新教材高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊(cè)訓(xùn)練2-8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

第二章平面解析幾何2.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系課后篇鞏固提升必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),線段AB的延長(zhǎng)線交拋物線的準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若|BC|=2,|FB|=1,則|AB|=()A.2 B.3 C.4 D.5答案C解析已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),設(shè)A,B在準(zhǔn)線上的投影分別為M,N,線段AB的延長(zhǎng)線交拋物線的準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若|BC|=2,|FB|=1,由△BNC∽△AMC,可得BNBC=AMAM所以|AB|=|AF|+|FB|=4.故選C.2.已知雙曲線中心在原點(diǎn),且一個(gè)焦點(diǎn)為F(7,0),直線y=x1與雙曲線交于M,N兩點(diǎn),且MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為23,則此雙曲線的方程為(A.x23-y24=C.x25-y22=答案D解析由c=7,得a2+b2=7.∵焦點(diǎn)為F(7,0),∴可設(shè)雙曲線方程為x2a2-并設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).將y=x1代入①并整理,得(72a2)x2+2a2xa2(8a2)=0,∴x1+x2=2a由已知得2a27-2a2=2故雙曲線的方程為x22-3.設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(2,0)且斜率為23的直線與C交于M,N兩點(diǎn),則FM·FN=A.5 B.6 C.7 D.8答案D解析易知F(1,0),過點(diǎn)(2,0)且斜率為23的直線方程為y=23(x+2).聯(lián)立拋物線方程y2=4x,得y2=4x,y所以FM=(0,2),FN=(3,4),所以FM·FN=4.(多選)已知△ABC為等腰直角三角形,其頂點(diǎn)為A,B,C,若圓錐曲線E以A,B焦點(diǎn),并經(jīng)過頂點(diǎn)C,該圓錐曲線E的離心率可以是()A.2+1 B.22 C.2 D.2答案ABD解析①△ABC為等腰直角三角形,如果C=π2,圓錐曲線E為橢圓,e=2②△ABC為等腰直角三角形,如果C=π4,A或B為直角,圓錐曲線E為橢圓,e=ABCA③△ABC為等腰直角三角形,如果C=π4,A或B為直角,圓錐曲線為雙曲線,e=AB|CA5.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,答案2解析設(shè)一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0),其中c2=a2+b2,過F且垂直于x軸的弦為AB,則A(c,y0),∵A(c,y0)在雙曲線上,∴c2a2-y02b2=1.∴y∴|AB|=2|y0|=2b6.已知直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,并交拋物線于A,B兩點(diǎn),在拋物線的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)C滿足CB=2BF,則|AF|=.

答案4解析∵CB=2BF,∴C是直線AB與準(zhǔn)線的交點(diǎn),過A,B作準(zhǔn)線的垂線AN,BM,N,M是垂足,準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為K,如圖.∵|BM|=|BF|,∴|CB|=2|BM|,∴∠MCB=π6拋物線方程為y2=4x,則p=2,∴|KF|=2,∴|CF|=2|KF|=4,又|CA|=2|AN|,而|AN|=|AF|,∴|AF|=|CF|=4.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,經(jīng)過點(diǎn)(0,2)且斜率為k的直線l與橢圓x22+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q,求k解由已知條件知直線l的方程為y=kx+2,代入橢圓方程得x22+(kx+2)2整理得12+k2x2+22直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ=8k2412+k2=4k22>0,解得k<2所以k的取值范圍為-∞8.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,其中F2(2,0),O為原點(diǎn),橢圓上任意一點(diǎn)到F(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;(2)過點(diǎn)P(0,2)的斜率為2的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),求△OAB的面積.解(1)由題意,c=2,2a=23,∴a=3,b2=a2c2=1,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23+y2=1,離心率為e=(2)由題得直線l的方程為y=2x+2,代入橢圓方程得13x2+24x+9=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則Δ=108>0,x1+x2=2413,x1x2=9∴|AB|=1+22|x1x2|=5×(x1+x2)2-4x1x2=5×6313.又∵點(diǎn)O到直線關(guān)鍵能力提升練9.已知直線y=k(x+2)與雙曲線x2m-y28=1,有如下信息:聯(lián)立方程組y=k(x+2),x2m-y28=1,消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0,分類討論:(1)當(dāng)A=0時(shí),該方程恒有一解;(2)A.(1,3] B.[3,+∞)C.(1,2] D.[2,+∞)答案B解析依題意可知直線恒過定點(diǎn)(2,0),根據(jù)(1)和(2)可知直線與雙曲線恒有交點(diǎn),故需要定點(diǎn)(2,0)在雙曲線的左頂點(diǎn)上或左頂點(diǎn)的左邊,即2≤m,即0<m≤4,又e=1+b2a2=1+10.(多選)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線的斜率為3且經(jīng)過點(diǎn)F,直線l與拋物線C交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限),與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D,若|AF|=4,則以下結(jié)論正確的是()A.p=2 B.F為AD中點(diǎn)C.|BD|=2|BF| D.|BF|=2答案ABC解析如圖,Fp2,0,直線l的斜率為3,則直線方程為y=3xp聯(lián)立y2=2px,y=3x-p2,解得xA=32p,xB=16p,由|AF|=32p+p2=2p=4,得p=2.∴拋物線方程為y2=4x,xB=16p=13,則|BF|=13+∴|BD|=2|BF|,|BD|+|BF|=43+則F為AD中點(diǎn).∴運(yùn)算結(jié)論正確的是A,B,C.11.已知點(diǎn)M(1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若∠AMB=90°,則k=.

答案2解析設(shè)直線AB:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立x=my+1,y2=4xy1+y2=4m,y1y2=4.而MA=(x1+1,y11)=(my1+2,y11),MB=(x2+1,y21)=(my2+2,y21).∵∠AMB=90°,∴MA·MB=(my1+2)(my2+2)+(y11)(y=(m2+1)y1y2+(2m1)(y1+y2)+5=4(m2+1)+(2m1)4m+5=4m24m+1=0.∴m=12.∴k=1m=12.設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)點(diǎn)P在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點(diǎn),點(diǎn)M為直線PB與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸上.若|ON|=|OF|(O為原點(diǎn)),且OP⊥MN,求直線PB的斜率.解(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意,2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.所以,橢圓的方程為(2)由題意,設(shè)P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).設(shè)直線PB的斜率為k(k≠0),又B(0,2),則直線PB的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立y整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=20k4+5k2,代入y=kx+2得yP=8-10k24+5k2,進(jìn)而直線OP的斜率yPxP=4-5k2-10k.在y=kx+2中,令y=0,得xM=2k.由題意得N(0,1),所以直線MN的斜率為k2.由OP⊥MN,得4-13.在橢圓x24+y27=1上求一點(diǎn)P,使它到直線l:3x2y16解設(shè)與橢圓相切并與l平行的直線方程為y=32x+m代入x24并整理得4x2+3mx+m27=0,Δ=9m216(m27)=0,解得m2=16,即m=±4,故兩切線方程為y=32x+4和y=32x4,顯然y=32x4,即3x2y8=0距l(xiāng)最近,且最短距離d=|-16+8|3214.已知拋物線C:y2=2px過點(diǎn)A(1,1).(1)求拋物線C的方程;(2)若過點(diǎn)P(3,1)的直線與拋物線C交于M,N兩個(gè)不同的點(diǎn)(均與點(diǎn)A不重合).設(shè)直線AM,AN的斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值.(1)解由題意得2p=1,所以拋物線方程為y2=x.(2)證明設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN的方程為x=t(y+1)+3,代入拋物線方程得y2tyt3=0.所以Δ=(t+2)2+8>0,y1+y2=t,y1y2=t3.所以k1·k2=y=1=1-t-3+t+1=12,所以15.已知向量a=(x,3y),b=(1,0),且(a+3b)⊥(a3b).(1)求滿足上述條件的點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程;(2)設(shè)曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)P,Q,點(diǎn)A(0,1),當(dāng)|AP|=|AQ|時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)∵(a+3b)⊥(a3b),∴(a+3b)·(a3b)=0,∴a23b2=0,∴x2+3y2=3,即點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程為x23+y2=(2)由y=kx+m,x2+3y2-3=0,得(1+3k2)x2+6kmx+3(m21)=0.∵曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn),∴Δ=(6km)212(1+3k2)(m21)=12(3k2m2+1)>0,且x1+x2=6km1+3k2,x1x設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點(diǎn)N(x0,y0),則x0=x∴PQ⊥AN.設(shè)kAN表示直線AN的斜率,又k≠0,∴kAN·k=1.即-1-m1+3k23km1+3k2·k=1,∵3k2>0,∴m>12將②代入①得2m1m2+1>0,即m22m<0,解得0<m<2,∴m的取值范圍為12學(xué)科素養(yǎng)拔高練16.(2019全國(guó)Ⅱ)已知點(diǎn)A(2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為12.記M的軌跡為曲線C(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.①證明:△PQG是直角三角形;②求△PQG面積的最大值.解(1)由題設(shè)得yx+2·yx-2=12,化簡(jiǎn)得x24+y22=(2)①設(shè)直線PQ的斜率為k,則其方程為y=kx(k>0).由y=kx,x24+y22=1,得x=±21+2k2.記u=21+2k2,則P(u,uk),Q(u,uk),E