2023年新疆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：立體幾何（附答案解析）

2023年新疆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：立體幾何

I.如圖，四棱錐P-/8CZ)中，2。_1_底面488,AB∕∕CD,NBAD=等AB=I,CD=3,

M為尸C上一點(diǎn)，且MC=2PΛ∕,AD=2,PD=?,.

(1)證明：〃平面以。：

(2)求直線與平面PBC所成角的正弦值；

(3)求三棱錐M-P84的體積.

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2.如圖，在四棱錐S-/8C。中，底面/8CD為矩形，ZXSNO為等腰直角三角形，SA=SD

=2√Σ,/8=2,F是BC的中點(diǎn)，二面角S-40-8的大小等于120°.

(1)在ZO上是否存在點(diǎn)E,使得平面SE尸，平面/88,若存在,求出點(diǎn)E的位置;

若不存在，請(qǐng)說明理由；

(2)求直線SX與平面SBC所成角的正弦值.

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3.如圖，三棱錐E-88中，Z?E8為正三角形，平面EcZ)，平面58,BC=DC=斗BD

=2,M,N分別是線段ED和8。的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)C到平面8Z)E的距離；

(II)求直線EN與平面A/C8所成角的正弦值.

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4.如圖，在三棱柱∕8C-∕ι8ιCj中，平面小/CCi_L平面∕8C,Z?∕8C和4∕ι∕C都是正

三角形，。是N8的中點(diǎn)

(1)求證：BCi〃平面Z∣OC;

(2)求直線/8與平面Z)Ccl所成角的正切值.

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5.如圖，在等腰直角三角形/DP中，已知/=],∕D=3,B,C分別是/P,OP上的點(diǎn)，

E是CD的中點(diǎn)，且8C〃Z。.現(xiàn)將△尸BC沿BC折起，使得點(diǎn)尸在平面/88上的射影

為點(diǎn)4

(1)若B,C分別是/尸、。尸的中點(diǎn)，求證：平面RlC，平面尸CD

(2)請(qǐng)判斷是否存在--種折法，使得直線P8與平面所成角的余弦值是直線P8

與平面BlE所成角的正弦值的竺倍？若存在，求出/8的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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6.在直三棱柱/8C-小BiCI中，N8∕C=90°,AC^AB=AA?^2,設(shè)點(diǎn)Λ/,N,P分別是

AB,BC,B?C?的中點(diǎn).

(I)證明：44i〃平面PMN；

(II)若0為4小上的動(dòng)點(diǎn)，試判斷三棱錐尸-QMN的體積是否為定值?并說明理由.

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1

7.在多面體/8CCMlBI中，四邊形∕88∣4為菱形，BC∕∕B?C?,BC=^B?C?,A?C?^A?A,

ABA-B?C,NBlBA=60°,平面Z88Mι_L平面/8C.

(1)在棱/8上是否存在點(diǎn)O,使得平面8∣OC?若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

(2)求二面角C?-AC-B的正弦值.

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8.在四棱錐尸-4BCD中，側(cè)面R4Z)J_底面/8C。，PA=AD=DC=6,AC=6^2,AB=3,

CZ)〃平面Λ48,ZPAD=60Q.

(I)求證：平面PC。，平面尸8C；

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

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9.如圖，已知四棱錐S-48C。的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且平面平面Z8C。，M,

N分別為棱4O,BC的中點(diǎn)，SA=SD,SAYSD,P,。為側(cè)棱SZ)上的三等分點(diǎn)(點(diǎn)、P

靠近點(diǎn)S).

(1)求證：PN〃平面MQC：

(2)求多面體反尸0CN的體積.

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10.如圖，四邊形M48C中，Z?N8C是等腰直角三角形，ACVBC,Z?M4C是邊長(zhǎng)為2的

正三角形，以4C為折痕，將4K4C向上折疊到的位置，使點(diǎn)。在平面/8C內(nèi)

的射影在/8上，再將△肪IC向下折疊到4E4C的位置，使平面E/C_L平面Z8C,形成

幾何體DABCE.

(1)點(diǎn)尸在8C上，若。F〃平面E/C,求點(diǎn)F的位置；

(2)求直線48與平面E8C所成角的余弦值.

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11.如圖，直三棱柱BCF-4亞中，。為E//的中點(diǎn)，AB=BF,BFLCF,AB=BF=CF=

2.

(I)求證：AFVBH↑

(II)求平面4OC與平面Z8C所成角的余弦值.

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12.在如圖所示的幾何體中，四邊形/8CD是菱形，ZBAD=?20a,ABCD,AE

//CF.

(1)求證：DF〃平面4BE；

(2)若4D=AE=2CF=2,求該幾何體的表面積.

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13.如圖，在四棱錐尸-488中，△必。是等邊三角形，平面以O(shè)_L平面/8C。，底面

N8C。是直角梯形，AD//BC,已知Ao=28C=4,NBAD=60°.

(I)若E為刃的中點(diǎn)，求證：BE〃平面PCz)；

(II)求二面角B-PC-D的正弦值.

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14.已知在平行四邊形ZBCz)中，AD=2,AB=6,NADC=Z如圖，DE//CF,且DE

6

=3,CF=4,/OC尸且平面ZBCOJ_平面COER

(I)求證：/UL平面CDEF；

(Il)求二面角D-AE-C的余弦值.

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15.如圖，已知四棱錐P-43C。中，AD∕∕BC,AB=CD,AD=IBC=IPC=I,PD=W,

ZADC=GOo.

(1)求證：BP1.CD；

(2)若BP=√Σ,求直線PC與平面玄。所成角的正弦值.

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16.如圖，在四棱錐P-N8CZ＞中，△必。是等邊三角形，平面必。，平面48C￡),底面

NBCD是直角梯形，AD//BC,已知∕O=28C=4,NBAD=60°.

(I)若E為BI的中點(diǎn)，求證：BE〃平面PCD；

(II)求四棱錐P-ABCD的體積.

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17.如圖，在直三棱柱NBC-小81。中，4B=BC=AAι,ABLBC,。為NB的中點(diǎn)，E為

BC上一點(diǎn)、,滿足CE=2E8.

(1)求證：/C〃平面BiDE;

(2)求二面角B?-A?C-C?的余弦值.

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18.已知在平行四邊形ZBCz)中，AD=2,AB=6,NADC=Z如圖，DE//CF,且DE

6

=3,CF=4,/OC尸且平面ZBCOJ_平面COER

(I)求證：/UL平面CDEF；

(Il)求四棱錐F-/8C。的體積.

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19.如圖所示，在四棱錐E-/8CZ)中，四邊形NBC。是直角梯形，∕8=4E?=8C==1,

BC//AD,AEV^-^ABCD,NBAD=90°,N為。E的中點(diǎn).

(1)求證：NC〃平面E48；

(2)求二面角/-CN-。的余弦值.

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20.如圖，在多面體NBCOE尸中，四邊形/88、四邊形XCFE均為菱形，ZBAD=ZEAC

=120°.

(1)求證：平面8。凡L平面NCFE;

(2)若BE=DE,求二面角C-8/-E的余弦值.

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21.如圖所示，在三棱錐/8C。中，AB=BC=BD=2,AD=26,NCBA=NCBD=等煎

E,尸分別為N。，8。的中點(diǎn).

(I)求證：平面4C0_L平面BCE；

(II)求四面體CDEF的體積.

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22.如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，過頂點(diǎn)Z)I作平面α交441于E點(diǎn)，交BBl于F點(diǎn)、,使

得4E=1,BF=I.

(I)求證：/C〃平面a；

(II)求點(diǎn)。到平面a的距離.

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23.已知4∕5C,AB=BC,ZCBA=60°,沿著邊C8把C進(jìn)行翻折，使平面/BC與

平面。8C垂直，AOBC可由448C翻折得到.回答下列問題.

(I)直線/C與平面/8。所成角的余弦值；

(II)二面角A-BD-C的余弦值.

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24.如圖，四棱錐尸-Z8CQ,底面四邊形48。為梯形，且滿足Zo=1,AB=CD=3,BC

=4且4)〃8C,底面48CD設(shè)平面RID與平面PBC的交線為/.

(I)求/與平面Pf)C所成的角；

(II)己知PO=I,求平面218與平面尸。C所成的銳二面角的余弦值.

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25.如圖，在三棱臺(tái)N8C-HB,C中，已知平面N88'A'，平面/8C,ACVBC,Z

CBA=%四邊形/88'A1是等腰梯形，AB=2A'B1=2BB',E,/分別為/8,A'

O

C的中點(diǎn).

(1)求證：EFLAC-,

(2)求直線E尸與平面∕CC'A'所成角的正弦值.

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26.如圖，ANBC為正三角形，半圓。以線段8C為直徑，D是比上的動(dòng)點(diǎn)(不包括點(diǎn)8,

C),平面N8C_L平面8CZλ

(1)是否存在點(diǎn)。，使得BD14C?若存在，求出點(diǎn)。的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2)若NC80=30°,求二面角。-/O-C的余弦值.

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27.如圖，Z?Z8C是正三角形，D,E,尸分別是線段/8,BC,4C的中點(diǎn)，現(xiàn)將△/￡(尸和

△CEF分別沿著。尸，EF折起，使得4C兩點(diǎn)在P點(diǎn)重合，得到四棱錐P-8EE0.

(1)證明：平面PBF上平面BEFD；

(2)設(shè)正三角形C的邊長(zhǎng)為4,求三棱錐尸-P8E的體積.

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28.如圖，在四棱錐尸中，底面為正方形，4RfO為等邊三角形，平面以。

，平面PCZx

(I)證明：直線CO_L平面/M。；

(H)若/8=2,。為線段P8的中點(diǎn)，求三棱錐。-PC。的體積.

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29.如圖，在四棱錐P-/18C。中，AD//BC,ADA.AB,并且8C=2∕O=2∕B=2,PM=號(hào),

點(diǎn)尸在平面N8C。內(nèi)的投影恰為8。的中點(diǎn)M?

(1)證明：8尸，平面PCZ)；

(II)求點(diǎn)Z到平面PCD的距離.

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30.如圖，在四棱錐尸-MC。中，已知以1.平面43CD,且四邊形為直角梯形，Z

TT

ABC=NBAD=當(dāng)AD=2,AB=BC=?.

(1)當(dāng)四棱錐尸-NBC。的體積為1時(shí)，求異面直線HC與PO所成角的大小;

(2)求證：CDj_平面以C

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31.如圖所示，在三棱錐Z-BCA中，AB=BC=BD=2,AD=2>∕3,NCBA=NCBD=等

點(diǎn)E,F分別為4。，8。的中點(diǎn).

(I)求證：EF〃平面48C：

(II)求平面8CE與平面/C尸所成銳二面角的余弦值.

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32.如圖，在四棱錐P-/8CQ中，AD/∕BC,ADYAB,并且8C=2NO=248,點(diǎn)尸在平

面ABCD內(nèi)的投影恰為8。的中點(diǎn)M.

(I)證明：81.平面PBD；

(∏)若PM=AD,求直線P4與CD所成角的余弦值.

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33.如圖，在三棱錐尸-43C中，Rij"底面C,C是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱尸8

與底面所成的角為土

4

(1)求三棱錐P-ABC的體積匕

(2)若。為PB的中點(diǎn)，求異面直線Rl與8所成角的大小.

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34.如圖1,在三棱柱/8C-nBiCl中，已知45L4C,JB=JC=I,/4=2,且工小，平

面N8C,過4,Ci,8三點(diǎn)作平面截此三棱柱，截得一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐（如圖2）.

（1）求異面直線8。與44所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）；

（2）求四棱錐8-4CCl小的體積和表面積.

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35.如圖，在矩形/88中，將CZ)沿對(duì)角線/C折起，使點(diǎn)O到達(dá)點(diǎn)E的位置，且/E

LBE.

(1)求證：平面平面48C；

3√7

(2)若BC=3,三棱錐8-4EC的體積為；一,求點(diǎn)E到平面/8C的距離.

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36.如圖，在直三棱柱/1BC-小8ιCl中，Z?∕18C是正三角形，點(diǎn)Z)在棱上，且BBl=

381。，點(diǎn)E為BiC的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面8CCι8i;

(2)若B8ι=3√∑,AB=I,求點(diǎn)C到平面4。E的距離.

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37.如圖所示，在直三棱柱月8C-小小。中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,CA

=CB=CCi=2.點(diǎn)。，Oi分別是棱/C,4G的中點(diǎn).

(1)求證：D,B,Bi,。四點(diǎn)共面；

(2)求直線8。與平面。881Ql所成角的大小.

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38.如圖，在四棱錐SFBCQ中，底面/8CD是等腰梯形,Z8〃C。,CD=2AB=4,AD=√5,

△SCO是等腰直角三角形，SC=SD,S∕=3.

(I)證明：平面Sa)J■平面N8C。；

(II)若平面SND與平面SC8的交線為/,求二面角C-。的余弦值.

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39.如圖，在矩形。中，將4/CO沿對(duì)角線/C折起，使點(diǎn)O到達(dá)點(diǎn)E的位置，且ZE

VBE.

(1)求證：平面/8E，平面48C；

3^7

(2)若EB=小,三棱錐8-4Ee的體積為一^-,求二面角E--8的余弦值.

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40.如圖，在三棱柱/8C-NlBICl中，P,0分別是4小，CB上一點(diǎn)，且∕P=2R4ι,CQ

=208.

(1)證明：/?！ㄆ矫鍯PBi;

(2)若三棱柱∕8C-∕∣8Cι為直三棱柱，且力4=3,BC=BA=后,∕1C=2√3,求點(diǎn)

B到平面CPB\的距離.

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41.如圖，在四棱錐尸-48C。中，底面是正方形，AB=2,尸。，平面48C。，PB

與底面NBC。所成的角為45°,過4。的平面分別與尸8,PC交于點(diǎn)、E,F.

(I)求證：EFA.DC；

2√2IPEl

(∏)若二面角P-/O-E所成角的余弦值為虧’求商的值.

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42.在四棱柱/8C。-Zι8ιCb0∣中，四邊形ZBC。是平行四邊形，=JC=1,ZABC=

30o,BC=2,平面∕88ι∕ι,平面/88,M,N分別為出C,/8的中點(diǎn).

(I)求證：MN〃平面∕ι5Ci;

(II)若COSN∕ιC8=q,求二面角C-MN-。的余弦值.

4-

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43.如圖所示，三棱柱/8C-mBiCI中，平面NCCMl，平面∕8C,AAilAC,AAi=AB=

BC=2,D,Ol分別為ZC,ZICl的中點(diǎn)，且∕A4C=30°.

(I)求證：DDilBCi

(II)求二面角Bl-DAi-Ci的余弦值.

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44.如圖，四棱錐P-488的底面為正方形，PC=PA=亨PD=遍AD.E,尸分別是以,

PO的中點(diǎn).

(I)證明：EF_L平面Pe0：

(II)求二面角A-CE-F的余弦值.

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45.如圖，在四棱錐P-N8C。中，等邊三角形均。所在平面與梯形Z8C。所在平面垂直,

且CD//AB,AD=BD=2,DC=^AB=√Σ,點(diǎn)G為/XPAD的重心，AC與BD交于點(diǎn)M.

(1)求證：GM〃平面「CQ；

(2)求點(diǎn)C到平面PBD的距離.

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46.如圖，直三棱柱為BiCI-NBC中，AB=AC=I,ΛBAC=≡,小/=4,點(diǎn)M為線段小/

的中點(diǎn).

（1）求直三棱柱小SG-48C的體積；

（2）求異面直線8M與8iCI所成的角的大小.（結(jié)果用反三角表示）

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47.如圖，已知直角梯形488,BC//AD,BC=CD=2,AD=4,NBCD=90°,點(diǎn)、E為

X。的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形NBE沿8E折疊，得到四棱錐4-BCZJE,其中/4EQ=I20°,

點(diǎn)M為4。的中點(diǎn).

(1)求證：48〃平面EMC；

(2)若點(diǎn)N為8C的中點(diǎn)，求四面體4MN8的體積.

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48.如圖，在三棱錐尸-48C中，BC為正三角形，點(diǎn)。，E分別為ZC,Rl的中點(diǎn)，其

中Λ4=P8=4√Σ,PC=ZC=4.

(1)證明：平面BDE'1.平面/8C；

√6

(2)若點(diǎn)尸是線段"C上異于點(diǎn)。的一點(diǎn)，直線“E與平面所成角的正弦值為彳，

?p

求就的值?

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49.如圖，在四棱錐尸-4BC。中，四邊形是梯形，AB∕∕CD,ABVBC,且RJ=Po

=BC=S=I,/8=2,PC=√3.

(1)證明：80,平面RI。；

(2)求直線與平面P8C所成角的正弦值.

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50.在四棱錐尸-/BC。中，PA=PC=2,底面ZBCD是菱形，AB=2?ZABC=60o.

(I)求證：ACVPBy

(II)求四棱錐P-ABCD的體積.

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2023年新疆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：立體幾何

參考答案與試題解析

I.如圖，四棱錐尸-ZBCD中，ABCD,AB∕∕CD,ZBAD=?,AB=?,CD=3,

Λ/為PC上一點(diǎn)，且Λ∕C=2PΛ∕,40=2,PD=3.

(1)證明：〃平面以。；

(2)求直線DW與平面P8C所成角的正弦值；

(3)求三棱錐尸歷！的體積.

【解答】(1)證明：過M作MN〃CD交PD于N,連接“N,

MNPM11

pl?=7F=??,?≡=3cβ=1

又AB//CD,/8=1,

：.AB//MN,AB=MN,

四邊形ABMN是平行四邊形，

.?BM∕∕AN,又BMU平面RIO,/NU平面∕?0,

.?.8Λ∕〃平面以O(shè).

(2)解:連接8。，

*8=1,AD=2,ZBAD^≡,：.BD=Jl+4-2×l×2×eos?=√3,

.?AB2+BD2=AD2,:,ABLBD,

又ABUCD,IBDLCD,

以。為原點(diǎn)，以DB,DC,OP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系。-Xyz,如圖所示,

則。(0,0,0),M(0,1,2),P(0,0,3),B(√3,0,0),C(0,3,0),

：.DM=(0,I,2),BC=(-√3,3,0),BP=(-√3,0,3),

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于呼=0,即-V3x÷3y=O

設(shè)平面P8C的法向量為n=(x,yfz),則

n?BP=O—y∕3x÷3z=O

令V=I可得|=(百，1,1),

—>DM三3_3

/.cos<DM,n>=京卮二弓'

?DM??n?

：.直線。陽■與平面PBC所成的角的正弦值為a

(3)解：`JMC=IPM,

.11"Illv3

..VτzM-R4B=WτKzC-以B=WRP-/1BC=WXWX2XdIXJ3X3=方.

2.如圖，在四棱錐S-ZBC。中，底面Z8CD為矩形，Z?S∕O為等腰直角三角形，SA=SD

=2√2,AB=2,尸是BC的中點(diǎn)，二面角S-4D-8的大小等于120°.

(1)在川D上是否存在點(diǎn)E,使得平面SEF，平面N8C。，若存在，求出點(diǎn)E的位置；

若不存在，請(qǐng)說明理由；

(2)求直線S/與平面SBC所成角的正弦值.

【解答】解：(1)在線段上存在點(diǎn)E滿足題意，且E為/。的中點(diǎn).

如圖，連接ERSE,SF,

：四邊形是矩形，.?.48"L4),

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又E、尸分別是/1。、BC的中點(diǎn)，

.?EF∕∕AB,ADLEF,

為等腰直角三角形，SA=SD,E為/。的中點(diǎn),

.'.SELAD,

"."SEPiEF=E,SE、EFU平面SEF,

.?.4O_L平面SM,

U平面/8CZ),二平面SEFl.平面ZBCD,

故工。上存在中點(diǎn)E,使得平面SE/口_平面/8CD

/SEF為二面角S-/O-8的平面角，即/SE產(chǎn)=120°.

以E為原點(diǎn)，EA、E廠所在的直線分別為x、y軸，作EzJ_平面力8CA,建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

在等腰RtZ?SZO中，SA=SD=2√2,：.AD=4,SE=2,

：.S(0,-1,√3),A(2,0,O),B(2,2,O),C(-2,2,O),

.".SA=(2,1,-√3),S?=(2,3,-√3),SC=(-2,3,-√3),

r→T

設(shè)平面S8C的法向量為￡=(x,y,z),則[.呼=°∫2x+3y-√3z=O

t∏?SC=O'[-2%÷3y—V3z=O

令y=l,貝IJX=O,z=V3,.*.n=(0,1,V3),

設(shè)直線SA與平面SBC所成角為3

T→

TTS4n1-3√2

則rtlsinθ=ICoS<SA,n>∣≈∣?ST-I=|/33/=~τ，

∣Sτl∣?∣n∣√4+l+3×24

故直線SA與平面SBC所成角的正弦值為

4

3.如圖，三棱錐E-BC力中，Z?E8為正三角形，平面ECoJ_平面BCD,BC=DC=當(dāng)BD

=2,M,N分別是線段Eo和8。的中點(diǎn).

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(I)求點(diǎn)C到平面8Z)E的距離；

(Il)求直線EN與平面Me8所成角的正弦值.

【解答】解：(I)；平面ECDl.平面5C。，且AECA為正三角形，CD=2,

二點(diǎn)E到平面BCD的距離為6,

,：BC=DC=斗BD=2,.?.Z?8Cr)是等腰直角三角形，

?'?S^BCD=?^BC*DC—2.

在48OE中，BE=BD=2√2,DE=2,

:?S^BDE=2×2×V7=√7.

設(shè)C到平面8。E的距離為力

*?*VE-BCD=Vc-BDEy

Λ~×?/?×2=g×d×y∏,解得d=

故點(diǎn)C到平面BDE的距離為耳?.

(II)以C為原點(diǎn)，CD、CB所在的直線分別為x、y軸，作CzL平面BCD,建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，

,3√3L

則B(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M0,―),E(1,0,√3),N(1,

1,0),

→→3√3→

ΛEN=(0,1,—V3),CM=(5,0,-)fCB=(0,2,0),

TT(3J3

2,5=°,BP2x+Tz=0.

{n-CB=O(2y=0

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令x=l,則y=0,z=-V3,.*.n=(1,O,—√3),

設(shè)直線EN與平面MBC所成角為8

T→

,T→EN-Ti32

則Sine=ICOSvEN,n>∣≈∣-~~-1==?,

IENH九I

3

故直線EN與平面MBC所成角的正弦值為7

4.如圖，在三棱柱/8C-mBiCl中，平面∕ιZCCi_L平面Z8C,Z?∕8C和ZC都是正

三角形，。是/8的中點(diǎn)

(1)求證：BCi〃平面小。C；

(2)求直線48與平面。CCl所成角的正切值.

【解答】(1)證明：連接ZC1,交出C于E,連接。E,

V四邊形CCl是平行四邊形，

：.E^AC\的中點(diǎn)，

；。是48的中點(diǎn)，：.DE//BC\,

：OEu平面Z∣OC,BCiC平面∕ιOC,

.?.8Cι〃平面A?DC.

(2)解：取NC的中點(diǎn)O,連接小0,BO,

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C和△小/C都是正三角形，.?A↑O±AC,BOLAC,

；平面ZlZCCl_1_平面ABC,平面A?ACCι∏平面ABC=AC,

平面Z8C,：.A\OA.BO,

以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC.OAx所在直線分別為X、八Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

√31

設(shè)∕C=2,則/(0,-1,0),B(√3,0,0),C(0,1,0),D(―>-4>0),CI(0,

2/

2,√3),

→→?/?o→FS5

ΛAB=(√3,1,0),CD=(―,一］0),DC=(一與，-,√3),

2/1，2

T(n?CD—0孚％—?y=0

設(shè)平面。CCl的法向量為72=G,乃Z),則?uf-U,即《22,

n?0C1=θ--yX+2y÷=0

令x=3,則y=b,Z=-1,Λn=(3,√3,-1),

T→

→TAB-n

設(shè)直線”與平面DCCl所成的角為θ,貝IJSine=ICOS<4B,n>|=「一-∣=

?AB?-?n?

3√3+√3τ√3

l2×√9+3+ll-√13,

Λtanθ=2V3,

故直線AB與平面DCel所成角的正切值為2√1

5.如圖，在等腰直角三角形4。P中，已知4=*，∕D=3,B,C分別是/P,。尸上的點(diǎn)，

E是CO的中點(diǎn)，且BC〃/1。.現(xiàn)將△尸8C沿8C折起，使得點(diǎn)P在平面Z8C。上的射影

（1）若B,C分別是4P、OP的中點(diǎn)，求證：平面以CJL平面尸CD

（2）請(qǐng)判斷是否存在一種折法，使得直線P8與平面/88所成角的余弦值是直線PB

√26

與平面以E所成角的正弦值的七倍？若存在，求出/8的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】（1）證明：I.點(diǎn)尸在平面/8C。上的射影為點(diǎn)4

平面ASCD,

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U平面/8。。，：.PA±CD,

?/等腰Rt&DP,且C為。尸的中點(diǎn)，

.'.AClCD,

"JPAdAC=A,PA,JCc5FffiPAC,

.?.CD,平面PAC,

又CDU平面PCo平面刃CL平面PC0.

(2)解：平面/8CQ,

ΔR

.?.∕∕8P為直線尸8與平面/38所成的角，設(shè)其大小為α,則CoSa=附

過點(diǎn)B作BML4E,交/E于點(diǎn)連接尸”，

平面/8C。，：.PA1BM,

AEC?PA=A,AE.fi4?5FffiPAE,

.?.8ΛΛL平面Λ4E,

.?.NBPM為直線P8與平面BIE所成的角，設(shè)其大小為由則SinB=福，

√26

直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線PB與平面PAE所成角的正弦值的~ξ~

倍，

.*.cosa=?^^sinβ,BPAB=

設(shè)/8=/(0<∕<3),則BM=?,DE=^CD=鼻D=&,

√26ZbZ

設(shè)NABM=NDAE=。,

DE4D

在DE中，由正弦定理知,

sinZ.DAESin乙AED'

3

-：,

sinΘs~ι~nz?(?r-~θZ)Γ

Vsin2θ+cos2θ=1,且6∈(0,—),

2

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6-t

.*.cosθ=

x∕212-12t+36

t(6-t)

：.BM=

√2t2-12t+36,

又BM=

.?./'VT)=焉,化簡(jiǎn)整理得，2∕2+f-3=0,解得f=l或一,(舍負(fù))，

√2t2-12t+36726L

故當(dāng)月8=1時(shí)，直線房與平面48。所成角的余弦值是直線尸8與平面RlE所成角的

正弦值的手與吾.

6.在直三棱柱/BC-NIBICI中，NA4C=90°，AC=AB=AA?^2,設(shè)點(diǎn)/，N,P分別是

AB,BC,BiCi的中點(diǎn).

(I)證明：/4〃平面PMN；

(II)若。為A41上的動(dòng)點(diǎn)，試判斷三棱錐P-。MN的體積是否為定值？并說明理由.

【解答】(I)證明：；點(diǎn)"，N,尸分別是NB,BC,8ιCI的中點(diǎn)，；./W〃CC1，

又；441〃Ce1,J.AA?∕∕PN,

：1C平面PMN,PNU平面PMN,

；./小〃平面PMM

(Il)解：如圖，連接/N,AP,

根據(jù)等體積法可知，Vp-QMN=VQ.PMN，

由(I)可知，441〃平面PMM

又0為441上的動(dòng)點(diǎn)，.?.VQ-PMN=VA-PMN=Vp-AMN，

11

SRAMN=2×1×1=2,

111

即VP-QMN=VQ-PMN=VA-PMN=VP-AMVWX2×=??

???若。為/小上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐尸-QVW的體積定值

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1

7.在多面體/8CCMIBl中，四邊形∕88∣4為菱形，BC∕∕B?C?,BC=^B?C?,小Cj=Zl4

ABlBiC,NBlBA=60°,平面ASBMi_L平面/8U

(1)在棱/8上是否存在點(diǎn)O,使得/8_L平面8∣OC?若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

(2)求二面角Cl-Ae-B的正弦值.

【解答】解：(1)在棱月8上存在點(diǎn)。(。為棱N8的中點(diǎn))，使得/8,平面BiOC.

理由如下：

連接∕8ι,；四邊形488∣∕ι為菱形，且N8ι8∕=60°,

.?.△/囪8是等邊三角形，

又。為48的中點(diǎn)，.?.B∣0L∕8,

?'ABLBiC,8ιO∏8∣C=8ι,BiOu平面BlOC,8ιCU平面'OC,

平面B9C.

(2)由(1)知，ZC_L平面BiOC,：.ABLOC,

又平面N88ι∕ι，平面ABC,平面NBBMi∩平面4BC=AB,

；.OC_L平面488ι4,OC1,B↑O,

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,。81所在直線為X,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

取BiCi的中點(diǎn)E,連接∕ιE?CE,由題意知幾何體NBC-ZiBiE是三棱柱，

取出31中點(diǎn)。，連接OE,則OGDEKAg,

==乙

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設(shè)/4=2,則O(0,0,0),A(-1,0,0),C(0,1,0),Bl(0,0,√3),A?(-

2,0,√3),

.?.OC1=OBλ+B↑A1+AiC1=OB1+2OA+2OC=(0,0,√3)+2(-1,0,0)+2(0,

1,0)=(-2,2,√3),

ΛCι(-2,2,√3),AC=(1,1,0),Al=(-1,2,√3),

設(shè)平面NCCI的法向量益=(x,y,z),

Im?^=x+y=0,取X=],得益=(∣,…√1),

,m?AC1=-X+2y+√3z=O

平面/BC的一個(gè)法向量￡=(O,0,1),

設(shè)二面角Ci-/C-8的平面角為θ,

則c°sθ=儒R強(qiáng)Sine=√10

^5^?

√10

二二面角CI-/C-8的正弦值為一丁.

8.在四棱錐P-48C。中，側(cè)面以。_1_底面N8CD,P4=4D=DC=6,NC=6√Σ,AB=3,

8〃平面以8,ZPAD=6Qa.

(I)求證：平面尸C￡)J_平面尸8C；

(Il)求二面角P-BC-D的余弦值.

第60頁共115頁

P

【解答】解：(I)證明："JAD=DC=(>,^C=6√2,J.AD1+DC1^AC1,：.ADVDC,

VffilJffi必。_1_底面ABCD,側(cè)面HO∩底面ABCD=AD,

，(?。_1平面以。，；尸。U平面/MO,J.CD±PD,

取PC和。C的中點(diǎn)分別為M和N,連接MV,BM,

則MN〃尸。，：.CDlMN,

；。?！ㄆ矫嬉?,CD〃平面/8CO,平面∕M8∩平面48CO=∕8,

：.CD〃AB,

,：AB=ND=3,四邊形NAVZ)為平行四邊形，

：.BN//AD,；.CDLBN,

?；BNCMN=N,；.CD1_平面BMN,

VSMc5FffiBMN,.,.CD±BM,

：CD_L平面BW,且為U平面以。，

.".ABLPA,即△口8為直角三角形，PB=√62+32=3√5,

?：PB=BC,且M是尸C的中點(diǎn)，C.PCLBM,

"：PCHCD=C,平面尸Cz),

?.?8Λ∕u平面P8C,平面尸Co_L平面P8C.

(II)在中，?'PA^AD=6,ZPAD^60a,

ZXRlO為等邊三角形，PD=6,

取AO的中點(diǎn)0,連接尸O,C.POVAD,?PO=√62-32=3√3,

:平面RW_L平面/8CZ),平面均。C平面ASCO=AD,；.PO_L平面N8CD,

過點(diǎn)P作P∕ΛL8C,交BC于點(diǎn)“，連接CW,

則NP"O即為三面角P-BC-D的平面角，

?：PD=CD=6,C￡>_LP。，.?.△尸DC為等腰直角三角形，

PC=√CP2+PD2=√62+G2=6√2,

第61頁共115頁

：由（I）知尸8=8C=3而，M為PC的中點(diǎn)，.'