2023年高考數(shù)學(xué)考前信息練習(xí)卷五套匯編（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷01

新高考地區(qū)專用

新高考地區(qū)考試題型為8（單選題）+4（多選題）+4（填空題）+6（解答題），其中結(jié)構(gòu)不良型試

題是新高考地區(qū)新增加的題型，主要涉及解三角形與數(shù)列兩大模塊，以解答題的方式進(jìn)行考查。

所謂結(jié)構(gòu)不良型試題，就是給出一些條件，另外的條件題干中給出三個(gè)，學(xué)生可從中選擇一個(gè)或者兩

個(gè)作為條件，進(jìn)行解題。需要注意的是：題目所給的三個(gè)可選擇的條件是平行的，即無論選擇哪個(gè)條件，

都可解答題目，而且在可選擇的三個(gè)條件中，并沒有哪個(gè)條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過程

規(guī)范，都會(huì)得滿分。

2022年新高考地區(qū)解答題中，雖未以結(jié)構(gòu)不良型方式考查數(shù)列與解三角形這兩大知識(shí)模塊,但預(yù)測(cè)2023

年新高考地區(qū)將以結(jié)構(gòu)不良型方式考查數(shù)列與解三角形這兩大知識(shí)模塊中的一個(gè)，出現(xiàn)在17題的可能性較

大，難度中等偏下，例如本卷第17題。

同時(shí)應(yīng)特別注意以數(shù)學(xué)文化為背景的新情景問題，此類試題蘊(yùn)含濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息，將數(shù)學(xué)知識(shí)、

方法等融為一體，能有效考查學(xué)生在新情景下對(duì)知識(shí)的理解以及遷移到不同情境中的能力，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)

問題、分析問題和解決問題的能力，一般出現(xiàn)在選擇題第4題、第5題的位置，難度中等，例如本卷第5

題。

<_________________________________________________________________________________________>

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的。

2

1.已知集合/={T,0,l},B^{m?,n-?≡A,nι-?iA?,則集合8中所有元素之和為()

A.0B.1C.-1D.y∕2

【答案】C

【詳解】根據(jù)條件分別令加2-I=-1,0』，解得加=0,±l,士√Σ,

又任所以W=-I,±&,B={-l,JΣ,-JΣ},

所以集合B中所有元素之和是T,

故選：C.

2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z滿足z(l+i)=∣l+i∣,則Z=()

.√2√2.d√2√2,?√2√2.tλ√2√2.

A.-----1-----iD.---------------iC.-------1----iL).------------i

22222222

【答案】B

【詳解】因?yàn)閦(l+i)=∣l+i∣,所以Z=粵=落孝(1)=棄圣.

故選：B

3.(9+2卜-J的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()

A.-20B.30C.-10D.10

【答案】D

r≡ι≡7<7+?24j4HJ÷2HI

的展開式的通項(xiàng)公式為&產(chǎn)晨(∕)j[-g1=(-1)rq%'2

令12-3廠=3,得r=3;

令12-3r=0.得r=4.

所以(3+2)(一一：)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：

-4×(-l)3C≡XX3+(-I)4C：x√lX2=-20+30=10.

故選:D

2

4.“α≥也”是“圓G：X+∕=4?0C2.(x-α)2+(y+α)2=1有公切線”的()

2

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】圓G：+/=4的圓心G(θ,θ),半徑4=2,圓G：(x-α)2+(y+o)2=1的圓心G(a，—〃),半

徑4=1,

若兩圓有公切線，則ICCl沖-引，即業(yè)+(-八1，解得公今或ci≥去,

22

所以“42也”是“圓C1:/+/=4與圓g：(x-a)+(y+a)=?有公切線”的充分而不必要條件.

2

故選:A.

5.“省刻度尺”問題由英國數(shù)學(xué)游戲大師杜登尼提出：一根23Cm長的尺子，要能夠量出長度為Iem到23Cm

且邊長為整數(shù)的物體，至少需要6個(gè)刻度(尺子頭尾不用刻).現(xiàn)有一根8cm的尺子，要能夠量出長度為ICm

到8cm且邊長為整數(shù)的物體，尺子上至少需要有()個(gè)刻度

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】若有一根8cm的尺子，量出長度為ICm到8cm且為整數(shù)的物體，

則當(dāng)尺子有4個(gè)刻度時(shí)滿足條件

設(shè)X為長度，。為刻度，b為刻度對(duì)應(yīng)的數(shù)量，則有苫€口,8］且％€曠,*=6問+6/2+6/3+勿％，其中

?∣,?2,?,?4∈{0,l},

當(dāng)α∣=2,α2=1,α3=4,04=1時(shí)，a2=l,αl=2,al+a2=3,ai=4,a2+a3=5,a2+ai+a4=6

%+/+。3=7,。|+。2+%+4=8

下證，當(dāng)尺子有3個(gè)刻度時(shí)不能量出ICm~8cm的物體長度

設(shè)xe［1,8］且XWbr,x=M+b2a2+b3a3,其中仇也也∈{θ,l},

所以當(dāng)4,4也中有1個(gè)O,X的取值至多有3個(gè)

當(dāng)仇也也中有2個(gè)O時(shí)，4=仇=O或&=H=O,X的取值至多有2個(gè)

當(dāng)4也也中沒有O時(shí)，X的取值有1個(gè)

所以X取值至多有6個(gè)，即當(dāng)尺子有3個(gè)刻度時(shí)不能量出ICm~8cm的物體長度.

故選:B

6.已知函數(shù)/（力=85（5-2）+/0>0）的最小正周期為7',等<7<汀，且、=/（耳的圖象關(guān)于點(diǎn)（當(dāng),1）

中心對(duì)稱，若將y=∕（χ）的圖象向右平移機(jī)（m>0）個(gè)單位長度后圖象關(guān)于了軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)”?的最小值為

()

1?π

D.

"Tθ^

【答案】B

?jr?

【詳解】???7=T^f,ω>0,且q<T<4,

冏3

2π21?C

—<—<Tt,πLψπ2<G<3,

3ω

???y=∕（χ）的圖像關(guān)于點(diǎn)?Jj中心對(duì)稱,

目.cos(∕G-Aj=0，即=+左乃(Z∈Z),解得G=；+與(左∈Z),

.?b=l

?'2<ω<3>

?。?3,G=*,

2

=CoS(IXl)+1,

???∕(x)

將y=/(χ)的圖像向右平移〃?(加>o)個(gè)單位長度后得到/(X-〃2)=CoS(I-I，”撲1的圖像,

???〃X-附)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,

∈解得

-^m-^=kπ^kZ),ΛM=∈Z),

?;m>O,

???〃，的最小值，令左=T,得%L才等唔,

故選：B.

7.實(shí)數(shù)X,y,Z分別滿足χ2022=e,2022,=2023,2022z=2023,則x,y,Z的大小關(guān)系為()

A.χ>y>zB.χ>z>y

C.z>x>yD.y>χ>z

【答案】B

【詳解】解：由己知得丫_0表，?=log,0,22023,Z=黑，

x~c2022

設(shè)/(X)=,/(X)=上坐，當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，Jf(X)<0,

XX"

所以/(X)=叱在(e,+8)上單調(diào)遞減，因此y(2023)</K2022),

X

In2023In2022,2023In2023C…，

即---------<所rr以κ---->------=I1og2023,z>y；

2023----20222022In2022e7200222

又設(shè)〃(x)=e，一%-1,Af(x)=ex-1,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，Az(x)>O,

所以//(x)=e'-x-l在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增，

因此〃UI=e表一±-1>〃(O)=O,所以e盛>—!-+1=些，則x>Z;

12022J2022，20222022

綜上得x>z>V.

故選：B.

8.如圖，正方體/8Cz)-Ca的棱長為2,線段8。上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E*(E在尸的左邊)，且EF=JL下

列說法錯(cuò)誤的是()

A.當(dāng)E,F運(yùn)動(dòng)時(shí)，不存在點(diǎn)E.尸使得NEICF

B.當(dāng)瓦尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，不存在點(diǎn)瓦尸使得

C.當(dāng)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角E-48-C的最大值為45°

D.當(dāng)瓦尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角Z-EF-8為定值

【答案】C

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則/(2,2,0),8(0,2,0),C(0,0,0),。(2,0,0),〃(2,0,2).

因?yàn)镋,F在BQ上，且8Q=2&,EF=立,

可設(shè)E(∕,2T,2川≤f≤2),則/("1,3T,2),

貝亞=(-2,T,2),甌=”1,3T,2),

所以次.醞=(f-2)(f-l)+(3-√)?(τ)+4=2d-6f+6,

故荏?而恒為正，故A正確.

若則4民用,。四點(diǎn)共面，與和BQ是異面直線矛盾，故B正確.

設(shè)平面ABE的法向量為m=(x,y,z),

—/、ABin=0-2x=0

又/8=(—2,0,0),所以一,即

AEin=0(1—2)x—卯+2z—0

取V=2,則τw=(0,2,f),

平面相C的法向量為7=(0,0,1),所以COS伍,0=j1+4.

Cnrnn_t1

設(shè)二面角E-HB-C的平面角為6,則。為銳角，故s'=麗=FZ=

因?yàn)?≤Z≤2,y-在［1,2］上單調(diào)遞減,

所以Λ∕2≤Jl+。≤?/?,故≤CoSe≤,

Vt252

當(dāng)且僅當(dāng)Z=2時(shí)，COSe取得最大值也,即。取最小值45。，故C錯(cuò)誤.

2

連接BO,?4,ZB∣.平面以由即為平面8?！ㄆ矫?即即為平面∕8Q∣,故當(dāng)E,F運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角

X-E尸-8的大小保持不變，故D正確.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知向量萬=(1,-2),h=(-?,m),則正確的是()

A.若W=1,貝布-可=JIyB.若2/區(qū)，則加=2

c.若α與役的夾角為鈍角，則，〃>-；D.若向量是［與。同向的單位向量，則^=［手,-竽

【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A,若加=1,則萬-5=(2,-3),所以B/=而,故A正確;

對(duì)于B,若)〃B，則加-2=0,所以〃?=2,故B正確;

對(duì)于C,若1與B的夾角為鈍角，則￡7<0,且)與B不共線,

即?f-—21—≠2/H0<0’解得加>一?相I""'故C不正確;

對(duì)于D,若向量是工與々同向的單位向量,故D正確.

故選：ABD.

10.甲箱中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，先從甲箱中隨機(jī)

取出一球放入乙箱，分別以4，4和4表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)

取出一球，以8表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是()

Q

A.事件8與事件4(i=l,2,3)相互獨(dú)立B.P(∕l,β)=-

C-P(B)JD.尸(4忸)=2

【答案】BD

【詳解】p(4)=1,m)=∣?p(4)=U

先4發(fā)生，則乙袋中有4個(gè)紅球3白球3黑球，尸(B∣4)=A=:

先4發(fā)生，則乙袋中有3個(gè)紅球4白球3黑球，P(B?A2)=-,

先4發(fā)生，則乙袋中有3個(gè)紅球3白球4黑球，p(β∣4)=--

248

P(48)=P(8⑷P(4)=D=方，B對(duì).

a9I

P(A2B)=P(B?A2)P(A2)=-×~=-

a11

P(3)=P(用4)p(4)=.χj歷

411

P(B)=P(B⑷P(4)+P(B∣4)P(4)+P(B∣4)P(4)=⑤≠],C錯(cuò).

P(Jl)P(5)≠P(J1S)1A錯(cuò).

32

⑶.尸(“)x6

P(Ap(4?)p(∕)1Q9=

2l對(duì).

(>~P(B)~P(B)31^31'D

90

故選:BD.

2222

II.已知與外分別為橢圓C:三+2=l(ɑ>6>0)和雙曲線E邑-4=l(ɑ()>0也>0)的公共左，右焦點(diǎn),

a

abobI)

P(在第一象限)為它們的一個(gè)交點(diǎn)，且NKPE=60',直線尸&與雙曲線交于另一點(diǎn)。，若IPKl=2優(yōu)

則下列說法正確的是()

A.△尸片。的周長為四B.雙曲線E的離心率為巫

53

C.橢圓C的離心率為半D.?PFi?=4?PF2?

【答案】BCD

【詳解】設(shè)IQSI=f，則IPKl=2f,∣PFj=2f+2%,I。周=t+2%,

△尸￡0中由余弦定理IQ?=「+歸°『_2歸娟IPqCoS/耳PQ,得

222

(/+2a0)=(2/+2a0)+9z-2(2a0+2z)?3z?cos60°,化簡(jiǎn)得∕=3f,

?PFi?=2t+2a0=8t=4?PF2?,D正確；

又2α=∣PG∣+∣尸用=IOf,所以α=5f,又|。耳∣=f+2旬=7/,

1Q

△出。的周長為8f+3f+7f=18f=￡q,A錯(cuò)誤；

△尸片與中，歸用=2c,由余弦定理得4c?=(8f)2+(2/)2-2x8fx2fxcos60。，所以C=Ji3/,

因此雙曲線的離心率為q=￡=?=姮，B正確；

為3/3

12.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇0,+8),當(dāng)xe[0,2)時(shí)，f(x)=-x2+2χ.且對(duì)于任意x≥2,恒有

/(x)-l=∕(x-2),則()

A./(x)是周期為2的周期函數(shù)

B.∑∕(0=lO122

/=I

C.當(dāng)xe[0,8]時(shí)，方程/(X)=代有且僅有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則左的取值范圍為匕,14-

?jf-l<f(x}≤-x+-

D.

2v7216

【答案】BCD

【詳解】已知對(duì)于任意x≥2,恒有/(x)-l=∕(x-2),

即任意x≥2,恒有/(x)=∕(x-2)-l,又當(dāng)XaO,2)時(shí)，/(x)=-√+2x,

所以當(dāng)xe[2%2"+2)時(shí)，f(χ)=-(X-2〃)2+2(x-2〃)+〃,〃eN.

選項(xiàng)A,由已知對(duì)于任意x≥2,恒有"x)-l=∕(x-2),不符合周期性定義，所以A錯(cuò)誤;

選項(xiàng)B,

2023

Z∕(i)=l+l+2+2+…+1011+1011+1012=2(1+2---+1011+102：

/=I

￡,/'(/)=2×——----------'-+J022=10222,故B正確；

i=ι2

選項(xiàng)C,如圖1,當(dāng)xe[0,8]時(shí)，方程/(X)=自有且僅有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

當(dāng)直線N=H過點(diǎn)(2,1)時(shí)，直線為y=與y=∕(x)有9個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)直線N=履與/(x)=-(x-6)?2(x-6)+3,xe[6,8)相切時(shí)，此時(shí)是7個(gè)交點(diǎn)，

令-(x-6y+2(x-6)+3=H,整理得χ2+(I4)x+45=0,

由A=(A'—14)—4×45=0,解得a=14±6Λ∕^,

當(dāng)A=I4+6√?時(shí)，?^≡X2+6√5X+45=0.即(X+3√^J=0,解得X=-3后<0，舍；當(dāng)％=14-6君時(shí)，

MX2-6√5X+45=0.即k一3指『=0,解得x=3/46,8),滿足題意：且(1,1),(3,3),(5,5)點(diǎn)在直線

y=(14-6√?卜的上方.所以人的取值范圍為t,14-6刊，故C正確;

選項(xiàng)D,如圖2,y=gx-l過點(diǎn)(2,0),(4,1),(6,2),(8,3),

成立：

當(dāng)XW[2〃,2〃+2)時(shí)，/(x)=-(x-2")2+2(x-2")+”∈N.

v+zwχ222π+x+2π+

???)^=^(l)[l)=X-[2/7+4)]≥0'即/(⑼弓"+''

11O

所以彳x-l<∕(x)4彳x+,故D正確；

221677

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的等比數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)公式α,,=

①見α,+∣<0;②同>∣%+∣∣

【答案】f-?j'（答案不唯一）

【詳解】依題意，｛%｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,

由于①α,,α,+ι<0,所以4<0,

由于②同>∣αM=∣αjq∣=∣α,∣?∣q∣,所以0<∣q∣<l,

故答案為：卜;）（答案不唯一）

14.從某地抽取1000戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50?650kW?h之間，進(jìn)行適當(dāng)

分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示.若根據(jù)圖示估計(jì)得該樣本的平均數(shù)為322,

400X+600y+0.36+0.9+0.36=—

【詳解】由題意可得彳100,解得X=O.0022,y=0.0012,

.100（2y+x+0.0018+0.003+0.0006）=1

由0.12+0.18+0.3=0.6知，估計(jì)該地居民月用電量的第60百分位數(shù)約為350.

故答案為：350

4

15.已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，其內(nèi)切球的體積為:兀，則該圓錐的高為.

【答案】3

444

【詳解】因?yàn)閮?nèi)切球的體積為:兀，故內(nèi)切球的半徑H滿足;兀兀川，故R=I.

333

設(shè)母線的長為/,底面圓的半徑為，?，故2πr=gχ2τr/,故∕=2r,

故軸截面為等邊三角形（如圖所示），設(shè)瓦尸分別為等邊三角形的內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn),

。為內(nèi)切圓的圓心，則。,尸,E共線且OPI/8,OFlPB,

而NoP尸=30°,故OP=20尸=2,故EP=2+1=3,

P

故答案為：3.

16.三棱錐Z-8CL）中，ZABC=ZCBD=ZDBA=60^,8C=8。=2,點(diǎn)E為C。中點(diǎn)，”8E的面積為2收，

則AB與平面BCD所成角的正弦值為,此三棱錐外接球的體積為.

【答案】"##；血率##學(xué)兀

3333

【詳解】設(shè)4。，平面88,垂足為。，如圖，

過。作。尸，8C于點(diǎn)尸，過。作OGJ.8。于G,連接∕F,∕G,

由/O_L平面BCD,BCu平面8CD,得AO,BC,

又OFCAo=O`。尸,/Ou平面∕R9,8CJ,平面//0,

NFU平面NFO，得AFJ.BC,同理XGJL8。，

從而“BF,"BGQBFO均為直角三角形，

,/ZABC=NCBD=NDBA=60SBC=BD=2,

二OΛ"=OG,則。在NCB。的平分線BE匕易知/8與平面BeZ）所成角即為二45E.

VcosZABC=-,cosZABE=-,cosZEBC=-,

ABABBO

.*.cosZ.ABC=cosZ-ABEcosZ.EBC,

又NABC=60°,NEBC=30°,

:.cosZABE=@,即sin48E=逅，則力8與平面BcQ所成角的正弦值為逅，

333

又BE=瓜SMF=LAB?BE?sinNABE=2五,解得/8=4,

2

又NABC=ZABD=60°,BC=BD=2,

AC2=AB-+BC1-2ABBC-cosNABC=12,

.?.AC2+BC2=/爐，同?AD2+BD2=AB2>

:.ZACB=ZADB=90°..：/3為外接球直徑，

三棱錐外接球的體積為箏（J=言.

故答案為：邁，烏

33

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）在“8C中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c.從①②③中選取兩個(gè)作為條件，補(bǔ)充在

下面的問題中，并解答.①cos4=-4;②&48C的面積是^③c=3.

255

問題：已知角”為鈍角，b=5,.

⑴求A∕8C外接圓的面積；

（2）49為角Z的平分線，。在BC上，求/D的長.

【答案】（1）條件選擇見解析，r歲

84

3

（2）AD=-

【詳解】（1）選①②，

:cosA--?-,sinA=Jl-COS2Z=4>∕ΣT,

25、25

又QSN<BC=I^csin/,即還I=Lx生旦χ5xc,得c=3,

25225

17?72

由余弦定理，得/=?2+c2-IbccosA=25+9+2×5×3×——=-----,

255

由正弦定理，得（2R）2=_《一=且至，改=鬻，

`7sin2∕l2184

所以，“18C外接圓的面積為里江.

選①③，因?yàn)镃oSZ=-二7,C=3.

17?77

所以由余弦定理，得“2=b2+c2-2hccosA=25+9+2×5×3×--=-

255

由正弦定理，得(2/?)2=」^=狙，心=等，

'7Sin2Z2184

所以，A8C外接圓的面積為Wze?

84

選②③，

由S^^='x5x3XSin/,sinA=,N為鈍角，得COSA=-匚,

522525

17272

由余弦定理，得Y=?2+c2-2?ccosJ=25+9+2×5×3×-=—,

255

由正弦定理，得(27?y=—￡—=些，W=鬻，

所以，“8C外接圓的面積為f.

84

(2)由力。為角/的平分線，設(shè)4=2α,σ∈fθ,^j,

由ΔABC的面積----=-×b×AD×sina+-×c×AD×sina，

即還Ijχ5χWχ叵+?lχ3χ∕χ回3

，解得力。=5

5252

3

故4。的長為

2

18.(12分)已知5,為數(shù)列｛《,｝的前”項(xiàng)和，al=2,5,,tl=5,,+4α,,-3,記6.=log?-1)+3.

⑴求數(shù)列抄“｝的通項(xiàng)公式；

⑵已知q,=(T)"“?T,記數(shù)列匕,｝的前〃項(xiàng)和為Z,,求證：Tl,≥士?

?f‰-4.∣21

【答案】(1)4=2"+1("∈N*)

(2)證明見解析

【詳解】(1)由S(IU=S,+4%-3,得S.

?,??÷1=4a,,^3>貝∣Ja,+I-I=4(α,,T)..?.q-l=2-l=l,

，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

22,

A4,-1=4"T=2--(H∈N).?,??,,=Iog2(??-1)+3,

2π2

Λ?=log22^+3=2H+l(n∈N*).

/.?w+ι2〃+2111

C"^^L)"(2.+l)(2.+3)=(-Γ,?k+12m+3

?M=q+J+。?+…+?！?/p>

j

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，^,=∣f→7-7^>→?.

2?32〃+3J621

j

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，^,=∣f1-7-τ?憶｝是遞增數(shù)列，.EM=塞

乙?J乙JlIJJ4?j/J乙I

2

綜上得：τιι≥ji.

19.（12分）某學(xué)校號(hào)召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)，為了了解學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)調(diào)查了IOO

名學(xué)生一個(gè)月（30天）完成鍛煉活動(dòng)的天數(shù)，制成如下頻數(shù)分布表:

天數(shù)[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]

人數(shù)4153331116

（1）由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，學(xué)生參加體育鍛煉天數(shù)X近似服從正態(tài)分布N（〃,4）,其中〃近似為樣本的平均

數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值），且b=6.1,若全校有3000名學(xué)生，求參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)超過21

天的人數(shù)（精確到D;

（2）調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在（15,30］的學(xué)生中有30名男生，天數(shù)在［0,15］的

學(xué)生中有20名男生，學(xué)校對(duì)當(dāng)月參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)超過15天的學(xué)生授予“運(yùn)動(dòng)達(dá)人''稱號(hào).請(qǐng)?zhí)顚?/p>

下面列聯(lián)表：

活動(dòng)天數(shù)

性別合計(jì)

[0,15](15,30]

男生

女生

合計(jì)

并依據(jù)小概率值α=0?05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)有關(guān)聯(lián).如果結(jié)論是有關(guān)

聯(lián)，請(qǐng)解釋它們之間如何相互影響.

附：參考數(shù)據(jù)：尸（〃-b≤X≤"+b）=0.6827;「（〃-2b≤X≤'+2b）=0.9545;

n(ad-bc)~

P(μ-3σ≤X≤χ/+3σ)=0.9973./2_“=α+b+c+d)

+b)(c+d)(4+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

χ2.7063.8416.6357.87910.828

a

【答案】（1）476人

（2）答案見解析

【詳解】（1）由頻數(shù)分布表知

4×2.5+15×7.5+33×12.5+31×17.5+11×22.5+6×27.5,.,∣?.//叱,,?Cz

------------------------------------------=14.λ9,m貝∣JX—Nr(zιly14.λ9,z6.11λ),丁Pn[μ-σ<X<μ+σ)=0.6827,

1-0.6827

.?.P(X>2?)=P(X>14.9÷6.1)==0.15865,

2

3000×0.15865=475.95≈476,

參加”每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)超過21天的人數(shù)約為476人.

（2）由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動(dòng)的天數(shù)在［0,15］的人數(shù)為：4+15+33=52,

???參加"每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在［0,15］的學(xué)生中有20名男生，

，參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在［0,15］的學(xué)生中有女生人數(shù)：52-20=32

由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動(dòng)的天數(shù)在（15,30］的人數(shù)為31+11+6=48,

,??參加"每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在（15,30］的學(xué)生中有30名男生，

.?.參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在［0,15］的學(xué)生中有女生人數(shù)：48-30=18

列聯(lián)表如下：

活動(dòng)天數(shù)

性別合計(jì)

[0,15](15,30]

男生203050

女生321850

合計(jì)5248IOO

零假設(shè)為H0：學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人''稱號(hào)無關(guān)

IOOX(30x32-20xl8>

≈5.769>3.841

-50x50x52x48

依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷HO不成立，即：可以認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人''稱號(hào)行關(guān);

而且此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05,根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到，男生、女生中活動(dòng)天數(shù)超過15天的頻率

分別為：==0.6和F=0.36,Ur見男生中獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的頻率是女生中獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的稱號(hào)頻率

的獸.∣?67倍，于是依據(jù)頻率穩(wěn)定與概率的原理，我們可以認(rèn)為男生獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人''的概率大于女生，即

0.36

男生更容易獲得運(yùn)動(dòng)達(dá)人稱號(hào).

20.(12分)已知尸是拋物線氏/=2加(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)”在拋物線E上，|歷日=2,以"尸為直徑的

圓C與X軸相切于點(diǎn)N,且IMVI=W

(1)求拋物線E的方程；

(2)P是直線y=-4上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作拋物線E的切線，切點(diǎn)分別為48,證明：直線N8過定點(diǎn)，并求出

定點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(I)X2=4y

(2)證明見解析,定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)

【詳解】⑴由拋物線方程知：/°，3

.?.FMHON.

???∣M可=2,.?.∣OFI=ICM=5=1,解得：P=2,

則拋物線E的方程為χ2=4y.

(2)設(shè)4,'法子，尸(47),

2

,xx?+4

由￠=4J得：y=—,/.y'=~,則*_??_4,

4-2

化簡(jiǎn)整理可得：氏-8=0,即2凹-氏-8=0,

X；Λ

—±-+4

同理：由怎B=寇=/得：2%-％-8=0,

2X)-Z

則點(diǎn)/6,%),8(與力)都在直線2y-戊-8=0上,

即直線”的方程為2y-枕-8=0,

令X=O得：夕=4,二直線Z8過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4).

21.（12分）如圖，在斜三棱柱NBCFfC中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面BCg片為菱形,

已知NBqC=60°,ABi=a.

（1）當(dāng)α=指時(shí)，求三棱柱H8C-48C的體積；

（2）設(shè)點(diǎn)P為側(cè)棱54上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)。=3時(shí)?，求直線尸G與平面/CG4所成角的正弦值的取值范圍.

【答案】（1）3

√393√13^

（2）［石卞

【詳解】（1）解：如圖，取8C的中點(diǎn)為O,

因?yàn)?CG4為菱形，ILN8BC=6（T,所以A8∕C為正三角形，

乂有“8C為正三角形且邊長為2,則8CJ_/O,BeLBQ,

且/O=80=√i,ABx=√6,所以NO2+8Q2=/用，

所以AOLNO,因?yàn)橛諦CC/O=。，

BCu平面∕8C,ZoU平面C,所以801.平面N8C,

所以三棱柱/8C-48C的體積∕=8Q?S-BC=6X^X22=3.

（2）在“。片中，AO=BQ=BAB1=3,

由余弦定理可得COSNZo4=陰+任）「」,

2×√3×√32

2Jr

所以NNOA=?-,由（1）BCLAO,BC±5,0,

又BQCMO=O,4。U平面8/0,/Ou平面8/0,

所以BC/平面/。及，因?yàn)锽CU平面NBC,

所以平面NoBJ平面N8C,所以在平面內(nèi)作OZj.0/,則OZ，平面NBC,

以。/,OC,OZ所在直線為X軸、y軸、Z軸建立空間百角坐標(biāo)系如圖所示:

∕l(√3,O,θ),C(O,1,O),

設(shè)G=(x,y,z)是平面4CG4的個(gè)法向量,

3√3?31

^C=(-√3,l,θ),AC1

-y[ix+夕=0

n?AC=O

則,叫3√33

方冠=OX+2y+5Z=O

2

取Z=I得I=卜迅,一3,1),設(shè)麗=4函(04441),

立㈤

貝IJCA=幣+而=不+兒函

2,,2

=1曰(IT)，"3,5(4-1).

設(shè)直線PC1與平面ACCiAl所成角為。,

則sin。=卜os(于,成=

63

√BX^4(Λ2-32+3)√13×√Λ2-3Λ+3'

3

令/⑷=(0≤4≤l),則/⑷在［0/單調(diào)遞增,

√13×√Λ2-3λ+3

所以,(回得喑「，

故直線Pa與平面/CG4所成角的正弦值的取值范圍為備，岑.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=XlnXX-I),Mx)=(α-3)x+(l-4+?r)lnr-l.

(1)尸(X)=半),求F(X)的最值;

(2)若函數(shù)g(x)="x)-/(x)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求。的取值范圍.

【答案】(1)最大值是ln2-2,無最小值

【詳解】(1)由題意可得尸(X)=與?=InX定義域?yàn)?0,+8).

11O—Y

設(shè)9(X)=LV=鋁,由F'(x)>0,得0<x<2,由尸'(x)<0,得x>2.

X22x

則尸(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,+8)上單調(diào)減，

F(χ)nm=F(2)=ln2-∣×2-l=ln2-2,

故尸(力在(0,+8)上的最大值是in2-2,無最小值.

(2)由題意可得g(x)="(x)-∕(x)=gx2+(α-2)x+(l-a)lnx-l,g'(x)=x+α-2+-~~-

x2+(Q—2)x+1-4(%+Q-l)(x—1)

==,

XX

g(x)的定義域是(0,+8).

①當(dāng)l-α<0,即"1時(shí),x>l時(shí)g'(x)>0,0<xvl時(shí)g'(x)<O,

則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(h+∞)上單調(diào)遞增.

因?yàn)閄→0時(shí),g(x)→+8,x→+8時(shí),g(x)→+8,

所以g(力要有兩個(gè)零點(diǎn)，

則g(l)=；+α-2一1<O,解得α<?∣,故1<α<g;

②當(dāng)I-Q=O,即Q=I時(shí),由g(x)=一］一1二O,解得x=↑±y∕j9

因?yàn)閤>0,所以l=1+百,則g(x)有且僅有1個(gè)零點(diǎn),故。=1不符合題意；

③當(dāng)0<1—α<1,即O<。<1時(shí),由g'(x)>0,得0<X<1—Q或X>1,

由g'(x)<O,得l-α<x<l,

則g(x)在(O,l-α)和(,+8)上單調(diào)遞增,在(l-α,l)上單調(diào)遞減.

因?yàn)閤→0時(shí),g(x)<0.χ->+8時(shí),g(χ)→+a,

所以g(x)要有兩個(gè)零點(diǎn),則g⑴=；+"2-1=0或

g(l-tz)=^?(l-at)2+(α-2)(l-α)+(l-a)ln(l-α)-l=0,

若g(l)=0,解得ɑ=∣,不符合題意，

若8(1-4)=0,設(shè)，=1-4€(0，1),則8(1-。)=0化為3『+，(-，-1)+，3-1=-?2_￡+“11/-1=0,

O<∕<lB'j'√∣nz<0,-→2-Z-I=-?(r+l)2-∣<0,

所以一；/2-/+八11/-1<0,-；/一/+/111/-1=0無解，

即g(l-“)=0無解,故0<a<I不符合題意；

④當(dāng)l-α=l,即α=0時(shí),g'(x)≥0恒成立,則g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增,從而g(x)最多有1個(gè)零點(diǎn),則α=0不

符合題意；

⑤當(dāng)l-α>1,即α<0時(shí),由g'(x)>0,得0<x<1或x>l-α,由g'(x)<0,得1<x<l-α,

則g(x)在(0,1)和(I-上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

因?yàn)閤→0時(shí),g(χ)<0,χf+8時(shí),g(χ)→+8,

所以g(x)要有兩個(gè)零點(diǎn),則g(l)=0或g(l-α)=O.

若g(l)=g+α-2-l=0,解得α=?∣,不符合題意，

^g(l-a)=^-(l-a)"÷(α-2)(l-a)+(l-6f)ln(l-a)-l=0.

設(shè)1=I-Q∈(1,÷∞),則g(l-α)=O化為$2+/(_/一ι)+z]j1∕-l=-g*_/+/1∏/-?=o,

由(1)知歹=∕ln∕-;尸一，一1在(I,+∞)上單調(diào)遞減,所以一■!「一/+"。/一1<0,-；/一+"11/-1=0無解，

即g(l-α)=0無解,故”0不符合題意.

綜上,〃的取值范圍是(1怖).

絕密★啟用前

2023年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷02

新高考地區(qū)專用

新高考地區(qū)考試題型為8（單選題）+4（多選題）+4（填空題）+6（解答題）,其

中結(jié)構(gòu)不良型試題是新高考地區(qū)新增加的題型，主要涉及解三角形與數(shù)列兩大模塊，以解答

題的方式進(jìn)行考查。

所謂結(jié)構(gòu)不良型試題，就是給出一些條件，另外的條件題干中給出三個(gè)，學(xué)生可從中選

擇一個(gè)或者兩個(gè)作為條件，進(jìn)行解題。需要注意的是：題目所給的三個(gè)可選擇的條件是平行

的，即無論選擇哪個(gè)條件，都可解答題目，而且在可選擇的三個(gè)條件中，并沒有哪個(gè)條件讓

解答過程比較繁雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過程規(guī)范，都會(huì)得滿分。

2022年新高考地區(qū)數(shù)列考查了累加法，裂項(xiàng)相消法，本卷選取了奇偶項(xiàng)分別構(gòu)成等比

數(shù)列的前〃項(xiàng)和，積作為其中一個(gè)考點(diǎn)如第11題；另外靈活的選取了數(shù)列{4}中落入?yún)^(qū)間

伍",22”）內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為也,},求［（-l）"%J的和，考查了學(xué)生分析，歸納能力，并靈活的

考查了分組求和，如本卷第18題.

______________________________________________________________________________

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖,兩個(gè)區(qū)域分別對(duì)應(yīng)集合其中A={-2,-l,0,1,2）,5