專題8-5條件概率與全概率公式貝葉斯公式8類題型（原卷版）

專題85條件概率與全概率公式，貝葉斯公式8類題型TOC\o"13"\n\h\z\u題型一利用定義求條件概率題型二條件概率的乘法公式應用題型三古典概型中的條件概率題型四條件概率：“醫(yī)護”分配型題型五條件概率的性質(zhì)及應用題型六全概率公式及其應用題型七全概率公式與構(gòu)造數(shù)列求通項題型八貝葉斯公式及其應用一．條件概率的基本性質(zhì)1、定義：一般地，設A，B為兩個隨機事件，且，我們稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.2、對于古典概型類，可以采用基本事件總數(shù)的方法來計算：即，其中N(AB)表示事件AB所包含的基本事件個數(shù)。N(A)表示事件A包含的基本事件個數(shù).3、乘法公式：對任意兩個事件A與B，若，則.4、條件概率的性質(zhì)：設，則（1）；（2）如果B和C是兩個互斥事件，則；（3）設和互為對立事件，則5、兩點說明（1）一般地，每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的，這里所說的條件概率是當試驗結(jié)果的一部分信息已知（即在原隨機試驗的條件上，再加上“某事件發(fā)生”的附加條件），求另一事件在此條件下發(fā)生的概率；（2）通常情況下，事件B在“事件A已發(fā)生”這個附加條件下的概率與沒有這個附加條件的概率是不同的。二．全概率公式1、定義：若樣本空間中的事件滿足：（1）任意兩個事件均互斥，即，．（2）．（3）．則對任意事件，都有，則稱該公式為全概率公式2、全概率公式的來由：不難由看出，全概率被分解成了許多部分之和，它的理論和實用意義在于在較復雜情況下直接計算不易，但總伴隨著某個出現(xiàn)，適當去構(gòu)造這一組往往可以簡化計算。3、注意：（1）全概率公式是用來計算一個復雜事件的概率，它需要將復雜事件分解成若干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題．（2）什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式．4、另一個角度理解全概率公式（1）某一事件的發(fā)生有各種可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件發(fā)生的概率是.（2）每一個原因都可能導致發(fā)生，故發(fā)生的概率是各原因引起發(fā)生概率的總和，即全概率公式。（3）由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關。全概率公式表達了它們之間的關系。三．貝葉斯公式（1）一般地，當且時，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且注意：（1）在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看導致這一試驗結(jié)果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率．（2）貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．四．決條件概率問題的步驟：第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現(xiàn)“在……條件下”“在……前提下”等字眼，一般為條件概率；題目中若沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的出現(xiàn)影響所求事件的概率時，也需注意是否為條件概率.若為條件概率，則進行第二步，計算概率，這里有兩種思路.思路一：縮減樣本空間法計算條件概率.如求P(B|A)，可分別求出事件A，AB包含的基本事件的個數(shù)，再利用公式計算；思路二：直接利用條件概率的計算公式計算條件概率，即先分別計算出P(AB)，P(A)，再利用公式計算.當直接求事件A發(fā)生的概率不好求時，可以采用化整為零的方式，即把事件A分解，然后借助全概率公式間接求出事件A發(fā)生的概率.重點題型·歸類精重點題型·歸類精練題型一利用定義求條件概率在不透明的盒子中放有大小、形狀完全相同的6張卡片，上面分別標有編號1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中不放回地抽取兩次卡片，每次抽取一張，只要抽到的卡片編號大于4就可以中獎，已知第一次抽到卡片中獎，則第二次抽到卡片中獎的概率為（）A．B．C．D．袋中有個球，其中紅、黃、藍、白、黑球各一個，甲、乙兩人按序從袋中有放回的隨機摸取一球，記事件甲和乙至少一人摸到紅球，事件甲和乙摸到的球顏色不同，則條件概率（

）A． B． C． D．一個袋子中有2個紅球和3個白球，這些小球除顏色外沒有其他差異．從中不放回地抽取2個球，每次只取1個．設事件=“第一次抽到紅球”，=“第二次抽到紅球”，則概率是（

）A． B． C． D．袋子中裝有大小、形狀完全相同的2個白球和2個紅球，現(xiàn)從中不放回地摸取兩個球，已知第一次摸到的是紅球，則第二次摸到白球的概率為（

）A． B． C． D．某學習小組共有10名成員，其中有6名女生，為學習期間隨時關注學生學習狀態(tài)，現(xiàn)隨機從這10名成員中抽選2名任小組組長，協(xié)助老師了解學情，A表示“抽到的2名成員都是女生”，B表示“抽到的2名成員性別相同”，則（）A．B．C．D．小明每天上學途中必須經(jīng)過2個紅綠燈，經(jīng)過一段時間觀察發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：在第一個紅綠燈處遇到紅燈的概率是，連續(xù)兩次遇到紅燈的概率是，則在第一個紅綠燈處小明遇到紅燈的條件下，第二個紅綠燈處小明也遇到紅燈的概率為（）A．B．C．D．已知，，則.已知有兩箱書，第一箱中有3本故事書，2本科技書；第二箱中有2本故事書，3本科技書．隨機選取一箱，再從該箱中隨機取書兩次，每次任取一本，做不放回抽樣，則在第一次取到科技書的條件下，第二次取到的也是科技書的概率為（

）A． B． C． D．題型二條件概率的乘法公式應用已知，則．若，，，則；．經(jīng)統(tǒng)計，某射擊運動員進行兩次射擊時，第一次擊中9環(huán)的概率為0.6，在第一次擊中9環(huán)的條件下，第二次也擊中9環(huán)的概率為0.8.那么她兩次均擊中9環(huán)的概率為（）A．0.24B．0.36C．0.48D．0.75盒中有個質(zhì)地，形狀完全相同的小球，其中個紅球，個綠球，個黃球；現(xiàn)從盒中隨機取球，每次取個，不放回，直到取出紅球為止.則在此過程中沒有取到黃球的概率為.連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子兩次，觀察每次擲出的點數(shù).設事件A表示“第二次擲出的點數(shù)為1”，事件B表示“第二次擲出的點數(shù)比第一次的小1”，則，.題型三古典概型中的條件概率有甲乙丙丁4名人學生志愿者參加2022年北京冬奧會志愿服務，志愿者指揮部隨機派這4名志愿者參加冰壺，短道速滑、花樣滑冰3個比賽項目的志愿服務，假設每個項目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能參與其中一個項目，求在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺的概率（

）A． B． C． D．花店還剩七束花，其中三束郁金香，兩束白玫瑰，兩束康乃馨，李明隨機選了兩束，已知李明選到的兩束花是同一種花，則這兩束花都是郁金香的概率為________．五一勞動節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一長假期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是題型四條件概率：“醫(yī)護”分配型我國派出醫(yī)療小組奔赴相關國家，現(xiàn)有四個醫(yī)療小組甲、乙、丙、丁，和有4個需要援助的國家可供選擇，每個醫(yī)療小組只去一個國家，設事件A＝“4個醫(yī)療小組去的國家各不相同”，事件B＝“小組甲獨自去一個國家”，則P（A|B）＝（

）A． B． C． D．將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機派往①，②，③三個村莊進行義診活動，每個村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”；C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則（

）A．事件A與B相互獨立 B．事件A與C相互獨立C． D．A，B，C，D，E共5位教師志愿者被安排到甲?乙?丙?丁4所學校參加支教活動，要求每所學校至少安排一位教師志愿者，且每位教師志愿者只能到一所學校支教，在A教師志愿者被安排到甲學校支教的前提下，甲學校有兩名教師志愿者的概率為.一個數(shù)學興趣小組共有2名男生3名女生，從中隨機選出2名參加交流會，在已知選出的2名中有1名是男生的條件下，另1名是女生的概率為．題型五條件概率的性質(zhì)及應用已知事件A，B，C滿足A，B是互斥事件，且，，，則的值等于（）A．B．C．D．設A，B是兩個事件，，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A．B．C．D．（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．已知則（

）A． B． C． D．設A，B是兩個事件，，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．已知隨機事件A，B的概率分別為，且，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．已知，分別為隨機事件A，B的對立事件，，，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則A，B對立C．若A，B獨立，則D．若A，B互斥，則題型六全概率公式及其應用長時間玩可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學生大約30%的人近視，而該校大約有40%的學生每天玩超過2h，這些人的近視率約為60%.現(xiàn)從每天玩不超過2h的學生中任意調(diào)查一名學生，則他近視的概率為（

）A． B． C． D．設甲袋中有3個白球和4個紅球，乙袋中有1個白球和2個紅球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球，則取出的全是紅球的概率為________________.設某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為，，，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為（

）A． B． C． D．盒中有2個紅球，3個黑球，2個白球，從中隨機地取出一個球，觀察其顏色后放回，并加入同色球1個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是紅球的概率是（）A． B．C．D．甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和4個紅球，丙袋中有4個白球和4個紅球．先隨機取一只袋，再從該袋中先后隨機取2個球，第一次取出的球是紅球的概率（）A．B．C．D．某人外出出差，委托鄰居給家里植物澆一次水，設不澆水，植物枯萎的概率為0.8，澆水，植物枯萎的概率為0.15.鄰居記得澆水的概率為0.9.則該人回來植物沒有枯萎的概率為（）A．0.785B．0.845C．0.765D．0.215某游泳小組共有20名運動員，其中一級運動員4人，二級運動員8人，三級運動員8人．現(xiàn)在舉行一場游泳選拔比賽，若一、二、三級運動員能夠晉級的概率分別是0.9，0.7，0.4，則在這20名運動員中任選一名運動員能夠晉級的概率為（）A．0.58B．0.60C．0.62D．0.64題型七全概率公式與構(gòu)造數(shù)列求通項甲?乙?丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，則6次傳球后球在甲手中的概率為（

）A． B． C． D．設有兩個罐子，罐中放有個白球、個黑球，罐中放有個白球，現(xiàn)在從兩個罐子中各摸一個球交換，這樣交換次后，黑球還在罐中的概率為．甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三個人中的任何一人，則第4次傳球后球在甲手中的概率為.甲、乙兩人各拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，原擲骰子的人再繼續(xù)擲；若擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方接著擲．第一次由甲開始擲，則第n次由甲擲的概率（用含n的式子表示）．某學校有、兩個餐廳，已知同學甲每天中午都會在這兩個餐廳中選擇一個就餐，如果甲當天選擇了某個餐廳，他第二天會有的可能性換另一個餐廳就餐，假如第天甲選擇了餐廳，則第天選擇餐廳的概率為.甲、乙兩人玩一種游戲，游戲規(guī)則如下：放置一張紙片在地面指定位置，其中一人在固定位置投籃，若籃球被籃板反彈后擊中紙片，則本次游戲成功，此人繼續(xù)投籃，否則游戲失敗，換為對方投籃．已知第一次投籃的人是甲、乙的概率分別為和，甲、乙兩人每次游戲成功的概率分別為和．(1)求第2次投籃的人是甲的概率；(2)記第次投籃的人是甲的概率為，①用表示；②求．題型八貝葉斯公式及其應用學校給每位教師隨機發(fā)了一箱蘋果，李老師將其分為兩份，第1份占總數(shù)的40％，次品率為5％，第2份占總數(shù)的60％，次品率為4％．若李老師分份之前隨機拿了一