河南博愛英才學校高三上學期第三次考試數(shù)學（文）試卷

2021屆高三上學期第三次考試文科數(shù)學試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則的子集個數(shù)為（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部是()A． B． C． D．3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域內(nèi)遞增的是（）A． B．C． D．4．如圖所示，三國時代數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明．圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影）設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不計，取，則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A． B． C． D．5．已知，則的值域為()A． B． C． D．6．已知正項等比數(shù)列滿足：，，則()A． B． C． D．7．設(shè)、滿約束條件，則的最小值是()A． B． C． D．8．函數(shù)的部分圖像大致為A． B．C． D．9．設(shè)是兩平面，是兩直線．下列說法正確的是（）①若，則②若，則③若，則④若，，，，則A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④10．函數(shù)（其中，）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有點（）A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度11．已知橢圓和雙曲線，若橢圓的離心率，橢圓和雙曲線漸近線的交點與橢圓其中一個焦點的連線垂直于軸．則雙曲線其中一條漸近線的斜率為()A． B． C． D．12．已知是圓的直徑，點為直線上任意一點，則的最小值是（）A．1B．0C．D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知，，，則．14．已知數(shù)列的前項和公式為，則數(shù)列的通項公式為．15．已知拋物線的焦點，過的直線與拋物線交于，兩點，則的最小值是．16．已知正三棱柱的側(cè)面積為，當其外接球的表面積取最小值時，異面直線與所成角的余弦值等于．三、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（12分）某校高三數(shù)學競賽初賽考試后，對90分以上（含90分）的成績進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．若130~140分數(shù)段的人數(shù)為2人．（1）估計這所學校成績在90~140分之間學生的參賽人數(shù)；（2）現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組）中任意選出兩人，形成幫扶學習小組．若選出的兩人成績之差大于20，則稱這兩人為“黃金搭檔組”，試求選出的兩人為“黃金搭檔組”的概率．18．（12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，．（1）求；（2）當時，求的面積．19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，．（1）證明：；（2）設(shè)點在線段上，且，若的面積為，求四棱錐的體積．20．（12分）已知函數(shù)QUOTE，QUOTE，QUOTE.（1）求函數(shù)QUOTE的極值點；（2）若QUOTE恒成立，求QUOTE的取值范圍.21．（12分）已知是橢圓的左、右焦點，圓（）與橢圓有且僅有兩個交點，點在橢圓上．（1）求橢圓的標準方程；（2）過正半軸上一點的直線與圓相切，與橢圓交于點，，若，求直線的方程．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4?4：坐標系與參數(shù)方程】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）把的參數(shù)方程化為極坐標方程；（2）求與交點的極坐標．23．（10分）【選修45：不等式選講】已知函數(shù)，．（1）當時，解不等式；（2）若的值域為，求．2021屆高三上學期第三次考試文科數(shù)學試題答案1．C2．B3．A4．B5．D6．C7．A8．C9D10．B11．【答案】D【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，雙曲線的半焦距為，雙曲線的一條漸近線與橢圓的交點，所以雙曲線的漸近線的斜率為．12．【答案】A13．【答案】14．【答案】15．【答案】16．【答案】【解析】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，高為，球的半徑為，由題意知，即，底面外接圓半徑，由球的截面圓性質(zhì)知，當且僅當時取等號，將三棱柱補成一四棱柱，如圖，知，即為異面直線與所成角或補角，，，所以．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)分之間的人數(shù)是，由分數(shù)段的人數(shù)為2人，可知，得．（2）依題意，第一組共有人，記作、、、；第五組共有2人，記作、．從第一組和第五組中任意選出兩人共有下列15種選法：、、、、、、、、、、、、、、．設(shè)事件：選出的兩人為“黃金搭檔組”，若兩人成績之差大于20，則兩人分別來自第一組和第五組，共有8種選法，故．18．【答案】（1）；（2）．【解析】∵，∴，即．∴，，，則．（2）∵，∴，，∵，∴，由正弦定理，可得，，所以．19．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】證明：（1），，平面平面，交線為，平面，從而，，，，平面，平面，．（2）設(shè)，則，，由（1）知平面，，，取中點，連結(jié)，，則，，且由（1）知平面，平面，，，，，，，由，解得，在中，到的距離，到平面的距離，四棱錐的體積．20．【答案】（1）極大值點為QUOTE，無極小值點.（2）QUOTE.【解析】（1）的定義域為QUOTE，QUOTE，當QUOTE時，QUOTE，所以QUOTE在QUOTE上單調(diào)遞增，無極值點；當QUOTE時，解QUOTE得QUOTE，解QUOTE得QUOTE，所以QUOTE在QUOTE上單調(diào)遞增，在QUOTE上單調(diào)遞減，所以函數(shù)QUOTE有極大值點，為QUOTE，無極小值點.（2）由條件可得QUOTE恒成立，則當QUOTE時，QUOTE恒成立，令QUOTE，則QUOTE，令QUOTE，則當QUOTE時，QUOTE，所以QUOTE在QUOTE上為減函數(shù).又QUOTE，所以在QUOTE上，QUOTE；在QUOTE上，QUOTE.所以QUOTE在QUOTE上為增函數(shù)，在QUOTE上為減函數(shù)，所以QUOTE，所以QUOTE.21．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依題意，得，所以，所以橢圓為，將點代入，解得，則，所以橢圓的標準方程為．（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)斜率為，（），則直線方程為，設(shè)，，直線與圓相切，則，即，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元得，，，，因為，所以，即，，所以，解得，即，所求直線方程為．22．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為：，轉(zhuǎn)換為極坐標方程為：．（2）曲線的極坐標方程為．轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為：，所以：，整理出公共弦的