數(shù)理統(tǒng)計(jì)典型例題分析

典型例題分析第1頁(yè)共23頁(yè)典型例題分析例1．分別從方差為20和35的正態(tài)總抽取容量為8和10的兩個(gè)樣本，求第一個(gè)樣本方差是第二個(gè)樣本方差兩倍的概率的范圍。解以和分別表示兩個(gè)（修正）樣本方差。由知統(tǒng)計(jì)量服從分布，自由度為（7，9）。事件的概率因?yàn)槭沁B續(xù)型隨機(jī)變量，而任何連續(xù)型隨機(jī)變量取任一給定值的概率都等于0?，F(xiàn)在我們求事件的概率：。由附表可見，自由度的分布水平α上側(cè)分位數(shù)有如下數(shù)值：。由此可見，事件的概率介于0.025與0.05之間；。例2．設(shè)是取自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，為樣本方差，求滿足不等式的最小值。解由隨機(jī)變量分布知，隨機(jī)變量服從分布，自由度，于是，有其中表示自由度的分布隨機(jī)變量，是自由度為的水平的分布上側(cè)分位數(shù)（見附表）。我們欲求滿足的最小值，由附表可見，。于是，所求。例3．假設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上有均勻分布，其中未知：是來自的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，是樣本的均值，是最小觀察值。證明和都是的無偏估計(jì)量。解由在上均勻分布，知。由，可見是的無偏估計(jì)量。為證明是的無偏估計(jì)。我們先求統(tǒng)計(jì)量的概率分布。其密度為由于獨(dú)立且與同分布，知的分布函數(shù)為；于是，有。，從而是的無偏估計(jì)。在證的無偏估計(jì)時(shí)，先求估計(jì)量分布再求其數(shù)學(xué)期望。此外，下面將看到，是矩估計(jì)量，是最大似然估計(jì)量。有效性的驗(yàn)證，即驗(yàn)證兩個(gè)無偏估計(jì)量哪一個(gè)更有效（方差較小），只需計(jì)算它們的方差并加以比較，驗(yàn)證估計(jì)量的最小方差超出了本課程的要求。讀者只需了解一些常用的最小方差估計(jì)量。例如，對(duì)于正態(tài)分布總體，樣本均值和修正樣本方差相應(yīng)為和的最小方差無偏估計(jì)量；事件頻率是它的概率的最小方差無偏估計(jì)量。如果要求有效率，則用公式計(jì)算，其中——稱為羅.克拉美不等式。例4．設(shè)總服從正態(tài)分布，其中方差為已知常數(shù)；關(guān)于未知數(shù)學(xué)期望有兩個(gè)二者必居其一的假設(shè)：，其中和都有已知常數(shù)，并且。根據(jù)來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，確定假設(shè)的水平否定域（即拒絕域），并計(jì)算第二類錯(cuò)誤概率。解取統(tǒng)計(jì)量做檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量。在假設(shè)成立的條件下，。由于。所以以下四種都是假設(shè)的水平的否定域：；，其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布水平雙側(cè)分位數(shù)（見附表）。在假設(shè)成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量，其中。因此，以為假設(shè)否定域的檢驗(yàn)的第二類錯(cuò)誤概率為：。特別（設(shè)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)）；；；。為了便于比較，設(shè)，則。查附表并經(jīng)計(jì)算，容易得到。計(jì)算結(jié)果表明，盡管四個(gè)檢驗(yàn)的一類錯(cuò)誤的概率都等于，但它們的第二類錯(cuò)誤的概率卻不相同。以為否定域的檢驗(yàn)的第二類錯(cuò)誤的概率最小，為我們所選用。例5．對(duì)二項(xiàng)分布作統(tǒng)計(jì)假設(shè)。假設(shè)的否定域取為，其中表示次試驗(yàn)中成功的次數(shù)。對(duì)（1）（2），求顯著性水平和第二類錯(cuò)誤的概率。解（1）顯著性水平是第一類錯(cuò)誤的概率，于是。。（2）。。例6．謀裝置的平均工作溫度據(jù)制造廠家稱不高于190℃。今從一個(gè)由16臺(tái)裝置構(gòu)成的隨機(jī)樣本冊(cè)的工作溫度的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為195℃和8℃。根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否說明平均工作溫度比制造廠所說的要高？設(shè)，并假定工作溫度服從正態(tài)分布。解設(shè)工作溫度為，根據(jù)題設(shè)。考慮假設(shè)由于總體方差未知，故用檢驗(yàn)。這里對(duì)給定的，查表得。于是由表情形知假設(shè)的否定域?yàn)椤Ｓ蓷l件和知，因此。由于，所以否定域假設(shè)，說明平均工作溫度比制造廠說的要高。某電話交換臺(tái)在一小時(shí)（60分鐘）內(nèi)每分鐘接到電話用戶的呼喚次數(shù)有如下紀(jì)錄：呼喚次數(shù)0123456實(shí)際頻數(shù)81617106210問統(tǒng)計(jì)資料是否可以說明，每分鐘電話呼喚次數(shù)服從泊松分布？（解設(shè)表示每分鐘電話呼喚次數(shù)，需要檢驗(yàn)的假設(shè)服從泊松分布。泊松分布中未知參數(shù)的最大似然估計(jì)為。我們用估計(jì)概率；用估計(jì)的期望頻數(shù)。為避免期望頻數(shù)太小，將呼喚次數(shù)為5和6的情況，合并為的情況，為第6組：其實(shí)際頻數(shù)為2+1=3，期望頻數(shù)為。計(jì)算結(jié)果列入下表：分組012345實(shí)際頻數(shù)816171063期望頻數(shù)8.1216.2416.2410.835.413.160.01440.05770.57760.68890.34410.02560.00180.00360.03560.06310.06400.0081所以統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的自由度，其中是用到參數(shù)估計(jì)值的個(gè)數(shù)，故。對(duì)于，，查表得；假設(shè)的否定域?yàn)?。由?0.1762<9.488,所以不否定假設(shè)，即可以認(rèn)為電話呼喚次數(shù)服從泊松分布。對(duì)200個(gè)電池左壽命試驗(yàn)，得如下統(tǒng)計(jì)分布：使用壽命小時(shí)0-55-1010-1515-2020-2525-30電池個(gè)數(shù)1334515421試求所得統(tǒng)計(jì)分布與指數(shù)分布的擬合優(yōu)度。解設(shè)表示電池的壽命，需要檢驗(yàn)假設(shè)服從指數(shù)分布。指數(shù)分布中未知參數(shù)需要用其最大似然估計(jì)來估計(jì)。在這里。所以。在”成立前提下，觀察值落入各組的概率。計(jì)算結(jié)果列入下表：分組0-55-1010-1515-2020-2525-實(shí)際頻率1334515421概率0.63210.23250.08550.03150.01160.0068期望概率126.4246.5017.106.302.321.360.34250.04840.25790.83970.04410.0953所以統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的自由度，查表得=1.064，。由于1.064<1.6297<2.195,的可得統(tǒng)計(jì)分布與指數(shù)分布的擬合優(yōu)度不小于0.70。例9設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，。是X的一個(gè)樣本，是的一個(gè)樣本，測(cè)得數(shù)據(jù)（1）分別求的矩估計(jì)量；（2）分別求的極大似然估計(jì)值；（3）在顯著水平下檢驗(yàn)假設(shè)，。解（1）用樣本一階原點(diǎn)矩估計(jì)總體一階矩，即得和的矩估計(jì)值：。（2）正態(tài)總體的參數(shù)的極大似然估計(jì)量為。因此的極大似然估計(jì)值為（3）是未知，雙總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)。待檢假設(shè)；，是在下的單側(cè)檢驗(yàn)。因?yàn)椤Ｋ訤同機(jī)量得值查F分布表，得.經(jīng)比較知，，故接受，認(rèn)為大。例10有三臺(tái)機(jī)器，生產(chǎn)同一種規(guī)格的鋁合金薄板，測(cè)量三臺(tái)機(jī)器所生產(chǎn)的薄板厚度（單位：厘米），得結(jié)果如表所示。 機(jī)器1機(jī)器2機(jī)器30.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262試考察機(jī)器對(duì)薄板厚度有無顯著的影響。解檢驗(yàn)假設(shè)。是各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的薄板總體的均值。經(jīng)計(jì)算，。，,.列出方差分析表如下方差來源平均和自由度均方F比結(jié)論因素20.005266132.92顯著誤差0.000192120.000016總14因?yàn)?，故拒絕，認(rèn)為各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的薄板厚度有顯著差異。在進(jìn)行方差分析時(shí)，還常要對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。下面寫出常用的幾個(gè)估計(jì)：①是的無偏估計(jì)。②分別是的無偏估計(jì)。③是的無偏估計(jì)，且。④兩總體與的均差值的置信度為的置信區(qū)間為 。例11求上例中未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)及均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解，，，又由，，知，故的置信度為0.95的置信區(qū)間分別為（0.242-0.2560.0055）=（-0.0195，-0.0085），（0.242-0.2620.0055）=（-0.0255，-0.0145），（0.256-0.2620.0055）=（-0.0115，-0.0005）。例12某工廠在生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)使用了三種不同的催化劑和四種不同的原料，每種搭配都做一種試驗(yàn)，測(cè)的產(chǎn)品成品的壓強(qiáng)（單位：兆帕）數(shù)據(jù)如下表：催化劑原料313335343637353739393842試在下檢驗(yàn)不同催化劑和原料對(duì)壓強(qiáng)有無顯著影響。解設(shè)為因素A在水平的效應(yīng)，為因素B在水平的效應(yīng)。待檢驗(yàn)假設(shè)，。因?yàn)?，所以，，，。列出方差分析表如下方差來源平方和自由度均方結(jié)論因素因素誤差總和25.1769.344.1698.673361112.58523.1130.69318.12633.35顯著顯著因?yàn)?，所以拒絕和，認(rèn)為催化劑和原料的影響都是顯著的。例13設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限和支出的維修費(fèi)用（單位：千元）如下所示：234562.23.85.56.57.0求（1）關(guān)于的回歸方程，的無偏估計(jì)；（2）檢驗(yàn)回歸是否顯著，并求時(shí)，維修費(fèi)用的0.95預(yù)測(cè)區(qū)間。解（1）左散點(diǎn)圖（略），數(shù)據(jù)分布呈直線趨勢(shì)。列計(jì)算表：22.244.44.8433.8911.414.4445.51622.030.2556.52532.542.2567.03642.049.00202590112.3140.78并計(jì)算下列數(shù)據(jù)：，解得，。所以，線性回歸方程為。的無偏估計(jì)為。（2）將代入回歸方程得。因?yàn)?，所以的置信度?.95的置信區(qū)間為。計(jì)算統(tǒng)計(jì)量。因?yàn)椋手貧w效果是顯著的。例14（單因素方差分析）下表給出了小白鼠在接種三種不同菌型傷寒桿菌后的存活天數(shù)，問三種菌型的平均存活天數(shù)有無顯著差異？表4-3菌型接種后存活天數(shù)Ⅰ型（）24324772536Ⅱ型（）5685107126665Ⅲ型（）7116679510667計(jì)算：列成表格如下，其中，方差來源平方和自由度均方值因素誤差總和，查表對(duì)給定的顯著水平，查表因，故拒絕，即認(rèn)為這三種不同菌型的傷寒桿菌的平均存活天數(shù)有顯著差異。例15.（正交試驗(yàn)）為了制造軸承，尋求新鋼種最佳等溫淬火工藝?？疾煸囼?yàn)指標(biāo)是徑向抗壓負(fù)荷與硬度，對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有影響的主要因素：加熱溫度（單位：），等溫溫度（單位：），淬火返修次數(shù)（單位：次），將因素列如下表。水平列號(hào)A加熱溫度B等溫溫度C淬火返修次數(shù)123900880860250260270012因?yàn)槭?元素3水平，選擇正交表合適。制定試驗(yàn)方案表表頭設(shè)計(jì)ABC列號(hào)試驗(yàn)號(hào)12341234567891（900）2（880）3（860）1231231（250）112（260）223（270）333（2）1（0）2（1）231123231312123確定試驗(yàn)方案在上表中，每一個(gè)橫行就代表了一個(gè)試驗(yàn)條件，共有9個(gè)試驗(yàn)條件。等1號(hào)試驗(yàn)條件是：加熱溫度是900（），等溫溫度是250（，返修次數(shù)是2次（），記作為，類似地第2號(hào)試驗(yàn)條件是，第9號(hào)試驗(yàn)條件是。試驗(yàn)方案的實(shí)施按正交表中的試驗(yàn)條件嚴(yán)格操作。將各次的試驗(yàn)結(jié)果記錄下并列如下表中。其中——第列因素水平，——第列因素水平的3次試驗(yàn)指標(biāo)的平均例對(duì)因素，有硬度。——各因素的3個(gè)水平的負(fù)荷之和——各元素的3個(gè)水平平均硬度。=（硬度）=列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1(A)2(B)3(C)試驗(yàn)指標(biāo)負(fù)荷硬度1234567891（900）2（880）3（860）1231231（250）112（260）223（270）333（2）1（0）2（1）2311235.57.45.95.76.17.88.49.56.959.559.059.058.058.058.057.0~57.557.0~57.557.0~57.5負(fù)荷19.6018.8023.60負(fù)荷單位：硬度單位：硬度174.75177.50174.25負(fù)荷23.0019.6021.10硬度174.25174.00174.25負(fù)荷20.6024.8018.50硬度174.25171.75174.75負(fù)荷6.536.277.87硬度58.2559.2058.10負(fù)荷7.676.537.03硬度58.1058.0058.10負(fù)荷6.878.276.17硬度58.1057.2585.25負(fù)荷3.406.005.10硬度0.151.950.15正交試驗(yàn)結(jié)果的分析直接看：（1）比較9次試驗(yàn)的負(fù)荷：抗壓負(fù)荷最高的試驗(yàn)條件是，即第8號(hào)試驗(yàn)，其次是（第7號(hào)試驗(yàn)），（第6號(hào)試驗(yàn)），（第2號(hào)試驗(yàn)）。（2）再比較9次試驗(yàn)的硬度是：硬度的高低主要取決于等溫溫度，加熱溫度和返修次數(shù)對(duì)硬度無明顯影響。綜合考慮，等2號(hào)試驗(yàn)的條件較好。計(jì)算分析；（1）負(fù)荷因素平均負(fù)荷是因素平均負(fù)荷是因素平均負(fù)荷是由此分析出是最好的試驗(yàn)條件。但這個(gè)條件在表中沒有出現(xiàn)。類似（1）硬度——根據(jù)每個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響不同，區(qū)分出主次。由上表可見主———————次負(fù)荷硬度用極差大小來區(qū)分主次：若某因素的極差越大，則該因素對(duì)指標(biāo)的影響就越大。結(jié)果可以看出是因素。綜合平衡考慮：硬度不能低于。在這一條件下高負(fù)荷的好水平組合為。試驗(yàn)結(jié)果的分析分別在正交表中進(jìn)行。方差分析這是3元素3水平的無重復(fù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題。其效應(yīng)模型為設(shè)表示從第1號(hào)試驗(yàn)到第9號(hào)試驗(yàn)的試驗(yàn)指標(biāo)。具體效應(yīng)模型表示如下檢驗(yàn)假設(shè)總離差平方其中——第列的離差平方和，由于正交表具有均衡分散性和綜合可比性的特點(diǎn)，所以=同理記——為因素的平方和——為因素的平方和——為因素的平方和?！?jiǎng)t，當(dāng)為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布；當(dāng)為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布；當(dāng)為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布。若給定顯著系性水平，拒絕域，當(dāng)拒絕，則認(rèn)為因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；當(dāng)拒絕，則認(rèn)為因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；當(dāng)拒絕，則認(rèn)為因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；利用正交表進(jìn)行方差分析時(shí)，要確定自由度可以用如下方法。；正交表每列的自由度正交表總的自由度即每個(gè)因素平方和的自由度正交表總的自由度=各自由度之和，即；正交表空白列的自由度=誤差平方和的自由度。若無空白列，則將最小的離差平方和作為誤差平方和，即。將例7的關(guān)于抗壓負(fù)荷的方差列如下表方差分析表方差來源平方和自由度均方因素因素因素誤差總和效應(yīng)是未知參數(shù)，應(yīng)先求效應(yīng)估計(jì)值，效應(yīng)估計(jì)值大的所對(duì)應(yīng)的水平是好水平。前面已經(jīng)分析過因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響不顯著，可以認(rèn)為，所以由于所以，比較的大小，只需比較的大小，得出最大，故因素的3水平是好水平。結(jié)合直接看和計(jì)算分析，確定好的工藝條件為例16設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費(fèi)用，有如下統(tǒng)計(jì)資料：使用年限23456維修費(fèi)用2.23.85.56.57.0建立關(guān)于的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并確定對(duì)的統(tǒng)計(jì)相依關(guān)系的特點(diǎn)；假設(shè)對(duì)有一元線性回歸的統(tǒng)計(jì)相依關(guān)系，求回歸系數(shù)和得無偏估計(jì)；假設(shè)對(duì)有一元正態(tài)線性回歸的統(tǒng)計(jì)相依關(guān)系，試檢驗(yàn)回歸效果的顯著性；對(duì)于，求維修費(fèi)用的0.95預(yù)測(cè)區(qū)間。將點(diǎn)（2，2.2），（3，3.8）,(4，5.5)，（5，6.5）,(6，7.0)標(biāo)在坐標(biāo)系中，得散點(diǎn)圖由散點(diǎn)圖可見，所給數(shù)據(jù)具有模型的特點(diǎn)。由散點(diǎn)圖可見，可以用模型描述維修費(fèi)用與使用年限的統(tǒng)計(jì)相依關(guān)系，為估計(jì)和，首先作如下計(jì)算：22.244.42.546.05160.115633.8911.43.771.51290.000945.51622.0500.250056.52532.56.231.51290.2700673642.07.466.05160.2116202590112.315.12900.8481將結(jié)果代入，得和得無偏估計(jì)。；。的無偏估計(jì)為，其中。3）為檢驗(yàn)回歸效果，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量。。查表，得。由于，可見回歸效果顯著。于是，可以利用回歸防城建立使用年限為，應(yīng)支付維修費(fèi)用的預(yù)測(cè)區(qū)間：，則，其中，。將相應(yīng)數(shù)據(jù)代入上式，得，。于是，使7年應(yīng)支付費(fèi)用的0.95預(yù)測(cè)區(qū)間為。例17假設(shè)是一個(gè)普通變量，是一個(gè)隨機(jī)變量，且與有形如一元線性回歸的統(tǒng)計(jì)相依關(guān)系。在=0.25，0.37，