第32講 空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系（精講）【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第32講空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系（精講）題型目錄一覽①共面、共線、共點(diǎn)問題的證明②異面直線③平面的基本性質(zhì)④等角定理一、知識點(diǎn)梳理一、知識點(diǎn)梳理一、四個公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面．注意：（1）此公理是確定一個平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面；注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據(jù)（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．二、直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面圖形符號a∥b公共點(diǎn)個數(shù)100特征兩條相交直線確定一個平面兩條平行直線確定一個平面兩條異面直線不同在如何一個平面內(nèi)三、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）圖形符號∥公共點(diǎn)個數(shù)無數(shù)個10四、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直圖形符號∥，公共點(diǎn)個數(shù)0無數(shù)個公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上無數(shù)個公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上【常用結(jié)論】等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一共面、共線、共點(diǎn)問題的證明策略方法共面、共線、共點(diǎn)問題的證明【典例1】如圖，在長方體中，、分別是和的中點(diǎn)．(1)證明：、、、四點(diǎn)共面；(2)對角線與平面交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)共線；(3)證明：、、三線共點(diǎn)．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）證明，即可說明、、、四點(diǎn)共面.（2）先證明點(diǎn)面和面，即點(diǎn)在面與面的交線上在證明面面，即點(diǎn)，即可得到答案.（3）延長交于,由于面面，則在交線上.【詳解】（1）連接在長方體中、分別是和的中點(diǎn)、、、四點(diǎn)共面（2）確定一個平面面面對角線與平面交于點(diǎn)面在面與面的交線上面且面面面即點(diǎn)共線.（3）延長交于面面面面面面、、三線共點(diǎn).【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知空間四個點(diǎn)，則“這四個點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個點(diǎn)在同一平面內(nèi)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個平面，由此可驗(yàn)證充分性成立；“這四個點(diǎn)在同一平面內(nèi)”時，可能有“兩點(diǎn)分別在兩條相交或平行直線上”，從而必要性不成立．【詳解】“這四個點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”，則第四點(diǎn)不在共線三點(diǎn)所在的直線上，因?yàn)橐粭l直線和直線外一點(diǎn)確定一個平面，一定能推出“這四點(diǎn)在同一個平面內(nèi)”，從而充分性成立；“這四個點(diǎn)在同一平面內(nèi)”時，可能有“兩點(diǎn)分別在兩條相交或平行直線上”，不一定有三點(diǎn)在同一直線上，從而必要性不成立，所以“這四個點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個點(diǎn)在同一平面內(nèi)”的充分不必要條件.故選：A.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．異面C．平行 D．垂直【答案】A【分析】連接與交于點(diǎn)F，易得是平行四邊形，根據(jù)平面的基本性質(zhì)即可判斷直線與直線的位置關(guān)系.【詳解】如圖所示，連接與交于點(diǎn)F，由題意，易得四邊形是平行四邊形，在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是線段的中點(diǎn)，∴，又且共面，則直線與直線相交.故選：A.3．（2023·高三課時練習(xí)）在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，若EF∩GH＝P，則點(diǎn)P（

）A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上C．既在直線AC上也在直線BD上 D．既不在直線AC上也不在直線BD上【答案】B【分析】由題意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，則P∈AC，可得答案．【詳解】如圖，∵EF?平面ABC，GH?平面ACD，EF∩GH＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，即點(diǎn)P一定在直線AC上．故選：B．4．（2023·吉林·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測）在長方體中，直線與平面的交點(diǎn)為為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．三點(diǎn)共線 B．四點(diǎn)異不共面C．四點(diǎn)共面 D．四點(diǎn)共面【答案】C【分析】由長方體性質(zhì)易知四點(diǎn)共面且是異面直線,再根據(jù)與、面、面的位置關(guān)系知在面與面的交線上,同理判斷,即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)?則四點(diǎn)共面.因?yàn)?則平面,又平面,則點(diǎn)在平面與平面的交線上,同理,也在平面與平面的交線上,所以三點(diǎn)共線;從而四點(diǎn)共面,都在平面內(nèi)，而點(diǎn)B不在平面內(nèi)，所以四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)B正確；三點(diǎn)均在平面內(nèi)，而點(diǎn)A不在平面內(nèi)，所以直線AO與平面相交且點(diǎn)O是交點(diǎn)，所以點(diǎn)M不在平面內(nèi)，即四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)C錯誤；，且，所以為平行四邊形，所以共面，所以四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)D正確.故選:C.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下面幾個命題：①兩兩相交的三條直線共面；②如果兩個平面有公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)有無數(shù)個；③一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；④順次連接空間四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形．其中正確命題的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．1個【答案】B【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系可直接判斷各命題．【詳解】命題①：三條直線兩兩相交，若三條直線相交于一點(diǎn)，則無法確定一個平面，故①錯誤；命題②：如果兩個平面有公共點(diǎn)，若兩平面重合，則公共點(diǎn)有無數(shù)個，若兩平面不重合，則有且僅有一條過該公共點(diǎn)的公共直線，則公共點(diǎn)有無數(shù)個，故②正確；命題③：不妨設(shè)，，，則、唯一確定一個平面，所以，，所以，又，，所以，故一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面，即③正確；命題④：空間四邊形中，連接，可得一個三棱錐，將四個中點(diǎn)連接，得到四邊形，由中位線的性質(zhì)知，，，∴四邊形是平行四邊形，故順次連接空間四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形，即④正確．故選：B6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，、、、分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖形中、、、四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對于B，證明即可；而對于BCD，首先通過輔助線找到其中三點(diǎn)所在的平面，然后說明另外一點(diǎn)不在該平面中即可.【詳解】對于選項(xiàng)，如下圖，點(diǎn)、、、確定一個平面，該平面與底面交于，而點(diǎn)不在平面上，故、、、四點(diǎn)不共面；對于選項(xiàng)，連結(jié)底面對角線，由中位線定理得，又，則，故、、、四點(diǎn)共面對于選項(xiàng)C，顯然、、所確定的平面為正方體的底面，而點(diǎn)不在該平面內(nèi)，故、、、四點(diǎn)不共面；對于選項(xiàng)D，如圖，取部分棱的中點(diǎn)，順次連接，得一個正六邊形，即點(diǎn)、、確定的平面，該平面與正方體正面的交線為，而點(diǎn)不在直線上，故、、、四點(diǎn)不共面．故選：B7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且，則下列說法正確的是（）①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；②EF與GH異面；③EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；④EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】利用三角形中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平面基本事實(shí)推理，再逐一判斷各個命題作答.【詳解】在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，則，且，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且，則，且，因此，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，①正確，②錯誤；因，，即四邊形是梯形，則EF與GH必相交，令交點(diǎn)為M，點(diǎn)M在EF上，而EF在平面ACB上，則點(diǎn)M在平面ACB上，同理點(diǎn)M在平面ACD上，則點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的公共點(diǎn)，而AC是平面ACB與平面ACD的交線，所以點(diǎn)M一定在直線AC上，④正確，③錯誤，所以說法正確的命題序號是①④．故選：B8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知分別是正方體所在棱的中點(diǎn)，則下列直線中與直線相交的是（

）．A．直線 B．直線C．直線 D．直線．【答案】A【分析】通過空間想象直接可得.【詳解】如圖，易知，所以，且，所以為梯形，故與EF相交，A正確；因?yàn)?，所以，故B錯誤；因?yàn)槠矫鍯DH平面EFNL，平面CDH，平面EFNL，所以直線CD與直線EF無公共點(diǎn)，故C錯誤；因?yàn)槠矫鍭DF，平面，故AD與EF異面，D錯誤.故選：A二、多選題9．（2023春·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，為的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，，三點(diǎn)共線 B．，，，四點(diǎn)共面C．，，，四點(diǎn)共面 D．，，，四點(diǎn)共面【答案】ABC【分析】根據(jù)點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、線與面的位置關(guān)系判斷即可；【詳解】解：在正方體中，為的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，在選項(xiàng)中，直線交平面于點(diǎn)，平面，直線，又平面，平面，為的中點(diǎn)，平面，底面為正方形，所以為的中點(diǎn)，平面，且平面，又平面，且平面，，，三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)正確；在選項(xiàng)中，，，三點(diǎn)共線，，，，四點(diǎn)共面，故正確；在選項(xiàng)中，，，三點(diǎn)共線，，，，四點(diǎn)共面，故正確；在選項(xiàng)中，直線，，，，，四點(diǎn)不共面，故錯誤．故選：．10．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測）在正方體中，分別為棱，，上的一點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，是棱上的動點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)時，平面B．當(dāng)時，平面C．當(dāng)時，存在點(diǎn)，使四點(diǎn)共面D．當(dāng)時，存在點(diǎn)，使，，三條直線交于同一點(diǎn)【答案】BCD【分析】利用圖形，根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系逐一對各項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對于A，當(dāng)時，如圖1，在取點(diǎn)，使,取中點(diǎn),易知，平面，故平面，所以選項(xiàng)A錯誤；對于B，如圖2，當(dāng)時，分別為，，的中點(diǎn)，連接，，，，易知四邊形與均為平行四邊形，則，，所以，則A，F(xiàn)，E，C四點(diǎn)共面，平面，所以選項(xiàng)B正確；對于C，如圖3，延長與的延長線交于點(diǎn)M，連接與的交點(diǎn)即為點(diǎn)I，則A，F(xiàn)，H，I四點(diǎn)共面，所以選項(xiàng)C正確；對于D，如圖4，連接并延長與的延長線交于點(diǎn)N，連接與的交點(diǎn)即為點(diǎn)I，則存在點(diǎn)I，使，，三條直線交于同一點(diǎn)N，所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三、填空題11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體中，O是中點(diǎn)，與截面交于P，那么、P、O三點(diǎn)共線，其理由是．

【答案】、P、O是平面和平面的公共點(diǎn)，所以它們共平面與平面的交線【分析】確定、、平面，、、平面，得到結(jié)論.【詳解】O是中點(diǎn)，則O是中點(diǎn)，故平面，與截面交于P，故，故平面，又平面，故、、平面，又、、平面，故、、在平面和平面的交線上.故答案為：、P、O是平面和平面的公共點(diǎn)，所以它們共平面與平面的交線.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，A、B、C、D分別是頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)共面的圖形（填上所有正確答案的序號）．【答案】①③④【分析】四點(diǎn)共面主要通過證明兩線平行說明，本題利用中位線、平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行線的傳遞性進(jìn)行說明，證明平行時絕不能憑直觀感覺或無理論依據(jù)．圖①：證明AB∥EF，CD∥EF，可得AB∥CD；圖③：證明BD∥EF，AC∥EF，可得BD∥AC；圖④：證明GH∥EF，AC∥EF，BD∥GH，可得BD∥AC．【詳解】圖①：取GD的中點(diǎn)F，連結(jié)BF、EF，∵B、F均為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，則：∥又∵∥，則∥即ABFE為平行四邊形∴AB∥EF同理:CD∥EF則AB∥CD即A、B、C、D四點(diǎn)共面，圖①正確；圖②：顯然AB與CD異面，圖②不正確；圖③：連結(jié)AC,BD,EF,∵BE∥DF即BDFE為平行四邊形∴BD∥EF又∵A、C分別為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，則AC∥EF∴BD∥AC即A、B、C、D四點(diǎn)共面，圖③正確；圖④：連結(jié)AC,BD,EF,GH,∵GE∥HF即GEFH為平行四邊形，則GH∥EF又∵A、C分別為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，則AC∥EF同理：BD∥GH∴BD∥AC即A、B、C、D四點(diǎn)共面，圖④正確．故答案為：①③④．13．（2023春·河南許昌·高三鄢陵一中校考階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面ABCD為平行四邊形，M是棱上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，平面AMN交于點(diǎn)H，則，.【答案】【分析】將四棱錐補(bǔ)為三棱柱，由求解.【詳解】解：如圖所示：補(bǔ)全四棱錐為三棱柱，作，且，因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以，則，且，所以四邊形和四邊形都是平行四邊形，因?yàn)镹為中點(diǎn)，則延長AN必過點(diǎn)E，所以A，N，E，H，M在同一平面內(nèi)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)镸是棱上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，所以，則，故答案為：14．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，在直四棱柱中，，，，P為棱上一點(diǎn)，且（為常數(shù)），直線與平面相交于點(diǎn)Q．則線段的長為．【答案】【分析】根據(jù)題意作輔助線，根據(jù)平行關(guān)系可得，取，根據(jù)平行關(guān)系可得//，進(jìn)而可知點(diǎn)即為直線與平面的交點(diǎn)，即可得結(jié)果.【詳解】∵，所以，分別過作，垂足分別為，分別過作，垂足分別為，可得均為平行四邊形，則，過點(diǎn)作//，交直線于點(diǎn)，則，可得，即，在上取點(diǎn)，使得，∵//，//，則//，可知：//，，即為平行四邊形，∴//，，又∵為平行四邊形，則//，，可得//，，故為平行四邊形，則//，又∵//，則//，即四點(diǎn)共面，故點(diǎn)即為直線與平面的交點(diǎn)，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理截面問題時，常常轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系問題，根據(jù)線、面平行關(guān)系的判定定理以及性質(zhì)定理分析判斷.題型二異面直線策略方法1．平移法求異面直線所成角的一般步驟2．坐標(biāo)法求異面直線所成的角當(dāng)題設(shè)中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系或比較容易建立空間直角坐標(biāo)系時，常采用坐標(biāo)法．注：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．【典例1】如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用線線平行，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，在三角形中求解即可.【詳解】如圖，連接，，則,

，分別是，的中點(diǎn)，，是異面直線與所成的角，且是等邊三角形，.故選：.【典例2】在直三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理的逆定理及直棱柱的定義，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線與的方向向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量夾角與線線角的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)樗裕?又因?yàn)閭?cè)棱與底面垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

易得，所以,設(shè)異面直線與所成角為，則所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┰谌忮F中，兩兩垂直，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將三棱錐放在一個長方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量，代入夾角公式即可求解.【詳解】依題意，把三棱錐放在長方體中，如圖所示：因?yàn)?，以為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則有：，，，，所以，，所以.故選：D.2．（2023春·河南·高三階段練習(xí)）如圖，在四棱臺中，正方形和的中心分別為和平面，則直線與直線所成角的正切值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作出直線與直線所成角，解直角三角形求得其正切值.【詳解】連接，作，垂足為即直線與直線所成的角..

故選：B3．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】在直三棱柱中，，所以，即，又平面，平面，所以，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，所以，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：B4．（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長均相等，E是PB的中點(diǎn)，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接與交于點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得向量和的坐標(biāo)，結(jié)合向量的夾角公式，即可得解.【詳解】連接與交于點(diǎn)，連接，由題意得，，且平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)四棱錐各棱長均為2，則，，可得，則，設(shè)異面直線與所成角為，則．故選：A．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐中，平面ABC，，，，，D為PB的中點(diǎn)，則異面直線AD與PC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取BC的中點(diǎn)E，則，或其補(bǔ)角即為異面直線AD與PC所成的角，求出所需邊長，利用余弦定理求即可.【詳解】如圖所示，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，

則，或其補(bǔ)角即為異面直線AD與PC所成的角．由，，，則有，所以，E為BC的中點(diǎn)，則，平面ABC，中，，∴中，，∴，在中，根據(jù)余弦定理可得．所以異面直線AD與PC所成角的余弦值為.故選：D6．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，則可得為異面直線與所成的角或補(bǔ)角，然后在中求解即可.【詳解】設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，則因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以∥，，因?yàn)椤危?，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，所以為異面直線與所成的角或補(bǔ)角.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以.故選：D

7．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）如圖，在棱長為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得，再利用向量的夾角公式求解.【詳解】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：，則，，，故選：C8．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在長方體中，，，，則與所成角的余弦值是（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得和，利用空間向量法求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由題意可得，，，，所以，，所以，所以與所成角的余弦值為，故選：A9．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測）鐘鼓樓是中國傳統(tǒng)建筑之一，屬于鐘樓和鼓樓的合稱，是主要用于報時的建筑.中國古代一般建于城市的中心地帶，在現(xiàn)代城市中，也可以常?？匆姼接戌姌堑慕ㄖ?如圖，在某市一建筑物樓頂有一頂部逐級收攏的四面鐘樓，四個大鐘對稱分布在四棱柱的四個側(cè)面（四棱柱看成正四棱柱，鐘面圓心在棱柱側(cè)面中心上），在整點(diǎn)時刻（在0點(diǎn)至12點(diǎn)中取整數(shù)點(diǎn)，含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），已知在3點(diǎn)時和9點(diǎn)時，相鄰兩鐘面上的時針?biāo)诘膬蓷l直線相互垂直，則在2點(diǎn)時和8點(diǎn)時，相鄰兩鐘面上的時針?biāo)诘膬蓷l直線所成的角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】在正四棱柱中，以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式可求出結(jié)果.【詳解】如圖，在正四棱柱中，分別為側(cè)面和側(cè)面的中心，為的中點(diǎn)，為點(diǎn)鐘時針，為點(diǎn)鐘時針，則，，設(shè)正四棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以.所以在2點(diǎn)時和8點(diǎn)時，相鄰兩鐘面上的時針?biāo)诘膬蓷l直線所成的角的余弦值為.

故選：B10．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長CB至F，使得，可得四邊形BEDF是平行四邊形，，則為異面直線AD與BE所成的角或補(bǔ)角，設(shè)，取的中點(diǎn)，求出、、，利用余弦定理求得，可得答案．【詳解】D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，所以，，如圖，延長CB至F，使得，連接DE，DF，AF，，因?yàn)?，所以，，所以四邊形BEDF是平行四邊形，，則為異面直線AD與BE所成的角或補(bǔ)角．設(shè)，取的中點(diǎn)，連接、，則，，，，，，由余弦定理得，由余弦定理得．所以直線AD與BE所成角的余弦值為故選：C.

11．（2023秋·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將該幾何體補(bǔ)成一個直四棱柱，連接，則（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，將該幾何體補(bǔ)成一個直四棱柱，由題易得底面為菱形，且為等邊三角形.連接，易得，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角.設(shè)1，則，所以.故選：D.二、填空題12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，與交于點(diǎn)，則直線與直線的夾角為.【答案】【分析】通過平移，轉(zhuǎn)化所求線線角為，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：如圖所示，連接,又因?yàn)樗灾本€與直線的夾角即為,又為等邊三角形，O為AC中點(diǎn)，所以平分角，所以.故答案為：.13．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？寄M預(yù)測）在正四棱柱中，底面邊長為1，高為3，則異面直線與AD所成角的余弦值是.【答案】【分析】連接，即為異面直線與AD所成的角，解三角形即可．【詳解】，即為異面直線與AD所成的角，

連接，在中，正四棱柱的底面邊長為1，高為3，，，，∴，，.故異面直線與AD所成角的余弦值是．故答案為：．14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，D，E，F(xiàn)分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是.【答案】【分析】通過構(gòu)造平行線將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交線的夾角，解三角形即可.【詳解】如圖，在棱上取一點(diǎn)，使得，取的中點(diǎn)，連接，，，由于，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，，故四邊形為平行四邊形，進(jìn)而，又因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，所以，則或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角.設(shè)，則，，.從而，，，，故，故異面直線與所成角的余弦值是.故答案為：.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，，，D、E分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為.【答案】【分析】根據(jù)題意以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，得到，的坐標(biāo)，利用空間向量求夾角即可.【詳解】由題意可知兩兩垂直，故以C點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，所以異面直線與所成的角的余弦值為.故答案為：16．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在直四棱柱中，底面四邊形ABCD是菱形，，，E是棱的中點(diǎn)，O為底面菱形ABCD的中心，則異面直線EO和AD所成角的余弦值為．【答案】【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】如圖，連接AC，A1C，D1C，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，E是棱AA1的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋曰蚱溲a(bǔ)角為異面直線EO與AD所成的角，不妨設(shè)AD=1，則，，在中，由余弦定理得，因?yàn)闉橹彼睦庵瑒t平面ABCD，且AC，平面ABCD，所以，，因?yàn)椋?，則，，在中，由余弦定理，所以異面直線EO和AD所成角的余弦值為.故答案為：．17．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體的體積為，則異面直線AD與BC所成的角的大小為．【答案】或【分析】將四面體放入長方體中，根據(jù)體積公式計(jì)算得到，建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：將四面體放入長方體中，，解得，故，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，或，或，，異面直線AD與BC所成的角的大小為，，，；或，；綜上所述：異面直線AD與BC所成的角的大小為或.故答案為：或題型三平面的基本性質(zhì)【典例1】下列命題不正確的個數(shù)是（

）①三點(diǎn)確定一個平面；②圓心和圓上兩個點(diǎn)確定一個平面；③如果兩個平面相交有一個交點(diǎn)，則必有無數(shù)個公共點(diǎn)；④如果兩條直線沒有交點(diǎn)，則這兩條直線平行．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由公理2可判斷命題①，②；由公理3可判斷命題③；如果兩條直線沒有交點(diǎn)，則這兩條直線平行或異面可判斷命題④.【詳解】對于①，當(dāng)三點(diǎn)共線時，確定的平面有無數(shù)個，故錯誤；對于②，當(dāng)圓心和圓上的兩點(diǎn)滿足三點(diǎn)共線時，確定的平面有無數(shù)個，故錯誤；對于③，如果兩個平面相交有一個交點(diǎn)，則必有經(jīng)過該點(diǎn)的一條直線，該直線為交線，故正確；對于選項(xiàng)④，如果兩條直線沒有交點(diǎn)，則這兩條直線平行也可能是異面直線，故錯誤，所以不正確的命題有3個.故選：C.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線l和平面，若，，則過點(diǎn)P且平行于l的直線（

）．A．只有一條，不在平面內(nèi) B．只有一條，且在平面內(nèi)C．有無數(shù)條，一定在平面內(nèi) D．有無數(shù)條，不一定在平面內(nèi)【答案】B【分析】過直線外一點(diǎn)作該直線的平行線有且只有一條，即可得到答案.【詳解】過直線外一點(diǎn)作該直線的平行線有且只有一條，因?yàn)辄c(diǎn)P在平面內(nèi)，所以這條直線也應(yīng)該在平面內(nèi).故選：B.2．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在空間四邊形中，在上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果交于一點(diǎn)P，則（

）A．P一定在直線上B．P一定在直線上C．P在直線或上D．P既不在直線上，也不在直線上【答案】B【分析】由題設(shè)知面，結(jié)合已知條件有面、面，進(jìn)而可判斷P所在的位置.【詳解】由題意知：面，又交于一點(diǎn)P，∴面，同理，面，又面面，由公理3知：點(diǎn)P一定在直線上.故選：B.3．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知，，是三條不同的直線，，是兩個不同的平面，，，，則“，相交“是“，相交”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：①若，相交，，，則其交點(diǎn)在交線上，故，相交，②若，相交，可能，為相交直線或異面直線．綜上所述：，相交是，相交的充分不必要條件．故選：C．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若平面，直線，點(diǎn)，則在內(nèi)過點(diǎn)的所有直線中（

）．A．存在唯一一條與平行的直線B．只有兩條與平行的直線C．不一定存在與平行的直線D．存在無數(shù)條與平行的直線【答案】C【分析】討論、、三種情況下，在內(nèi)過點(diǎn)是否存在直線與平行即可知正確選項(xiàng).【詳解】平面，直線，點(diǎn)，1、當(dāng)時，在內(nèi)過點(diǎn)有且僅有一條直線與平行；2、當(dāng)時，在內(nèi)過點(diǎn)有且僅有一條直線與平行；3、當(dāng)時，在內(nèi)過點(diǎn)不存在直線與平行；故選：C5．（2023·上海黃浦·上海市大同中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則在平面內(nèi)與平面平行的直線

A．不存在 B．有1條 C．有2條 D．有無數(shù)條【答案】D【解析】根據(jù)已知可得平面與平面相交，兩平面必有唯一的交線，則在平面內(nèi)與交線平行的直線都與平面平行，即可得出結(jié)論.【詳解】平面與平面有公共點(diǎn)，由公理3知平面與平面必有過的交線，在平面內(nèi)與平行的直線有無數(shù)條，且它們都不在平面內(nèi)，由線面平行的判定定理可知它們都與平面平行.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面的基本性質(zhì)、線面平行的判定，熟練掌握公理、定理是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6．（2023春·廣西柳州·高三柳州市第三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）下列命題正確的是A．若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B．若一個平面內(nèi)有三個點(diǎn)到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C．若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D．若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行【答案】C【詳解】若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯；一個平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行，故B錯；若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯；故選項(xiàng)C正確.[點(diǎn)評]本題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì)，需要熟練掌握課本基礎(chǔ)知識的定義、定理及公式.二、填空題7．（2023·高三課時練習(xí)）已知是不共面的四個點(diǎn)，且這四個點(diǎn)到平面的距離都相等，則這樣的平面有個．【答案】【分析】分別考慮三點(diǎn)在平面同側(cè)，另一點(diǎn)在平面另一側(cè)和兩點(diǎn)在平面同側(cè)，另兩點(diǎn)在平面另一側(cè)的情況即可.【詳解】當(dāng)三點(diǎn)在平面同側(cè)，位于平面另一側(cè)時，只需三點(diǎn)確定的平面到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，則此時的平面符合題意；即當(dāng)中的三個點(diǎn)在平面同側(cè)，另一個點(diǎn)在平面另一側(cè)時，這樣的情況有種，則滿足題意的有個；當(dāng)位于平面同側(cè)，位于平面另一側(cè)時，只需直線與直線到平面的距離相等，則此時的平面符合題意；則當(dāng)中的兩個點(diǎn)在平面同側(cè)，另兩個點(diǎn)在平面另一側(cè)時，這樣的情況有種，則滿足題意的有個；綜上所述：這樣的平面有個.故答案為：.8．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，過的平面交于G，則截面的面積為．【答案】【分析】作出圖形，根據(jù)線線平行得平行四邊形，進(jìn)而確定出截面為平行四邊形，進(jìn)而求出面積，【詳解】取上靠近點(diǎn)的一個四等分點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋郧?，則四邊形為平行四邊形，所以且，過點(diǎn)作，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，則且，所以且，則截面為平行四邊形，由直四棱柱的性質(zhì)可得，，，，在△中，由余弦定理得，，所以，則截面的面積為；故答案為：6

題型四等角定理策略方法空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．【典例1】已知，則等于A． B．或 C． D．以上答案都不對【答案】B【詳解】∠ABC的兩邊與∠PQR的兩邊分別平行，但方向不能確定是否相同.∴∠PQR＝30°或150°，故選B.考點(diǎn)：等角定理.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．如圖，在四面體ABCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中點(diǎn)，則下列說法中不正確的是（

）

A．M，N，P，Q四點(diǎn)共面 B．C． D．四邊形MNPQ為梯形【答案】D【分析】由基本事實(shí)4即可判斷A，由等角定理即可判斷BC，由三角形的中位線即可判斷D.【詳解】對于A選項(xiàng)，由條件可得，，所以，所以M，N，P，Q四點(diǎn)共面，故A正確；對于B選項(xiàng)，根據(jù)等角定理，得，故B正確；對于C選項(xiàng)，由等角定理，知，，所以，故C正確；對于D選項(xiàng)，由三角形中位線的性質(zhì)知，，，，所以，所以四邊形MNPQ為平行四邊形，故D不正確．故選：D．2．兩等角的一組對應(yīng)邊平行，則（

）A．另一組對應(yīng)邊平行 B．另一組對應(yīng)邊不平行C．另一組對應(yīng)邊垂直 D．以上都不對【答案】D【分析】根據(jù)空間圖形的平行關(guān)系求解即可.【詳解】兩個等角的一組對應(yīng)邊平行，另一組邊可以具有各種位置關(guān)系，并不能確定是哪一種關(guān)系，故選：D3．已知，是兩條不同的直線，是平面，且，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)線面平行、線線平行、線面垂直、線線垂直的條件逐一判斷即可．【詳解】解：依題意，若，則可能，∴A錯誤；若，則與可能相交、異面、平行，∴B錯誤；若，則可能，，與相交，∴C錯誤；由于，∴平面內(nèi)存在直線，滿足，若，則，則，∴D正確．故選：D．4．若，且與的方向相同，則與（

）A．一定平行且方向相同 B．一定平行且方向相反C．一定不平行 D．不一定平行【答案】D【分析】畫出圖形，當(dāng)滿足題目中的條件時，根據(jù)出現(xiàn)的情況可得出結(jié)論．【詳解】如圖，若，且與的方向相同，與不一定平行．故選：D．5．給出下列命