（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題3.4 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（練）-江蘇版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

專題3.4導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．【答案】(1)a＝2.(2)x＝42.某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬元～1000萬元的投資收益．現(xiàn)準(zhǔn)備制訂一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y(萬元)隨投資收益x(萬元)的增加而增加，且資金不超過9萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過投資收益的20%.(1)若建立函數(shù)f(x)模型制訂獎(jiǎng)勵(lì)方案，試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)f(x)模型的基本要求；(2)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：①y＝eq\f(x,150)＋2；②y＝4lgx－3.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求？【答案】(1)詳見解析(2)①不符合②符合則f(x)max＝f(1000)＝4lg1000－3＝9.所以f(x)≤9恒成立．設(shè)g(x)＝4lgx－3－eq\f(x,5)，則g′(x)＝eq\f(4,xln10)－eq\f(1,5).當(dāng)x≥10時(shí)，g′(x)＝eq\f(4,xln10)－eq\f(1,5)≤eq\f(2－ln10,5ln10)<0，所以g(x)在[10,1000]上是減函數(shù)，從而g(x)≤g(10)＝－1<0.所以4lgx－3－eq\f(x,5)<0，即4lgx－3<eq\f(x,5)，所以f(x)≤eq\f(x,5)恒成立．故該函數(shù)模型符合公司要求．3.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總營(yíng)業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的年關(guān)系是R＝R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400，,80000x>400，))則總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是_______．【答案】3004.統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為y＝eq\f(1,128000)x3－eq\f(3,80)x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙兩地相距100千米．(1)當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？【答案】(1)17.5(2)80千米/小時(shí)，11.25升【解析】(1)當(dāng)x＝40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100,40)小時(shí)，共耗油eq\f(100,40)×(eq\f(1,128000)×403－eq\f(3,80)×40＋8)＝17.5(升)．因此，當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油17.5升．(2)當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100,x)小時(shí)，設(shè)耗油量為h(x)升，依題意得h(x)＝(eq\f(1,128000)x3－eq\f(3,80)x＋8)·eq\f(100,x)＝eq\f(1,1280)x2＋eq\f(800,x)－eq\f(15,4)(0<x≤120)，h′(x)＝eq\f(x,640)－eq\f(800,x2)＝eq\f(x3－803,640x2)(0<x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.當(dāng)x∈(0,80)時(shí)，h′(x)<0，h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(80,120)時(shí)，h′(x)>0，h(x)是增函數(shù)，∴當(dāng)x＝80時(shí)，h(x)取得極小值h(80)＝11.25.易知h(80)是h(x)在(0,120]上的最小值．故當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，為11.25升．5.把一個(gè)周長(zhǎng)為12cm的長(zhǎng)方形圍成一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，該圓柱的底面周長(zhǎng)與高的比為________．【答案】2∶1【解析】設(shè)圓柱高為x，底面半徑為r，則r＝eq\f(6－x,2π)，圓柱體積V＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x,2π)))2x＝eq\f(1,4π)(x3－12x2＋36x)(0<x<6)，V′＝eq\f(3,4π)(x－2)(x－6)．當(dāng)x＝2時(shí)，V最大．此時(shí)底面周長(zhǎng)為6－x＝4,4∶2＝2∶1.6.用長(zhǎng)為90cm，寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻折900角，再焊接而成，問該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大的容積是多少？【答案】該容器的高為10cm時(shí)，容器有最大容積196007.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的總成本（萬元），已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元，產(chǎn)量定為多少時(shí)總利潤(rùn)最大？【答案】258.某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)某種型號(hào)的長(zhǎng)方形薄板，其周長(zhǎng)為4m，這種薄板須沿其對(duì)角線折疊后使用．如圖所示，四邊形ABCD(AB>AD)為長(zhǎng)方形薄板，沿AC折疊后AB′交DC于點(diǎn)P.當(dāng)△ADP的面積最大時(shí)最節(jié)能，凹多邊形ACB′PD的面積最大時(shí)制冷效果最好．(1)設(shè)AB＝xm，用x表示圖中DP的長(zhǎng)度，并寫出x的取值范圍；(2)若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬？(3)若要求制冷效果最好，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬？【答案】(1)y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))，1<x<2.(2)長(zhǎng)為eq\r(3,2)m，寬為(2－eq\r(3,2))m【解析】(1)由題意AB＝x，BC＝2－x.因?yàn)閤>2－x，所以1<x<2.設(shè)DP＝y(tǒng)，則PC＝x－y.因?yàn)椤鰽DP≌△CB′P，所以PA＝PC＝x－y.9.輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅(jiān)硬的場(chǎng)地上滑行的運(yùn)動(dòng)．如圖，助跑道ABC是一段拋物線，某輪滑運(yùn)動(dòng)員通過助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1m的平臺(tái)上E處，飛行的軌跡是一段拋物線CDE(拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內(nèi))，D為這段拋物線的最高點(diǎn)．現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)員的滑行輪跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，x軸在地面上，助跑道一端點(diǎn)A(0,4)，另一端點(diǎn)C(3,1)，點(diǎn)B(2,0)，單位：m.(1)求助跑道所在的拋物線方程；(2)若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點(diǎn)C處有相同的切線，為使運(yùn)動(dòng)員安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，要求運(yùn)動(dòng)員的飛行距離在4m到6m之間(包括4m和6m)，試求運(yùn)動(dòng)員飛行過程中距離平臺(tái)最大高度的取值范圍．(注：飛行距離指點(diǎn)C與點(diǎn)E的水平距離，即這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值)【答案】(1)f(x)＝x2－4x＋4，x∈[0,3]．(2)在2m到3m之間【解析】(1)設(shè)助跑道所在的拋物線方程為f(x)＝a0x2＋b0x＋c0，依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c0＝4，,4a0＋2b0＋c0＝0，,9a0＋3b0＋c0＝1，))解得a0＝1，b0＝－4，c0＝4，所以助跑道所在的拋物線方程為10.一位創(chuàng)業(yè)青年租用了一塊邊長(zhǎng)為1百米的正方形田地來養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，他在正方形的邊上分別取點(diǎn)（不與正方形的頂點(diǎn)重合），連接，使得.現(xiàn)擬將圖中陰影部分規(guī)劃為蜂源植物生長(zhǎng)區(qū)，部分規(guī)劃為蜂巢區(qū)，部分規(guī)劃為蜂蜜交易區(qū).若蜂源植物生長(zhǎng)區(qū)的投入約為元/百米2，蜂巢區(qū)與蜂蜜交易區(qū)的投入約為元/百米2，則這三個(gè)區(qū)域的總投入最少需要多少元？ABABCDEF第17題圖【答案】從而三個(gè)區(qū)域的總投入的最小值約為元................14分（說明：這里的最小值也可以用導(dǎo)數(shù)來求解：因?yàn)?，則由，得.當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.）解法二：設(shè)陰影部分面積為，三個(gè)區(qū)域的總投入為.則，從而只要求的最小值................2分AABCDEFxy因?yàn)?，所以?.......8分所以，..............10分即，解得，即取得最小值為，從而三個(gè)區(qū)域的總投入的最小值約為元................14分11.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某商品每噸的價(jià)格為百元時(shí)，該商品的月供給量為萬噸，；月需求量為萬噸，.當(dāng)該商品的需求量大于供給量時(shí)，銷售量等于供給量；當(dāng)該商品的需求量不大于供給量時(shí)，銷售量等于需求量，該商品的月銷售額等于月銷售量與價(jià)格的乘積.（1）若，問商品的價(jià)格為多少時(shí)，該商品的月銷售額最大？（2）記需求量與供給量相等時(shí)的價(jià)格為均衡價(jià)格，若該商品的均衡價(jià)格不低于每噸6百元，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】(1)若，由，得．解得．…………………3分因?yàn)?，所以．?）若該商品的均衡價(jià)格不低于每噸6百元，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．12.某經(jīng)銷商計(jì)劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當(dāng)每臺(tái)凈化器的利潤(rùn)為（單位：元，）時(shí)，銷售量（單位：百臺(tái)）與的關(guān)系滿足：若不超過，則；若大于或等于，則銷售量為零；當(dāng)時(shí)，（，為實(shí)常數(shù)）．（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)為多少時(shí)，總利潤(rùn)（單位：元）取得最大值，并求出該最大值．【答案】（1）（2）當(dāng)?shù)扔谠獣r(shí)，總利潤(rùn)取得最大值元當(dāng)時(shí)，，，令，得．…………10分當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最大值．…………12分當(dāng)時(shí)，﹒答：當(dāng)?shù)扔谠獣r(shí)，總利潤(rùn)取得最大值元．…………14分13.如圖，已知海島A到海岸公路BC的距離AB為50㎞，B，C間的距離為100㎞，從A到C必須先坐船到BC上的某一點(diǎn)D，船速為25㎞/h，再乘汽車到C，車速為50㎞/h，記∠BDA＝θ．

（1）試將由A到C所用的時(shí)間t表示為θ的函數(shù)t(θ)；

（2）問θ為多少時(shí)，由A到C所用的時(shí)間t最少？BBACDθ【答案】（1）t(θ)＝＋2（θ0＜θ＜，其中tanθ0＝）（2）θ＝14.植物園擬建一個(gè)多邊形苗圃，苗圃的一邊緊靠著長(zhǎng)度大于30m的圍墻．現(xiàn)有兩種方案：