小升初數(shù)學銜接講義 第10講等式的性質（解析版）

第十講等式的性質

【課程解讀】

-------小學初中課程解讀

小學課程初中課程

小學數(shù)學中，了解等式的性

質，能用等式的性質解簡單初中數(shù)學中，掌握等式的基本性質。

的方程。

【知識銜接】

--------小學知識回顧--------

等式的性質1:等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結果仍相等.

如果a=b,那么a±c=b±c.

等式的性質2:等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為O的數(shù)，結果仍相等.

如果a=b,那么ac=bc,如果a=b(c≠O),那么@=2

cc

------初中知識鏈接------

1.方程的定義

(1)方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫方程.

方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點①等式；②含有未知數(shù).

(2)列方程的步驟：

①設出字母所表示的未知數(shù)；

②找出問題中的相等關系；

③列出含有未知數(shù)的等式-一方程.

2.方程的解

(1)方程的解：解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解.

注意：方程的解和解方程是兩個不同的概念，方程的解是指使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，具有名詞性.而

解方程是求方程解的過程，具有動詞性.

（2）規(guī)律方法總結：

無論是給出方程的解求其中字母系數(shù)，還有判斷某數(shù)是否為方程的解，這兩個方向的問題，一般都采用代

入計算是方法.

3.一元一次方程的定義

（1）一元一次方程的定義

只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1,這樣的方程叫一元一次方程.

通常形式是ax+b=O（a,b為常數(shù)，且a≠0）.一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式.一元指

方程僅含有一個未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1,且未知數(shù)的系數(shù)不為0?我們將ax+b=O（其中X是未知

數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a≠0）叫一元一次方程的標準形式.這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，X的次數(shù)

必須是1.

（2）一元一次方程定義的應用（如是否是一元一次方程，從而確定一些待定字母的值）

這類題目要嚴格按照定義中的幾個關鍵詞去分析，考慮問題需準確，全面.求方程中字母系數(shù)的值一般采

用把方程的解代入計算的方法.

4.等式的性質

（1）等式的性質

性質1、等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結果仍得等式；

性質2、等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結果仍得等式.

（2）利用等式的性質解方程

利用等式的性質對方程進行變形，使方程的形式向x=a的形式轉化.

應用時要注意把握兩關：

【經典題型】

小學經典題型

1.（2020?江蘇省五年級單元測試）用等式表示天平平衡，正確的是（）

A.x+10=30B.X-10=30C.x=30

【答案】A

【解析】天平平衡表示天平兩邊重量相等，根據(jù)圖片，圖片左邊為x+10,右邊為20+10,所以答案為A

2.(2020.江蘇省五年級)等式兩邊都除以()數(shù)，所得的結果仍然是等式。

A.任何B.同一個C.同一個不為。的

【答案】C

【解析】

除數(shù)不能為0,所以等式兩邊都除以同一個不為0的數(shù)，所得的結果仍然是等式。

故答案為：C

3.(2020?江蘇省五年級單元測試)甲袋有a千克大米，乙袋有b千克大米。如果從甲袋倒出8千克大米裝

入乙袋，那么兩袋大米同樣重。下面()不符合題意。

A.a—b=8B.a—8=b÷8C.a—b=8×2

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，可列式：a-8=b+8

等式兩邊同時加8,再減去b,得：a-b=8×2

所以選項B、C符合題意，A不符合題意。

故答案為：A

4.(2020?江蘇省五年級)根據(jù)等式的性質在橫線上填上合適的運算符號，在()里填上合適的數(shù)。

(1)如果x+4=17,那么x+4—4=17—()。

(2)如果3x=l2,那么3x+3=12()

(3)如果15—X=12,那么15—x÷x=12()。

【答案】4+3+X

【解析】

(1)如果x+4=17,那么x+4-4=17-40

(2)如果3x=12,那么3x+3=12+3°

(3)如果15—X=12,那么15—x+x=12+x0

故答案為：4；+；3；+；X

5.(2020?江蘇省五年級)解1.7x=8.5時，給方程的兩邊同時(),得出X=()。

【答案】除以1.75

【解析】解1.7x=8.5時，給方程的兩邊同時除以1.7,得出x=5。

故答案為：除以1.7；5

初中經典題型

1.下列說法正確的是（）

A.如果“=6,那么α+3=b-3

B.如果α=b,那么34-l=2b-l

cib

C.如果。=6,那么一=一

cc

D.如果a=b,那么ac=bc

【答案】D

【解析】解：A、如果a=b,那么a+3=b+3,該選項錯誤；

B、如果a=b,那么那么3。一1=3/7—1,該選項錯誤；

C、因為C不知道是否為零，該選項錯誤；

D、如果a=b,那么ac=bc,該選項正確；

故選D.

2.已知〃=2b-l,下列式子：Φ∏+2=2?+l;②"S=b；?3a=6b-1；④a-2b-1=0,其中一定成立

2

的有（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】A

【解析】解：①:α=2b-1,.?.α+2=2Z?-1+2,即〃+2=26+1,故此小題正確;

②?.Z=2〃-1,.?.α+l=2Z?,.?.〃+1=人,故此小題正確；

2

③?.?∕=2b-L.?.30=6b-3,故此小題錯誤；

（3）Vαr=2?-1,.?a-2?+l=0,故此小題錯誤.

所以①②成立.

故選：A.

3.己知6=故，下列結論錯誤的是（）

,,axay

A.x=yB.b+ax=b+ayC.ax-x=ay-xD.—=—

ππ

【答案】A

【解析】解：A、根據(jù)等式的性質2,ax=ay兩邊同時除以a（a≠0）,得x=y,當a=0時，X不一定等于y,

故本選項符合題意；

B、根據(jù)等式的性質1,ax=ay兩邊同時加b,得b+ax=b+ay,故本選項正確，不合題意;

C、根據(jù)等式的性質1,由ax=ay可得ax-x=ay?x,故本選項正確，不合題意；

D、先根據(jù)等式的性質2,ax=ay兩邊同時乘以兀，得到，故本選項正確，不合題意.

故選：A.

4.要將等式一LX=I進行一次變形，得到X=-2,下列做法正確的是（）

2

3

A.等式兩邊同時加一XB.等式兩邊同時乘以2

2

C.等式兩邊同時除以-2D.等式兩邊同時乘以-2

【答案】D

【解析】解：若將等式-,x=l系數(shù)化為1,即將等式兩邊同時除以-,或者乘以-2,得到x=-2,

22

故選D.

5.下列方程的變形中，正確的是（）

B.由5九=一得X=*

A.若4x-l=3x+l,則X=0

33

C.若5x+2=6x,則％=2D.由7x=x+8得X=I

【答案】C

【解析】解：A、4x-l=3x+l,移項后再合并同類項得到結果x=2,故本選項錯誤;

B、5x=-,系數(shù)化為1可得結果X=―,故本選項錯誤;

315

C、5x+2=6x,移項后再合并同類項得到結果x=2,故本選項正確；

4

D、7x=x+8,移項后再合并同類項得到結果犬=一,故本選項錯誤;

3

6.運用等式的性質變形，正確的是（

A.如果α=b,那么a+c=〃一cB.如果那么。=匕

CC

∩h

C.如果α=b,那么一=一D.如果α=3那么片=34

cc

【答案】B

【解析】如果。=從那么a+c=Z?+c,故A錯誤;

如果色=2,那么α=6,故B正確；

CC

如果α=b,那么@=2（c≠0）,故C錯誤；

cc

如果α=3那么∕=34,故D錯誤.

故選：B

7.下列四組變形中，變形正確的是（）

A.由5x+7=0得5x=-7B.由2x-3=0得2x-3+3=0

XJ

C.由一=2得X=-D.由5x=7得x=35

63

【答案】A

【解析】根據(jù)移項法則，移項要變號，可知A正確；根據(jù)等式的基本性質，等式兩邊同加上同一個數(shù)，等

式仍然成立，故B不正確；根據(jù)根據(jù)等式的基本性質，等式的兩邊同乘以同一個數(shù)，等式的值不變，故C

不正確；根據(jù)等式的基本性質，等式的兩邊同時除以同一個不為零的數(shù)，等式仍然成立，故D不正確.

故選A

8.下列等式變形錯誤的是（）

b

A.若a=b,則----7B.若a=b,則3a=3h

l+x2l+x2

D.若a=b,則0=2

C.若a=b,則OX=Zzx

mm

【答案】D

【解析】

∩h

A.若a=b,丁1+爐wo,二?；---7=1-----j?正確，該選項不符合題意;

1+x1+x

B.若a=b,則3α=3∕?正確，該選項不符合題意；

C.若a=b,則Or=Zzr正確，該選項不符合題意；

∩b

D.若a=b,當〃2≠O時，則一=一,錯誤，該選項符合題意.

mm

故選：D

9.把方程2x+y=8改寫成用含R的式子表示y的形式為（）

8—V

A.y=8+2xB.?=8-2ΛC.2x=8-yD.X=、

【答案】B

【解析】

2x+y=8將2x移項得：y=8-2x

故答案選：B

10.下列說法錯誤的是（）

A.若a=b,則a-2=Z?-2B.若αc=0c,則α=b

∩h

C.若a=b,則—3α=-3bD.若一=—,則α=b

22

【答案】B

【解析】A.若a=b,將等式的兩邊同時減去2,則a—2=〃—2,故本選項正確；

B.若ac=bc,當C=O時，等式的兩邊不能同時除以c,不能得到a=b,故本選項錯誤;

C.若a=b,將等式的兩邊同時乘（-3）,則-3a=-3b,故本選項正確；

ah

D.若一=—,將等式的兩邊同時乘2,則a=h,故本選項正確.

22

故選B.

11.將方程3x-2y=7變形成用X的代數(shù)式表示

3r-7

【答案】

【解析】3x-2y=7,

-2y=-3x+7,

3x-7

y=2

3x-7

故答案為：y=±L.

XXIOxIOx

12.方程大可變形為工一?二一

0.30.535

【答案】1

【解析】

IOxIOx

方程左側每一項分子分母同時乘以10得:------------=1

35

4a-b3r.lla

13.右—；—=-，W1J—=.

b5h

Q

【答案】-

【解析】解：?.?j=3,

b5

a-b+1=∣+1,

b

a-b〃35

----+-=-+

bb55

?2=反

a5

Q

故答案為：—?

14.利用等式的性質解下列方程，并寫出檢驗過程：

13C

(1)——X=——x+2；

22

(2)2x+l=7.

【答案】(I)X=2；(2)χ=3?

3

【解析】解：(1)兩邊同加一X得：x=2.

2

檢驗：當x=2時，

左邊=—1,右邊=—1,

左=右，

.?.X=2是方程的解；

(2)兩邊都減去1,得2x=6,

兩邊都除以2,得X=3.

檢驗：當x=3時，左邊=7=右邊，

.?.x=3是方程的解.

15.利用等式的性質解方程解一元一次方程：2—《x=3

4

【答案】x=-4

【解析】2-\=3,

4

等式兩邊同減2,得：一Lχ=l,

4

等式兩邊給同乘以-4,得：x=-4.

16.老師在黑板上寫了一個等式：(α+3)x=4(α+3).王聰說x=4,劉敏說不一定，當中4時，這個等式也

可能成立.你同意誰的觀點？請用等式的基本性質說明理由.

【答案】同意劉敏的觀點，理由詳見解析.

【解析】

解：同意劉敏的觀點，理由如下:

當a+3=0時，X為任意實數(shù)；

當α+3∕0時，等式兩邊同時除以3+3),得x=4.

17.不論X取何值，等式2or+b=4χ-3總成立，求4+6的值.

【答案】-1.

【解析】解：Y不論X取何值，等式20x+6=4χ-3總成立，

二當X=O時，6=—3；當X=I時，α=2,

即α=2,h——3,.?a+Z>=2+(-3)=—1.

18.若4m+2n=m+5n,你能根據(jù)等式的性質比較m與n的大小嗎？

【答案】m=n

【解析】

解：兩邊同時減去m,得3m+2n=5n.兩邊同時減去2n,得3m=3n.兩邊同時除以3,得m=n

19.在解方程3x—3=2x—3時，小華同學是這樣解的：

方程兩邊同加上3,得3x—3+3=2χ-3+3.(1)

于是3x=2x.

方程兩邊同除以X,得3=2.(2)

所以此方程無解.

小華同學的解題過程是否正確？如果正確，請指出每一步的理由；如果不正確，請指出錯在哪里，并加以

改正.

【答案】小華同學的解題過程有錯誤.

【解析】

解：小華同學的解題過程有錯誤.第(1)步是正確的，他是根據(jù)等式的性質1進行變形的；第(2)步是錯誤的，

應改為：方程兩邊同減去2x,得3x—2x=0,于是x=0

【實戰(zhàn)演練】

--------先作小學題——夯實基礎--------

1.(2020?江蘇省五年級單元測試)下面式子

①6-χ=4;②46-7=39；③60+23>70；④9+x；

⑤50+2=25；⑥x+4<14;⑦y-28=35;⑧5y=400

其中等式有(),方程有()?

【答案】①；②；⑤；⑦；⑧①；⑦；⑧

【解析】根據(jù)定義可知①；②；⑤；⑦；⑧是等式；①；⑦；⑧是方程。

2.(2020.江蘇省五年級)等式兩邊乘同一個數(shù)，左右兩邊仍然相等。()

【答案】√

【解析】

根據(jù)分析可知，等式兩邊乘同一個數(shù)，左右兩邊仍然相等。

故答案為：√

22

3.(2020?江蘇省五年級單元測試)如果X=y。那么XH—=yd—。()

33

【答案】√

【解析】

222

如果X=y。那么x+-=y+一?？梢岳斫鉃閄和y同時加上一，符合等式的性質1的性質，故等式仍成立。

333

故答案：〈0

4.(2019?全國五年級期末)解方程

(1)4x-54=14

(2)7x+IOx=102

(3)5(x+20)=105

(4)0.26×(5-x)=0.91

【答案】⑴17(2)6(3)1(4)1.5

【解析】

(1)4x-54=14

解：4x-54+54=14+54

4x÷4=68÷4

x=17

(2)7x+IOx=102

解：17x=102

17x÷17=102÷17

x=6

(3)5(x+20)=105

解：5(x+20)÷5=1O5÷5

x+20-20=21-20

x=l

(4)0.26×(5-x)=0.91

解：0.26×(5-x)÷0.26=0.91÷0.26

5-x+x=3.5+x

3.5÷x-3.5=5-3.5

x=1.5

再戰(zhàn)初中題——能力提升一

1.已知2x-3y=l,用含X的代數(shù)式表示y正確的是（）

A.V=-X-1D.y=-

3

【答案】C

【解析】

V2x-3y=l,

.?.2x-1=3y,

2x-l

?,?y--

故選C?

2.下列運用等式性質進行的變形，其中不正確的是（）

A.如果a=b,那么a+3=b+3B.如果a=b,那么a-??b--

22

如果那么@=一

C.如果a=b,那么ac=bcD.a=b,

cc

【答案】D

【解析】

根據(jù)等式的性質，可知：

A、如果a=b,那么a+3=b+3,正確;

如果a=b,那么a-----=b-----,正確;

22

Cs如果a=b,那么ac=bc,正確;

D、因為C不知道是否為零，錯誤；

故選D

3.已知2a=3b,4∕j=7c,則ɑ:e等于（）

A.2：7B.7：2C.21：8D.8：21

【答案】C

【解析】

^.,2a—3b>

,2

b=-a,

3

?;4b=7c,

2「

：.4λx—4=7c,

3

二42d封

故選：C.

4.下列等式變形正確的是（）

A.若α=b,則“一3=3—bB.若x=y,則

aCI

,,Z>d

C.若a=b,則ac=beD.若一=一，則匕="

ac

【答案】C

【解析】

A：等式兩邊加上的是不同的數(shù)，等式的值發(fā)生變化，故A錯誤;

B：沒有說明a不為0,故B錯誤；

C：等式兩邊同時乘以一個相同的數(shù)等式的值不變，故C正確；

D：沒有說明a=c,故D錯誤；

故答案選擇：C.

5.在方程2x+3y=5中，用含〉的代數(shù)式表示X正確的是（）

5-2x2x-55-3y3y-5

A.V=-----B.y=-----C.X------D.X-----

3322

【答案】C

【解析】

解：方程2x+3y=5,

移項得2x=5-3y,

系數(shù)化為1得：X=七包，

2

故選：C.

6.下列說法中，正確的是（）

A.若同=例，則α=88.若。（?=次?，則〃=/?

C.若@=則D.若〃=/?,則色=2

CCCC

【答案】C

【解析】解：A、若∣4=同，則或。=4,故A錯誤；

B、若ac=be,當C=O時，aib,故B錯誤；

C、若色=一,c≠0,則α=b,故C正確；

cc

ah

D、若Q=Z?,則當C=O時，一=一沒有意義，故D錯誤；

CC

故選擇：C.

7.下列方程變形正確的是（）

3

A.由2+x=5,得X=5+2B.由2x=3,得X=—

2

C.由！尢=0,得X=4D.由4=%—5,得X=—5—4

4

【答案】B

【解析】A.由2+x=5,得χ=5-2,故錯誤；

3

B.由2x=3,得1=一,故正確；

2

C.由JX=0,得X=0,故錯誤；

4

D.由4=x—5,得x=4+5,故錯誤，

故選：B.

8.已知方程3x-2y=5,把它變形為用含X的代數(shù)式表示y,正確的是（）

3x-53x+5—3x+5—3x—5

A.y=-------B.y=?2c?y=---D?y=---

2

【答案】A

【解析】解:方程3x-2y=5

…『3x-5

為率得：y=---

故選：A.

9.根據(jù)等式性質，下列結論正確的是（

A.如果-2a=20,那么a=一方B.如果。-2=2—b,那么α=-8

D.如果2。=,/?,那么Q=匕

C.如果2。=/?—2,那么

2

【答案】A

【解析】A.兩邊都除以-2,故A正確；

B.左邊加2,右邊加-2,故B錯誤；

C.左邊除以2,右邊加2,故C錯誤；

D.左邊除以2,右邊乘以2,故D錯誤；

故選A.

10.下列運用等式的性質，變形正確的是()

A.若x=y,則x-5=y+5B.若a=b,貝IJae=be

,abXV

C.右t—=—，則2a=3bD.若x=y,則一=上

2c3cab

【答案】B

【解析】A、不符合等式的基本性質，故本選項錯誤;

B、不論C為何值，等式成立，故本選項正確；

Cs?；—=—,.?.?.6c=??6c,即3a=2b,故本選項錯誤;

2c3c2c3c

D、當a#b時，等式不成立，故本選項錯誤.

故選：B.

11.設％XC是有理數(shù)，則下列判斷錯誤的是（）

A.若x=>,則x+c=>+cB.若x=y,則x-c=y-c

C.若;=與，則3x=2yD.若x=y,則二=』

23cc

【答案】D

【解析】

A.根據(jù)等式的性質1可得出，若x=y,則x+c=y+c,故A選項不符合題意;

B.根據(jù)等式的性質1得出，若x=y,貝IJX-C=y-c,，故B選項不符合題意;

C.根據(jù)等式的性質2可得出，若X則3x=2y,故C選項不符合題意；

D.根據(jù)等式的性質2得出，c=0,不成立，故D選項符合題意.

故選：D.

12.如圖，下列四個天平中，相同形狀的物體的重量是相等的，其中第①個天平是平衡的，根據(jù)第①個天

平，后三個天平中不平衡的有個.

【答案】1

【解析】

解：由第①個天平得，一個球等于兩個長方體，

兩個球等于四個長方體，故第②個天平平衡；

一個球等于兩個長方體，故第③個天平平衡；

兩個球等于四個長方體，故第④個天平不平衡；

所以后三個天平中不平衡的有1個；

故答案為：1.

13.若α=b,貝∣Jα-C=.

【答案】b-c

【解析】

解：*/a=b

a-c=b-c

故答案：b-c

14.如圖，兩個天平都平衡，則三個球體的質量等于一個正方體的質量.

≡

、甲，、竄，

ZS

【答案】5

【解析】

解：設一個球體重X,圓柱重y,正方體重z.

根據(jù)等量關系列方程：

2x=5y；2z-3y,

即：6x=15y;IOz=15>,,

則：6x=10z,

即:3x=5z,

即三個球體的重量等于五個正方體的重量.

故答案為：5.

15.在方程2x+3y=5中，用含X的代數(shù)式表示y,則y=

【答案】土5-士2x

3

【