河南省豫西南聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省豫西南聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槿?，所以，又因?yàn)榧?，所以，故選：D.2.已知，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，即．故選：A．3.設(shè)均為正數(shù)，且，，．則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，從圖象可以看出．4.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，，則所求切線方程為，即，故選：A.5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，滿足，則（）A.45 B.50 C.55 D.60〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意：，兩式作差可得，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，故選：D．6.下列說法正確的是（）A.“直線與直線互相平行”是“”的充分不必要條件B.直線的傾斜角的取值范圍是C.過點(diǎn)的直線分別與軸，軸的正半軸交于兩點(diǎn)，若取最小值時(shí)，直線的方程為D.已知，若直線與線段有公共點(diǎn)，則〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A中，若兩直線平行，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，所以“直線與直線互相平行”是“”的必要不充分條件，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由直線，可得，所以斜率，設(shè)傾斜角為，可得，因?yàn)?，所以，所以B不正確；對(duì)于C中，根據(jù)題意設(shè)直線，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)直線的方程為，所以C正確；對(duì)于D中，由直線可化為，所以直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)?，結(jié)合圖象可知,直線斜率，故D不正確.故選：C.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足.若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在區(qū)間上單調(diào)，，的對(duì)稱中心為，且，，即，即，.又的對(duì)稱中心為，，在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為，五個(gè)零點(diǎn)之間即，六個(gè)零點(diǎn)之間即，只需即可，即，又，.故選：B.8.已知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，則，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則有，，則點(diǎn)A，B在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為，半徑，則其方程為，變形可得，聯(lián)立，可得圓D和圓O公共弦為：，又由，則有，變形可得，則有，可解得，故直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，，當(dāng)時(shí)，C到直線AB的距離最大，M到直線AB的距離也最大，則點(diǎn)到直線距離的最大值為.故選:B.二、多選題9.下列說法正確的是（）A.若不等式的解集為，則B.若命題，，則的否定為C.在中，“”是“”的充要條件D.若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗選項(xiàng)A，由題意知，和2是方程的兩根，所以，解得，，所以，即選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，根據(jù)全稱量詞命題的否定形式，可知的否定為，，即選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，由，知，所以或，即或，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，不等式可整理為，即對(duì)恒成立，所以，即，解得，即選項(xiàng)D正確．故選：ABD．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度可得函數(shù)的圖象D.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱〖答案〗ACD〖解析〗由圖可知，，函數(shù)的最小正周期，故A正確；由，知，因?yàn)?，所以，所以，，即，，又，所以，所以，?duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象，故C正確；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確．故選：ACD．11.(多選)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體，給出下列結(jié)論中，正確的是（）A.平面ABB1A1的一個(gè)法向量為(0，1，0)B.平面B1CD的一個(gè)法向量為(1，1，1)C.平面B1CD1的一個(gè)法向量為(1，1，1)D.平面ABC1D1的一個(gè)法向量為(0，1，1)〖答案〗AC〖解析〗∵＝(0，1，0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正確；∵＝(－1，0，0)，而(1，1，1)·＝－1≠0，∴(1，1，1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正確；C中,AC1⊥，AC1⊥，，AC1⊥面B1CD1且＝(1，1，1)，∴C正確，D中，因＝(1，0，0)，∴·(0，1，1)＝0，又＝(0，1，1)，且(0，1，1)·(0，1，1)≠0，∴D不正確．故選：AC12.已知函數(shù)定義域?yàn)?，部分?duì)應(yīng)值如表，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示.下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)的極大值點(diǎn)有個(gè)B.函數(shù)在上是減函數(shù)C.若時(shí)，的最大值是，則的最大值為4D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)〖答案〗ABD〖解析〗由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為、，B選項(xiàng)正確；函數(shù)有個(gè)極大值點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大值是，而最大值不是，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；作出函數(shù)的圖象如下圖所示，由下圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題13.設(shè)，函數(shù)，若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是_________〖答案〗〖解析〗由題意得，在上僅有兩個(gè)不同的解，即在上僅有兩個(gè)不同的解，即在上僅有兩個(gè)不同的解，設(shè)，則在上的圖象與直線僅有兩個(gè)交點(diǎn)，作出及直線的圖象如下圖所示，由圖象可知，．故〖答案〗為：．14.已知向量與夾角為，且，，則________．〖答案〗1〖解析〗依題意，，則有，由兩邊平方得：，即，解得：，所以.故〖答案〗為：115.已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的面積為___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，.則，點(diǎn)到直線的距離，所以.故〖答案〗為：16.若關(guān)于x的不等式恒成立，則的最大值是________________.〖答案〗〖解析〗由，，原不等式可化為.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，遞增；，，遞減.所以，在處取得極大值，且為最大值；時(shí)，.的圖象恒在的圖象的上方，顯然不符題意；當(dāng)時(shí)，為直線的橫截距，其最大值為的橫截距，再令，可得，所以取得最大值為.此時(shí)，，直線與在點(diǎn)處相切.四、解答題17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題意得:解得:，所以的通項(xiàng)公式為，即.（2）令，則，即整理得：.18.綿陽市37家A級(jí)旅游景區(qū)，在2023年國慶中秋雙節(jié)期間，接待人數(shù)和門票收入大幅增長．綿陽某旅行社隨機(jī)調(diào)查了市區(qū)100位市民平時(shí)外出旅游情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：喜歡旅游不喜歡旅游總計(jì)男性203050女性302050總計(jì)5050100（1）能否有的把握認(rèn)為喜歡旅游與性別有關(guān)？（2）將頻率視為概率，從全市男性市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，記這2人中喜歡旅游的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：0.05000100.001k3.8416.63510.828解：（1）因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為喜歡旅游與性別有關(guān).（2）由表中數(shù)據(jù)可知：從全市男性市名中隨機(jī)抽取一人，該人喜歡旅游的概率為，由題意可知：，的可能取值為0,1,2.所以，，，所以的分布列為：所以（或者）.19.如圖，在四棱錐中，，，，，，，．（1）求證：平面平面；（2）若為上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：，，，，，平面，平面，平面，平面平面；（2）解：取的中點(diǎn)．連接、，由（1）知平面，平面，，如圖，過點(diǎn)作，，，，，，，，，，由勾股定理可知，，平面，平面，，為的中點(diǎn)，，又，，平面，為直線與平面所成角，由（1）知，又，，，，，則，，，，直線與平面所成角的正弦值為．20.2023年第31屆大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)在成都舉行，中國運(yùn)動(dòng)員在賽場(chǎng)上挑戰(zhàn)自我，突破極限，以拼搏的姿態(tài)，展競技之美，攀體育高峰．最終，中國代表團(tuán)以103枚金牌?40枚銀牌?35枚銅牌，總計(jì)178放獎(jiǎng)牌的成績，位列金牌榜和獎(jiǎng)牌榜雙第一，引發(fā)了大學(xué)生積極進(jìn)行體育鍛煉的熱情．已知甲?乙兩名大學(xué)生每天上午?下午都進(jìn)行體育鍛煉，近50天選擇體育鍛煉項(xiàng)目情況統(tǒng)計(jì)如下：體育鍛煉目的情況（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天

10天乙10天10天5天25天假設(shè)甲?乙上午?下午選擇鍛煉的項(xiàng)目相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．（1）已知甲上午選擇足球的條件下，下午仍選擇足球的概率為，請(qǐng)將表格內(nèi)容補(bǔ)充完整；（寫出計(jì)算過程）（2）記為甲?乙在一天中選擇體育鍛煉項(xiàng)目的個(gè)數(shù)差，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）已知在這50天中上午室外溫度在20度以下的概率為，并且當(dāng)上午的室外溫度低于20度時(shí)，甲去打羽毛球的概率為，若已知某天上午甲去打羽毛球，求這一天上午室外溫度在20度以下的概率．解：（1）設(shè)事件C為“甲上午選擇足球”，事件為“甲下午選擇足球”，設(shè)甲一天中假煉情況為（足球，羽毛球）的天數(shù)為，則，解得，所以甲一天中鍛煉情況為（羽毛球，足球）的天數(shù)為．體育鍛煉項(xiàng)目的情況（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天15天5天10天10天10天5天25天（2）由題意知，甲上午?下午選擇同一種球的概率為，選擇兩種球的概率為；乙上午?下午選擇同一種球的概率為，選擇兩種球的概率為．記為甲?乙在一天中選擇體育鍛煉項(xiàng)目的個(gè)數(shù)差，則的所有可能取值為，．，，所以的分布列為所以．（3）記事件為“上午室外溫度在20度以下”，事件為“甲上午打羽毛球”，由題意知，.故若某天上午甲去打羽毛球，則這一天上午室外溫度在20度以下的概率為．21.邊長為4的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，四邊形是半圓弧的內(nèi)接梯形，且.（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，且二面角與二面角的大小都是，當(dāng)點(diǎn)在棱（包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求直線和平面所成角的正弦值的取值范圍.（1）證明：在正方形中，∵面面面，面面，∴面，∵面,∴，∵在以為直徑的半圓上，∴，又∵面，面，又面，∴面面，（2）解：∵，∴又∵為二面角的平面角，∴，同理.在梯形中，.取的中點(diǎn)，以為軸正半軸，以平行于的方向?yàn)檩S正半軸，以平面內(nèi)垂直于的方向?yàn)檩S正半軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為則，令，則，設(shè)直線和平面所成角為，則，設(shè)，則，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，任意，，因?yàn)椋?，，，所以，所以在上為減函數(shù)，故，所以，所以，所