2023年遼寧省葫蘆島市普通高校對(duì)口單招數(shù)學(xué)自考預(yù)測(cè)試題(含答案)

2023年遼寧省葫蘆島市普通高校對(duì)口單招

數(shù)學(xué)自考預(yù)測(cè)試題(含答案)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(10題)

1.從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中，任取四個(gè)上數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四

個(gè)數(shù)，其中5的倍數(shù)的概率是()

?

A.5

1

B.4

2

C.5

1

D.10

2.公比為2的等比數(shù)列｛aQ的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3an=l6,則a5=()

A.lB.2C.4D.8

3.設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(l-i)(l+2i)=()

A.3+3iB.-l+3iC.3+iD.-l+i

_1X

4.設(shè)f(x)=2e,則f(x)是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

5.“沒(méi)有公共點(diǎn)”是“兩條直線異面”的（）

A.充分而不必要條件B.充分必要條件C必要而不充分條件D.既不充

分也不必要條件

6.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-l=O的距離為1,則a=（）

A.-4/3

B.-3/4

c.√5

D.2

7.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+oo）上單調(diào)遞減的是（）

A.y=l∕xB.y=exC.y—x2+lD.y=lgx

y?2,A*2010

8.執(zhí)行如圖的程序框圖，那么輸出S的值是（）

A.-lB.1/2C.2D.1

9.設(shè)集合U={l,2,3,4,5,6},M={l,3,5),則CUM=()

A.{2,4,6}B.{l,3,5}C.{1,2,4}D.U

10.若是兩條不重合的直線表示平面，給出下列正確的個(gè)數(shù)()

?Λ-La

(1)mLn\

加JLal.

>m∣l∣n

⑵“W

mLa

(3)aJ

mHa]

>nIa

(4)W-LΛJ

A.lB.2C.3D.4

二、填空題(10題)

11.已知等差數(shù)列｛aj的公差是正數(shù)，且a3?a7=-i2,a4+a6=-4,則

S20=______.

12.

匕知白PZsABC所在平面外一點(diǎn)，心PA=PB=PC,則盧.P在平面ABe內(nèi)的攝影O是

△ABC的

13.

設(shè)R,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y^m+3=0交于點(diǎn)P

(x,y).則IPAI?∣PBI的最大值是.

14△等基數(shù)列SJ中.己知%=4,4=則SIo=

15.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的k=ll,則輸出的S=

16.已知i為虛數(shù)單位，則∣3+2i∣=.

179=。,石）?=（市+1.，5-1）則a?b夾角為

18.函數(shù)f(x)=+log2x(x∈[l,2])的值域是.

19.已知圓柱的底面半徑為1,母線長(zhǎng)與底面的直徑相等，則該圓柱的

表面積為.

APAB

20.已知點(diǎn)A（5,-3）B（1,5）-4",則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

三、計(jì)算題（5題）

f(x)+3f(—)=x.

21.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x∣x≠O},且滿足X

(I)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由.

22.有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差為10,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)

列，公比為3,求這四個(gè)數(shù).

23.解不等式4<∣L3x∣<7

24.已知函數(shù)y=Hcos2x+3sin2x,XeR求：

(1)函數(shù)的值域；

(2)函數(shù)的最小正周期。

l-χ

己知函f(x)=Ioga-------,(a>0且ax)

25.l+x

⑴求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由。

四、簡(jiǎn)答題(10題)

26.已知向量a=(1,2),b=(x,1),μ=a+2b,v=2a-b且μ∕∕v;求

實(shí)數(shù)X。

27.某商場(chǎng)經(jīng)銷某種商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購(gòu)買(mǎi)，根

據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用一次性付款的概率是0.6,求3為顧客中至

少有1為采用一次性付款的概率。

28.證明：函數(shù)0巧7i+x)(xeR)是奇函數(shù)

ax2+1

/(?)=

29.設(shè)函數(shù)bx+c是奇函數(shù)(a,b,c∈Z)且f(1)=2,f(2)<

3.

(1)求a,b,c的值;

(2)當(dāng)XVo時(shí)，判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明.

30.如圖，在直三棱柱as。-中，已知4C15C,9=2∕C=Cq=l

(1)證明：AC?BC；

(2)求三棱錐耳-abc的體積.

β.

31.在ABC中，BC=石,AC=3,sinC=2sinA

(1)求AB的值

sio(2A—)

(2)求2,的值

32.如圖,四棱錐P-ABCD中,PA_L底面ABCD,AB//CD,

oo

AD=CD=I,BAD=120,PA=√3,ACB=90o

(1)求證：BC_L平面PAC。

(2)求點(diǎn)B到平面PCD的距離。

21

33.由三個(gè)正數(shù)組成的等比數(shù)列，他們的倒數(shù)和是正，求這三個(gè)數(shù)

34.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)數(shù)和為Sn,已知

%=!且砧I=LSJ+￡,=21,求也)

Xj的通項(xiàng)公式及它的前n項(xiàng)和Tn.

/(x)=Iog4???(a>0,α≠0)

35.已知函數(shù)I-X

(1)求f(x)的定義域;

(2)判斷f(X)的奇偶性，并加以證明；

(3)a>l時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明。

五、解答題(10題)

36.

已知s,,是等差數(shù)列｛q,｝的前“項(xiàng)和，且4=-L怎=15.

(1)求”“；(2)令以=2"("=L2,3,L)，計(jì)算久也和久，由此推測(cè)數(shù)列出｝

是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，證明你的結(jié)論.

37.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a≠0).

⑴若曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(x))處與直線y=8相切，求a,b的值;

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).

38.已知函數(shù)f(x)=Iogzl+x∕l-x.

(1)求f(x)的定義域；

(2)討論f(x)的奇偶性；

(3)用定義討論f(x)的單調(diào)性.

39.已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx,x∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值；

(2)函數(shù)y=f(x)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？

1√3

40.已知函數(shù)'sr、'G-TE-R.

(1)求f(x)的最小正周期及其最大值；

(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

已知?A8C。力,C是?A8C中，NA、ZB、Ne的對(duì)邊，b=l,c=√3.∠C=y

⑴求。的值；

4(2)求cosB的值.

42.已知圓C的圓心在直線y=x上，半徑為5且過(guò)點(diǎn)A(4,5),B(l,6)兩

點(diǎn).

(1)求圓C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)M(-2,3)的直線1被圓C所截得的線段的長(zhǎng)為8,求直線1的方程.

43.

L知向鼠α=(-LcosS),I=(sm6,2).mj.b,求3COS"Λ■-6)+4sιu26

的值

44.

,數(shù)列W的各項(xiàng)均為正數(shù)，S”為其前〃項(xiàng)和，對(duì)于任意〃WN*,總有4,S“M”

差數(shù)列.

(I)求教列IaJ的通項(xiàng)館(口)求數(shù)列4?αe的前〃項(xiàng)和。

45.如圖，ABCD-ABCIDl為長(zhǎng)方體.

⑴求證:BIDI〃平面BC∣D;

⑵若BC=CCi,,求直線BCi與平面ABCD所成角的大小.

六、單選題(0題)

46.不等式-2χ2+χ+3<0的解集是()

A.{x∣x<-1}B.{x∣x>3∕2}C.{x∣-1<x<3/2}D.{x∣x<-1或x>3∕2}

參考答案

LA

依題，從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中，任取四個(gè)數(shù)

組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有&種取法，

其中恰好是5的倍數(shù)的有A：種取法

.??概率P=%4

A：5

5

2.A

等比數(shù)列的性質(zhì).-

1j=16u^α?=4=α；X2,?=1.

3.C

復(fù)數(shù)的運(yùn)算.(l-i)(l+2i)=l+2i-i-2i2=l+i+2=3+i,

4.C

由于f(-x)不等于f(X)也不等于f(-x)O

5.C

“直線α,6沒(méi)有公共點(diǎn)”今“直線α,b互為

異面直線或直線α,b為平行線”，

“直線α,b互為異面直線直線α,b沒(méi)

有公共點(diǎn)”，

.?,“直線α,b沒(méi)有公共點(diǎn)”是“直線α,b互為

異面直線”的必要不充分條件。

6.A

點(diǎn)到直線的距離公式.由圓的方程χ2+y2-2x-8y+130得圓心坐標(biāo)為(1,

IIXa+4-1I

4),由點(diǎn)到直線的距離公式得d=VTk,解之得a=-4∕3?

7.C

函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性.根據(jù)題意逐-驗(yàn)證，可知y=-χ2+l是偶函數(shù)且在

(0,+00)上為減函數(shù).

8.C

程序框圖的運(yùn)算.第一次

/S=-IS=g/S=2

.第二次，2,第三次.

…HL=2012II。*

故選C.

9.A

集合補(bǔ)集的計(jì)算?CUM=(2,4,6}.

I0.B

若兩條不重合的直線表示平面，由直線和平面之間的關(guān)系可知(1)、

(4)正確。

11.180,

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得

。3+。7=。4+。6=-4,

又?。7=-12,.?.。3,。7為方程

X2+4c—12=0的兩根，

解方程可得兩根為：-6,2,又?.?公差是正

數(shù)，

。3=-6,。7=2,.?.公差d=三~9=2,

(一J

.?.ɑ??—Q32d--10,

20X19

??.520=20×(-10)+---×2=180,

12.外心

13.

有題意可知，動(dòng)直線x÷my=O經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,0),

動(dòng)直線mx-y-m+3=0即In(X-1)-y+3=0,經(jīng)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)B(1,3),

注意到動(dòng)直線x+my=O和動(dòng)直線mx-y-m+3=0始終垂直，P又是兩條直線的交點(diǎn),

則有PAIPB∣PA∣斗∣PBF=IABI『io.

papb

?∣PAI.IPBI<∣∣÷∣I=5(當(dāng)且僅當(dāng)IPAI=IPBl=在時(shí)取"=”)

故答案為：5

14.75

15.15

程序框圖的運(yùn)算.模擬程序的運(yùn)行，可得k=ll,n=l,S=I不滿足條件

S>ll,執(zhí)行循環(huán)體，n=2,S=3,不滿足條件S>ll,執(zhí)行循環(huán)體，

n=3,S=6,不滿足條件S>1L執(zhí)行循環(huán)體，n=4,S=IO,不滿足條件S

>11,執(zhí)行循環(huán)體，N=5,S=15,此時(shí)?，滿足條件S>ll,退出循環(huán)，

輸出S的值為15.故答案為15.

16.

B復(fù)數(shù)模的計(jì)算」3+24=/尸尹G

17.45°,

向量A=(1,⑸，K=(J3+1,Λ∣3-1),

.?,μj^T73=2,H=?÷l)2÷(^3-1)2=2后

,

.α?K=l×(Λ[3+1)+Λ∣3(Λ∣3-1)=4

：若之、了的夾角為仇貝y=

∣α∣?∣6∣2x2”

叵

2

?∕6>∈[0,π],.'.θ=^

18.[2,5]函數(shù)值的計(jì)算.因?yàn)檠?2*,y=bg2X為增函數(shù)，所以y=2x+log2X

在[1,2]上單調(diào)遞增,故f(x)∈[2,5].

19.6π圓柱的側(cè)面積計(jì)算公式.利用圓柱的側(cè)面積公式求解，該圓柱的側(cè)

面積為27xlχ2=4兀，一個(gè)底面圓的面積是π,所以該圓柱的表面積為

4π+27π=6π.

20.(2,3),設(shè)P(x,y),AP=(x-5,y+3),AB=(-4,8),所以

x-5=(-4)*(3/4)=-3；得x=2；y+3=8*(3/4)=6；得y=3；所以P

(2,3).

21.

(1)依題意有

/(X)+3/(1)=X

X

/(l)+3∕(x)=i

XX

解方程組可得:

3—χ2

/(X)=

8x

(2)函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

,/函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椋吱Oχ≠0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且

3-(-x)2_3-X2

/(T)=一/(x)

8(-x)8x

.?.函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

22.

解：設(shè)前三個(gè)數(shù)分別為b√L0,b,b+10,因?yàn)閎,b+10成等比數(shù)列且公比為3

HlOC

.?.-------=3

b

.,.b+10=3b,b=5

所以四個(gè)數(shù)為-5,5,15,45.

23.

解：對(duì)不等式進(jìn)行同解變形得:

4<l-3x<7或-7<l-3x<-4

53

解得：一VxV—或-2<x<T

33

24.

:解:y=?/?cos2x+3sin2x

=2百(；COS2x÷^-sin2x)

=2>∕3(sin—cos2x÷cos-sin2x)

66

=2>∕3sin(2x÷-)

(1)函數(shù)的值域?yàn)閇一20,2ji].

2τr

(2)函數(shù)的最小正周期為T(mén)=f=π.

2

25.

l-χ

解:(1)由題意可知:>0,解得：—1<X<1?

1+x

函數(shù)/(χ)的定義域?yàn)閤e(-l,1)

(2)函數(shù)/(χ)是奇函數(shù)，理由如下:

r/、1—(r).1÷xI-X々\

/(-')=嗨1gfbg。匚:一1%m=一/)'

函數(shù)/(χ)為奇函數(shù)

26.

μ=a+2b≈(12)+(x,l)=(2x,l4)v=(2-x,3)

,.?μ∕∕v

X=—

.,.(2x+1.4)=(2-x,3)得2

27.

P=I-(1-0.6)3≡=l-0.064=0,936

28.證明：V∕W=?(VΛH+X)

.?.∕(-^)=ig(&+1-X)=-/W

則，此函數(shù)為奇函數(shù)

29.

函數(shù)/1⑸=?+1是奇函數(shù)/(x)=-/(-χ)

Ax÷c

ax2+l_αx2+1

-bx+cbx+c.?.得2c=0.?.得C=O

α+lC

又「由f(1)=2，得b

^tl<32

又；f⑵<3.*.b，得0<b<2

..X3+1

z/(X)=------

,.,b∈Z.?b=lX

(2)設(shè)一IVxlVX2<0

/5)-/(Xl)=加-紅

?Xi

XlX2

=(Xa-Xl)Q--L)

X丙

=(X3-X1)(I--L)

xΛ

xxf

V2^ι.?.XJ-Xl>ot>χ∕>OJ0?)?∕Gι)<O

若X[<?<-1時(shí)∕0?)?jg)>0

故當(dāng)XV-I時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)一1SX<O為減函數(shù)

30.

g

(1)證明：宜二棱柱從I平面AC-4&C]CClj_平面ABC

又：BCU平面ABC，BCJ_CG

???A」BC又，AeeG=C

4Ceq平面/CCI4

，BC_L平面力CG4

?.,ACJ_平面2CG4

.?.AC±BC

(2)AB=2,AC=1,ACJ_BC,.?.Bc"

=j,

DARr^Sl-ABC~?SΔA8C'=i--?∕31?1=^

...三棱錐用一工BeC的體積3326

31.

(1)VBC=V5,sinC=2sιnA

由正弦定理得48=繪獸￡=2/

un4

(2)由余弦定理得：

48、ACi-BCi2√5

COe(-------------------------=——

IAB-AC5

.*.sinA≡4,gin2A≡cos24≡?

則dn(24-?)?-

410

32.證明：(I)PAJ_底面ABCD

PA±BC又NACB=90。，BC±AC則BC_L平面PAC

(2)設(shè)點(diǎn)B到平面PCD的距離為h

AB//CDAB//平面PCD

又NBAD=I20。NADC=60o

又AD=CD=I

則4ADC為等邊三角形，且AC=I

PA=，PD=PC=2

史小與聞=更

445

33.設(shè)等比數(shù)列的三個(gè)正數(shù)為1,a,aq

—+α+α?r≡2l.-+-?+-^-=-

由題意得g。α叼16

解得，a=4,q=l或q=4

解得這三個(gè)數(shù)為1,4,16或16,4,1

U

34.(1);的45號(hào)+邑=21.?.%=d=l

又???等差數(shù)列

7

..M+ΛnΛ+1

T

(2),Λ+l

35.(1)-l<x<l

(2)奇函數(shù)

(3)單調(diào)遞增函數(shù)

36.

(D設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為d，那么5a.+：?5?4d=15.

把a(bǔ)>1代入上式，得d=2.

因此，a=h-l÷2(n-l)=2n-3.

(2)根據(jù)Jfr=2'得b=?,b=2>b=8.

由此推測(cè)｛b｝是等比數(shù)列.

證明如下：

由(1)得，a-a=2.所以^—=2-=2「=4(常數(shù)),

l?

因此數(shù)列｛b｝是等比數(shù)列.

37.(l)f(x)=3x2-3a,丁曲線：y=f(x)在點(diǎn)(2,f(x))處與直線y=8相切,

,e

β∣∕(2)O/3(4-α)≡0產(chǎn)=4.

∣∕(2=≡8)(8—6Q+4B≡8A≡24

(2)V/(?)=3(——α)(α≠0)t^αVO時(shí).

，(彳)>0?函數(shù)/G)在(-8.+8)上單調(diào)遞

增.此時(shí)函數(shù)/(?)沒(méi)的極值點(diǎn).當(dāng)α>0時(shí),由

"才)=OnT=±√T.當(dāng)r￡(―∞,—√5")flf.

∕?(x)>O.rt?tt/(?)單調(diào)遞增.當(dāng)工∈(-√7.

石)時(shí)./'G>V0.函數(shù)八I)單湖通液,當(dāng)j?W

(√0^,÷oo)時(shí)?rQ)>0?南數(shù)"工)單竭遞增.

此時(shí)?β-n是/ɑ)的極大值點(diǎn),x=G是

/(?)的極小值點(diǎn).

38.⑴要使函數(shù)f(x)=log21+x∕l-x有意義,則須l+x∕l-x>0解得-IVXV

1,所以f(x)的定義域?yàn)閧xH<xVl}?

1

(2)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閧x∣-lVxVl},且f(-x)=log2(l+x∕l-x)-=-log

21+χ∕l-χ=-f(χ).所以f(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù).

(3)設(shè)-IVXIVX2<1,則f(x1)-f(x2)=l0g1+x1/1+x2=l0g(1+x1)(1-x2)f(1-

it∏θ<<1÷>r<XX><I-<1?4.

14>j∣.I-

V1?所以?<■-<l?0≤?"■V1??。V

11-Jr,

.?L■<1?≡USl<;■?:-------->

I?1-，.1?I-<∣

<O.B∕<4∣)<∕(<∣>?WU/(?)βi*歐域

X1)(1+X2)?.,-1<X1<X2<1…匕

39.(1)函數(shù)f(x)=sinx+cosx=&sin(x+7r/4),?'.f(x)的最小正周期是2π,最

大值是加^

(2)將y=sinx的圖象向左平行移動(dòng)π∕4個(gè)單位，得到Sin(X+π∕4)的圖

象，再將尸Sin(X+π∕4)的圖象上每-點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的笈倍,

橫坐標(biāo)不變，所得圖象即為函數(shù)y=f(x)的圖象.

40.

1,ATJe

(1)?/(?)——χιn21---eoa???in

(z?-?)..?./(x)的"小正用IIWTd/=&.

/(?)的■大值為1?此時(shí)21-G

WZ.即X=,+A*.*€Z.

得WZ.放“，，的單調(diào)遞增區(qū)間為卜

π∕l2+k兀,5π∕l2+kπ]

(I)Q/)=LC=V5?cos∕C=?

???由余弦定理得

1

O+爐-C2

COSNC=

2cib

πa+Γ-(√3)

cos-=-----

32x1?

Iɑ+I-J

_=',

2la

解得:α=-l(舍去)或a=2

(2)由⑴知。=2

又Q∕)=1,C=√5

.?.由余弦定理得

+c2-b22-+(6)-I-

cosNB=

24。2×2√3--473--T

42.⑴由題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a),則(a,-1)2+(a-6)2=(a-4)2+(a-

5)2=25,a=l;所以圓C的方