cm∴DP≠CM，∴四邊形CDPM不為平行四邊形，故選項B結(jié)論錯誤；當(dāng)CD=PM時，作CE⊥AD,MF⊥AD，垂足分別為E、F，如圖，∵∠A=∠B=90°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCE,ABMF都是矩形，∴CE=FM=AB,BC=AE=6cm∴當(dāng)CD=PM時，Rt△DCE?Rt△PMF∴PF=DE=2cm∵PF=BM?AP∴2t?8=2解得：t=5或t=3，故選項C錯誤、選項D正確；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)、善于動中取靜是解題的關(guān)鍵.【變式12-1】（2022·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是CD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合）．點(diǎn)P為DE上一動點(diǎn)，PE<PD，將∠DPF繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊交射線DA于H，G兩點(diǎn)，有下列結(jié)論：①DH=DE；②DP=DG；③DG+DF=2DP；④DP?DE=DH?DC，其中一定正確的是（A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷得ΔGPH?ΔDPFASA，可判斷③正確，證【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠DPH=∠GPF=90°，∵DE平分∠ADC，∴∠HDP=45°，∴∠DHP=∠PDH=∠PDF=45°，∴PH=PD，∵∠DPH=∠GPF=90°∴∠GPH=∠DPF在ΔGPH和Δ∵∠GHP=∠FDP∴Δ∴HG=DF∵∠PDH=45°∴DH=∴DF+DG=GH+DG=DH=故③正確；∵∠PDH=∠PDF=45°，∠DPH=∠DCE=90°∴Δ∴DH即DP?DE=DH?DC，故④正確；根據(jù)已知條件無法證明①DH=DE，②DP=DG.故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、三角形的全等、三角形的相似，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式12-2】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=32,AD=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點(diǎn)，點(diǎn)E不與A，B重合，且EF=AB，G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE=GF且∠EGF=90°的點(diǎn)，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①∠AEG與∠GFB一定相等；②點(diǎn)G到邊AB，BC的距離一定相等；③點(diǎn)G到邊AD，DC的距離可能相等；④點(diǎn)G到邊DC的距離的最小值為3，其中正確的是

【答案】①②④【分析】利用矩形性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和為360°可判斷①；過G作GM⊥AB于M，GH⊥BC于H，證明△GME≌△GHF可判斷②；延長MG交CD于N，延長HG交AD于P，證明四邊形ABHP、CDPH是矩形，得到PH=AB，MN=AD，PG⊥AD，GN⊥CD，進(jìn)而得到PH?GH<MN?GM可判斷③；先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得GE=3，根據(jù)垂線段最短知MG≤EG，當(dāng)M、E重合時，MG最大，此時GN最小可判斷④．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，∵∠EGF=90°，四邊形EBFG的內(nèi)角和是360°，∴∠BEG+∠GFB=360°?90°?90°=180°，∵∠BFG+∠AEG=180°，∴∠AEG=∠GFB，故①正確；過G作GM⊥AB于M，GH⊥BC于H，則∠GME=∠GHF=90°，∵∠MEG=∠GFH，GE=GF，∴△GME≌△GHFAAS∴GM=GH，故②正確；

延長MG交CD于N，延長HG交AD于P，則四邊形ABHP、CDPH是矩形，∴PH=AB，MN=AD，PG⊥AD，GN⊥CD，又∵AB=32，AD=6，GM=GH∴PH?GH<MN?GM，∴PG<GN，即點(diǎn)G到邊AD，DC的距離不可能相等，故③錯誤；∵EF=AB=32，GE=GF，∠EGF=90°∴∠GEF=∠GFE=45°,∴GE=EF·cos根據(jù)垂線段最短知MG≤EG，當(dāng)M、E重合即GE⊥AB時，MG最大，最大值GE=3，此時GN最小，最小值為MN?MG=6?3=3，即點(diǎn)G到邊DC的距離的最小值為3，故④正確，綜上，正確的有①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)問題，涉及正方形的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和、全等三角形的判定與性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離、矩形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、垂線段最短等知識，理解點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵，屬于填空壓軸題型．【變式12-3】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，P點(diǎn)在AD邊上以每秒1cm的速度從A向D運(yùn)動，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在C、B間往返運(yùn)動，兩點(diǎn)同時出發(fā)，P①該過程中，會出現(xiàn)4次PQ∥②該過程中，會出現(xiàn)3次四邊形ABQP和四邊形PQCD同時為矩形的時刻；③該過程中，當(dāng)：t=5時，四邊形ABQP和四邊形PQCD的面積比為6∶5；④該過程中，矩形ABQP和PQCD面積比的最大值為4∶3．上述說法正確的是（填序號）．【答案】①②/②①【分析】①易得兩點(diǎn)運(yùn)動的時間為12s，PQ∥AB，那么四邊形ABQP是平行四邊形，則AP=BQ，計算出Q在B②根據(jù)AP=BQ，DP=CQ≠0時，四邊形ABQP和四邊形PQCD同時為矩形，列出t的方程，③根據(jù)梯形的面積公式進(jìn)行計算便可判斷正誤；④由②知，當(dāng)t=7.2s時，矩形ABQP和PQCD【詳解】解：①∵矩形ABCD中，AD=12cm∴AD=BC=12cm∵PQ∥AB，∴四邊形ABQP是平行四邊形，∴AP=BQ，∴Q從C到B往返一次就可以得到一次平行，∵P的速度是1cm/秒，∴兩點(diǎn)運(yùn)動的時間為12÷1=12s∴Q運(yùn)動的路程為12×4=48cm∴Q從C到B往返一次得到一次平行的次數(shù)為48÷12=4次，∴會出現(xiàn)4次PQ∥AB的時刻，故②∵在矩形ABCD中，AD=12cm∴AD=BC=12cm當(dāng)四邊形ABQP為矩形時，AP=BQ．當(dāng)0≤t<3時，t=12?4t，解得，t=2.4，∴當(dāng)t=2.4s時，四邊形ABQP和四邊形PQCD當(dāng)3≤t<6時，t=4t?12，解得t=4，∴當(dāng)t=4s時，四邊形ABQP和四邊形PQCD當(dāng)6≤t<9時，t=36?4t，解得t=7.2，∴當(dāng)t=7.2s時，四邊形ABQP和四邊形PQCD當(dāng)9≤t≤12時，t=4t?36，解得，t=12，此時DP=CQ=0，四邊形PQCD不為矩形；綜上所述，當(dāng)t為2.4或4或7.2s時，四邊形ABQP和四邊形PQCD即該過程中，會出現(xiàn)3次四邊形ABQP和四邊形PQCD同時為矩形的時刻，故②正確；③當(dāng)t=5s時，AP=5∴S梯形S梯形∴四邊形ABQP和四邊形PQCD的面積比為2622=13④當(dāng)t=7.2s時，矩形ABQP和PQCD面積比取最大值為：7.2×4故④錯誤；故答案為：①②．【點(diǎn)睛】本題矩形的性質(zhì)與判定，一元一次方程的應(yīng)用，梯形的面積公式，關(guān)鍵是分類思想解決問題．【變式12-4】（2022·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F，連結(jié)BF交AC于點(diǎn)M，連結(jié)DE、BO．若∠COB＝60°，F(xiàn)O＝FC，則下列結(jié)論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE:S

【答案】①③④【分析】①用線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理可得結(jié)論；②過O作OH⊥BE于H，證明△OHB≌△CMB，根據(jù)△OEB包含了△OHB，可得△EOB≌△CMB是不成立的；③先證△BEF是等邊三角形得出BF=EF，再證?DEBF得出DE=BF，推出DE=EF；④△AOE和△BEO屬于等高的兩個三角形，其面積比就等于兩底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半，推出S△BCM=34S△BCF=34S△【詳解】解：①∵矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正確；②∵FB垂直平分OC，△OBC是等邊三角形，∴∠CBM＝∠OBM＝30°，∠CMB＝90°，又∠OBE＝90°?∠CBO＝30°，∴∠CBM＝∠OBE，過O作OH⊥BE于H，

∴∠OHB＝∠CMB＝90°，在△OHB與△CMB中，∠OHB=∠CMB∠OBH=∠CBM∴△OHB≌△CMB（AAS），∵△OEB包含了△OHB，∴△EOB≌△CMB是不成立的，∴②是錯誤的；③連接DO，由O為AC的中點(diǎn)知D、O、B三點(diǎn)在同一直線上，∴OD=OB在△FCB和△FOB中，F(xiàn)C=FOBC=BO∴△FCB≌△FOB（SSS），

∴∠FCB=∠FOB=90°，∴∠EOB=180°-∠FOB=90°=∠FCB，∵∠CBF=∠OBE=30°，在△EBO和△FBC中，∠EBO=∠FBCBO=BC∴△EBO≌△FBC（ASA），∴EB=FB，∴△OEB≌△OFB≌△CFB，∴∠EBO=∠FBO=∠CBF=30°，BF=BE，∴∠FEB=∠EFB=∠EBF=60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BF=EF，∵OD=OB且OF=OE，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴DE=BF，∴DE=EF，故③正確；④在直角△BOE中，∵∠EBO=30°，∴BE=2OE，∵OA=OB，∴∠OAE=∠OBE=30°，∵∠OEB=∠OAE+∠AOE=60°，∴∠AOE=30°，∴∠OAE=∠AOE=30°，∴AE=OE，∴BE=2AE，∴S△AOE：S△BOE=1：2，又∵FB=2FC，∵DC∥AB，∴∠FCM=∠CAE=30°，F(xiàn)C=2FM，∴FM∶BM=1∶3，∴S△BCM=34S△BCF=34S△∴S△AOE：S△BCM=2∶3，故④正確；綜上，正確的結(jié)論有①③④，故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，涉及內(nèi)容雖多，但不復(fù)雜，解題關(guān)鍵是熟記并靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)．題型13與矩形有關(guān)的新定義問題【例13】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）定義：若一個矩形中，一組對邊的兩個三等分點(diǎn)在同一個反比例函數(shù)y=kx的圖像上，則稱這個矩形為“奇特矩形”．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD是第一象限內(nèi)的一個“奇特矩形”．且點(diǎn)A4,1，B7,1，則矩形【答案】0.6或27【分析】根據(jù)題意分兩種情況：設(shè)BC=n，當(dāng)反比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過AB、CD上的點(diǎn)時，則點(diǎn)5,n+1、6,1在反比例函數(shù)y=kx的圖像上，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k=xy得到5×n+1=6，求出n=15，即可求出矩形的面積；當(dāng)反比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過AD、BC上的點(diǎn)時，點(diǎn)【詳解】解：當(dāng)反比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過AB、設(shè)BC=n，∵點(diǎn)A4,1，B∴AB=3，∴點(diǎn)5,n+1、6,1在反比例函數(shù)y=k∴k=6×1=6，∴5×n+1解得n=1∴S當(dāng)反比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過AD、設(shè)BC=n，∵點(diǎn)A4,1，B∴點(diǎn)4,1+23n和點(diǎn)7,1+∴4×1+解得n=9，∴S故答案為：0.6或27．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、矩形的性質(zhì)，運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵．【變式13-1】（2023·廣