2023年北京市豐臺區(qū)高考數(shù)學一模試卷及答案解析

2023年北京市豐臺區(qū)高考數(shù)學一模試卷

一、單選題(本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合4={x∣-1≤%≤1},B—[x?0<X≤2},則/UB=()

A.{x∣—1≤%≤1]B.{x∣0<X≤1}

C.{x∣0<X<2}D.{x∣-1≤X≤2}

2.設a,b,cWR,且α>b,貝∣J()

A?ac>bcB,i<∣C,α2>b2D,a-c>b-c

3.已知圓(X-2)2+(y+3)2=N與y軸相切，則r=()

A.√2B.√3C.2D.3

4.已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，/(x)=∣og2X,則/(一2)=()

A.-1B.0C.1D.2

5.在平面直角坐標系XOy中，若角α以X軸非負半軸為始邊，其終邊與單位圓交點的橫坐標

為印貝IJa的一個可能取值為()

A.-60oB.-30oC.45oD.60°

6.在△?!BC中，若2cos4sinB=SinC,則該三角形的形狀一定是()

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

7.設數(shù)列{αrι}的前洸項和為％，則”對任意n∈∕V*,αrι>0”是“數(shù)列{S7l}為遞增數(shù)列”的

()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不是充分也不是必要條件

8.已知拋物線C：y2=2pχ(p>0)的頂點是坐標原點0,焦點為F,A是拋物線C上的一點，

點4到X軸的距離為2√Σ過點A向拋物線C的準線作垂線、垂足為艮若四邊形ABOF為等腰梯形,

貝Up的值為()

A.1B.√2C.2D,2√2

9.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,存在常數(shù)t(t>0),使得對任意X∈R,都有f(x+t)=/(%),

當xe[O,t)時，/(X)=I久一彳I.若/(x)在區(qū)間(3,4)上單調遞減，則t的最小值為()

A.3B.IC.2D.I

10.如圖，在直三棱柱ABC-AlBlCl中，AC1BC,AC=2,BC=1,

AA1=2,點。在棱AC上，點E在棱BBl上，給出下列三個結論：

①三棱錐E-ABD的體積的最大值為多

(2)A1D+DB的最小值為√Σ+√5;

③點。到直線ClE的距離的最小值為竿.

其中所有正確結論的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

二、填空題(本大題共5小題，共25.0分)

11.若復數(shù)巖(a6R)是純虛數(shù)，貝IJa=—.

12.已知正方形ABCD的邊長為2,則荏.血=—.

13.從-2,-1,1,2,3這5個數(shù)中任取2個不同的數(shù)，記“兩數(shù)之積為正數(shù)”為事件4,“兩

數(shù)均為負數(shù)為事件B.則P(BIa)=—.

14.設函數(shù)f(x)=｛黑：若f(X)存在最小值，則α的一個取值為;α的最大

值為.

15.三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，目前尺規(guī)作圖仍不能解決\/

這個問題.古希臘數(shù)學家PaPPUS(約300?350前后)借助圓弧和雙曲線給出ALr二

了一種三等分角的方法：如圖，以角的頂點C為圓心作圓交角的兩邊于a,/?7F

B兩點；取線段AB的三等分點O,D；以B為焦點，A,D為頂點作雙曲線凡/C\

雙曲線”與弧4B的交點記為E,連接CE,貝吐BCE=

①雙曲線，的離心率為一；

②若"ICBwMCl=3√2,CE交AB于點P,則IOPl=—.

三、解答題(本大題共6小題，共85.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題14.0分)

已知函數(shù)/(久)=2sin(ωx÷φ)(ω>0,0<φ<Tr)的部分圖象如圖所示.

(1)求/(%)的解析式；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)smx,求g(x)在區(qū)間［0幣上的最大值和最小值.

17.(本小題14.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，AC交BO于點0,乙BAD=60o,PB=PD.

點E是棱PA的中點，連接。E,0P.

(1)求證：OE〃平面PCD：

(2)若平面PAC與平面PCo的夾角的余弦值為苧，再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一

個作為己知，求線段OP的長.

條件①：平面PBD-L平面4BCD；

條件②：PBIAC.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

18.(本小題14.0分)

交通擁堵指數(shù)(TP/)是表征交通擁堵程度的客觀指標，7P/越大代表擁堵程度越高,某平臺計算

TP/的公式為：TP/=穿嚕黑，并按TP1的大小將城市道路擁堵程度劃分為如下表所示的4

暢通行程時間

個等級：

TPI[1,1.5)[1.5,2)[2,4)不低于4

擁堵等級暢通緩行擁堵嚴重擁堵

某市2023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TPl的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖:

(1)從2022年元旦及前后共7天中任取1天，求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”

的概率；

(2)從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TP/比2022年同日

TP/高的天數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學期望E(X);

(3)把12月29日作為第1天,將2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TP/依次記為由,

__1

α2,????a:，將2022年同期TP/依次記為瓦，％???,b7,記G=ai-b^i=1,2,???,7),c=^∑^=1ci.

請直接寫出?-取得最大值時i的值.

19.(本小題14.0分)

已知橢圓各，=l(a>b>0)的一個頂點為A((U),焦距為2.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點P(2,0)的直線與橢圓E交于B,C兩點，過點B,C分另M乍直線hx=t的垂線(點B,C在

直線［的兩側).垂足分別為M,N,記ABMP,AMNP,△CNP的面積分別為S2,S3"試問：

是否存在常數(shù)3使得Si，1S2,S3總成等比數(shù)列？若存在，求出t的值,若不存在，請說明理由.

20.(本小題14.0分)

已知函數(shù)f(x)=x+3(a>0)?

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個不相等的零點打，x2.

⑴求a的取值范圍；

(ii)證明：x1+x2>2lna.

21.(本小題15.0分)

已知集合Sn={1,2,3,???,2n}(n6N*,n≥4),對于集合Sn的非空子集4若Sn中存在三個互不

相同的元素使得均屬于則稱集合是集合的“期待子集”.

α,b,c,α+b,b+c,c+α44Sn

(1)試判斷集合&={3,4,5},4={357}是否為集合S’的“期待子集”；(直接寫出答案，不

必說明理由)

(2)如果一?個集合中含有三個元素X,y,z,同時滿足①X<y<z,②x+y>z,③x+y+z

為偶數(shù).那么稱該集合具有性質對于集合的非空子集證明：集合是集合的“期待子

P?Sn44Sn

集”的充要條件是集合4具有性質P;

若的任意含有個元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值.

(3)Sn(H≥4)mSnm

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因為集合4={x∣-1≤X≤1}>B=[x∣0<%≤2},

所以4UB={x∣-l≤x≤2}.

故選：D.

根據(jù)并集運算求解.

本題主要考查并集及其運算，屬于基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：α>b,二α-c>b-c,因此￡>正確.

c≤0時，4不正確；α>0>b時，B不正確；取a=—1,b=—2,C不正確.

故選：D.

利用不等式的基本性質即可判斷出結論.

本題考查了不等式的基本性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：由圓(x—2)2+(y+3)2=N的方程可得圓心的坐標(2,_3),

再由圓與y軸相切，可得半徑r=2,

故選：C.

由圓的方程可得圓心坐標，再由與y軸相切，可得半徑等于圓心到y(tǒng)軸的距離，可得半徑的值.

本題考查直線與圓相切的性質的應用，屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：因為/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

當X>。時,f[x}=]0g2x>

所以〃-2)=-/(2)=-log22=-1.

故選：A.

根據(jù)奇函數(shù)的性質及所給函數(shù)解析式計算可得.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)求值中的應用，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：依題意可得COSa=冬則戊=30。+小360。，keZ或α=-30。+k?360。，k&Z,

所以ɑ的一個可能取值為-30。.

故選：B.

根據(jù)三角函數(shù)的定義得到c。Sa=苧，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)判斷即可.

本題主要考查三角函數(shù)的定義，屬于基礎題.

6.【答案】A

【解析】解：■：在△4BC中，sinC=s∣n[π—(Λ+B)]=sjn(?^+B)=SinAcosB+CosAsinB,

.?.2cosAsinB=SinC=SinAcosB+CosAsinB,即SiMACoSB-CosAsinB=Sin(A—B)=0,

A,B∈(0,Tr),

?,?A—BE(—it,Tr),

.-.A-B=O,即A=B,則AABC為等腰三角形.

故選：A.

利用內角和定理及誘導公式得到SinC=Sin(A+8)，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，代入

已知等式變形，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，得到4-B=O,即4=B,即可確定出

三角形形狀.

本題主要考查了誘導公式及和差角公式在三角形形狀判斷中的的應用，屬于基礎題.

7.【答案】4

【解析】解：數(shù)列｛a7l｝中，對任意neN*,an>0,則Sn=Sn_1+%τ>S71-I，n≥2；

所以數(shù)列｛Srι｝是遞增數(shù)列，充分性成立；

當數(shù)列｛Srι｝為遞增數(shù)列時，Sn>Sn.1,n≥2;

即Sjt-ι+a”>Srι-ι,所以afl>0,

如數(shù)列-1,2,2,2,...；不滿足題意，必要性不成立；

所以“對任意nCN*,a7j>0”是“數(shù)列｛Sn｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

故選：A.

根據(jù)題意，分別判斷充分性和必要性是否成立即可.

本題利用數(shù)列的前n項和考查了充分與必要條件的應用問題，是基礎題.

8.【答案】C

【解析】解：如圖所示:

過點4(不妨設為第一象限點)向X軸作垂線、垂足為E,

設準線交X軸于。，

因為四邊形ABoF為等腰梯形，

所以∣0B∣=∣4F∣,乙FoB=4OFA,

所以ZDOB=?EFA,

又乙BDo=Z-AEF=90°,

所以ABDO三△4EF,

所以IoDl=IFEI=1

所以IDEl=?D0?+?0F?+?FE?=當,

所以MBl=El=當，

由拋物線的定義可得：?AF?=?AB?=W

在直角三角形AE尸中,MFl=當,∣EF∣=*?AE?=yA=2√2,

由勾股定理可得：g)2+(2√Σ)2=(第2,解得p=2.

故選：C.

過點4向X軸作垂線、垂足為E,設準線交X軸于D,利用幾何法求出直角三角形4EF的三邊，利用

勾股定理即可求解.

本題主要考查拋物線的性質，考查轉化能力，屬于中檔題.

9.【答案】B

【解析】解：因為存在常數(shù)t(t>O),使得對任意R,都有/(x+t)=∕O),

所以函數(shù)的周期為3

當X∈[0,t)時,函數(shù)/(x)=IXTl在[0,今單調遞減,

所以當X≥0時，函數(shù)/Q)=比三陽("1)￡,但/)何6*)上單調遞減，

因為/(x)在區(qū)間(3,4)上單調遞減，

(nt<3

所以j22!≥4'

(n≤∣

故I￡

[2n+l≥f

所以∣≤t≤3,

所以t的最小值為*

故選:B.

根據(jù)函數(shù)的周期性和絕對值型函數(shù)的單調性進行求解即可.

本題主要考查了函數(shù)的單調性及周期性在不等式求解中的應用，據(jù)函數(shù)的周期的性質，結合絕對

值型函數(shù)的單調性是解題的關鍵.

io.【答案】c

【解析】解：在直三棱柱ABC-AlBIG中BBlJ■平面ABC,

對于①：因為點E在棱BBl上8Bι=Λ4ι=2,所以BE∈[0,2],又=3BE?SMBD，

11

又AC1BC,AC=2,BC=1,點。在棱AC上，所以4D∈[0,2],SAABD=-BC=^AD∈[0,1],

BE

所以=I-SMBD≤∣?當且僅當。在C點、E在BI點時取等號，故①正確；

對于②：如圖將△?!BC翻折到與矩形4CQ&共面時連接交AC于點D,此時4D+DB取得最小

值，

因為AICl=CCl=2,BC=1,所以BCl=3,所以4B=JAG+C$2=g,

即+DB的最小值為√∏,故②錯誤；

對于③：如圖建立空間直角坐標系,

設。

(α,0,0),a∈[0,2],E(O,l,c),c∈[0,2],C1(0,0,2),

所以M=(α,0,-2),QE=(0,1,c-2).

C?D'C?[E.

則點。到直線GE的距離d=IQDI2-d?)2=α2+4-(T絲冬)2=

■?ClE?'

4(-2)2

α2+4-

(C-2)2+1

當C=2時d=√α2+4≥2,

111q∩,416

當0≤c<2時0<(c—2)2≤4,1+—貝可,

C)(c-2)z

2

所以當建含取最大值3且M=°時dm"

即當。在C點E在B點時點。到直線ClE的距離的最小值為等，故③正確;

故選：C.

根據(jù)錐體的體積公式判斷①，將AABC翻折到與矩形ACaal共面時連接48交AC于點D,此時

DB取得最小值，利用勾股定理求出距離最小值，即可判斷②，建立空間直角坐標系，利用

空間向量法求出點到距離，再根據(jù)函數(shù)的性質計算可得.

本題主要考查了三棱柱的結構特征，考查了利用空間向量求點到直線的距離，屬于中檔題.

IL【答案】?

【解析】解?"=(α+D(3+ι)=3αT+(α+3〉

L用W腑?3T(3-i)(3÷i)IO'

???EkL=/解得α=g?

故答案為：?

將復數(shù)言(α∈R)化成代數(shù)形式，令其實部為0,虛部不為0,解出即可.

本題考查復數(shù)的運算、復數(shù)的分類.屬于基礎題.

12.【答案】4

【解析】解：在正方形4BCD中，AC=AB+AD,

即有希-AC=AB?(AB+AD')=AB2+AB-AD

=4+0=4.

故答案為：4.

由向量加法的平行四邊形法則，以及向量的數(shù)量積的性質：向量的平方即為模的平方，向量垂直

的條件：數(shù)量積為0,計算即可得到所求值.

本題考查向量的平行四邊形法則和向量的數(shù)量積的性質，考查運算能力，屬于基礎題.

13.【答案】?

【解析】解：從-2,-1,1,2,3這5個數(shù)中任取2個不同的數(shù)有底=10種取法，

其中滿足兩數(shù)之積為正數(shù)的有廢+Cj=4種取法，

滿足兩數(shù)之積為正數(shù)且兩數(shù)均為負數(shù)的有耨=1種取法，

所以P(A)=白,P(AB)=專，

所以P(BM)=需

故答案為：；

4

根據(jù)古典概型的概率公式求出P(4),PQAB),再由條件概率的概率公式計算可得.

本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了條件概率公式，屬于基礎題.

14.【答案】O1

【解析】解：當α<0時，函數(shù)/(x)圖像如圖所示，不滿足題意,

當a=0時，函數(shù)f(x)圖像如圖所示，滿足題意;

當0<α<2時，函數(shù)/(x)圖像如圖所示，要使得函數(shù)有最小值，需滿足—ɑ2+l≥0,解得：0<

當a=2時，函數(shù)f(x)圖像如圖所示，不滿足題意,

當α>2時，函數(shù)/(x)圖像如圖所示，要使得函數(shù)/(%)有最小值，需(a—2)2≤-tl2+ι,無解,

故不滿足題意；

綜上所述：ɑ的取值范圍是[0,1],

故答案為：0,1.

對函數(shù)/(x)分段函數(shù)的分界點進行分類討論，研究其不同圖像時函數(shù)取最小值時ɑ的范圍即可.

本題主要考查利用分段函數(shù)圖像確定函數(shù)最小值是分界點的討論，屬于較難題目.

15.【答案】27-3√3

【解析】解：①由題可得|。*=α,|。Bl=c,所以c=2α,

所以雙曲線H的離心率為2=2；

②因為NACB=2,且MCl=?BC?=3√2,

所以MBl=√18+18=6,

又因為NBCE=；"CB,所以乙4CP=g,NBCP=%

所以S"CP_14C|.|CP|sinZu4CP_?_∣4P∣,

SABCP-l?BC?-?CP?sin?BCP~?~∣βpΓ

所以MPl=√3∣BP∣.

因為∣4Bl=?AP?+?BP?=(√3+I)IBPl=6.解得IBPl=3√3-3,

所以IoPl=?OB?-?BP?=7-3√3.

故答案為：2；7—3V3?

①根據(jù)圖形關系確定C=2α即可求解：

②利用面積之比鬻H渭:黑黑=需進而可求出出P=3d3,再根據(jù)NPI=

|。BI-IBPI求解.

本題主要考查了雙曲線的性質，考查了雙曲線離心率的求法，屬于中檔題.

16.【答案】解：⑴由圖象可知：T=4有一力=2兀,

?ω=1

將點6,2)代入y=得/α)=2sm(≡+φ)=2,

'9=3+2kn,kEZ9

?：U<φ<Ti,

π

???(P=%，

.?√(x)=2sin(x+^);；

(2)g(x)=f(x)sinx=y∕2sinx{sinx+COSX)=號(sin2x—cos2x)+?=sin(2x—^)+γ>

由xe[0幣得2%'∈L∕],

當2x-與=_今時，即X=O,g(x)min=0，

當2x-%=%時，即X=*,g(x)mɑx=魚.

【解析】(1)由圖象及三角函數(shù)的性質可以得到3,φ,進而得到/(X)的解析式；

(2)根據(jù)三角恒等變換化簡g(x),進而分析在區(qū)間[0,勺上的最大值和最小值.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵.要求熟練

掌握函數(shù)圖象之間的變化關系.

17.【答案】解：(1)由題意可知，。是4C中點，

又因為E是棱Pa的中點，所以。E〃PC,

又因為PCU平面Pe。，OEC平面PC。，

所以OE〃平面PCD；

(2)選擇條件①：

因為PB=P。，。是BO的中點，所以POlBD,

因為平面PBC平面PBon平面4BC。=B。，PoU平面PB。，

所以PO_L平面ABCD,因為ACu平面ABCD,所以POlAC,

又ACj.BD,所以OB,OC,OP兩兩垂直，

以。為坐標原點，分別以OB,OC,OP所在直線為X軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系。-町z,

因為菱形的邊長為2,/-BAD=60°,

所以BD=2,AC=2√3,

所以C(O,√5,0),D(-l,0,0),設P(O,O,t)(t>0),

所以反=(l,√3,0),DP=QO,t)，

設記=(X,y,z)為平面PCD的一個法向量，

由儼1匹可得卜+√?=0,

(n1DPIx+tz=0

?x=y∕3t,y=-t,z=—V3>所以元=(百t,—t,—

因為Bo1平面P4C,所以平面PAC的一個法向量為元=QO,0),

平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為半，

rrp*l×V3tIVI5

所以ICoS<n,∏7>I=■，所以I2,、2L2——~，

1115J(√3t)+(-t)+(-√3)Xl

所以5￡2=4尸+3,所以12=3,

因為t>0,所以t=√5,

所以線段OP的長為√5.

選擇條件②：

因為PB_L4C.在菱形ABC。中，BDLAC,

因為BDU平面PBD,PBU平面PBD,PBeBD=B,

所以AC1平面PBD,

因為PoU平面PBD,所以4CIP。，因為POJ.BD,AC1BD,

所以。B,0C,OP兩兩垂直，

以。為坐標原點，分別以OB,0C,OP所在直線為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐標系。-4∕z,

因為菱形的邊長為2,/.BAD=60°,

所以BC=2,AC=2√3,

所以C(O,√5,0),D(-l,0,0),設P(O,O,t)(t>0),

所以反=(1,√3Λ0),DP=(1,0,t)，

設元=(X,y,z)為平面PeD的一個法向量，

由Fj■史,可得卜+島=°,

InlDP(χ+tz=0

IXx=y∕3t,y=-t,z=—√3>所以元=(bt,—t,—遮)，

因為8。1平面24C,所以平面P4C的一個法向量為4=(1,0,0),

平面24C與平面PCD的夾角的余弦值為半，

∕ψrIl×V3tIV15

所以gs<k,∕>∣=可’所以I順花捻源I=可，

所以5t2=4∕+3,所以產=3,

因為t>0,所以t=v?.

所以線段OP的長為√5?

【解析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理證明；

(2)利用空間向量的坐標運算表示出平面PaC與平面PCD的夾角的余弦值，即可求解.

本題主要考查了線面平行的判定定理，考查了利用空間向量求二面角，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)由圖可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁

堵”的共2天，

所以這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率為余

(2)由圖可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TP/高的天數(shù)只有4月3日和1月4日這2天,

所以P(X=O)W=票=5,P(X=I)=等=IM，p(x=2)=誓=

所以X的分布列為:

X012

241

P

________7________________7________________7________

數(shù)學期望E(X)=0×∣+l×^+2×i=^;

(3)由題意，c1=a1-b1=1.908-2.055=-0.147,c2=a2-b2=2.081-2.393=-0.312,

c3=α3-h3=1.331—1.529=-0.198,=a^-b4=1.202—1.302=—0.1,c5=α5-h5=

1.271-1.642=-0.371,c6=a6-b6=2.256-1.837=0.419,c7=a7-b7=2.012-1.755=

0.257,

--11

所以C=^∑?L1ci=?×(-0.147-0.312-0.198-0.1-0.371+0.419+0.257)≈-0.065,

所以∣q-2∣取得最大值時，i=6.

【解析】(1)根據(jù)隨機事件的概率公式即可求解；

(2)結合題意先求出X的分布列，再結合數(shù)學期望的公式求解即可；

(3)結合題意先求得￡≈-0.065,進而即可求解.

本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)根據(jù)已知可得b=1,2c=2,

所以b=1,c=l,a2=b2+C2=2,

2

所以橢圓E的方程為a+丫2=1；

(2)由已知得，BC的斜率存在，且B,C在X軸的同側，

設直線BC的方程為y=k(x-2),B(x1,y1),C(x2,y2)>不妨設/<%2，

則y，2>°，Xι<t<X2>

,y—k(x—2)

由/得(1+2k2)/一8卜2刀+8卜2-2=0，

S=1

所以4=8(1-21)>0,x1+x2=?x2=普

11-]

因為Sl=爹(t-χι)IyjS2=?(2—。四一為1，53=2(小一。四1，

所以5「53=[(%2—。?-％1)"42|=—t)(t-Xl)y,2=；好。2~t)(t-X1)(%ι-

22

2)(X2-2)=?k?t(x1+x2)-X1-X2-t]■[x1?x2-2(x1+X2)+4]=言?--

/)?(寓一黑+4)=[-2丑一"一尸+2],洛/(2-產仇一月T=

22

2222222238

?fc(2-t)(x2-x1)=?fc(2-t)[(x2+?i)-4X1X2]=?fc(2-θ^(??)-^2~2J=

入離"2(一)2+("2丹

要使Si，∣S2,S3總成等比數(shù)列，則應有-t?+?="-2)2解得t=l,

所以存在t=l,使得Si，∣S2,S3總成等比數(shù)列.

【解析】(1)根據(jù)α,b,C的關系求解；

(2)表示ABMP,AMNP,ACNP的面積，利用韋達定理表示出S1,S3,；5會即可求出常數(shù)t的值.

本題主要考查了橢圓的標準方程，考查了直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴因為f(x)=x+*所以/，(X)=I-S=票，因為α>0,

由f'(%)>0有:X>Ina,由廣(X)<0有：X<Ina,

所以函數(shù)f(%)在(-8,Ind)單調遞減，在(mQ,+∞)單調遞增，

所以函數(shù)/(%)無極大值，有極小值/(仇a)=1+Ina；

(2)(i)由(1)有：函數(shù)/(x)在(一8,仇Q)單調遞減，在(mQ,+8)單調遞增，

若函數(shù)f(x)有兩個不相等的零點不，則/(，九a)=1÷/nɑ<0,解得Q<?,

所以OVQV，因為當％τ+8時，￡—0,工+%—+8,所以/(%)τ+8,

所以/(%)=無+卷在(切2+8)上有1個零點，

當％→一8時，晟=αφx→÷∞,又“指數(shù)爆炸”，所以/(x)→+8,

所以/(%)=X+郎在(一8,)Q)上有1個零點，

綜上，當0<αv3時，函數(shù)/(%)有兩個不相等的零點%1，x2?

證明：3)由⑴有：當O<α<f寸，函數(shù)/Q)有兩個不相等的零點匕，%2,

,,

不妨設%ι<Ina<X2?構造函數(shù)F(%)=f(x)-f(2lna-%),則F'(%)=∕(x)+f(2lna—x),

因為f'(x)=l—a所以尸'出=1_5+1_-=2_備+》，

因為O<α<L所以巴+竺≥2叵三=2,當前僅當X=時取到等號，

eexayexa

所以F'(x)=2-(^+≤)≤0,所以F(X)=/(x)-f(2lna-%)在R上單調遞減，

又x?l>Ina,所以F(X2)<Fand)=f(Ina)—f(2lna—Ind)=0,

即F(X2)=/(&)-f(2lna-x2)<0,即/(小)<f(2lna-x2),又/"(不)=

所以J(XI)<f(2Znα—工2)，又無ι<lnα<%2,所以2∕nα—&<伍樂

由(1)有:函數(shù)/'(x)在(一8,mα)單調遞減，所以a?>21na-%2,

即巧+X2>2Ina,結論得證.

【解析】(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值；

(2)(i)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，再結合圖象與零點進行求解；(ii)利用構造對稱函數(shù)以

及導數(shù)進行證明.

本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，考查了函數(shù)的零點問題，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)因為S4={1,2,3,4,5,6,7,8},

對于集合&={3,4,5),

(a+b=3(α=2

令b+c=4,解得b=1,

c+α=5Ic=3

顯然1ES4,2eS4,3GS4

所以&是集合S4的“期待子集”；

對于集合&={357},

a1+b1=3

令瓦+J=5,則a[+b1+c1=γ,

,c1+α1=7

因為的,b1,CieS4,即由+瓦+q€N*,故矛盾，

所以4不是集合S4的“期待子集”；

(2)先證明必要性：

當集合4是集合SJl的“期待子集”時，

由橢圓，存在互不相同的α,b,CeSn,使得α+b,b+c,c+a&A,

不妨設α<b<c,令X=α+b,y=α+c,z=b+c,

則久<y<z,即條件P中的①成立；

又X+y-z=(α+b)+(c+α)-(b+c)=2α>0,

所以x+y>z,即條件P中的②成立；

因為久+y+z=(α+b)+(c+α)+(b+c)=2(α+b+c),

所以x+y+z為偶數(shù)，即條件P中的③