2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型-胡不歸模型（講+練）（解析版）

專(zhuān)題14動(dòng)點(diǎn)最值之胡不歸模型

背景故事：從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根

據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，雖然從他此刻位置/到家8之間是一片砂石地，但他義無(wú)反顧踏

上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說(shuō)，老人

彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？

看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問(wèn)，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他

該選擇怎樣的一條路線(xiàn)呢？這就是今天要講的“胡不歸”問(wèn)題.

模型建立：將這個(gè)問(wèn)題數(shù)學(xué)化，我們不妨設(shè)總時(shí)間為力，則￡=亞+型（%＞。2），

5V2

由%>u,可得!<工，提取一個(gè)工得力TO+OB

-Viv2v2V2\Vi,

若想總的時(shí)間最少’就要使得導(dǎo)M+上最小,

E

如圖，過(guò)定點(diǎn)A在驛道下方作射線(xiàn)AE,夾角為且sins=校VI,

作DGLAE于點(diǎn)G,則0G=4D?sina=叁?4。，將強(qiáng)?4。+轉(zhuǎn)化為DG+DB,

再過(guò)點(diǎn)B作BHLAE于點(diǎn)H,交驛道所在直線(xiàn)于點(diǎn)。，則。就是我們要找的點(diǎn)，

此時(shí)DG+DB的最小值為BH,

,1/3,八小DG+DBBHAB-sinABAH

AD4-DB=-------------2---=-----------,

。2\仍）。2外v2

綜上，所需時(shí)間的最小值為AB.sinNA4H

解決思路：構(gòu)造射線(xiàn)A。使得sinND4N=k,即——=k,CH=kAC.

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求8C+C/7最小值，過(guò)8點(diǎn)作交于點(diǎn)C,交AD于H點(diǎn),此時(shí)

BC+C4取到最小值，即2C+fc4C最小.

例題1.如圖，AABC中，A8=AC=10,tan/l=2,BE1.AC于點(diǎn)E,D是線(xiàn)段BE上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，則CD+好BD的最小值是.

【解析】..七必二？，.?.△A8E三邊之比為1:2:6，AsinZABE-,

5

故作O"_LA8交AB于，點(diǎn)，則。打=43。.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為CD+CH最小值，故C、。、H

共線(xiàn)時(shí)值最小，

此時(shí)CD+DH=CH=BE=4s/5.

例2.如圖，Z\ABC在直角坐標(biāo)系中，AB=AC,4（0,2，5）,C（1,0）,D為射線(xiàn)A。上一

點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為ATD玲C,點(diǎn)P在A(yíng)D上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的3倍，

要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為（）

y

\A

B.（0,殍）C.（0,斗）D.（0,卑）

/Qa

【答案】D

【解析】假設(shè)P在A(yíng)D的速度為3V,在CD的速度為IV,

總時(shí)間力=挈+萼=上（學(xué)+C。），要使t最小，就要學(xué)+CD最小，

OrVV\?J/J

因?yàn)锳B=AC=3,過(guò)點(diǎn)B作BH_LAC交AC于點(diǎn)H,交OA于D,易證△ADHs^ACO,所以

AF）An

啟=五方=3,所以F-=O8,因?yàn)?ABC是等腰三角形，所以BD=CD,所以要

UCUn6

挈+CO最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三點(diǎn)共線(xiàn)就行了.因?yàn)锳AOCSA

…rrhl_OCan2^/2_1RRRLZ,N_A/2

BOD,所以謔=麗，即一T-=而，所以°°=工，

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為0,

例3.如圖，拋物線(xiàn)y=x2-2x-3與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，過(guò)B的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于E,且tan

4

ZEBA=1,有一只螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線(xiàn)段BE上的點(diǎn)D處，再以1.25

o

單位/s的速度沿著DE爬到E點(diǎn)處覓食，則螞蟻從A到E的最短時(shí)間是s.

【答案】-g-s

【解析】過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線(xiàn)，再過(guò)D點(diǎn)作y軸的平行線(xiàn)，兩線(xiàn)相交于點(diǎn)H,如圖,

.,,DH4

VEH/7AB,.?./HEB=NABE,..tan/HED=tan/EBA==可

Ejn.J

設(shè)DH=4m,EH=3m,則DE=5m,

螞蟻從D爬到E點(diǎn)的時(shí)間=號(hào)=4(s)

1.

若設(shè)螞蟻從D爬到H點(diǎn)的速度為1單位/s,則蛆蟻從D爬到H點(diǎn)的時(shí)間=丁=4(s),

...螞蟻從D爬到E點(diǎn)所用的時(shí)間等于從D爬到H點(diǎn)所用的時(shí)間相等，

螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線(xiàn)段BE上的點(diǎn)D處，再以1.25單位/s的速度沿

著DE爬到E點(diǎn)所用時(shí)間等于它從A以1單位/s的速度爬到D點(diǎn)，再?gòu)腄點(diǎn)以1單位/s速度

爬到H點(diǎn)的時(shí)間，

作AG_LEH于G,則AD+DH》AH》AG,二AD+DH的最小值為AQ的長(zhǎng)，

當(dāng)y=0時(shí)，X2-2X-3=0,解得XI=-1,X2=3,貝I]A(-1,0),B(3,0),

C04

直線(xiàn)BE交y軸于C點(diǎn)，如圖，在RSOBC中，■an/CBO=大言=5，

UDO

AOC=4,則C(0,4),設(shè)直線(xiàn)BE的解析式為y=kx+b,

f4

A-h=0\b=--

把B(3,0),C(0,4)代入得＜；7,解得＜3，二直線(xiàn)BE的解析式為

6=4I,,

Ib=4

4一

沙=一鏟+4,

y=x2—2x—3

解方程組4則E點(diǎn)坐標(biāo)為

y—~守+4

，八一64

AQ=~9,

64

，螞蟻從A爬到G點(diǎn)的時(shí)間=^V=6g4s(s),即螞蟻從A到E的最短時(shí)間為6*4s.

1yy

【變式訓(xùn)練1】如圖，平行四邊形A8CD中，ZDAB=60°,AB=6,BC=2,P為邊C￡＞上的

一動(dòng)點(diǎn)，則詠日陽(yáng)的最小值等于——.

AB

【解析】已知NA=60。，且sin60°=—,故延長(zhǎng)AD,作PHLAD延長(zhǎng)線(xiàn)于H點(diǎn),

2

即可得PH=@，；.PB+—PD=PB+PH.

22

當(dāng)3、P、H三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，可得PB+PH取到最小值，即8H的長(zhǎng)，解直角AABH即可得3H

長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練2】如圖，在^ABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于點(diǎn)E,D是線(xiàn)段BE上

A/5

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則C0+BD的最小值是,

5

【答案】4^/5

【解析】如圖，作DH±ABH,CM_LAB于M.VBE±AC,，/AEB=90°,

tanA=^=2

設(shè)AE=a,BE=2a,則有：100=a2+4a2,.*.a2=20,

.,.a=2/或一2/（舍），.?.3E=2a=4/,

：AB=AC,BE1AC,CMXAB,

：.CM=BE=4：y/5,

VZDBH=ZABE,ZBHD=ZBEA,

：.sinZDBH=血

/i￡/OO

CD+^-BD=CD+DH,

5

ACD+DH>CM,

CD+卓3。24/,CD+^-BD的最小值為4/

【變式訓(xùn)練3】如圖，平行四邊形ABCD中，ZDAB=60°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的

一動(dòng)點(diǎn)，則P3+挈的最小值等于

Q

【解答】3^/3

過(guò)點(diǎn)P作PQLAD,垂足為Q,?.,四邊形ABCD是平行四邊形，；.DC〃AB,

.?./QDP=NDAB=60°,

PQ=PD-sinNQOP=，/.PB+卑PD=13P+PQ,

???當(dāng)點(diǎn)B、P、Q三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，P3+勺P。有最小值，

PB+^~PD的最小值為4B-sin60°=3^/3.

課后訓(xùn)練

1.如圖，在RtAABC中，ZACB=9Q°,/B=30。，AB=4,點(diǎn)D、F分別是邊A8,BC上的

動(dòng)點(diǎn)，連接CD,過(guò)點(diǎn)A作AELCD交BC于點(diǎn)E,垂足為G,連接GF,則GF+^FB的

最小值是（）

A.V3~lB.A/3+1C.^^.-1D.

22

【解答】解：延長(zhǎng)AC到點(diǎn)P,使CP=AC,連接8P,過(guò)點(diǎn)尸作?8P于點(diǎn)”，取AC中

點(diǎn)O,連接OG,過(guò)點(diǎn)。作0QJ_8P于點(diǎn)Q,；NACB=90。，/ABC=30。，AB=4,.'.AC

=CP=2,8P=AB=4

：./XABP是等邊三角形，NFBH=30°,RtAFHB中，F(xiàn)H=^FB

2

...當(dāng)G、F、”在同一直線(xiàn)上時(shí)，GF+上咫=GF+FH=G，取得最小值

2

?.?AE_LCD于點(diǎn)G,.?./AGC=90。，為AC中點(diǎn)，：.OA^OC=OG^^AC

2

；.A、C、G三點(diǎn)共圓，圓心為0,即點(diǎn)G在③。上運(yùn)動(dòng)，.?.當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到OQ上時(shí)，GH

取得最小值

；RsOPQ中，/P=60°,0P=3,sinZP=^-=J^-，0。=返OP=_^Z1,.-.GW?

OP222

小值為色應(yīng)-1

2

故選：C.

2.如圖，AC是圓。的直徑，AC=4,弧84=120。，點(diǎn)。是弦A8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么。拉+

—BD的最小值

2

【解答】解：...箴的度數(shù)為120。，，NC=60。,

：AC是直徑，AZABC=90°,：.ZA=30°,

作BK//CA,DELBK于E,0MJ_8K于M,連接OB.,JBK//AC,：.ZDBE^ZBAC^30°,

在RSD8E中，DE=^BD,：.OD+^BD=OD+DE,

22

根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E與M重合時(shí)，。￡>+18。的值最小，最小值為OM,

2

NBAO=ZABO=30°,NOBM=60°,

在RtAOBM中,'：OB=2,ZOBM=60°,：.OM=OB*sin600=yf3,弓08+。。的最小值

為次，

故選：B.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)力(-1,0),2?(0,-通),

C(2,0),其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD,則/PB+PD的最小值為；

(3)M(x,t)為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)

①若平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得以A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有一個(gè);

②連接MA,MB,若/AMB不小于60。，求t的取值范圍.

【解答】⑴〃緡「緡_代?⑵乎；

(_A/3

(a-b+c=()a~~lT

【解析】(1)由題意〈c=，3解得＜匕=_迪，二拋物線(xiàn)解析式為

I4a+26+c=0-〒

c—y/3

_oQ

y=~2~x------2~~a;—v3,

2挈4挈一臉，挈6》一挈一?.頂點(diǎn)坐標(biāo)侯嚶).

(2)如圖，連接AB,作DHJ_AB于H,交OB于P,此時(shí)〈PB+PD最小.

，gpB+PD=PH+PD=DH,，此時(shí)*PB+PD最短(垂線(xiàn)段最短).

3DH3J3

在RtZ\ADH中，VZAHD=90",AD=K，ZHAD=60°,.\sin600=-777,

2AD4

?*-xPB+PD的最小值為—;

/~x

4.如圖，在4ACE中，CA=CE,ZCAE=30°,。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且圓的直徑AB在線(xiàn)段AE上.

（1）證明：CE是。O的切線(xiàn)；

（2）若4ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示的直徑AB；

（3）設(shè)點(diǎn)D是線(xiàn)段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD,當(dāng)aCD+OD的最小值為6時(shí)，

【答案】⑴見(jiàn)解析：（2）48=瞿士/1；（3）AB=8A/3

0

【解析】（1）連接0C,如圖，

；CA=CE,ZCAE=30°,NE=/CAE=30",NCOE=2/A=60°,/.ZOCE=90°,ACE

是。。的切線(xiàn)；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CH_LAB于H,連接OC,如圖，

由題可得CH=h.在RtZ\OHC中，CH=OC*sinZCOH,.?.h=0C?sin6CT=浮OC,

.2h,2^/3.

??0C——=-~—Lh,?.AB—20C一h；

A/333

(3)作OF平分/AOC,交00于F,連接AF、CF、DF,如圖,

A

則NAOF=NCOF=ZA0C=](180°-60°)=60°.

VOA=OF=OC,.,.△AOF>△COF是等邊三角形，

.\AF=AO=OC=FC,，四邊形AOCF是菱形，，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得DF=DO.

過(guò)點(diǎn)D作DH_LOC于H,VOA=OC,AZOCA=ZOAC=30",/.DH=DC?sinZDCH=DC?sin300

1

=2DC>

/.1-CD+OD=DH+FD.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可得：當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，DH+FD(即2CD+OD)最小，

ittB'J-FH=OF?sinZFOH=苧0F=6,則OF=4\/5,AB=2OF=8I/3.

...當(dāng)^CD+OD的最小值為6時(shí)，O0的直徑AB的長(zhǎng)為8，3.

5.如圖，已知拋物線(xiàn)y=5(x+2)(x-4)(k為常數(shù)，且k>0)與x軸從左至右依次交于

O

A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)y=一暇x+b與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn)為D.

O

(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若在第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上有點(diǎn)P,使得以A,B,P為頂點(diǎn)的三角形與aABC相似，

求k的值；

(3)在(1)的條件下，設(shè)F為線(xiàn)段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接AF,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出

發(fā)，沿線(xiàn)段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線(xiàn)段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到

D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？

【答案】(1)y=x~——77—3：——77—：(2)k=或(3)當(dāng)點(diǎn)F坐標(biāo)

yyyo

為(-2,2，3)時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少.

【解析】⑴拋物線(xiàn)y=4(x+2)(x-4),令y=0,解得x=-2或x=4,AA(-2,0),

o

B(4,0).

,直線(xiàn)y=+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4?0),/.—X4+b=0,解得b=-?

ooo

工直線(xiàn)BD解析式為：4=—-^―X+—^―.

OO

當(dāng)x=-5時(shí)，y=3\/3,D(-5,3\/3).

丁點(diǎn)D(-5,3^/3)在拋物線(xiàn)y=4(x+2)(x-4)上，二］(-5+2)(-5-4)=，

OO

k=^~.拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為：9=苧(x+2)(x-4).即

(2)由拋物線(xiàn)解析式，令x=0,得丫=-k,；.C(0,-k),OC=k.

因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上，所以/ABP為鈍角.

因此若兩個(gè)三角形相似，只可能是^ABCs^APB或△ABCS^PAB.

①若△ABCS/^APB,則有NBAC=NPAB,如答圖2-1所示.

k

U

設(shè)P(x,y),過(guò)點(diǎn)P作PN_Lx軸于點(diǎn)N,則ON=x,PN=y.tanZBAC=tanZPAB,即：5=

x+2

??y=7；x+k..*.P(x,\x+k),代入拋物線(xiàn)