2022-2023學(xué)年福建省漳州市重點(diǎn)學(xué)校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年福建省漳州市重點(diǎn)學(xué)校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知向量胃=（0,1,1）,b=（1,1,0）.則向量B在向量,上的投影向量為（)

A.(0,-1,-1)B.(-1,0,-1)c（°02）D.（V）

2.如圖，在一組樣本數(shù)據(jù)4(2,2),B(4,3),C(6,4),O(8,7),E(IO,6)>

?"8C)

?￡(10.6)

的散點(diǎn)圖中，若去掉D（8,7）后，則下列說(shuō)法正確的為（）

?8[4.3)

A.樣本相關(guān)系數(shù)r變小1(2.2)

B.殘差平方和變大

C.相關(guān)指數(shù)R?變小

D.自變量X與因變量y的相關(guān)程度變強(qiáng)

3.若隨機(jī)變量X?N（%M）9>0）,則有如下結(jié)論:

(P(IX-μ?<σ)=0.6826,P(IX-μ∣<2σ)=0.9544,P(IX-μ?<3σ)=0.9974)

高三（1）班有40名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，平均分為120,方差為100,理

論上說(shuō)在130分以上人數(shù)約為（）

A.19B.12C.6D.5

4.現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一

項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，事件4=”甲參加跳高比賽”，事件B="乙參加跳高

比賽"，事件C="乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則（）

A.事件4與B相互獨(dú)立B.事件4與C為互斥事件

C.P(CM)=VD.P(BM)=3

5.已知函數(shù)/（x）=χ2+/g（χ）=S譏X,則圖象為如圖的

函數(shù)可能是（）

A.y=/(χ)g(χ)

y=幽

B.'/(X)

C.y=f(χ)+g(χ)-\

D.y=/(?)-g(χ)-；

6.如圖，在正方體ABC。一4BIClDl中，棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E,尸分另IJ

為棱BC、GDl中點(diǎn)，則點(diǎn)兒到平面DEF的距離為()

A.2

Bιo√^T

.21

Q

.23

D.CI

7

7.已知函數(shù)/^(x)在R上滿足/(l+x)=2f(l-x)-∕+3χ+l,則曲線y=f(x)在點(diǎn)

(I"(I))處的切線方程是()

A.3x—y-2=0B.3x+y-2=0C.%—y+l=0D.%—y—2=0

8.已知函數(shù)/(x)=%+「x-1,如果直線y=kx-1與/(x)的圖象無(wú)交點(diǎn)，則k的取值范圍

是()

A.[0,1]B.(1—β,e]C.(1,e—1]D.(1,e—1)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.下列說(shuō)法中，正確的命題是()

A.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1

B.E(2X+3)=2E(X)+3,0(2X+3)=4D(X)

C.在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，表示擬合效果越好

D.以模型y=ce-去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)z="y,將其變換后得到線

性方程z=0.4x+3,則c,k的值分別是e3和0.4

10.已知某學(xué)校高二年級(jí)男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍，該年級(jí)全部男、女學(xué)生是否喜歡徒步

A.參加調(diào)查的學(xué)生中喜歡徒步的男生比喜歡徒步的女生多

B.參加調(diào)查的學(xué)生中不喜歡徒步的男生比不喜歡徒步的女生少

C.若參加調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為300,則能根據(jù)小概率a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷喜歡徒步

和性別有關(guān)

D.無(wú)論參加調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為多少，都能根據(jù)小概率α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷喜歡徒

步和性別有關(guān)

11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-&BlC也中，點(diǎn)E,F,P,C1

G分別為&Bi，B1C1,BIB的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，則

下列結(jié)論正確的為()j

A.4C1與EF為共面直線/D!-……羊…。JC

B.平面ACCI〃平面EFG4匕：二二......

C.三棱錐P—ADiC的體積為定值

D.ACl與平面4BC所成角的正切值為，3

12.下列不等關(guān)系中正確的是()

A.√^^3∕∏2<ln3B.√3∕∏4>4∕∏O

C.sin3<3sinlcoslD.sin3>3sinlcosl

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.語(yǔ)文某小組有4個(gè)男生，3個(gè)女生，現(xiàn)語(yǔ)文老師要從這一組抽3名同學(xué)背書(shū)，請(qǐng)問(wèn)抽到男

生人數(shù)多于女生的概率是.

14.己知空間三點(diǎn)4(2,1,0),β(2,l,-l),C(l,0,l).則點(diǎn)C到直線4B的距離為.

15.已知f(x)=密，(α≠0)只有一條過(guò)原點(diǎn)的切線，則α=.

16.己知Xi和g是函數(shù)/(%)=x-2Inx+Jn的兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，則:唱的范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

如圖是某企業(yè)2016年至2022年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖.

注：年份代碼1?7分別對(duì)應(yīng)年份2016?2022?

(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y和t的關(guān)系,請(qǐng)建立y關(guān)于t的回歸方程,并預(yù)測(cè)2025

年該企業(yè)的污水凈化量；

(2)請(qǐng)用相關(guān)指數(shù)說(shuō)明回歸方程預(yù)報(bào)的效果.

2

參考數(shù)據(jù)：y=54,￡憶1(0-t)(%-y)=21,√^Tξy3.74，∑^=ι(yi?-yi)

參考公式：線性回歸方程

y=α+bt,b=∑%G-t)2J

2

相關(guān)指數(shù)：R2=ι一矍但Z嗎

%IwLy)Z

18.(本小題12.0分)

為了了解學(xué)生的運(yùn)動(dòng)情況，某中學(xué)對(duì)高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行了分層抽樣調(diào)查.調(diào)查

的樣本中高一年級(jí)有70%的學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)，高二年級(jí)有65%的學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)

總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)，高三年級(jí)有56%的學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)，且三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人

數(shù)之比為9：6：5,用樣本的頻率估計(jì)總體的概率.

(1)從該校三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，估計(jì)該學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)的概率；

(2)假設(shè)該校每名學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量X(單位：小時(shí))，且X?N(5.5,M).現(xiàn)從這三

個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取5名學(xué)生，設(shè)這5名學(xué)生中每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的人數(shù)為匕求隨機(jī)

變量Y的期望.

19.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PDJ_平面/IBC0,菱形ABCO的邊長(zhǎng)2,?BAD=60o,PD=3.

(1)求直線PB與平面PDC所成角的正弦值；

(2)若點(diǎn)F,E分別在線段PB,PC上，且平面。EFLPB,求線段DE的長(zhǎng)度.

P

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=X+xlnx.

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若m∈Z,且m(x-1)</(x)對(duì)任意%>1恒成立，求nι的最大值.

21.(本小題12.0分)

某車(chē)間購(gòu)置了三臺(tái)機(jī)器，這種機(jī)器每年需要一定次數(shù)的維修，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了IOO臺(tái)這種機(jī)器一年

內(nèi)維修的次數(shù)，其中每年維修2次的有40臺(tái)，每年維修3次的有60臺(tái)，用X代表這三臺(tái)機(jī)器每

年共需要維修的次數(shù).

(1)以頻率估計(jì)概率，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)維修廠家有4B兩家，假設(shè)每次僅維修一臺(tái)機(jī)器，其中Z廠家單次維修費(fèi)用是550元，BΓ

家對(duì)同一車(chē)間的維修情況進(jìn)行記錄，前5次維修費(fèi)用是每次600元，后續(xù)維修費(fèi)用每次遞減100

元，從每年的維修費(fèi)用的期望角度來(lái)看，選擇哪家廠家維修更加節(jié)?。?/p>

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=sinX-In(I+x),f'(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

⑴「(功在區(qū)間(-W)存在唯一極大值點(diǎn);

(2)∕(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:a=(0,1,1),B=(1,1,0)，

則五?b=1'INI=√1+1+0-y∕-2>

故向量方在向量五上的投影向量為雪×?=?=(θ??).

?a??a?2'，22

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量的公式，即可求解.

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：由散點(diǎn)圖知，去掉。(8,7)后，y與X的線性相關(guān)加強(qiáng)，且為正相關(guān)，所以r變大，R變

大，殘差平方和變小.

故選：D.

由散點(diǎn)圖知，去掉。(8,7)后，y與X的線性相關(guān)加強(qiáng)，由相關(guān)系數(shù)r,相關(guān)指數(shù)R及殘差平方和與相

關(guān)性的關(guān)系得出選項(xiàng).

本題考查了變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：μ—120>σ=√100=10，

.?.P(IlO<R<130)=0.6826,

.?.P(R>130)=?[l-P(IIO<R<130)]=∣×0.3174=0.1587,

130分以上的人數(shù)約為40X0.1587≈6人.

故選C.

利用正態(tài)分布的特點(diǎn)求出分?jǐn)?shù)在130以上的概率，再計(jì)算人數(shù).

本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于中檔題.

4.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4,現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一

項(xiàng)比賽，

則有戲題=36種安排方法，

若甲參加跳高比賽，若只有甲一個(gè)人參加跳高比賽，有或C；用種安排方法，

若甲和另外一人參加跳高比賽，有戲盤(pán)掰種安排方法，

則有以盤(pán)掰+廢彩=12種安排方法，故PQ4)=蔡=5

同理：P(B)=?,

若甲乙都參加跳高比賽,有房=2種安排方法，貝高(AB)=?=?,

由于P(A)P(B)≠P(AB),則事件4、B不相互獨(dú)立，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,事件4與C可以同時(shí)發(fā)生，即甲參加跳高比賽同時(shí)乙參加跳遠(yuǎn)比賽，則事件4、C不是互斥

事件，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)甲參加跳高比賽同時(shí)乙參加跳遠(yuǎn)比賽時(shí)，

若其余兩人都參加投鉛球比賽，有1種安排方法，

若其余兩人只有一人參加投鉛球比賽，有廢廢種安排方法，

則有1+66=5種安排方法,故P(4C)=?,

5

故P(CM)=需=零=C正確;

對(duì)于D,P(AB)=表,P(A)=j,則P(BlA)=需=F=與O錯(cuò)誤.

故選：C.

根據(jù)題意，由相互獨(dú)立事件的定義分析可得A錯(cuò)誤，由互斥事件的定義分析可得B錯(cuò)誤，由條件

概率計(jì)算公式分析可得C正確，D錯(cuò)誤，綜合可得答案.

本題考查條件概率的計(jì)算，涉及相互獨(dú)立事件的性質(zhì)和判定，屬于中檔題.

5.【答案】B

【解析】解：易知函數(shù)/(x)=+*是偶函數(shù)，g(x)=SinX是奇函數(shù)，給出的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是

奇函數(shù)，

對(duì)于4,因?yàn)閥=/(x)g(x)=(χ2+Jsinx,y'=2xs譏x+(/+》CoSx,

當(dāng)X∈(Ow)時(shí)，y'>0,函數(shù)y=/(x)g(x)單調(diào)遞增，由圖象可知所求函數(shù)在(Ow)上不單調(diào)，故A

不符合題意；

對(duì)于C,y=/(x)+g(x)-；=χ2+Sinx為非奇非偶函數(shù)，故C不符合題意；

對(duì)于D,y=f(x)-g(x)=/-SinX為非奇非偶函數(shù)，故C不符合題意.

故選:B.

由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，結(jié)合圖象，逐項(xiàng)分析排除即可得答案.

本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性以及排除法進(jìn)行判斷是解決本

題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：建系如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則根據(jù)題意可得:

D(0,0,0),E(1,2,0),F(0,l,2),A1(2,0,2),

.?.DE=(1,2,0)，DF=(0,1,2).

設(shè)平面。EF的法向量為元=(x,y,z),

.(n?DE=X+2y=0?

則m，一—.,令Z=1,y=-2.X=4,

(n?DF=y+2z=0

???平面DEr的法向量為元=(4,-2,1),

V西=(2,0,2)，

???點(diǎn)占到平面。"的距離為d=嚕型=v耳］=嗎巨.

故選：B.

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求點(diǎn)兒到平面。EF的距離.

本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，屬中檔題.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，函數(shù)解析式的求解等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)

算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

解出/(x)的解析式，然后求出切點(diǎn)坐標(biāo)，以及切線的斜率，即可求出切線方程.

【解答】

解:?.?/(1+X)=2/(1-%)-X2+3x+1,

令-X替換X得f(l-X)=2/(1+x)-X2-3x+1,

解得f(l+x)=χ2+%-i,

則f(x)=(x—I)2+(x—1)—1=X2—X—1,

∕,(x)=2x-l,

則/(1)=-1,f,(l)=1

曲線y=f(x)在點(diǎn)(Ij(I))處的切線方程是y+1=x-l,

即X—y—2—0.

故選：D.

8.【答案】B

【解析】解:因?yàn)?(x)=x-l+2

當(dāng)X=O時(shí)，/(0)=0-l+?=0,

所以y=fc×0-1=-1,

所以要使得y=kx-1與/(%)無(wú)交點(diǎn)，等價(jià)于f(%)>kx-1恒成立,

令g(%)=/(?)-fcx÷l=x-1+?-(kx-1)=(1—ky)x+，

/(X)="!,

當(dāng)k=l時(shí)，g(xy)=?>0,滿足y=k%-1與/(%)無(wú)交點(diǎn)，

l-1-1]]

''∣∕c>l時(shí)'g(-一-)=(1—fc)--~~-÷e?-fe=β—1?

八k-"'JI-ZC

而告<°，e占<1，

所以g??V0,

此時(shí)不滿足y=kx-1與f(%)無(wú)交點(diǎn)，

當(dāng)k<1時(shí)，g?x)=(1一誓T=0,

則X=—ln(l—k),

所以當(dāng)x∈(-8,-In(I-k))時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x∈(ln(l-k),+8)時(shí)，g，(X)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)％=-?n(l-k)時(shí)，g[x}min=g(Tn(l-fc))=(1-fc)(l-ln(l-k)),

由(I-fc)[l-?n(l-∕c)]>O得1—e<k<1,

即y=kx-1與f(x)無(wú)交點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)x∈(l-e,1]時(shí)，y=kx-1與f(x)無(wú)交點(diǎn).

故選：B.

根據(jù)題意可得當(dāng)K=O時(shí)，/(0)=0,y=?×0-l=-l,要使得y=kx-1與f(X)無(wú)交點(diǎn)，等價(jià)

于/(x)>kx-1恒成立，令g(x)=/(x)-kx+1,求導(dǎo)分析單調(diào)性，最值，只需g(x)niE>。，

即可得出答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)4若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，

則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：易知IE(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=22D(AΓ)=4D(X),故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C由殘差圖的特征可知，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合的精度越

高，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)￡>：以模型y=ce∣x去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，

對(duì)等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得"y=Inc+kx,

若線性方程為Z=0.4x+3,

jhtC=I

解得{:=。3立故選項(xiàng)。正確.

故選：BCD.

由題意，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A；利用期望和方差的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)以結(jié)合殘

差圖的特征即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及題目所給信息列出等式即可判斷選項(xiàng)D.

本題考查相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程、期望和方差的性質(zhì)等，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

10.【答案】AC

【解析】解：對(duì)AB,設(shè)該學(xué)校高二年級(jí)男生人數(shù)為2ɑ,女生人數(shù)為ɑ,

則學(xué)生中喜歡徒步的男生為2αxθ.7=1.4α,喜歡徒步的女生為0.4α,故A正確；

不喜歡徒步的男生為2αx0.3=0.6α,不喜歡徒步的女生為0.6α,故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,若參加調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為300,則男生200人，女生100人，列聯(lián)表可得:

性別合計(jì)

男生女生

喜歡14040180

不喜歡6060120

合計(jì)200100300

22

∣jl∣∣?300×(140×60-60×40)300×6/

畋=200X100X180X12。=次藪Ti=25>6-635,

故能根據(jù)小概率α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷喜歡徒步和性別有關(guān)，故C正確;

對(duì)D，設(shè)該學(xué)校高二年級(jí)男生人數(shù)為2α,女生人數(shù)為α,列聯(lián)表可得：

性別合計(jì)

男生女生

喜歡IAa0.4α1.8a

不喜歡0.6a0.6α1.2α

合計(jì)2aa3α

2Q2

則2=3αx(1.4αx0.6α-0.4αx0,6α)=3αx(0.6α2)=θ25α,不能判斷與6.635的大小關(guān)系

2a×a×l.Sa×1.2a2a×a×1.8a×1.2a

故不能根據(jù)小概率α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷喜歡徒步和性別有關(guān)，故。錯(cuò)誤：

故選：AC.

對(duì)4B,設(shè)該學(xué)校高二年級(jí)男生人數(shù)為2ɑ,女生人數(shù)為ɑ,再計(jì)算喜歡與不喜歡徒步的男生與女生

人數(shù)判斷即可；對(duì)CD,計(jì)算卡方，對(duì)照表格判斷即可.

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

11.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于A：連接46,如圖所示:

???E,F分別為4祖，BIG的中點(diǎn)，

???EF//A1C1,

在正方體ABC。-AlBlCl/中，A1C1∕∕AC,

.?.EF//AC,

.?.AGnEF=4,故4錯(cuò)誤；

對(duì)于B：連接BG，

???點(diǎn)尸,G分別為BiC1，BlB的中點(diǎn),

.?.FG//BC1,

由選項(xiàng)A得EF〃4C,

?.?EFU平面EFG,FGU平面EFG,EFC平面4CD「FG仁平面ZCD1，

.?.EF//^ACD1,FG〃平面ZCDi,

又EFnFG=F,

???平面ACDi〃平面EFG,故B正確；

對(duì)于C：由選項(xiàng)B得EF〃平面ACD1，

：點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，

???點(diǎn)P到平面4。么的距離等于點(diǎn)E到平面ACDl的距離，且為定值，

又AADiC的面積為定值，則三棱錐P-ADlC的體積為定值，故C正確;

對(duì)于D：建立以。為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖所示：

則O(0,0,0),4(2,0,0),B(2,2,0),4(2,0,2),C1(0,2,2),C(0,2,0),

二溫=(-2,2,2),西=(2,-2,2)，西=(0,-2,2)，

設(shè)平面AlBC的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

則PT?CA1=2x—2y+2z=0

In?BA1=—2y+2z=0取y=1,則Z=1,x=0,

，平面&BC的一個(gè)法向量為有=(0,1,1),

設(shè)AQ與平面4BC所成角為α,

,—→一、@ACll4√-6

1l9

???sina=∣cos<ACvn>?=同時(shí)=2√3×<2=T

???cosa=Vl-sin2α=??,

??.tana—四竺=√^^2,故D錯(cuò)誤.

cosa

故選：BC.

根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征可得EF〃4C,即可判斷4利用線面平行和面面平行的判定定理即可判斷8；

由題意得點(diǎn)P到平面ACDi的距離等于點(diǎn)E到平面北劣的距離，且為定值，即可判斷C；建立以。為

原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系D-Xyz,利用向量法，即可得出答案.

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征、直線與平面平面判定定理和面面平行判定定理，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形

結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.【答案】BC

【解析】解：令/Q)=等，則/'(無(wú))=*W，

當(dāng)0<%Ve時(shí)，/'(%)>0,當(dāng)％>e時(shí)，/'(%)<0,

所以函數(shù)/(%)在(0,e)上單調(diào)遞增，在?+8)上單調(diào)遞減，

所以/(2)>f(C),即當(dāng)>臂，即Cn2>2,nC="3，故A錯(cuò)誤,

又m4=2ln2,所以竽=當(dāng)>需，即，號(hào)加4>4"，？，故B正確;

xcosx—sinx

令g(χ)=嬰，Xe(°，兀)，則g'(x)=

令I(lǐng)Z(X)=XCosx—sinx,

則ι∕(x)=COsx—xsinx—cosx=—xsinx<O在(O,Tr)上恒成立,

所以“(%)在(O,Tr)上單調(diào)遞減,所以〃(X)<u(0)=0,

所以g'(%)<O在(O,Tr)上恒成立，

所以g(x)在(0,7T)上單調(diào)遞減，所以g(2)>g(3),即詈>罷,

即Sin3V―1=3SiTIlCoS1,故C正確，。錯(cuò)誤.

故選：BC.

根據(jù)函數(shù)值的特征，構(gòu)造函數(shù)/(X)=等，求出其導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，可判斷AB；同理構(gòu)

造函數(shù)g(x)=等，判斷CC.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，重點(diǎn)考查了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬中檔題.

13.【答案】§

【解析】解：由題意，抽到男生人數(shù)多于女生人數(shù)的情況包括：

3個(gè)男生O個(gè)女生，2個(gè)男生1個(gè)女生兩種情況，即廢+廢?廢=22,

而總情況數(shù)為G=35,

設(shè)事件4表示抽到男生人數(shù)多于女生，

則抽到男生人數(shù)多于女生的概率是PQ4)=∣∣.

故答案為：||-

根據(jù)題意，由古典概型的概率公式代入計(jì)算即可得到結(jié)果.

本題考查古典概型的概率公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】λf2

【解析】解：由已知條件易知前=(一L-1,1),同=(0,0,-I)，

則宿松=O+0-1=-1,?AC?=O-囪1=1，

ICoS(前,確I=I需氤I=?,Sin(旅,荏>=?，

故點(diǎn)C到直線AB的距離為IACI?Sin(AClAB)=√~3×?=√-2?

故答案為：yΓ2.

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

本題考查點(diǎn)到直線的距離求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】-4

【解析】解：由/(X)=*,得((X)=T誓=審，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為也寧)，則過(guò)切點(diǎn)的切線方程為y=-O+冒，

把。(0,0)代入，可得產(chǎn)—at—α=0.

/(X)=密，(Ω≠0)只有一條過(guò)原點(diǎn)的切線，

：?Δ=(—a)2+4以=0,又Q≠0,?a=-4.

故答案為：-4.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為。詈)，利用導(dǎo)數(shù)寫(xiě)出過(guò)切點(diǎn)的切線方程，代入坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)，可得關(guān)于t的一元

二次方程，再由判別式大于。求解a值.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

16.【答案】(0,1)

【解析】解：??,和是函數(shù)f(%)=X-2lnx+m兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，

不妨設(shè)Xl>x2>0,x1—2Inx1+m=0,X2—2Inx2+m=0,

兩式相減得Xi-X2-2bι∣1=0,

x2

令葛=t>1,ΛX1=tx2,

t

?X2(—1)—2Int=0,

Ariza2lnt2tlnt

解得％2=TZTXl=

.xιx2_1_2tlnt

**×ι+X2——t2-l,

x2xI

令g(t)=t2—1—2tlnt,t>1,g'(t)=2t—2lnt—2,

令九(t)=2t—2Int-2,t>1,

：.h'(t')=2-∣>O恒成立，

∕ι(t)在(1,+8)是單調(diào)遞增，

h(t)>∕ι(l)=0,

???g'(￡)>0恒成立，

???g(t)在(L+8)是單調(diào)遞增，??.g(t)>g(l)=0,t>1恒成立，

?t2—1>2tint>0?

./2tlnt/T

:,0r<F—<1.

t2-l

故答案為：(0,1).

由Xi和Λ?是函數(shù)f(X)=x—2Inx+?n兩個(gè)不相等的零點(diǎn),不妨設(shè)Xi>X2>0,x1-2Inx1+m=0,

X2-Hnx2+m=0,兩式相減得XI-X2-=0,令∣∣=t>l,分別解出與，χ2,都用t表

示，通過(guò)轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值即可得出結(jié)論.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值及最值、換元法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、方程與不等式的

解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

17.【答案】解：(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)得￡=4,y=54,

h=Σjlι(ti-Z)佻-歷=_____________________21_________________________=21=3；

22222222,

∑?l(ti-t)-(l-4)+(2-4)+(3-4)+(4-4)+(5-4)+(6-4)+(7-4)^28^4

所以α=]-bZ=54-7×4=51>

J4

所以y關(guān)于t的線性回歸方程為y=fot+α=∣t+51.

將2025年對(duì)應(yīng)的t=10代入得y=∣×10+51=58.5，

所以預(yù)測(cè)2025年該企業(yè)污水凈化量約為58.5噸.

(2)因?yàn)槿?1一貨質(zhì)=ITX表=ITw=0.875,

所以“污水凈化量的差異”有87.5%是由年份引起的，說(shuō)明回歸方程預(yù)報(bào)的效果是良好的.

【解析】(1)結(jié)合題目數(shù)據(jù)利用最小二乘法求出線性回歸直線方程，代入計(jì)算即可；

(2)利用己知數(shù)據(jù)求出相關(guān)指數(shù)，利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)說(shuō)明即可.

本題主要考查線性回歸方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)記隨機(jī)抽取1名學(xué)生分別來(lái)自高一、高二、高三的事件為4B,C,抽取的1名

學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)的事件為D,

???P(A)=券P(B)=條P(C=條

.?.P{D?A~)=0.7,P(DlB)=O.65,P(DIe)=O.56,

又P(D)=P(A)P(DlA)+P(B)P(OIB)+P(C)P(DIC)

965

=X0.7+?×0.65+套X0.56=0.65,

該學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)的概率為0.65；

(2)該校每名學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量X(單位：小時(shí))，X~N(5.5R2),

則P(X>5.5)=0.5,

由(1)得P(X>5)=0.65,則P(5<X<5.5)=0.65-0.5=0.15,

.?.P(5<X<6)=2P(5<X<5.5)=0.3,即該校學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為0.3,

Xr-B(5,0.3),則E(Y)=5X0.3=1.5,

隨機(jī)變量y的期望為ι.5.

【解析】(1)根據(jù)給定條件，利用古典概率及全概率公式求解，即可得出答案；

(2)由(1)的結(jié)論，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性求出該校學(xué)生每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率，再利

用二項(xiàng)分布，即可得出答案.

本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中

檔題.

19.【答案】解：CI)過(guò)點(diǎn)B作BHJ.CO,垂足為H,

因?yàn)镻Z)I平面ABCD,BHu平面ABCD,

所以尸。1BH,

又PDnCz)=C,PD,CDU平面PDC,

所以BH_L平面PCC,PHU平面PDC,

所以BH1PH,

所以直線PB與平面PDC所成角為NBPH,

由已知四邊形4BC。為菱形，AB=2,?BAD=60°,

所以aBCC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，板BH=C,

因?yàn)镻Dl平面ABC。，BDU平面力BCD,

所以PDI.BD,又PD=3,BD=2,

所以PB=√∏m,

在APHB中，PB=√^3>BH=G，4PHB=90。,

所以SinN8PH=器=密，

ΓD13

所以直線PB與平面PDC所成角的正弦值為譽(yù)；

(2)連接。G,點(diǎn)G為線段AB的中點(diǎn)，

由已知AADB為等邊三角形，所以DG_L4B,又ABUCD,

所以DG_LDC,又PD_L平面ABCD,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，^DG,DC,喬為x，y，Z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0),P(0,0,3),β(√3,l,0)-C(O20),

故而=(√^,l,-3).

設(shè)方=λPC,則礪=DP+PE=(0,0,3)+4(0,2,-3)=(0,24,3-3λ)-

因?yàn)镻B1平面OEF,DEU平面DEF,

所以PBInE,故兩.瓦f=o,Zt

所以，3x0+1x24+(-3)(3-34)=0，

所以5∕L?

所以瓦f=(0,*，?),/J對(duì):二?Λ

所以O(shè)E=I網(wǎng)=J(勖+帝=窄.√G

所以線段。E的長(zhǎng)度為富.

【解析】(1)過(guò)點(diǎn)B作BHd.CD,垂足為H,證明BHI平面PDC,由此確定直線PB與平面PDC所成

角，再求其正弦值；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)而=2正，由條件列方程求屁的坐標(biāo)，由此求求線段DE的長(zhǎng).

本題考查線面角的求法及空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),f(X)=Inx+2,

當(dāng)x∈(0,e-2),∕,(χ)<0,當(dāng)χ∈(eV,+8),∕,(χ)>0,

因此，函數(shù)/0)在(0,e-2)單調(diào)遞減，在(e-2,+8)單調(diào)遞增，

所以f(x)的極小值是/(e-2)=-e-2,無(wú)極大值.

所以函數(shù)/(X)的極小值是-e-2.

(2)因?yàn)門(mén)n(X-1)<f(x)對(duì)任意X>1恒成立，

即m<2F對(duì)任意X>1恒成立，

x-1

令g。)=瞥，則"(X)=?Ξ^,

令∕ι(%)=x—Inx—2(%>1),則∕ι'(X)=1—?=>0,

所以函數(shù)九(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

???∕ι(3)=1-Z∏3<O,九(4)=2-2ln2>0,

,方程∕l(%)=0在(L+8)上存在唯一實(shí)根且滿足&∈(3,4).

當(dāng)1V%<Xo時(shí)，A(%)<0,即g'(%)<0,

當(dāng)%>工。時(shí)，九(X)>0,即g'〉)>0,

所以函數(shù)g(x)=答?E(l∕o)上單調(diào)遞減，在(Xo,+8)上單調(diào)遞增,

Xo(I+欣0)_匯0(1+沏-2)

???[5(?)]min=g(Xθ)==&∈(3,4),

xO-1%0—1

???m<[e(?)]min=XOW(3,4),故整數(shù)m的最大值是3.

【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查不等式的恒成立問(wèn)題，考查運(yùn)

算求解能力，屬于中檔題.

(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，求出函數(shù)/(%)的單調(diào)性，進(jìn)而得出極值；

(2)依題意，τn<篁券對(duì)任意X>1恒成立，令g(χ)=若≡,求出函數(shù)g(χ)的最小值即可得解.

21.【答案】解：(1)以頻率估計(jì)概率，一臺(tái)機(jī)器每年需要維修2次的概率為|,需要維修3次的概率

幅

設(shè)Y為這三臺(tái)機(jī)器每年單個(gè)需要維修三次的臺(tái)數(shù)，

則X=Y+6,且丫?B(3,∣),

所以P(X=6)=p(y=0)=φ3=?,p(x=7)=P[Y=I)=Cxl)2XI=急，

P(X=8)=PW=2)=Cf×∣×(∣)2=費(fèi)P(X=9)=P(Y=3)=令=息.

所以X的分布列為:

X6789

83654