人教版高中數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四

邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱A8COE-A力COZ'或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，

如五棱柱

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；

側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所

圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐P-AEC力Z'

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比

等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的

部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)P-AAC力Z'

幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱

錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面

所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④

側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所

1

圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓：②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。

（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的

部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓：②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)廣③側(cè)面展開(kāi)圖

是一個(gè)弓形。

（7）球體:定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾

何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

（1）定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向

右）、

俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；

⑵畫(huà)三視圖的原則：

長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等

（3）直觀圖：斜二測(cè)畫(huà)法

（4）斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：

（1）.平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；

（2）.平行于y軸的線長(zhǎng)度變半，平行于x,z軸的線長(zhǎng)度不變；

（3）.畫(huà)法要寫(xiě)好。

（5）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出長(zhǎng)方體的步驟：（1）畫(huà)軸（2）畫(huà)底面（3）畫(huà)側(cè)棱（4）

成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，力為斜高，I為母線）

S直棱柱側(cè)面積=chS圓柱側(cè)=27irhS正棱錐側(cè)面積=耳"'

2

s圓錐側(cè)面積二加"

S正棱臺(tái)側(cè)面積=](q+。2)"S圓臺(tái)側(cè)面積=(r+R)乃/

S圓柱表=2"(r+/)S圓錐表="(r+Z)

S圓臺(tái)表="(廠+”++R-)

(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

,1

/=S/zVm=Sh=7[r-h=-Sh%1錐=~^~h

(4)球體的表面積和體積公式：V球二；S球面二4萬(wàn)R2

第二章直線與平面的位置關(guān)系口

Z"

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系A(chǔ)Z------

(1)平面

①平面的概念：A.描述性說(shuō)明；B.平面是無(wú)限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母a、B、Y表示，如平面。(通常寫(xiě)在一個(gè)銳角內(nèi))；

也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面BCo

③點(diǎn)與平面的關(guān)系:點(diǎn)力在平面a內(nèi)，記作Aetz點(diǎn)A不在平面a內(nèi)，記作A/a

點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)/的直線/上，記作：力￡/；點(diǎn)/在直線/外，記作

/紀(jì)/；

直線與平面的關(guān)系：直線/在平面a內(nèi)，記作勺a;直線/不在平面a內(nèi)，記

作/(zao

(2)公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都

3

在這個(gè)平面內(nèi)。

（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線）

應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1:

（3）公理2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行

直線確定一平面。

公理2及其推論作用①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的

依據(jù)

（4）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該

點(diǎn)的公共直線

符號(hào)：平面a和B相交，交線是a,記作0（00=a。

符號(hào)語(yǔ)言:P&ABnAB=l,Pei

公理3的作用：

①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。

②它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)。

③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

什石古屋相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

共面直線1

平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。

2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

a堂=>a〃c

c〃b

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

4注意點(diǎn)：

①a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與O的選擇無(wú)關(guān)，為

簡(jiǎn)便，點(diǎn)。一般取在兩直線中的一條上；

②兩條異面直線所成的角ee（（?,）;

③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記

作a_Lb；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

4

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

(1)直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

(2)直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

(3)直線在平面平行一沒(méi)有公共點(diǎn)

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外空可用aa來(lái)表示

ECaaCa=Aa〃a

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,

則該直線與此平面平行。

簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。

符號(hào)表示：

Ccn

￡p_J=>a//a

a〃b

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則

這兩個(gè)平面平行。

uBp

aClb=P0〃a

a//a

b〃a

2、判斷兩平面平行的方法有三種：

(1)用定義；

(2)判定定理；

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線

與該直線平行。

簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。—________________.

符號(hào)表示：\a\

a〃a工Y

仁0Ja〃b^

aAp=b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。

2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的3

符號(hào)表示：fJ

a〃B]:

any=aJa〃b

pny=b^

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義

如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線L與平面a互

相垂直，記作L_La,直線L叫做平面a的垂線，平面c(叫做直線L的垂面。如圖，

直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。

AP

6

2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平

面垂直。

注意點(diǎn)：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b）定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相

轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

2、二面角的記法：二面角aT-0或orAB-0

3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平

面垂直。

2.3.3—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂

直。

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖

第三章直線與方程

7

3.1直線的傾斜角和斜率

3.1傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線1與X軸相交時(shí)，取X軸作為基準(zhǔn)，X軸正向

與直線1向上方向之間所成的角a叫做直線1的傾斜角.特別地當(dāng)直線1與X軸

平行或重合時(shí)，規(guī)定a=0°.

2、傾斜角a的取值范圍：(TWa<180。.當(dāng)直線1與x軸垂直時(shí)，a=90。.

3、直線的斜率：

一條直線的傾斜角a(ak90。)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫(xiě)

字母k表示,也就是k=tana

⑴當(dāng)直線1與x軸平行或重合時(shí),a=0。,k=tan0°=0;

(2)當(dāng)直線1與x軸垂直時(shí)，a=90。，k不存在.

由此可知，一條直線1的傾斜角a一定存在，但是斜率k不一定存在.

4、直線的斜率公式：

給定兩點(diǎn)Pl(xl,yl),P2(x2,y2),xl#x2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線P1P2的

斜率：

斜率公式：k=y2-yl/x2-xl

3.1.2兩條直線的平行與垂直

1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之,

如果它們的斜率相等，那么它們平行，即|"八20%=肩

注意：上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)

前提，結(jié)論并不成立.即如果kl=k2,那么一定有L1〃L2

2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之,

如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即丫一>0=左(%-％0)

3.2.1直線的點(diǎn)

斜式方程

1、直線的點(diǎn)斜式方程：直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)月(%0，%)，且斜率為女

2、、直線的斜截式

方程：已知直線/的斜率為2,且與y軸的交點(diǎn)為(0,勿y=kx+b

3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程

8

1、直線的兩點(diǎn)式方程：已知兩點(diǎn)4(%|,尤2)，月(尤2，%)其中(毛。％2，X。

y-yl/y-y2=x-xl/x-x2

2、直線的截距式方程：已知直線/與工軸的交點(diǎn)為A(a,O),與y軸的交點(diǎn)為

B(O,b),其中

3.2.3直線的一般式方程

1、直線的,----------------7一般式方程：關(guān)于的二元一次方

程I啊=J(%2-%2)+(%-X)A%+或+C=0(A,B不同時(shí)為0)

2、各種直線方程之間的互化。

3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

3.3.兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

1、給出例題：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)

LI：3x+4y-2=0LI：2x+y+2=0

解：解方程組：得x=-2,y=2

2x+2y+2=0

所以L1與L2的交點(diǎn)坐標(biāo)為M(-2.2)

i.兩點(diǎn)間距離

兩點(diǎn)間的距離公式

ii.點(diǎn)到直線的距離公式

1.點(diǎn)到直線距離公式：

點(diǎn)2%，打)到直線/：41+儀^+。=0的距離為：、」隼+3%+。1

yjA2+B2

11J.ljoki=--ok]k2=-1

2、兩平行線r間的距離公式:

已知兩條平行線直

線6和乙的一般式方程為4:Ax+By+C,=0,

9

|G-G|

l2-Ax+By+C2=0,則4與乙的距離為d

A2+B2

1、圓與方程

4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a>+(y-b)2=產(chǎn)

圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程

2、點(diǎn)與圓(x-a)2+(y-份2=/的關(guān)系的判斷方法：

(1)(入0-4<+(%-匕)2>戶，點(diǎn)在圓外(2)(%-")2+(%-加2=/,點(diǎn)在圓

上

(3)(/，點(diǎn)在圓內(nèi)

4.1.2圓的一般方程

1、圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=O

2、圓的一般方程的特點(diǎn)：

(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0.②沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng).

(2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的

方程就確定了.

(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，兒何特征較明顯。

4.2.1圓與圓的位置關(guān)系

1、用點(diǎn)到直線的距離來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系.

設(shè)直線/:ax+by+c=O,圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0,圓的半徑為r,圓

心(--芻到直線的距離為d,則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾

點(diǎn)：

(1)當(dāng)〃時(shí)，直線/與圓C相離；⑵當(dāng)d=r時(shí)，直線/與圓C相切；

10

(3)當(dāng)時(shí)，直線/與圓C相交；

4.2.2圓與圓的位置關(guān)系

兩圓的位置關(guān)系.

設(shè)兩圓的連心線長(zhǎng)為/,則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：

(1)當(dāng)/>，1+&時(shí)，圓G與圓C?相離；(2)當(dāng)/=八+&時(shí)，圓G與圓C2外

切；

(3)當(dāng)-，21<，<八+廠2時(shí)，圓G與圓C2相交；

⑷當(dāng)/0八-〃1時(shí)，圓G與圓C2內(nèi)切；(5)當(dāng)/<1(-'21時(shí),圓G與圓。2

內(nèi)含；

4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方

法判斷：

(1)設(shè)直線/：Ax+5y+C=0,圓。:下-4+(y-b)2=/,圓心。(a,b)到/的距

離為d_\Aa+Bb+C\,貝［J有。>〃=/與。相離；"=r=/與C相切；

-JA2+B2

4<rO2與。相交

(2)設(shè)直線/:Ax+8y+C=0,圓C:(x-af+(>-/?『=/,先將方程聯(lián)立消元，

得到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為△,則有

△<