四川省廣安市華鎣中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

四川省華鎣中學(xué)20232024學(xué)年高二上12月月考數(shù)學(xué)試題高2025屆12月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將直線方程變?yōu)樾苯厥?根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系可直接求解.【詳解】直線變形為所以設(shè)傾斜角為則因為所以故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程中傾斜角與斜率的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.2.已知直線與直線，若，則（）A. B.2 C.2或 D.5【答案】A【解析】【分析】解方程，再檢驗即得解.【詳解】解：若，則，所以或．當(dāng)時，重合，不符合題意，所以舍去；當(dāng)時，符合題意．故選：A3.阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓C的焦點(diǎn)在軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，由此求得正確答案.【詳解】依題意，解得.由于橢圓焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B4.已知圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先確定圓的圓心和半徑，再將兩圓方程作差求相交弦方程，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式、弦長的幾何求法求.【詳解】由圓中且半徑為1，將兩圓方程作差，得，整理得，所以相交弦方程，則到其距離為，所以.故選：A5.在數(shù)列中，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題目條件得到為等差數(shù)列，公差為1，并求出首項，從而得到通項公式，求出，得到答案.【詳解】因為，所以為等差數(shù)列，公差為1，首項為，故，所以，因為，所以，.故選：C6.如圖是拋物線拱形橋，當(dāng)水面在時，拱頂高于水面，水面寬為，當(dāng)水面寬為時，水位下降了（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拱橋所在拋物線為，根據(jù)題意得出點(diǎn)在拋物線上，可求出的值，并設(shè)拱頂高于水面，可知點(diǎn)在拋物線上，代入拋物線方程可解出的值，由此可得出水面下降的高度.【詳解】建系如圖，設(shè)拱橋所在拋物線為，點(diǎn)在拋物線上，得，拋物線方程為，當(dāng)水面寬為時，設(shè)拱頂高于水面，由點(diǎn)在拋物線上，得，故水面下降了.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的應(yīng)用，建立平面直角坐標(biāo)，將問題轉(zhuǎn)化為拋物線方程來求解是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.7.如圖，在三棱錐中，，，，則異面直線OB與AC所成的角是（）A.30° B.60° C.90° D.120°【答案】B【解析】【分析】由異面直線的向量求法求解即可【詳解】∵，，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，又異面直線所成角的取值范圍∴異面直線OB與AC所成的角為60°．故選：B8.已知點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定點(diǎn)在定直線上，根據(jù)的最小值等于圓心到直線的距離減去圓的半徑求解.【詳解】因為，所以在直線即上.又圓心到直線的距離為：，所以的最小值為：.故選：C二、多選題（本大題共4小題，共20分．在每小題有多項符合題目要求）9.已知動直線與圓，則下列說法正確的是（）A.直線過定點(diǎn)B.圓的圓心坐標(biāo)為C.直線與圓的相交弦的最小值為D.直線與圓的相交弦的最大值為4【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的相關(guān)知識對各選項逐一判斷即可.【詳解】對于A，直線，即，令，得，即直線過定點(diǎn)，故A正確；對于B，圓，即，圓心坐標(biāo)為，故B錯誤；對于C，因為，所以直線所過定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，不妨設(shè)直線過定點(diǎn)為，當(dāng)直線與圓的相交弦的最小時，與相交弦垂直，又因為，所以相交弦最小為，故C正確；對于D，直線與圓的相交弦的最大值為圓直徑4，故D正確.故選：ACD10.若方程所表示的曲線為，則（）A.曲線可能是圓B.若，則為橢圓C.若為橢圓，且焦點(diǎn)在軸上，則D.若時，曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則到另一個焦點(diǎn)的距離為或【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圓、橢圓、雙曲線的定義及性質(zhì)判斷即可.【詳解】當(dāng)，即時，方程為，表示圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓，故A正確，B錯誤；對于C，若為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故C正確；對于D，若時，方程為，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，，所以雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，故D錯誤.故選：AC.11.下列命題中，正確的有（）A.若，則⊥B.若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底C.已知空間三點(diǎn)，點(diǎn)O到直線BC的距離為D.是平面的法向量，是直線l的方向向量，若，則1與平面所成角為【答案】BCD【解析】【分析】A可舉出反例；B選項，推出不共面，利用空間向量基底的概念進(jìn)行判斷；C選項，利用點(diǎn)到直線的空間向量公式進(jìn)行求解；D選項，根據(jù)直線方向向量，法向量及線面角的概念進(jìn)行判斷.【詳解】A選項，如圖所示，滿足，但與不垂直，A錯誤；B選項，若是空間的一個基底，則不存在使得，設(shè)，則，無解，故不共面，則也是空間的一個基底，B正確；C選項，已知空間三點(diǎn)，則，，故點(diǎn)O到直線BC的距離為，C正確；D選項，是平面的法向量，是直線l的方向向量，若，故直線l與垂直平面的直線所成銳角為，由于l與平面所成角和互余，故1與平面所成角為，D正確.故選：BCD12.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說法正確的是（）A.過點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的周長為8B.橢圓上存在點(diǎn)P，使得C.若實數(shù)滿足橢圓C，則的最大值為D.為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)的最大距離為【答案】ABD【解析】【分析】選項A，由橢圓定義可得周長為；選項B，由點(diǎn)在橢圓上，且滿足，聯(lián)立方程組可解得點(diǎn)坐標(biāo)；選項C，由的幾何意義為斜率，設(shè)直線方程，聯(lián)立與橢圓方程，轉(zhuǎn)化為方程組有解，求斜率范圍，從而得最大值；選項D，求點(diǎn)的距離最大值，先求解的最大值.【詳解】由橢圓方程可得，，則.則，選項A，的周長，故A正確；選項B，設(shè)存在點(diǎn)，則，由得，聯(lián)立解得，則，則橢圓上存在點(diǎn)，使，故B正確；選項C，設(shè)，，則的幾何意義為兩點(diǎn)連線的斜率，設(shè)直線，聯(lián)立消得，，由，解得，則，的最大值為，故C錯誤；選項D，設(shè)，則，所以，則，因為，所以，所以，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知雙曲線方程為，則其漸近線方程為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程公式直接求解即可.【詳解】漸近線方程為.故答案為：14.學(xué)校舉行知識競賽，甲乙兩人進(jìn)入最后的決賽，已知某題甲答對的概率是，乙答對的概率是，則此題沒有人答對的概率是__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)甲乙兩人之間相互獨(dú)立，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求解.【詳解】由題意，甲乙兩人之間是相互獨(dú)立的，且甲答對的概率是，乙答對的概率是，所以此題沒有人答對的概率是.故答案為：.15.已知是曲線的兩個焦點(diǎn)，是曲線上一點(diǎn)，且，則的面積等于__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的方程得到的值，由橢圓的定義可知的值，從而求得、的值，再由勾股定理得到，由此得解.【詳解】由橢圓的方程可得：，，所以，則，因為，又由橢圓的定義知，所以，，則中，有，則，所以.故答案為：.16.設(shè)、分別為具有公共焦點(diǎn)、的橢圓和雙曲線的離心率，是兩曲線的一個公共點(diǎn)，且滿足，則的值為_____________．【答案】【解析】【分析】設(shè)橢圓、雙曲線的方程分別為，公共焦點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由于，則，所以是以為直角頂點(diǎn)的三角形，再由橢圓、雙曲線的定義可得，所以，由可得，因此得，從而的值為，故應(yīng)填.【詳解】設(shè)橢圓、雙曲線的方程分別為，公共焦點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是，如圖所示，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，即，是直角三角形，且，由橢圓、雙曲線的定義可得，解得，在中，，，即，，.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知等差數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出公差和首項，從而得到通項公式；（2）利用等差數(shù)列的求和公式求出答案.【小問1詳解】設(shè)公差為，則，解得，且，故；【小問2詳解】.18.已知直線過點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若直線與直線垂直，求直線方程（2）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線方程【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)截距是否為進(jìn)行分類討論求解答案即可.【小問1詳解】因為直線與直線垂直，直線即，斜率為，所以直線斜率為，又因為直線過點(diǎn)，所以直線方程為，即【小問2詳解】因為直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且直線過點(diǎn)所以當(dāng)截距為時，直線方程為，當(dāng)截距不為時，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)，得，得，所以直線方程為，即，所以直線方程為或19.已知點(diǎn)P到的距離與它到x軸的距離的差為4，P的軌跡為曲線C.（1）求C的方程；（2）若直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的斜率.【答案】（1）或.（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合絕對值的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）利用點(diǎn)差法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】設(shè)，由題意可知：，兩邊同時平方，得所以的方程為或.【小問2詳解】由題可知曲線為，設(shè)，，則.由得，所以斜率為.20.如圖，在四棱鏡中，平面，．，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，進(jìn)而證明出線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，求出兩法向量的夾角余弦值，進(jìn)而求出二面角的正弦值.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面；【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，故，設(shè)，由得，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，又平面的法向量為，故，故二面角正弦值為.21.已知圓C過點(diǎn)且圓心在直線上（1）求圓C的方程，并求過點(diǎn)的切線方程．（2）若過點(diǎn)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且三角形ABC的面積為10，求直線l的方程．【答案】（1），切線方程為（2）或或【解析】【分析】（1）求出的垂直平分線方程，與聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出半徑，得到圓的方程，并設(shè)出切線方程，由點(diǎn)到直線距離公式得到方程，求出切線方程；（2）設(shè)出直線方程，表達(dá)出圓心到直線的距離，利用垂徑定理得到弦長，從而根據(jù)面積列出方程，求出或，分兩種情況，求出相應(yīng)直線的斜率，得到直線方程.【小問1詳解】由對稱性可知圓心C在線段的垂直平分線上，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，故的垂直平分線的斜率為，故的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立與，解得，故圓心坐標(biāo)為，半徑為，故圓C的方程為，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，不是圓C的切線，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，則，解得，故過點(diǎn)的切線方程為，即；【小問2詳解】將代入圓C，，故點(diǎn)在圓C外，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，此時直線與圓無交點(diǎn)，舍去，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，則圓心到直線的距離，又半徑，故由垂徑定理得，又三角形ABC的面積為10，所以，解得或，由于，故或均滿足要求，當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，，解得，綜上，直線l的方程為或或.22.已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【解析】【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問題得解.（2）方法一：設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點(diǎn)，當(dāng)時，直線：，直線過點(diǎn)，命題得證.【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）[方法一]：設(shè)而求點(diǎn)法證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點(diǎn)