2022-2023學年廣東省惠州市重點中學高一（下）期中聯(lián)考數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年廣東省惠州市重點中學高一（下）期中聯(lián)考數(shù)學

試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

TT/\

1.CoS五=()

ΛΛ^5+ΛΛ7B口--C?Γ~6+yJ~~2D.一三

-4?44

2.已知4,B,C,。為平面上四點，則“向量而〃而”是“直線4B〃CO”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)/(x)=sin(2x-3)在［0,竿］上的最小值為()

A.-1B.-WC.-≤?D.-?

222

4.若向量方，加滿足|町=1,|3|=2，且為與方的夾角為小則∣2+B∣=()

A.2B.√-5C.√r^6D.√^7

5.已知S譏2a=2-2CoS2α,則tɑ?Ia=()

C./(t)=cos(πt+今

D./(t)=cos(2t-

7.已知AABC的外接圓圓心為。，且2m=南+而，?A0?=?AB?=2,則瓦5?瓦s=()

A.0B.2C.4D.4√~3

8.智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過

主動降噪芯片生成的聲波來抵消噪聲（如圖）.已知噪聲的聲波曲線是y=2cos3x,通過主動降

噪芯片生成的聲波曲線是丫=4§譏（3%+0）（其中2>0,ω>O,0≤φ<2π）,則@=（）

噪聲聲波

用來降噪的反向聲波兩者益加后

A.≡B,πC.?D.ξ

N2b

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列命題正確的是（）

A.空間中所有的單位向量都相等

B.若五=石,貝限〃B

C.若五,方滿足I五∣>∣B∣,且方，方同向，則五>方

D.對于任意向量五，石，必有|五+石I≤I五I+|另|

10.下列說法正確的是（）

A.向量五在向量另上的投影向量可表示為萼?金

?b?Ibl

B.若五不<0,則W與石的夾角。的范圍是€，兀］

C.若△4BC是等邊三角形，則而，灰的夾角為60。

D.若方i=0，則五1方

11.古代典籍倜易少中的“八卦”思想在我國建筑中有一定影響.如圖是受“八卦”的啟

示，設(shè)計的正八邊形的八角窗，若。是正八邊形4BCDEFGH的中心，且|四I=1,則（）

A.JTA+^DE=0B.ODOF=0

C.OA+OC=y∕~30BD.AC-CD=^

12.己知函數(shù)/O)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,?φ?<［的

部分圖象如圖所示，下列說法正確的是()

A.函數(shù)f(x)的最小正周期為JT

B.函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于點(-*0)對稱

C.函數(shù)f(x)圖象向右平移看個單位可得函數(shù)y=2s譏2x的圖象

D.若方程/(X)=m(m∈R)在［一看苧上有兩個不等實數(shù)根久1，

x,

2則CoS(Xl+X2)=~γ^

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知|石|=2|何，若五與方的夾角為120。，則2方一B在方上的投影向量為.

14.已知sin。+Sin(O+》=1,則CoSG+26)=-

15.將函數(shù)/(x)=cos(2x+φ)(φ>0)的圖象向右平移工個單位得到一個奇函數(shù)的圖像，則

9的最小值是.

16.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保.明朝科學家徐光啟在儂政全

書)中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖1).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個簡都

做勻速圓周運動如圖2,將筒車抽象為一個半徑為R的圓，設(shè)筒車按逆時針方向每旋一周用時

60秒，當t=0時，盛水筒M位于點PO(2,-2，耳)，經(jīng)過t秒后運動到點P(X,y),點P的縱坐標

滿足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,a>0,?φ?<|),則。=；當筒車旋轉(zhuǎn)45秒時，

盛水筒M對應(yīng)的點P的縱坐標為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

如圖,在△ABC中,而=I四，點E為AC中點，點尸為BC上的三等分點,且靠近點C,設(shè)想=a，

CB=b-

(1)用五，方表示前，CDi

(2)如果乙4CB=60。，AC=2,且CDIEF,求|而「

18.(本小題12.0分)

已知IlHl=1,?~b'?=2.

(I)若丁〃^Γ,求^r?^Γ;

(Il)若/、T的夾角為60。,求+石I；

(Ill)若丁一方與H垂直，求當k為何值時，(k~a"-~b')1(^α^+2T)?

19.(本小題12.0分)

已知角α以X軸的非負半軸為始邊，P(C,-1)為終邊上一點.

(1)求cos2α,tcm2α的值；

(2)求cos(α-2ττ)cos(?-α)tan(La)的值

sin(-α)cos(3ττ+ɑ)

20.(本小題12.0分)

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<今的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)y=/(x)的解析式；

(2)先將函數(shù)y=/(x)的圖象的橫坐標縮小為原來的)再將得到的函數(shù)圖象向左平移為個單位,

ZW

最后得到函數(shù)y=g(x),求g(x)在區(qū)間［。,勺上的值域.

21.(本小題12.0分)

設(shè)兩個向量五，b滿足INl=1,?b?=2.

(1)若(23一石)?0+石)=一3，求R，方的夾角。；

(2)若落石的夾角為60。，向量五+3與;I五+方的夾角為銳角，求實數(shù);I的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=2sinxcosx+y∕-3cos2x?

(1)求f(x)的最小正周期和對稱軸方程；

(2)若方程f(x)-k=。在定義域［0,g上有兩個不同的根，求實數(shù)k的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

6

【解析】解：COS?=COSG一+="：'N

12'34'22224

故選：A.

由"=E-.及兩角和與差的三角函數(shù)化簡求解即可.

本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：由直線4B〃CD,得荏〃而,必要性成立；由同〃訪，知直線4B和CD平行或重

合，充分性不成立.

故選:B.

根據(jù)向量共線與直線的平行或重合之間的關(guān)系，得解.

本題考查充分必要條件的判斷，向量共線的含義，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：當Xe崎時,2x-2∈[-∣,?],

則當Xe[0,第時,/(x)min=sin?=-sin≡=-?.

故選:B.

根據(jù)正弦型三角函數(shù)在區(qū)間上的最值的求解方法得出答案.

本題主要考查三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：因為I磯=1，@=2,Z與3的夾角為全

所以為?b=lx2xg=l,

'^?a+b?=I(a+b)2=Ja2+b2+2a-b=√1+4+2=√^7?

故選：D.

根據(jù)I五+刈=J(為+方)2結(jié)合數(shù)量積的運算律計算即可.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：sin2α=2-2cos2a,SP2sinacosa=2—2(1—2sin2a)=4sin2a,2sina(2sina-

cosa')—0.

.?.sina=0或2sina—cosa=0,則tcmα=0或t(ma=?,

故選：D.

由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式，求得tαna的值.

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：因為動點的運動速度為亭=τr(rαd∕s),射線y=√^‰對應(yīng)的角度為。=g

ΔJ

所以動點P行程的射線OP對應(yīng)的角度為與+πt,

所以/(t)=COS(Trt+，

故選：C.

動點的運動速度為Trrad∕s,射線y=「%對應(yīng)的角度為8=去故動點P行程的射線OP對應(yīng)的角

度為g+7Γt,得到答案.

本題考查了三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：由2而=荏+石，得。為BC的中點，

又。為△ABC的外接圓圓心，.??OA=OB=0C,故BC為外接圓的直徑，

貝IJNBHC=90。，X∣7θ∣=?AB?=2,。48為正三角形，可得NHBC=60°,

ΛBA?BC=?BA???BC??cos60o=2×4×i=4.

故選：C.

由已知可得。為BC的中點，且乙4BC=60。，再由數(shù)量積公式得答案.

本題考查平面向量數(shù)量積的運算與性質(zhì)，考查運算求解能力，是中檔題.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查由已知條件求三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意可得通過主動降噪芯片生成的聲波曲線是y=-2cos3x=2sin(3x+多)，從而可求W的

值.

【解答】

解：噪聲的聲波曲線是y=2cos3x,可得通過主動降噪芯片生成的聲波曲線是y=-2cos3x=

2sin(3x+?),

故S=y.

故選：C.

9.【答案】BD

【解析】解：對于4單位向量的大小相等，方向不一定相等，但相等向量的大小和方向都相等，

故A錯誤；

對于氏相等向量的方向相同，所以B正確；

對于C,向量不能比較大小，故C錯誤；

對于。，由向量加法的三角形法則知，。正確.

故選：BD.

由向量的相關(guān)概念逐一判斷各選項即可.

本題考查向量的相關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AB

【解析】解：對于選項4,根據(jù)投影向量的定義可得向量方在向量至上的投影向量為2?g,故A

l*lW

正確；

對于選項8,因為方小=I五IIBICOs。＜0，所以cos。＜0,

又0≤8≤τr,所以。6弓,兀］,故3正確；

對于選項C,若AABC是等邊三角形,則近，刀的夾角為120。，故C錯誤；

對于選項。，因為五?b=0,所以五_Lb或IRl=O或Ibl=0，故。錯誤.

故選:AB.

根據(jù)投影向量的定義即可判斷4根據(jù)數(shù)量積的計算公式即可判斷B；根據(jù)向量夾角的定義即可判

斷C，根據(jù)數(shù)量積的計算公式即可判斷以

本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BD

【解析】解：連接BG,CF,由正八邊形的性質(zhì)可知，AH//BG,CF/∕BG,DE//CF,

所以凡4〃DE,又因為凡4=DE,

所以比?，灰是相反向量，所以瓦？+麗=6,故A項錯誤;

1

-X--

又乙DoF42所以O(shè)OloF.所以O(shè)O.赤=0，8項正確;

由上過程可知OA，0C，連結(jié)AC交。8于點M,

在直角三角形04C中，M為AC的中點，

則瓦?+元=2OM-

又I歷?IElm=爭西=冷西,

所以萬？+元=√~Σ而，C項錯誤；

又正八邊形的每一個內(nèi)角為：j(8-2)×π=yt

延長DC,AB,相交于點N,則NCBN=4BCN=%

所以NBNC=*故ABlCD,

所以前?麗=(AB+BC)-CD=ABCD+BC^CD=畫ICoS(Tr-與)=?，。項正確.

故選：BD.

連接BG,CF,由正八邊形的性質(zhì)可知，AH//BG,CF/∕BG,DE//CF,可判斷選項4；從而可得

zD0F=i×2π=≡,可判斷選項以連結(jié)AC交OB于點M,可判斷選項C：先判斷出ZBICD,

42

結(jié)合向量的加法和數(shù)量積的運算性質(zhì)可判斷選項D.

本題主要考查了相反向量的概念，考查了向量的加減運算以及數(shù)量積的性質(zhì)和相關(guān)運算，屬于中

檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：由圖可知4=2,J=J—卷=G所以7=生=兀，

43124ω

于是A正確，所以3=2,則/(x)=2siπ(2%+程)，

將點給,2)代入得：2sinζ+φ)=2,所以(+/=.+2kτr,fc∈Z,

又Ial<3所以W=*所以f(x)=2sin(2x+)；

對于B,因為/(一駕)=2sin(-^+§=-2,為最小值，

所以函數(shù)/0)的圖象關(guān)于直線工=-居對稱，點(-靜,0)不是對稱中心，故B錯誤；

對于C,將函數(shù)f(x)圖象向右平移著個單位，可得函數(shù)y=2sin[2(x-^)+≡]=2sin2x,故C正確；

對于D,由條件結(jié)合圖象可知中=也于是乙+小屋，

所以COS(Xl+A?)=CoS'故。正確.

故選：ACD.

先根據(jù)圖象確定解析式，然后對應(yīng)y=SinX的性質(zhì)判斷各個選項即可.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

13.【答案】一|3

【解析】解：因為∣E∣=2∣碼，且五與方的夾角為120。，所以2萬一方在It的投影向量為：

5

(2a-g)?g==∣S∣2×(-∣)-∣S∣2→3→

-臼?b=一沙

W——

故答案為：一|反

若。為方與方的夾角，則為在方上的投影向量為I磯cos/，=需?',由此類比可得所求.

本題考查投影向量的概念，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】I

【解析】解：sin。+Sin(O+K=∣sinθ+4COSo

=y∕~^3(^-sinθ+?eosθ)=V^^3sin(0+7)=1>

ZL0

Sin(O+$=乎

則CoSG+20)=cos[2(≡+0)]=I-2sin2(θ+*=1-2X(?^)2=∣?

故答案為：?

利用輔助角公式化簡sin。+sing+》=1,再利用倍角公式，計算即可.

本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】I

【解析】解：將函數(shù)/(X)=cos(2x+9)的圖象向右平移居個單位，

所得到的圖象對應(yīng)的解析式為y=cos[2(x-y∣)+如=cos(2x-^+φ),

函數(shù)y=cos(2x-?+>)為奇函數(shù)，所以一3+⑴=T+∕C7Γ,k&Z,

所以9=等+∕ot,k∈Z,又w>0,所以令k=0,

得中的最小值是W=y-

故答案為：y?

先求出解析式，再根據(jù)三角函數(shù)奇偶性，誘導公式可得中的最小值.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】一百—2

【解析】解：由題意，得，R=J22+(-2√-3)2=4?ω==?,當t=O,4s譏3=—

^Psinφ=一？，

所以勿=冶+2kτr或一號+2∕OT,fc∈Z,又|列＜*所以磔=/，所以/(t)=4sin(泉冶),

所以f(45)=4sin(y-≡)=4sin?=-2.

故答案為：—申—2.

筒車半徑即為P點到。點距離，而后根據(jù)題意求出其他參數(shù)，再代入計算即可.

本題主要考查三角函數(shù)與圓的關(guān)系，屬中檔題.

17.【答案】解：CI)因為而=I福點E為ZC中點，點尸為BC的三等分點，且靠近點C,

所以前=正+而=+g0=3加一^五，

CD=CA+AD=CA+^AB=CA+^(CB-CA)=∣C?+∣CB=∣K+∣α.

(2)由(1)可知，CD?EF=(∣h+∣α)?(?e-?ɑ)=0,

所以32一景2=0,由同=2,可得|1|=3,

222

所以I西=后=I(∣K+?=J?α+g≡?K+?K=∕g+∣∣×2×3×l+g=

'1Ny'55/，252525\2525225

6√^3

5

【解析】(1)利用向量的加減法法則結(jié)合圖形求解；

(2)由CDIEF,可得而?前=0，從而可得看2一筋a=。，結(jié)合已知可得∣1I=3，從而可求

?∣CD∣?

本題考查了平面向量基本定理，向量共線，向量模的求法等知識點，重在培養(yǎng)學生數(shù)學運算，邏

輯推理，直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)，屬中檔題.

18.【答案】解：(I)^r?T=±?~a?-?~b^I=±2(5分)

(∏)^^?T=?-a??~b∣cos60o=1.

∣-r+T∣2=∣^r∣2+2^r?T+∣T∣2=7,

.?.?~a+~bt?=/7(10分)

(i∏)若廿-T與H垂直

：.(a—h)-a=O

.?.^r?T=∣^r∣2=1

使得(kb-^Γ)1(丁+2萬*)，只要(∕cb-T)?(^α^<+2T)=0(12分)

即k∣k∣2+(2k-l)h?^Γ-2∣T『=0(14分)

???k=3(15分)

【解析】(I)由于丁〃^Γ,則兩向量共線，根據(jù)向量的數(shù)量積即得丁?^Γ;

(Il)直接根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可得到：~cT.~b=l?l.∣τICOS60。=1從而|丁+石|2=

∣^Γ∣2+2^r?T+∣TI2=7,開方后即得答案；

(In)利用兩個向量垂直的數(shù)量積條件，由PT-T與H垂直，得到?k=0,為使得

(k~cΓ-~by)1(^0"+2T),只要(Ick-T)?(?+2^Γ)=O代入數(shù)據(jù)即可求得k值.

本小題主要考查向量的模、數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系、平面向量數(shù)量積的運算等基礎(chǔ)

知識，考查運算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：角α以X軸的非負半軸為始邊，P(L5—1)為終邊上一點,

則比mɑ=--?

22n

(I)COS2α=cosa—sinα=S——?"=?tan2a7?=":

sinα+cos2atanα+l2l-tanz,α

cos(α-2τr)cos(^-α)tan(τr-a)_cosa?(-sina)?{-tana)

=tana6

⑵sin(-α)cos(3π+a)—sinɑ?(-cosa)T

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦、正切函數(shù)的二倍角公式，即可依次求解;

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的誘導公式，即可求解.

本題主要考查三角函數(shù)的二倍角公式，以及誘導公式，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)由圖可知，4=箕3=2,

函數(shù)/(%)的最小正周期為T=2×(y-2)=π,

?ω=γ=2,

V/(ξ)=2sin(2X[+(p)=2,

???sin(φ+≡)=1,

TrJ-TT

-?--2<Ψ<2'

則Y<0+g<m

O?O

JrTr∣-<.tTC

???8+§=2，則0=不，

故/(x)=2sin(2x+^);

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象的橫坐標縮小為原來的：，可得到函數(shù)y=2sin(4x+看)的圖象，

再將得到的函數(shù)圖象向左平移去個單位，最后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，

則9。)=2sin[4(x+?)+=2sin(4x+≡),

當0≤x≤押，^≤4x+^≤y,

則-？≤sin(4x+1)≤1>

-√-3≤g(x)≤2,

g。)在區(qū)間[0,勺上的值域為[-√3,2].

【解析】(1)由圖可得出4的值，求