2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)檢測6-2等差數(shù)列

6.2等差數(shù)列

一、選擇題

1.（2022屆遼寧渤海大學(xué)附中月考二）在等差數(shù)列缸｝中，若a2+a3+a^6,%=4,則公差

d=（）

A.1B.2e,?D.-

33

答案DV｛an｝是等差數(shù)列，a2+a3+al=6,.^.3a3=6,a3-2,又a6=4,Λafi-a3=3d=2,Λd=∣.

2.（2021皖北協(xié)作體模擬,4）等差數(shù)列｛a,,｝的公差為d,當(dāng)首項a∣與d變化時,az+a/a?]是一個

定值,則下列選項中一定為定值的是（）

A.a10B.allC.a12D.al3

答案B???等差數(shù)列｛%｝的公差為d,.??a2+aH)+a?尸a∣+d+a∣+9d+a∣+20d=3(a∣+10d)=3au????當(dāng)a∣

與d變化時,a2+a∣0+a2］是一個定值，.?.3an是定值，即a”是一?個定值.故選B.

3.(2022屆河南三市聯(lián)考,4)設(shè)Sn是等差數(shù)列｛aj的前n項和,若a1+a,1+a5=3,則Ss=()

A.5B.7C.9D.11

5

答案A由等差數(shù)列｛aj的性質(zhì)及a,+a3+a5=3,得3a3=3,.?a3≈l,λs-<^^?>-5a-5.故選A.

4.（2022屆山東學(xué)情10月聯(lián)考,6）已知等差數(shù)列｛aj、｛b,,｝的前n項和分別為S“、T,,,且?guī)r,

則手（）

7Il

A?B.LC.-D.-

3333311

答案A昔7（&7二*0_7包,T"」l竽G-UjJ氏,.?.尹益W義昌.

2.ZZ，/?111/^g113?33

5.（2022屆北京交大附中開學(xué)考,3）己知等差數(shù)列｛a,,｝的前n項和為S,.,若S3=a3,且a3≠0,則

去（）

??

A.1B；C.7D.3

33

答案C設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,???Ss=a3,且a3≠0,

??3d1+3d=a]+2d,??一2@]=dW0.

.4×3,

.S4_4aii+-yd_8

一品3目哼1號

6.（2022屆北京一零一中學(xué)統(tǒng)練二,6）設(shè)｛an）是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）

A.若a1+a2>0,則a2+a3>0

B.若a1÷a3<0,則aj+a2<O

C.若0<aj<a2,則a2>√a1?

D.若a1<O,則(a2-al)(a2-a3)>0

答案C對于A,取a1=l,a2=0,a3=-l,滿足&+@2>0,但a2÷a3=-l<0,故A中結(jié)論不正確.

對于B,取al=l,a2=-l,a3=-3,滿足6+也<0,但a1+a2=0,故B中結(jié)論不正確.

對于D,取a1=-l,a2=-2,a3=~3,滿足a1<0,1B(a2-al)(a2-a3)<0,故D中結(jié)論不正確.故選C.

7.(2022屆西南名校聯(lián)考,6)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項和是Sn,若a2<-a11<a1,則()

A.S11>0且S12<OB.S11<0且S12<O

C.S11>0且S]2>0D.Sπ<0且S]2>0

11

答案A由題意知，a,+aπ>0,a2+aπ=a1+a,2<0,得Sll-'--^?>0,SM-IW產(chǎn))〈0.故選A.

8.(2022屆廣西北海模擬，10)已知遞增等差數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,若S1=IO,且a1,a2,a3+l

成等比數(shù)列，則公差d=()

A.1B.2C.3D.4

答案AVS.,=10,Λ4al+i≡d=10,即2a∣+3d=5①，

Va1,a2,a3+l成等比數(shù)列，:?⑶+力刊(a∣+2d+l),即1+2@￡+才二,+2a1d+ai,也即d"=a1(2),聯(lián)立

｛d=

,

a^J(舍去)?

9.(2021上海松江一模)記S.為數(shù)列｛6｝的前n項和，已知點(n,a?)在直線y=10-2x上,若有且

只有兩個正整數(shù)n滿足S“二k,則實數(shù)k的取值范圍是()

A.(8,14]B.(14,18]C.(18,20]D.(18,γ]

答案C由已知可得an=10-2n,

因為a,,-anτ=-2,nN2,所以數(shù)列｛a,,｝為等差數(shù)列,首項為8,公差為-2,

所以S,,=8n+*X(-2)=-n2+9n,當(dāng)n=4或5時,S,,取得最大值,為20,因為有且只有兩個正整

數(shù)n滿足S,,?k,所以滿足條件的n=4和n=5,因為S^=Se=W所以實數(shù)k的取值范圍是(18,20].

故選C.

二、填空題

10.(2022屆四川綿陽第一次診斷，13)設(shè)S“是等差數(shù)列｛a,l)的前n項和，若a∣=2,Sr=35,則

2

答案7

解析由等差數(shù)列性質(zhì)知S?2竽L7a∣=35,故a<=5.又Ya尸2,公差d=l.，a“=n+l,則a6=7.

,

11.(2022屆清華附中10月月考，11)已知數(shù)列｛an｝滿足an,1-a=3(n∈N),a3=l,則

a5=-

答案7

解析由數(shù)列｛an｝滿足a“*「a“=3(neN*),得數(shù)列｛aj是以3為公差的等差數(shù)列，

又a3=l,所以as=a,+2X3=1+6=7.

12.(2022屆北京一零一中學(xué)統(tǒng)練二，11)若數(shù)列｛aj滿足a,=-2,且對于任意的?n,n∈N*,都有

amh=an+an,則a3=;數(shù)列｛an｝的前10項和S10=.

答案-6;Tlo

解析:對于任意的m,n∈N*,都有aπ0n=aπ+an,

，取m=l,有an+ι-an=a1=-2,

???數(shù)列｛4｝是以-2為首項,-2為公差的等差數(shù)列，

-

/.an=~2-2(nl)=~2n.

??3?3~-6.

數(shù)列｛a,,｝的前10項和S,?-'()X(；20)-110.

13.(2022屆廣西模擬,15)在等差數(shù)列｛an｝中，af?+a5=105,az+a4+a6=99,以Sn表示｛4｝的前n

項和,則使S“達(dá)到最大值的n是.

答案20

解析因為a,+a3+a5=3a3=105,E+a,+%=3a產(chǎn)99,所以a3=35,a產(chǎn)33,從而公差d=-2,則

a∣=39,S,,=39n+gn(nT)(-2)=-t√+40n=-(n-20)2+400,所以當(dāng)n=20時，S“取最大值.

三、解答題

14.(2022屆江蘇泰州中學(xué)檢測，20)已知數(shù)列｛屆滿足a,=6,an.,a-6anl+9=0,n∈N*且n?2.

(1)求證:數(shù)列｛焉｝為等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛aj的通項公式；

⑶設(shè)b,,-?,求數(shù)列｛b,,｝的前n項和T11.

3

1l

解析(1)證明：當(dāng)n22時，an.1a-6a,r,+9=0=>an=?^,??-,?-∕?ci?一一\一清"又

an-?an-oaft-ι~oiarτ.[-^^丁「33(azr[-3)3

???白W，...數(shù)歹u｛7?｝是以(為首項,；為公差的等差數(shù)列.

⑵由⑴T+6D?丹?,聲》

++++-

.?.τn=b1+b2+???+b=3L(I4)G4)G4)"?G?)^=3

（1^?）?

15.（2022屆北京一七一中學(xué)10月月考,16）已知等比數(shù)列｛an｝的各項均為正

數(shù),a2=8,a3+a4=48.

（1）求數(shù)列｛aj的通項公式；

⑵設(shè)bEogA,證明:｛bn｝為等差數(shù)列,并求｛bn｝的前n項和Sn.

解析（1）設(shè)等比數(shù)列EJ的公比為q,依題意知q>0,

j3

Va2=8,a3+a,1=48,Λa∣q=8,alq+a∣q=48,

即8q+8q2=48,解得q=2或q=-3(舍)，Λa=^=4,

lq

nn+l

???數(shù)列｛an｝的通項公式為an=a1?q^'=2.

πt

(2)?(1)Wbn=log4an=log42-(n+l)?log12=^-,

???嗝「壯甘-安一：數(shù)列①）是首項為1,公差d=∣的等差數(shù)歹U,

16.(2022屆廣東階段測,17)已知數(shù)列｛an｝滿足a,=l,ar,+an,=2n(n>2,n∈N*).

⑴記b,≈a2n,求數(shù)列｛bj的通項公式;

(2)求數(shù)列｛an｝的前n項和Sn.

解析⑴依題意得,a2+a1=4,又aj=l,故bl=a2=3.

+

因為‰?2‰?ι~4n+4,a2nr+a2∏=4n+2,

所以bn+1-bn=a2,r2-a2r=(a2n+2+a2n+l)-(a2,rl+a2π)=(4n+4)-(4n+2)=2.

因此，｛bj是首項為3,公差為2的等差數(shù)歹∣J,通項公式為b=2n÷l.

⑵解法一：因為a2r,+a2n,1=4n,所以由(1)知a2n-1=4∏-a2n=2n-l.

當(dāng)

n=2k(k∈N*)

4

時，Sn=(a∣+ai+???+a2k.1)+(a2+a4+???+a2∣i)=(l+3+???+2k-l)+(3+5+…+2k+l)~~"f)__匚

k(2k+2)當(dāng)紅

當(dāng)n=2k-l(k∈M)時,Sn=Sxa""":""-(n+2)黑T

Λ>(n+2)-∣

,n為奇數(shù),

因此,S=?2

n“(m2)

.~2~,n為偶數(shù).

解法二：當(dāng)n=2k(k∈N*)時,

S11=(al+a2)+(a3+a1)+???+(a2k.1+a2k)=4+8+???+4k-"’"=k(2k+2)

當(dāng)n=2k+l(k∈N")時,

Sn=a1+(a2+a3)+(a1+a5)+???+(a2k+a2k+1)=l÷6+10÷???+(4k+2)

=l+^^=k(2k+4)+1S尸a尸]滿足上式.

("*,n為奇數(shù)，

故S廣＜n(n+2)

I”羅，n為偶數(shù).

17.(2022屆河南調(diào)研，18)已知數(shù)列｛aj滿足a,=4,an*∣=2an+2田(n∈W),設(shè)數(shù)歹(]｛aj的前n項和

為Sn.

⑴證明：數(shù)列假｝是等差數(shù)列.

⑵求S“.

解析⑴證明：由an.,=2an+27得景-占L

因為卷=2,所以數(shù)列｛3｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列.

(2)由(l)M^2+(n-l)Xl=n+l,所以%=(n+l)?2n,所以

S“=2×2l+3×22+???+n×2n,+(n+l)X2"①,2S,,=2×22+3X23+—+nX2"+(n+l)X2向②,①-②得

-S=2×2l+22+???+2n-(n+l)×2ntl=-n?2n+l,所以S=n?2叫

18.(2021湖南百校聯(lián)考，17)在①?T，②a”.「a“=T，③ans=arι+n-8這三個條件中任選一個，

補(bǔ)充在下面的問題中,若問題中的S“存在最大值,則求出最大值;若問題中的S,不存在最大值,

請說明理由.

問題:設(shè)S“是數(shù)列｛aj的前n項和,且a,=4.,求｛a,,｝的通項公式,并判斷S“是否存在

最大值.

5

注:如果選擇多個條件分別解答,那么按第一個解答計分.

解析方案一：選①.

因為骨總al=4,所以｛%｝是首項為4,公比為W的等比數(shù)列.所以ar4X(-9'"=(-9"：

當(dāng)n為奇數(shù)時,SJU1一；(]+￡),

1+2

因為s"