2023-2024學(xué)年重慶市江津高二（單招班）下冊(cè)期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年重慶市江津高二(單招班)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知函數(shù)"x)=3x+g,則/'⑴=()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

【分析】求導(dǎo)，代入求值即可.

【詳解】r(x)=3-9,故毛⑴=37=2.

故選：B

2.已知定義在［0,3］上的函數(shù)/S)的圖像如圖，則不等式/(x)VO的解集為()

C.(2,3)D.(0,1).(2,3)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即得結(jié)論.

【詳解】由圖象知/(X)在。,2)上是減函數(shù)，所以八功＜0的解集是在2).

故選：B.

3.若則Iim//)-"/+")=().

ατ°a

A.2B.1C.-2D.-1

【正確答案】D

【分析】根據(jù)極限的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)?'(%)=1,

所以IinZOi=_lil√(?÷?.)-∕(?h,1

ατθaa→Qa

故選：D

4.從2名男生和3名女生中任選2人參加黨史知識(shí)演講比賽，則至少有一名男生被選中的

概率是（）

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

【正確答案】A

【分析】先求出基本事件結(jié)果數(shù)C3其中沒(méi)有男生的種數(shù)為C"再根據(jù)對(duì)立事件的概率公

式可求出結(jié)果.

【詳解】從2名男生和3名女生中任選2人，共有C；=10種方法，其中沒(méi)有男生的種數(shù)為

C；=3,

則至少有一名男生被選中的概率為：=1-±=得，

故選：A

5.（l+x）K）展開(kāi)式中χ2的系數(shù)為（）

A.1B.10C.45D.120

【正確答案】C

【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.

【詳解】（l+x）H）展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為心=。肅，令r=2得Y的系數(shù)為C：0=45.

故選：C.

6.中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)''合稱"六藝”?"禮"主要指德育;“樂(lè)”主要指美育;“射”

和“御''就是體育和勞動(dòng);“書(shū)”指各種歷史文化知識(shí);“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”講

座活動(dòng)，每藝安排一次講座，共講六次，講座次序要求“禮”在第一次，“射”和“數(shù)”相鄰，“射”

和“御''不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（）種

A.36B.48C.64D.84

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意“禮”的次序一定，因此分類考慮“射”的次序排法，再考慮"數(shù)''以及"御'’的

次序牌法，根據(jù)分類加法計(jì)算原理可求得答案.

【詳解】由題意，“禮”排第一，當(dāng)“射”排第二或六時(shí)，“數(shù)”只有一種次序，其余全排列，有

2A；種次序，

當(dāng)"射''排第三、四、五時(shí)，“數(shù)”有兩種次序可選，“御”也有兩種次序可選，其余全排列,

此時(shí)有3A；A；A；種次序,

故“六藝”課程講座不同的排課順序共有2A；+3A；A；A；=12+24=36?,

故選：A.

5

7.設(shè)（2x-l）5=4）+4%++a5x,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.?=1B.ax+a2+a3+a4+a5=1

C.4+〃)+4=-121D.6F∣+=121

【正確答案】C

【分析】設(shè)/(x)=(2X-Iy=4+4χ++α5√,利用賦值法可判斷各選項(xiàng)的正誤.

5

【詳解】設(shè)/(x)=(2X-Iy=q>+Olx++a5x,

對(duì)于A選項(xiàng)，?=∕(0)=(-l)5=-l,A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，

4+叼+色+/+%=(4+4+“2+《+%+處)—“o=∕(∣)—(—1)=(2—?)'+1=2,

B錯(cuò);

f(1)=a0+al+a2+a3+a4+a5=?

對(duì)于選項(xiàng),

CDa5

J(T)=o-cιl+a2-%+a4-a5=(-3)

所以，&+…="(T)W=—⑵,

4+%+應(yīng)="l)∕T)j+j43=122,C對(duì)D錯(cuò).

故選：C.

3=）的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則所有項(xiàng)的系數(shù)之

8.已知［2x+

和為（）

A.2l2B.312C.3">D.210

【正確答案】C

【分析】先根據(jù)第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等列出等式，解出〃=10,再用賦值法即可

得出結(jié)果.

【詳解】解：因?yàn)?2x+亡)

且第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,

所以C：=C：,解得〃=10,取X=1,所以所有項(xiàng)的系數(shù)之和為30

故選：C

9.函數(shù)/(x)=x-2ku的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(田,0)和(0,2)B.(2,+∞)C.(→Λ,2)D.(0,2)

【正確答案】B

【分析】求出導(dǎo)函數(shù),(X),由/'(x)>0確定增區(qū)間.

【詳解】/(x)=l-^=^,/(x)的定義域?yàn)?0,+∞),

由r(x)>O,得x>2,

.?./(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8).

故選：B.

10.有5名學(xué)生志愿者到3個(gè)小區(qū)參加疫情防控常態(tài)化宣傳活動(dòng)，每名學(xué)生只去1個(gè)小區(qū),

每個(gè)小區(qū)至少安排1名學(xué)生，則不同的安排方法為()

A.60種B.120種C.150種D.30種

【正確答案】C

【分析】將5名學(xué)生分為3組，再結(jié)合“先選后排''運(yùn)算即可得解.

CCCA；

【詳解】當(dāng)3個(gè)小區(qū)分配的學(xué)生人數(shù)為1,1,3時(shí)，共有=60種安排方法;

$

當(dāng)3個(gè)小區(qū)分配的學(xué)生人數(shù)為1,2,2時(shí),共有CC對(duì)A；=90種安排方法;

所以不同的安排方法為60+90=150.

故選：C.

二、填空題

11.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，則E(X)=.

X123

P0.2a0.5

【正確答案】2.3

【分析】先由概率總和為1求出參數(shù)“，再根據(jù)期望公式即可求得結(jié)果.

【詳解】由題，由概率性質(zhì)，P(X=I+P(X=2)+P(X=3)=1,可解得4=0.3,

故E(X)=IXO.2+2xO.3+3xO.5=2.3,

故2.3

12.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布若E(X)=20,D(X)=I5,則P=.

【正確答案】?

4

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式得出關(guān)于〃和P的方程組，即可解出P的值.

fE(X)=MP=20["=80

【詳解】由二項(xiàng)分布的期望和方差公式得八;丫〈人?∣<,解得1.

故答案為.丁

本題考查根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差求參數(shù)，考查公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基

礎(chǔ)題.

13.已知函數(shù)y=∕(χ)的圖象在點(diǎn)M(IJ(I))處的切線方程是y=2χ+ι,則

“I)+/。)=-------

【正確答案】5

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得了'(1)的值，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入切線方程可得/(1),即可得

解.

【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得/'(1)=2,將點(diǎn)〃的坐標(biāo)代入切線方程可得

/(1)=2×1+1=3,

因此，/(1)+Γ(1)=5.

故答案為.5

14.已知函數(shù)〃X)的導(dǎo)函數(shù)為為為)，且〃X)=X3+2W(I)-1,則/⑴=.

【正確答案】-3

【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)得了'(X),然后令x=l,即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(x)=x3+2礦(1)一1,則洋(X)=3f+2/⑴,

令x=l,則/'(1)=3+2∕'(1),ep∕r(l)=-3.

故—3

15.如圖，現(xiàn)要對(duì)某公園的4個(gè)區(qū)域進(jìn)行綠化，有4種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公

共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，則不同的綠化方案有種.

【正確答案】48

【分析】利用分步乘法原理求解即可

【詳解】如圖：

從A開(kāi)始擺放花卉，A有4種顏色花卉擺放方法，

B有3種顏色花卉擺放方法，C有2種顏色花卉擺放方法；

由力區(qū)與B,A花卉顏色不一樣，與C區(qū)花卉顏色可以同色也可以不同色,

則力有2種顏色花卉擺放方法.

故共有4x3x2x2=48種涂色方法.

故答案為.48

三、解答題

16.有政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門(mén)學(xué)科的學(xué)業(yè)水平考試成績(jī)，現(xiàn)要從中選

3門(mén)成績(jī).

(1)共有多少種不同的選法？

(2)如果物理和化學(xué)恰有1門(mén)被選，那么共有多少種不同的選法？

(3)如果物理和化學(xué)至少有1門(mén)被選，那么共有多少種不同的選法.

【正確答案】(1)20；(2)12；(3)16

【分析】(1)根據(jù)6選3組和方式計(jì)算即可；

(2)先從物理和化學(xué)選1門(mén)，再?gòu)氖Ｏ?門(mén)中選2門(mén)，分步相乘即可；

(3)分為物理和化學(xué)恰有1門(mén)被選和物理和化學(xué)都被選兩種情況求解.

【詳解】(1)從6門(mén)成績(jī)中選3門(mén)成績(jī)共有C：=20種不同的選法；

(2)如果物理和化學(xué)恰有1門(mén)被選，則共有C；C：=12種不同的選法；

(3)如果物理和化學(xué)至少有1門(mén)被選，則共有CC：+C=I2+4=16種不同的選法.

17.已知函數(shù)/(x)=gχ3-2f+3x+l.

⑴求函數(shù)F(X)在點(diǎn)X=T處的切線方程；

⑵求函數(shù)在卜3,4］的最大值和最小值.

【正確答案】(l)y=8x+?^

(2)最大值為：，最小值為-35

【分析】(I)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)/(x)在X=-I的導(dǎo)數(shù)值，即切線斜率；代入直

線的點(diǎn)斜式方程即可；(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)/(x)在卜3,4］上的單調(diào)性，求出極大值和

極小值，再分別求出端點(diǎn)處的函數(shù)值比較即可得出其最大值和最小值.

【詳解】⑴易知，函數(shù)/(x)=gχ3-2χ2+3x+l的定義域?yàn)閄eR；

所以/(-1)=一；一2-3+1=-弓，則切點(diǎn)為1-1,-葭)

又f'(x)=χ2-4x+3=(x-3)(x-l),

則/(x)在點(diǎn)X=-I處的切線斜率左=?f(T)=8,

1311

所以，切線方程為"τ=8(x+l),整理可得y=8x+1

即函數(shù)/(χ)在點(diǎn)X=-1處的切線方程為y=8x+^?

(2)由(1)可知,當(dāng)XG(L3)時(shí),∕,(x)<0,f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減;

Xe(-3,1)或(3,4)時(shí),∕,(x)>O,f(x)在(—3,1)或(3,4)上單調(diào)遞增;

函數(shù)/(x)在［-3,4］上的單調(diào)性列表如下:

X卜3』)1(1,3)3(3,4]

F(X)■極大值極小值*

17

所以，/(X)的極大值為"l)=］-2+3+l=(,極小值為/(3)=9—2χ9+9+l=l;

χ∕(-3)=-9-2×9-9+l=-35,/(4)=y-2×16+3×4+l=?；

綜上可得，函數(shù)“X)在［-3,4］上的最大值為:，最小值為-35

18.為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)造力，學(xué)校打算開(kāi)設(shè)“數(shù)學(xué)建?！边x修課，為了解學(xué)生對(duì)

“數(shù)學(xué)建?！钡呐d趣度是否與性別有關(guān)，學(xué)校隨機(jī)抽取該校30名高中學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，其

中認(rèn)為感興趣的人數(shù)占70%.

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有85%的把握認(rèn)為學(xué)生

對(duì)“數(shù)學(xué)建模''選修課的興趣度與性別有關(guān)？

感興趣不感興趣合計(jì)

男生12

女生5

合計(jì)30

(2)若感興趣的女生中恰有4名是高三學(xué)生，現(xiàn)從感興趣的女生中隨機(jī)選出3名進(jìn)行二次訪

談，記選出高三女生的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【正確答案】（1）表格見(jiàn)解析，沒(méi)有85%的把握;

4

（2）分布列見(jiàn)解析，E（X）=-.

【分析】（1）由題可得列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表可得K?進(jìn)而即得；

（2）由題可得X的取值，然后利用古典概型概率公式求概率，進(jìn)而可得分布列，再利用期

望公式即得.

【詳解】（1）列聯(lián)表如下：

感興趣不感興趣合計(jì)

男生12416

女生9514

合計(jì)21930

^^30χ（l2×5-4×9/^4082<2072,

16×14×21×9

所以沒(méi)有85%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)建模”選修課的興趣度與性別有關(guān):

（2）由題意可知X的取值可能為0,1,2,3,

C35

則P（X=O）=百=打，

P（X=D=罟4，

P—2喈怖

pg）春$

故X的分布列為

X0123

51051

P

42211421

E(X)=OXa+lχW+2χW+3χ,=±

422114213

19.已知函數(shù)/(x)=d+0r2+%χ+c在χ=-g及χ=ι處取得極值.

⑴求α,(的值;

(2)若方程/(x)=0有三個(gè)不同的實(shí)根，求C的取值范圍.

【正確答案】(1)

⑵-奈?

f'[—]=0[a--?

【分析】(1)由已知可得I3J,解方程即可得出，，.進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),

U(I)=O—

檢驗(yàn)即可得出答案；

——>0

(2)根據(jù)(1)求出的極值，結(jié)合三次函數(shù)的圖象，可知I3；,求解即可得出C的

∕0)<θ

取值范圍.

【詳解】(1)由題意得/'(x)=3f+2&x+A,

函數(shù)"x)在X=-；及x=l處取得極值，

[a=-1

,解得一」?

r⑴=3+2α+b=01

此時(shí)，Γ(X)=3X2-2X-1=(3X+1)(X-1).

當(dāng)χ<T時(shí)，∕,χ)>