2022-2023學(xué)年云南省楚雄州高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年云南省楚雄州高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合4={x∣I-X>0},B={x∣∕<%,則4UB=()

A.(-3,1)B.(-∞,1)C.(1,3)D.(-∞,3)

2.復(fù)數(shù)Z=1+4i的虛部為()

A.5B.3C.5iD.3i

3.已知單位向量五萬的夾角為。，且cos。=-,,則I五一29|=()

A.√^6B.6C.2D.4

4.己知樣本數(shù)據(jù)2xι+3,2x2+3,2與+3,2X4+3,2&+3,2分+3的平均數(shù)為9,則

xxxx

另一組數(shù)據(jù)x2>3>4'5'β>2,4的平均數(shù)為()

A.=B.IC.4D.3

7o

5.若Xo是方程2》=12-3x的解，則Λ?∈()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

6.如圖，在正方體ABCD-48傳也中，P,Q,M分別是DO1，

AB,BBl的中點，則異面直線為M與PQ所成角的余弦值為()

A?Y

R√^0

B-?

√-5

cr'~

D學(xué)

7.u2a2-3a<0"是"對任意X∈(-l,?),?2+αx-1<。恒成立"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.“近水亭臺草木欣，朱樓百尺回波清”，位于濟南大明湖畔的

B

超然樓始建于元代，歷代因戰(zhàn)火及災(zāi)澇等原因，屢毀屢建,今天我們

所看到的超然樓是2008年重建而成的，共有七層，站在樓上觀光，

C

可俯視整個大明湖的風景.如圖，為測量超然樓的高度，選擇C和一個樓房DE的樓頂E為觀測

點，已知4,C,D在水平地面上，超然樓ZB和樓房DE都垂直于地面.已知DE=14m,/.ACD=

45o,?ADC=60°,在C點處測得E點的仰角為15。，在E點處測得B點的仰角為45。，則超然樓

的高度48=()

A.(12+28θ)mB.(32+14√3)mC.(14+28√-3)mD.(28+14ΛΛ^3)W

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知復(fù)數(shù)Z滿足2(z+5)+3(z-5)=4—63則()

A.z=1+iB.Z?是純虛數(shù)

C.∣z∣=2D.復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限

10.某飲料廠商開發(fā)了一種新的飲料，為了促銷，每箱裝的6瓶飲料中有2瓶瓶蓋上分別印有

“一等獎”，“二等獎”，其余4瓶印有“謝謝惠顧”.甲從新開的一箱中任選2瓶購買，設(shè)事

件4表示“甲沒有中獎”，事件B表示“甲獲得一等獎”，事件C表示“甲中獎”，則()

A.事件4和事件B是對立事件B.事件4和事件C是對立事件

C.P(B+C)=P(C)D.P(BC)=P(C)

11.下列式子計算正確的是()

A.cos(-^+2)=-sin2

C.cos700+CoS500=CoSI00

D.tαnllθ°+tan10o+V-^3=Λ∕-3tanll0otanl0o

12.在正三棱錐P-ABC中，P4與底面48C所成角的余弦值為要MB=2「，則()

A.PCLAB

B.三棱錐P-ABC的體積為3√^3

C.二面角P—AB-C的大小為與

D.三棱錐P-ABC的外接球的表面積為等

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.某游客計劃從海口市、三亞市、普洱市、昆明市、麗江市這5個地區(qū)中隨機選擇2個地區(qū)

去旅行，其中?？谑?、三亞市屬于海南省，普洱市、昆明市、麗江市屬于云南省，則這2個地

區(qū)在同一省的概率為.

14.若一個樣本1,3,5,7,Tn的中位數(shù)是4,則這個樣本的方差為,這個樣本的60%

分位數(shù)為.

15.已知函數(shù)y=C0s23X(3>0)在曲上的最小值為;，則3的值為____.

τ,04

16.已知AABC外接圓的圓心為0,P是AABC邊上一動點，若S=2,CB=C,A=全則

南?前的最大值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

為了解學(xué)生對黨的“二十大”精神的學(xué)習(xí)情況，學(xué)校開展了“二十大”相關(guān)知識的競賽活動，

全校共有IoOO名學(xué)生參加，其中男生550名，采用分層抽樣的方法抽取100人，將他們的比賽

成績(成績都在[50,100]內(nèi))分為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[9(UoO]5組,得到如圖

所示的頻率分布直方圖.

(1)求ɑ的值以及女生被抽取的人數(shù)：

(2)估計這100人比賽成績的85%分位數(shù)(小數(shù)點后保留2位).

18.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=logαx(α>0且a≠1)在區(qū)間16]上的最大值是2.

(1)求a的值；

2

(2)若函數(shù)g(x)=log2(x-ax+；)的定義域為R,求不等式a—m>4中Tn的取值范圍.

19.(本小題12.0分)

已知向量五=(√-3sinx,cosx),b=(COSx,cosx)，設(shè)函數(shù)/'(x)=a?b-

(1)求/(?在[0苧上的單調(diào)增區(qū)間;

(2)若對任意X∈[0,g,∣∕(x)-II≤Tn恒成立，求Tn的取值范圍.

20.(本小題12.0分)

袋中裝有大小完全相同的6個紅球，3個藍球，其中有2個紅球和1個藍球上面標記了數(shù)字1,

其他球標記了數(shù)字2.

(1)每次有放回地任取1個小球，連續(xù)取兩次，求取出的2個球恰有1個紅球且兩球的數(shù)字和為3

的概率；

(2)從袋中不放回地依次取2個小球,每次取1個,記事件/=｛第一次取到的是紅球｝,事件B=｛

第二次取到了標記數(shù)字1的球｝,求PQ4),P(B),并判斷事件4與事件B是否相互獨立.

21.(本小題12.0分)

如圖，在三棱柱ABCBiCi中，側(cè)面A4ιGCJ?底面4BC,AABC為等邊三角形，且為加，

B1C.

⑴證明：AA1=A1C.

(2)若AC=AA1=2,求點C到平面44B81的距離.

22.(本小題12.0分)

在△4Be中，角A,B,C所對的邊分別為α,b,c,αsinB+b=√_5bcos4

(1)求4

(2)若乙4BC>*過B作BD垂直于力B交AC于點。，E為BC上一點，且BE=G,DE=1，求AE

的最大值.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：由I-X>0,得x<l,所以4=(-8,1),

由/<9,得-3<x<3,所以B=(-3,3),

所以AUB=(-∞,3).

故選：D.

先解不等式求出兩集合，再求兩集合的并集即可.

本題考查并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：由復(fù)數(shù)2=2+41=華α+41=2+33則復(fù)數(shù)2的虛部為3.

故選：B.

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，化簡得到z=2+3i,結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：I五一=a2—4a-b+4b=1—4×1X1×(―?)+4=6>BP∣α—2h|-y∕~6-

故選:A.

根據(jù)模長公式即可代入求值.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積及其運算，屬中檔題.

4.【答案】D

【解析】解：已知樣本數(shù)據(jù)2與+3,2X2+3,2X3+3,2X4+3,2X5+3,2&+3的平均數(shù)為9,

此時(2XI+3)+(2*2+3)+...+(2X6+3)_%

6

可得2%ι+3+2%2+3+2%β+3+2%4+3+2&+3+2%θ+3=54,

所以Xl+%2+%3+工4+%5+%6=18，

則所求數(shù)據(jù)的平均數(shù)為竺客=3.

O

故選：D.

由題意，根據(jù)平均數(shù)的公式進行求解即可.

本題考查平均數(shù)的應(yīng)用，考查了運算能力.

5.【答案】C

【解析】解：因為函數(shù)/(X)=2x+3x-12在定義上單調(diào)遞增，

又/(2)=22+6-12=-2<0,/(3)=23+9-12=5>0,

所以函數(shù)/(x)的零點所在區(qū)間是(2,3),

即Xo∈(2,3).

故選：C.

先判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，再利用零點存在性原理即可求出解的區(qū)間.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性及零點存在定理，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：令A(yù)B=2,連接PC、QC、A1P,MC,

因為M、P為BBQODl的中點，易知&P=CM且力IP〃CM,

所以四邊形為PCM為平行四邊形，

所以&M〃PC,

所以NQPC或其補角為異面直線與PQ所成的角，

在^PQe中，PC=√l2+22=√^^5,QC=√I2+22=√^^5,PQ=

VI2+22+I2=√-6?

5+6-5_√^30

所以COSNQPC=

2×√^5×^^6-10

所以異面直線與PQ所成角的余弦值為哥.

故選：B.

連接PC、QC、A1P,MC,即可得到&M〃PC,從而得到“PC或其補角為異面直線與PQ所

成的角，利用余弦定理求出CoSzQPC,即可得解.

本題考查了異面直線所成角的求法，重點考查了異面直線所成角的作法，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：由不等式2α2-3α<0,可得O<α<|,

1(1一Q-1≤OO

又由％2+dχ—1<O在(―l,??上怛成A可得］1,Q八，解得O≤Q≤5，

2U+2^1≤02

所以w2a2-3α<O”是"對任意*∈(-l,∣),x2+ax-1<O恒成立”的充分不必要條件.

故選:A.

根據(jù)不等式的解法和二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求得實數(shù)α的取值范圍，結(jié)合充分條件、必要條件的判

定方法，即可求解.

本題考查了充分必要條件的判斷，考查了學(xué)生的運算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：過E作EFIAB,交4B于點F,

因為在E點處測得B點的仰角為45。，可得ABFE為等腰直角三角形，所以

BF=EF,

ED_14

因為NECO=15°,所以CD

Snl5°tαnl50,

在AACO中,由正弦定理得焉CD_14_14

sin750亡Qnl50cosl50sinl50'

又由sinl5°=sin(450-30o)=S出45°COS300-cos450sin300=v6~v2,

所以AD==14(「+l)m>

曹√6一—V彳2

則4B=BF+ED=14(√3+1)+14=(28+14√3)m.

故選：D.

過E作EF-B,得到BF=EF,在AACD中,由正弦定理得到磊=焉,進而求得4。的長.

本題主要考查了正弦定理，和差角公式在求解實際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析1解：設(shè)Z=α+儀,Q,bERf貝IJZ=Q—bi,則2(z÷z)+3(z—z)=4α÷6bi=4—63

所以￠2=4/解得a=l，b=-l,因此Z=I-34錯誤；

z2=(i-i)2=-2i為純虛數(shù)，B正確；

?z?=V""2,C錯誤；

z=l-G其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,一1),在第四象限，。正確,

故選：BD.

設(shè)z=α+bi,a,bWR,根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運算以及復(fù)數(shù)的相等求得α,b,可得z,結(jié)合復(fù)數(shù)的乘

方以及模的計算和幾何意義，即可判斷答案.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：因為AUB表示“甲沒有中獎或甲獲得一等獎”，但甲可能獲得二等獎，

即事件4和事件B不是對立事件，A錯誤；

事件A表示“甲沒有中獎”，事件C表示“甲中獎”，

則事件4和事件C是互斥且和事件為全集，事件4和事件C是對立事件，B正確；

又因為BUC,所以P(B+C)=P(C),C選項正確；

P(BC)=P(B),D選項錯誤.

故選：BC.

根據(jù)對立事件判斷4B選項；根據(jù)事件的包含關(guān)系判斷C,D選項.

本題考查互斥事件、對立事件、事件的包含關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】BCD

【解析】解：對于4由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得cos(-5+2)=siτι2,故A錯誤；

對于8,由S譏2=2s譏Icosl=當產(chǎn)I；=日駕7,故8正確；

sιnzl÷cos2ll+tanzl

對于C,由cos700+CoS50°=cos(60o+10o)+cos(60o-10o)=cos600cosl00—sm60osml0o+

CoS60°CoSl00+sin60osinl0o

=2cos600cosl00=cosl0o,故C正確；

對于D,因為tml20°=tan(110o+10°)=嘿=-O，

'Jl-tanllθtαnlθ

所以tcmllθ°+tαnl0o=yΓ3tanll0otanl0o—√-3，

BPtanllOo+tonIO0+<3=qtcmllθ°tcmlθ°,故D正確.

故選：BCD.

根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角恒等變換的公式，逐項判定，即可求解.

本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角恒等變換，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：由題意，作正三棱錐P-ABC,取AB的中點。，連接PD,CD,

取等邊AABC的中心。，連接PO,A0,如圖所示.

在正三棱錐P—力BC中，因為。為28的中點，所以PDl4B,

在等邊△4BC中，因為。為AB的中點，所以CDl4B.

又POnCD=C,PD,CDc5F≡PDC,

所以力BI平面PCC,因為PCU平面PDC,所以PCIAB,所以A正確，

因為三棱錐P-ABC為正三棱錐，等邊△力BC的中心為。，所以P0_L平面ZBC,

所以NPa。為P4與底面ZBC所成的角，

則COSZTMO=*=^r^γ~?

因為4B=2C,所以A。=,x?x2/3=2，OD=^×^-×2y∏=1>所以喜=手，得

?5Z.3N∕ir/

AP=√^7,

所以。P=√AP2-AO2=√7-4=q,

所以三棱錐P-ABC的體積為gX?X(2C)2X√"3=3,所以8錯誤，

因為PDJ.4B,CDLAB,所以二面角P-AB-C的平面角為ZPDC,

所以tan∕PDC=需=√3因為ZPDC為銳角，所以"DC=*所以C正確，

設(shè)正三棱錐P-ABC的外接球的半徑為r,則(r-P0)2+CO?=「2,可得①一q)2+4=N,解

得r=殺，

故正三棱錐P-力BC的外接球的表面積S=4兀"=等，故。正確.

故選：ACD.

取48的中點D,連接PD,CD,取等邊AABC的中心。，連接P。，AO,然后根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)

結(jié)合已知條件逐個分析判斷即可.

本題主要考查了三棱錐的體積計算、幾何體的外接球問題以及空間角的有關(guān)計算，屬于中檔題.

13.【答案】I

【解析】解：設(shè)海口市、三亞市、普洱市、昆明市、麗江市分別記為4,B,1,2,3,

從5個地區(qū)中隨機選擇2個地區(qū)共有｛(4B),(Λl),(42),(43),(Bl),(B2),(83),(12),(13),(23)｝共有

10種情況,

其中2個地區(qū)在同一省的情況有｛(4B),(12),(13),(23)｝共有4種，所以所求的概率為|.

故答案為：|.

列舉所有基本事件數(shù)，即可由古典概型的概率公式求解.

本題主要考查了古典概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】4∣

【解析】解：若樣本1，3,5,7,Tn的中位數(shù)是4,

此時Tn=4,

所以該樣本的平均數(shù)彳=1+3+；+5+7=%

方差S2_(1-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(7-4)2_爾

又5X60%=3,

所以這個樣本的60%分位數(shù)為亨=I

故答案為：4；

根據(jù)題意，結(jié)合中位數(shù)的概念，得到m=4,求得樣本的平均數(shù)為三=4,利用方差的公式，即可

求解.

本題考查中位數(shù)和百分位數(shù)的應(yīng)用，考查了邏輯推理和運算能力.

15.【答案琦

【解析】解：y=cos2ωx=?(l+cos2ωx),

又P-烷］，

所以23%∈[―?,?].

因為y=+C0S23X)取得最小值"

所以y=CoS23%取得最小值一去

因為2sr∈[―?,?j,ω>0,

πω2π(πω2π

3-3I2-3

-ττω=_2τr,gK<πω_2π,

一三一^τl?-T

(ω>0Ia)>0

解得3=

故答案為：I

對函數(shù)化簡得y=2(1+cos2eυ%),由％的范圍，求得2tox的范圍，則由題意可知y=cos2gχ在

2se[-詈,第取得最小值V，從而可得關(guān)于3的不等式組，進而可求得結(jié)果.

本題考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題.

16.【答案W

【解析】解：在△力BC中，由余弦定理得CB2=ca2+AB2一

2CA?ABcosAf

即7=4+AB2-2X2?ABX5^AB2-2AB-3=0,解得

AB=3或AB=-1（舍去），

分別過點。，P作。MlAB,PNIAB,即向量而在向量荏方向上的投影為MN,

因為。為AABC的外心，所以M為4B中點，

由向量的數(shù)量積公式以及投影向量的定義知，當點P運動到B點時，麗.前取得最大值,

其中最大值為I畫??MB?=1?AB?2=γ

故答案為：

在△力BC中，由余弦定理求得AB=3,過點。，P作。M14B,即向量而在向量同方向上的投影

為MN,結(jié)合向量的數(shù)量積公式以及投影向量的定義，得到當點P運動到B點時，希?麗取得最大

值，即可求解.

本題考查平面向量的數(shù)量積與投影，屬于中檔題.

17.【答案】(1)解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(0.010+0.020+a+0,030+0.005)×10=1,

解得α=0.035,其中女生被抽取的人數(shù)為IK需°X100=45.

(2)解：由頻率分布直方圖可得：

(0.010+0.020+0.035)×10=0.65<0.85,(0.010+0.020+0.035+0.030)X10=0.95>

0.85,

所以85%分位數(shù)位于區(qū)間［80,90),則85%分位數(shù)為80+寫薩X10≈86.67.

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程求得ɑ的值，結(jié)合分層抽樣的分法，求得女生

被抽取的人數(shù)；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖的百分位數(shù)的計算方法，即可求解.

本題考查頻率、頻數(shù)、頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)當0<α<l時，函數(shù)/(%)在區(qū)間日,16］上是減函數(shù)，

因此當X=；時，函數(shù)f(x)取得最大值2,即的a；=2,因此a=：.

當α>1時，函數(shù)/(x)在區(qū)間弓,16］上是增函數(shù)，

當％=16時,函數(shù)f(%)取得最大值2,即IOgaI6=2,因此α=4.

故Q=或α=4；

2

(2)因為以久)=log2(x-ax+》的定義域為R,

所以Z=α2—1<0,則一1<α<1,即α=?,

代入不等式α-3m>4,得0)l-3m>(}-2,

則l-3m<-2,解得τn>l,因此nι的取值范圍是(I,+8).

【解析】(1)分0<α<1和α>1兩種情況利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性列方程可求出α的值；

(2)由函數(shù)的定義域為R,可得∕=α2-l<0,再結(jié)合(1)可求出α,然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可

求出Hl的取值范圍.

本題主要考查函數(shù)的最值及其幾何意義，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)已知向量互=(√-3smx,cosx^),b=(cosx,cosx)?

則f(%)=五?石=yf~3sinxcosx+cos2x=^γ-sin2x+^cos2x+?=sin(2x÷+?,

當％∈[0,今時，

貝⑵+旌*5?

1Jr.TTJTt

^6≤2x+6≤2^

可得0≤X≤≡,

O

故函數(shù)F(X)在[0,且上的單調(diào)增區(qū)間為[0,J

(2)當X∈Q芻時,則2三+「∈[∣,y],

故當2x+S=*即X=狎j,函數(shù)/(X)的最大值為|,

當2X+3=?,即X=狎j,函數(shù)/(x)的最小值為0,

所以If(X)-1|在[。苧上的最大值為1，

由于對任意X∈[0,≡],∣∕(x)-l∣≤Tn恒成立，

故m≥1,

故m的取值范圍為[1,+∞).

【解析】(1)根據(jù)數(shù)量積的坐標表示并結(jié)合二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡求得f(x)的表達式,

根據(jù)支的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案；

(2)根據(jù)X的范圍，求得f(x)的最值，繼而求得∣∕(x)-l∣的最大值，結(jié)合不等式恒成立，即得答案.

本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標表示，重點考查了二倍角公式、兩角和的正弦公式及三角函數(shù)

的性質(zhì)，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)第一次取到的是紅球，第二次取到的是藍球且兩球的數(shù)字和為3的概率B=]x

2,41_8

9+9×9=81,

22148

X+X

=一

第一次取到的是藍球，第二次取到的是紅球且兩球的數(shù)字和為3的概率P29-9-

81

則所求的概率為3+3=券9-9-

OiOlOl

(2)“第一次取到的是紅球”的概率P(A)=5=I

7?

“第二次取到了標記數(shù)字1的球”的概率P(B)=?x*]x∣=;,

7O7O?

“第一次取到紅球且第二次取到了標記數(shù)字1的球”的概率PQ4B)=1x:+!x]=1

70707

因為尸。B)=P(A)P(B)成立，所以事件4與事件B相互獨立.

【解析】(1)在有放回抽樣的條件下，根據(jù)古典概型概率公式，分兩種情況進行計算；

(2)分別找出事件4B的概率，根據(jù)相互獨立事件的定義可判斷4B是否獨立.

本題考查古典概型的概率公式和相互獨立事件的判斷，屬基礎(chǔ)題.

21.【答案】解：⑴證明:在三棱柱AIC-A∕ιG中,取AC的

中點D,連接&D，取AIG的中點E,連接BiE,CE,

則&E〃DC且&E=OC,四邊形40CE為平行四邊形，有

A1D∕∕CE,

由4%=BICl,E為&Cl的中點,得AlClIBIE,又&ClLB1C,

BiCCBlE=B1，B1C,BlEU平面CBlE,

于是AiGJ■平面CBiE,又AC〃Al"

因此4C平面CB/,又CEU平面CB/,即有ACJLCE.

^A1D∕∕CE,則ACIyIlD,又D為AC的中點,

所以