備考2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)教在研究函教極值和最值的應(yīng)用

專題4.4導(dǎo)教在研究函教極值和最值的應(yīng)用

題型一函數(shù)極值（點(diǎn)）的辨析

題型二最值與極值的辨析

題型三求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）和最值

題型四根據(jù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)

題型五根據(jù)最值求參數(shù)

題型六函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系

題型七利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題

才

題型一函數(shù)極值（點(diǎn)）的辨析

例1.（2023春?吉林長(zhǎng)春.高二長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)y=_f（x）在區(qū)間（。涉）上

的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)/（X）在七處有極小值

B.函數(shù)/（尤）在/處有極小值

C.函數(shù)〃尤）在區(qū)間（。,6）內(nèi)有4個(gè)極值點(diǎn)

D.導(dǎo)函數(shù)尸（x）在％處有極大值

例2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若函數(shù)〃力存在一個(gè)極大值/&）與一個(gè)極小值”々）滿足/伍）＞/（石），則〃力

至少有（）個(gè)單調(diào)區(qū)間.

A.3B.4C.5D.6

舉I一反三

練習(xí)1.（2023春.北京大興.高三?？茧A段練習(xí)）若〃x）是（0,3）上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，/（2）=0,且xe（l,2）時(shí),

/'（力<0,xe（2,3）時(shí)，f^x）>0,則x=2是〃尤）的（）

A.極大值點(diǎn)B.極小值點(diǎn)C.最大值點(diǎn)D.最小值點(diǎn)

練習(xí)2.（2023春?河南洛陽?高三?？茧A段練習(xí)）對(duì)于定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/"）,f（x）為其導(dǎo)函數(shù)，下列說法正

確的是（）

A.使尸（x）=。的x一定是函數(shù)的極值點(diǎn)

B.fix）在R上單調(diào)遞增是尸（x）>0在R上恒成立的充要條件

C.若函數(shù)/（x）既有極小值又有極大值，則其極小值一定不會(huì)比它的極大值大

D.若/（無）在R上存在極值，則它在R一定不單調(diào)

練習(xí)3.（2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考期中）己知函數(shù)/（%）的導(dǎo)函數(shù)為了'（X）,函數(shù)y=x-f\x）的圖象如圖所示,

則/（x）在x=處取得極大值，在x=處取得極小值.

練習(xí)4.（2023春?上海長(zhǎng)寧?高三上海市延安中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)y=/（x）的定義域?yàn)镽且可導(dǎo)，則在

x=2處的導(dǎo)數(shù)為0”是“當(dāng)x=2時(shí)，y=取到極直，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

練習(xí)5.（2023?新疆喀什?校考模擬預(yù)測(cè)）以函數(shù)y=2cosox（0>O）的圖象上相鄰四個(gè)極值點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對(duì)角線

互相垂直，則.

題型二最值與極值的辨析

例3.（2023?高三?？颊n時(shí)練習(xí)）下列有關(guān)函數(shù)的極值與最值的命題中，為真命題的是（）.

A.函數(shù)的最大值一定不是這個(gè)函數(shù)的極大值

B.函數(shù)的極大值可以小于這個(gè)函數(shù)的極小值

C.函數(shù)在某一閉區(qū)間上的極小值就是函數(shù)的最小值

D.函數(shù)在開區(qū)間上不存在極大值和最大值

例4.（2023春?甘肅金昌?高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┒x在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖

所示，則以下結(jié)論正確的是（）

A.-3是函數(shù)〃尤）的一個(gè)零點(diǎn)B.-2是函數(shù)“X）的極大值點(diǎn)

C.〃力的單調(diào)遞增區(qū)間是（-3,y）D.無最小值

舉一反三

練習(xí)6.（2022秋?江西南昌?高三校聯(lián)考期末）設(shè)/（x）是區(qū)間團(tuán),切上的連續(xù)函數(shù)，且在（。力）內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論中

正確的是（）

A.Ax）的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)

B./（x）的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)

C.7（%）在區(qū)間加上可能沒有極值點(diǎn)

D./⑴在區(qū)間3,團(tuán)上可能沒有最值點(diǎn)

練習(xí)7.（2023春?河北邯鄲?高三武安市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)圖象連續(xù)的函數(shù)y=/（x）在區(qū)間,,可上（）

A.一定存在極小值B.一定存在極大值C.一定存在最大值D.極小值一定比極大值小

練習(xí)8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）定義在閉區(qū)間可上的連續(xù)函數(shù)y=/（x）有唯一的極值點(diǎn)x=x0,且

y極小值=^（x。），則下列說法正確的是

A.函數(shù)/（元）的最大值也可能是/（%）B.函數(shù)有最小值，但不一定是了（尤。）

C.函數(shù)/（x）有最小值了（%）D.函數(shù)/（x）不一定有最小值

練習(xí)9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)〃%）=-彳3+2/+3,在［凡句上，以下結(jié)論正確的是（）

A.的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)B.〃尤）的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)

C.〃x）在國(guó)上可能沒有極值點(diǎn)D.〃x）在句上可能沒有最值點(diǎn)

練習(xí)10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（多選）下列結(jié)論中不正確的是（）.

A.若函數(shù)〃尤）在區(qū)間［4,6］上有最大值，則這個(gè)最大值一定是函數(shù)/（尤）在區(qū)間可上的極大值

B.若函數(shù)f（x）在區(qū)間可上有最小值，則這個(gè)最小值一定是函數(shù)〃尤）在區(qū)間句上的極小值

C.若函數(shù)f（x）在區(qū)間目上有最值，則最值一定在或x=b處取得

D.若函數(shù)””在區(qū)間6］內(nèi)連續(xù)，則f（無）在區(qū)間可內(nèi)必有最大值與最小值

題型三求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）和最值

例5.（2023春?寧夏吳忠?高三吳忠中學(xué)校考期中）已知函數(shù)〃x）=3x3—9x+5.

⑴求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

⑵求函數(shù)的極值.

例6.（2023?廣西玉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知x=l為函數(shù)〃元）=lnx+2x+@的極值點(diǎn)，則〃x）在區(qū)間1,2上的最

X2

大值為（）（注：山2=0.69）

A.3B.7-ln2

C.5D.—i-ln2

2

第二反三

練習(xí)11.（2023春?上海楊浦?高三上海市控江中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)/（x）=e*-x,xeR

⑴求廣（0）的值，并寫出該函數(shù)在點(diǎn)（OJ（O））處的切線方程；

（2）求函數(shù)y=/（力在區(qū)間［-15上的最大值和最小值.

練習(xí)12.（2023春?北京海淀?高三北理工附中?？计谥校┮阎瘮?shù)〃X）=X3—12X+12.

⑴求的極值；

⑵求〃尤）在區(qū)間［-3,4］上的最大值和最小值；

（3）若曲線/（x）在點(diǎn)48處的切線互相平行，寫出A3中點(diǎn)的坐標(biāo)（只需直接寫出結(jié)果）.

練習(xí)13.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)＜（x）=01+smx,底1鼻，則函數(shù)的最小值為.

乙vvzoI＞111l——

練習(xí)14.（2023春?黑龍江雞西?高三雞西市第四中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）函數(shù)八＞）=/+加+3了-9,已知/（尤）在％=-3

時(shí)取得極值，則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.a=5

B.函數(shù)/⑴在x=-3處有極大值為0

C.函數(shù)/（X）在尤=-；處有極大值為0

D.函數(shù),⑺在區(qū)間-3,-1上單調(diào)遞減

練習(xí)15.（2023春?四川綿陽?高三?？计谥校┮阎▁）=aln--3x+l,曲線y=在點(diǎn)嗎］處的切線

斜率為5.

⑴求。的值；

⑵求函數(shù)的極值.

題型四根據(jù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)

例7.（2023春?北京?高三北師大二附中?？计谥校┮阎瘮?shù)/（x）=a（x-a）（x-6）2（a*eR）,當(dāng)x=b時(shí)，/⑴有極

小值.寫出符合上述要求的一組。，6的值為斫,b=.

例8.（2023春?四川成都?高某中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)/（x）=-：Y+

4x-2aliu有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-co,2]B.（0,2]C.（0,2）D.（2,+oo）

舉一

練習(xí)16.（2023春?北京?高三匯文中學(xué)校考期中）已知函數(shù)〃彳）=尤（彳-。）2在x=2處有極大值，則。=.

練習(xí)17.（2023?山西陽泉?統(tǒng)考二模）（多選）己知了（》）=辦3+3法+"在產(chǎn)_1處取得極大值3,則下列結(jié)論正確的

是（）

A.ab=-lB.ab=-9C.f（1）=-3D.f（0）=1

練習(xí)18.（2023?江西九江?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)八^）=/-。%2（〃￡應(yīng)有兩個(gè)極值點(diǎn)而，巧，且％=2々，則〃=.

-V-1

練習(xí)19.（2023春?北京東城?高三北京二中校考期中）已知函數(shù)/（%）=71-必有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)，的取值范

圍是.

練習(xí)20.（2023春?山東濰坊?高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)〃尤）=三度在尤=0取得極值，貝

題型五根據(jù)最值求參數(shù)

例9.（2023春?山東聊城?高三山東省聊城第三中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)〃x）=lnx-x+左在［l,e］上的最大值為2,則

〃左）=-------

例10.（2023秋?陜西西安?高三長(zhǎng)安一中?？计谀┤艉瘮?shù)/（x）=x3-3x在（4,10+2.2）上有最小值，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是.

舉一

練習(xí)21.（2023春?天津?yàn)I海新?高三?？计谥校┮阎瘮?shù)“先六％3+3/-9x+l在區(qū)間上,2］上的最大值為28,則實(shí)

數(shù)%的取值范圍為.

練習(xí)22.（2023春?天津紅橋?高三天津市瑞景中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)/（力=丁-3x+a,xe［0,2］的最大值為1,則實(shí)數(shù)。

的值為（）

A.1B.-4C.3D.-1

練習(xí)23.（2023春?河南商丘?高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）若函數(shù)〃力=三—123在區(qū)間（a,a+4）上存在最大值，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

練習(xí)24.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知〃到=￡和8四=臂有相同的最大值（。＞0）,求“的值；

練習(xí)25.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=（x+l）ln（x+l）-云的最小值為0.求實(shí)數(shù)b的值；

題型六函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系

例11.（2023春?山東泰安?高三新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）定義在［T5］上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)尸（x）的

圖象如圖所示，函數(shù)“X）的部分對(duì)應(yīng)值如下表.下列關(guān)于函數(shù)“X）的結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)〃尤）的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2

B.函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-L0）u（2,4）

C.當(dāng)時(shí)，若/（x）的最小值為1,則f的最大值為2

D.若方程/（x）=a有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（L2）

例12.（2023春?吉林長(zhǎng)春?高三長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤），g（x）的導(dǎo)函數(shù)（⑺，g'（x）

的圖象如圖所示，則b（x）=g（x）-〃x）的極值情況為（）

A.2個(gè)極大值，1個(gè)極小值B,1個(gè)極大值，1個(gè)極小值

C.1個(gè)極大值，2個(gè)極小值D,1個(gè)極大值，無極小值

舉一反三

練習(xí)26.（2022春.河北?高三唐山一中校聯(lián)考期中）設(shè)/（無）是定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為/（%）,函

數(shù)g（x）=（x—1）廣（無）的圖象如圖所示，給出下列判斷:

yi

y=g(x)

①/（x）在（-2,1）上是增函數(shù)；②〃x）共有2個(gè)極值點(diǎn);

③/(x)在(-2,2)上是單調(diào)函數(shù)；④/(0)+/(2)>2八1).

其中正確的判斷共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

練習(xí)27.（2022春?廣東佛山?高三順德市李兆基中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）已知函數(shù)/（尤）的定義域?yàn)镽,導(dǎo)數(shù)為/（X）,

如圖是函數(shù)y=^'（x）的圖象，則下列說法正確的有（）

A.函數(shù)/（尤）的單調(diào)遞減區(qū)間是（口,2）

B.函數(shù)/（無）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-2,+?）

C.x=0是函數(shù)/（x）的零點(diǎn)

D.尤=一2時(shí)函數(shù)/（無）取極小值

練習(xí)28.（2022春?福建寧德?高三福建省福安市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)"X）的導(dǎo)函數(shù)的圖像如下圖所示,

①函數(shù)Ax）在（0,1）上單調(diào)遞增；

②函數(shù)f（x）在（0,+oo）上單調(diào)遞減;

③當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/（x）取得極小值；

④當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/（x）取得極大值.

則上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)為（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

練習(xí)29.（2022?高二單元測(cè)試）（多選）已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)為:（力，廣（x）的部分圖象如圖

所示，則（）

A.在（3,+8）上單調(diào)遞增

B.f（x）的最大值為"1）

C.的一個(gè)極大值點(diǎn)為1

D.〃力的一個(gè)減區(qū)間為。，3）

練習(xí)30.（2022春.重慶九龍坡.高三重慶市某中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（無）的定義域?yàn)椴糠謱?duì)應(yīng)

值

如下表，的導(dǎo)函數(shù)＞=/'（2的圖象如圖所示.則函數(shù)y=〃x）-。（1＜。＜2）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能為（）個(gè).

A.2B.3C.4D.5

題型七利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題

例13.我國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，產(chǎn)糧、儲(chǔ)糧是關(guān)系國(guó)計(jì)民生的大事.現(xiàn)某儲(chǔ)糧機(jī)構(gòu)擬在長(zhǎng)100米，寬80米的長(zhǎng)方形地

面建立兩座完全相同的糧倉（設(shè)計(jì)要求：頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑為1:10,糧倉高為50

米，兩座糧倉連體緊靠矩形一邊），已知稻谷容重為600千克每立方米，糧倉厚度忽略不計(jì)，估算兩個(gè)糧倉最多能

儲(chǔ)存稻谷（）（兀取近似值3）

A.105000噸B.68160噸C.157000噸D.146500噸

例14.（2023春?上海浦東新?高二上海市川沙中學(xué)?？计谥校┠尘W(wǎng)球中心在1000。平方米土地上，欲建數(shù)塊連成片

的網(wǎng)球場(chǎng).每塊球場(chǎng)的建設(shè)面積為1000平方米.當(dāng)該中心建設(shè)x（xeN）塊球場(chǎng)時(shí)，每平方米的平均建設(shè)費(fèi)用（單

位：元）可近似地用函數(shù)關(guān)系式/（x）=800（l+[lnd來刻畫，此外該中心還需為該工程一次性向政府繳納環(huán)保費(fèi)

用1280000元.

⑴請(qǐng)寫出當(dāng)網(wǎng)球中心建設(shè)MxeN）塊球場(chǎng)時(shí)，該工程每平方米的綜合費(fèi)用g（x）的表達(dá)式，并指出其定義域（綜合

費(fèi)用是建設(shè)費(fèi)用與環(huán)保費(fèi)用之和）；

（2）為了使該工程每平方米的綜合費(fèi)用最省，該網(wǎng)球中心應(yīng)建多少個(gè)球場(chǎng)？

第二反三

練習(xí)31.（2022春?四川綿陽.高二四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)）工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：

元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式C=10000+20x,每日的銷售額R（單位：元）與日產(chǎn)量x滿足函數(shù)

關(guān)系式：R=\30,已知每日的利J潤(rùn)y=R-C,且當(dāng)x=30時(shí)y=T00.

20400,%>120

⑴求。的值；

（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大，并求出最大值.

練習(xí)32.（2022春?黑龍江齊齊哈爾?高三齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？计谥校┯描F皮圍成一個(gè)容積為8m3的有蓋正四

棱柱形水箱，需用鐵皮的面積至少為____m'（注：鐵皮厚度不計(jì)，接縫處損耗不計(jì)）

練習(xí)33.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某幾何體的直觀圖如圖所示，是由一個(gè)圓柱體與兩個(gè)半球?qū)佣傻慕M合體,

其中圓柱體的底面半徑為2,高為4.現(xiàn)要加工成一個(gè)圓柱，使得圓柱的兩個(gè)底面的圓周落在半球的球面上，則圓

練習(xí)34.（2023春?吉林長(zhǎng)春?高三長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）第14屆全運(yùn)會(huì)于2021年在陜西西安舉行，

其中水上項(xiàng)目將在西安奧體中心游泳跳水館進(jìn)行，為了應(yīng)對(duì)比賽，大會(huì)組委會(huì)將對(duì)泳池進(jìn)行檢修，已知泳池深度為

2m,其容積為25000?,如果池底每平方米的維修費(fèi)用為150元，設(shè)入水處的較短池壁長(zhǎng)度為x,且據(jù)估計(jì)較短的

池壁維修費(fèi)用與池壁長(zhǎng)度成正比，且比練習(xí)系數(shù)為言左（％>0）,較長(zhǎng)的池壁總維修費(fèi)用滿足代數(shù)式三?，則當(dāng)泳

池的維修費(fèi)用最低時(shí)x值為.

練習(xí)35.（2023春?四川成都?高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）一艘漁船在進(jìn)行漁業(yè)作業(yè)的過程中，產(chǎn)生的

主要費(fèi)用有燃油費(fèi)用和人工費(fèi)用，已知漁船每小時(shí)的燃油費(fèi)用與漁船速度的立方成正比，已知當(dāng)漁船的速度為10

海里/小時(shí)時(shí)，燃油費(fèi)用是600元/小時(shí)，人工費(fèi)用是4050元/小時(shí),記漁船的航行速度為v（海里/小時(shí)）,滿足0<v<30,

記漁船航行一個(gè)小時(shí)的主要費(fèi)用為q元（主要費(fèi)用=燃油費(fèi)+人工費(fèi)），漁船每航行1海里產(chǎn)生的主要費(fèi)用為p元.

⑴用航行速度v（海里/小時(shí)）表示出航行一小時(shí)的主要費(fèi)用〃元；

（2）用航行速度v（海里/小時(shí)）表示出航行1海里產(chǎn)生的主要費(fèi)用p元；

⑶求航行1海里產(chǎn)生的主要費(fèi)用P（元）的最小值，及此時(shí)漁船的航行速度v（海里/小時(shí)）的大小.

專題4.4導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值和最值的應(yīng)用

題型一函數(shù)極值（點(diǎn)）的辨析

題型二最值與極值的辨析

題型三求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）和最值

題型四根據(jù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)

題型五根據(jù)最值求參數(shù)

題型六函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖象與極值（點(diǎn)）的關(guān)系

題型七利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題

才

題型一函數(shù)極值（點(diǎn)）的辨析

例1.（2023春?吉林長(zhǎng)春.高二長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)y=_f（x）在區(qū)間（。涉）上

A.函數(shù)/（X）在七處有極小值

B.函數(shù)/（無）在巧處有極小值

C.函數(shù)〃尤）在區(qū)間（。,6）內(nèi)有4個(gè)極值點(diǎn)

D.導(dǎo)函數(shù)尸（x）在七處有極大值

【答案】BD

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象、極值點(diǎn)、極值的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，〃力在尤=玉左右兩側(cè)的/'（力＜0,所以看不是的極值點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B選項(xiàng),在x=%左右兩側(cè)，左側(cè)/'（x）＜0,右側(cè)用x）＞。，

所以函數(shù)f（x）在4處有極小值，B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，根據(jù)圖象可知，/（x）有3個(gè)極值點(diǎn)，％=0左右兩側(cè)的/什耳＞。，

所以x=0不是〃尤）的極值點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，尸（x）的圖象在關(guān)=退左右兩側(cè)，左側(cè)單調(diào)遞增，右側(cè)單調(diào)遞減，

所以尸（x）在退處有極大值，D選項(xiàng)正確.

故選：BD

例2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若函數(shù)〃x）存在一個(gè)極大值/a）與一個(gè)極小值了（馬）滿足/（%）＞/a），則/■（力

至少有（）個(gè)單調(diào)區(qū)間.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)單調(diào)性與極值之間的關(guān)系分析判斷.

【詳解】若函數(shù)f（x）存在一個(gè)極大值/&）與一個(gè)極小值/（%）,則/'（X）至少有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，

若/（尤）有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，

不妨設(shè)“X）的定義域?yàn)椋╝,6），若尤2＜6，其中?？梢詾橐弧?6可以為+℃,

則在（。,占）,優(yōu)力）上單調(diào)遞增，在說,々）上單調(diào)遞減，（若/（X）定義域?yàn)椋ā?）內(nèi)不連續(xù)不影響總體單調(diào)性）,

故〃當(dāng)）＜〃不），不合題意，

^a＜x2＜xl＜b,則f（x）在（a,%）,（%,方）上單調(diào)遞減,在（%周）上單調(diào)遞增,有/（/）＜/（%），不合題意；

若/（x）有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，

1丫2

例如〃x）=x+上的定義域?yàn)閧xlxwo},則尸（尤

?XX

令用x）＞0,解得x＞l或x＜-l,

則”X）在（9,-1）,（Ly）上單調(diào)遞增，在（T0）,（0,1）上單調(diào)遞減，

故函數(shù)〃x）存在一個(gè)極大值〃-1）=-2與一個(gè)極小值41）=2,且滿足題意，此時(shí)有4個(gè)單

調(diào)區(qū)間，

綜上所述：/（X）至少有4個(gè)單調(diào)區(qū)間.

故選：B.

舉一m

練習(xí)1.（2023春.北京大興?高三?？茧A段練習(xí)）若是（0,3）上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，/（2）=0,且xe（l,2）時(shí)，

xe（2,3）時(shí)，f\x）＞0,則x=2是“力的（）

A.極大值點(diǎn)B.極小值點(diǎn)C.最大值點(diǎn)D.最小值點(diǎn)

【答案】B

【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義，結(jié)合條件，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】由條件可知，/（X）是（0,3）上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),（（2）=0,

當(dāng)x?l,2）時(shí),r（x）＜0,函數(shù)/（x）單調(diào)遞減,

當(dāng)xe（2,3）時(shí)，f^x）＞0,函數(shù)單調(diào)遞增，

根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可知，＞2是的極小值點(diǎn)，但不一定是函數(shù)在（0,3）上的最小值點(diǎn).

故選：B

練習(xí)2.（2023春?河南洛陽?高三?？茧A段練習(xí)）對(duì)于定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)〃幻，f（x）為其導(dǎo)函數(shù)，下列說法正

確的是（）

A.使（（無）=0的x一定是函數(shù)的極值點(diǎn)

B.f（x）在R上單調(diào)遞增是f'（x）＞0在R上恒成立的充要條件

C.若函數(shù)Ax）既有極小值又有極大值，則其極小值一定不會(huì)比它的極大值大

D.若/（x）在R上存在極值，則它在R一定不單調(diào)

【答案】D

【分析】ABC均可以舉出反練習(xí)，D可以通過極值點(diǎn)和極值的定義進(jìn)行判斷.

【詳解】A選項(xiàng)，/。）=0的x不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，比如〃力=三在》=0處導(dǎo)函數(shù)的值為0,但x=0不是

=d的極值點(diǎn)，A說法錯(cuò)誤；

Ax）在R上單調(diào)遞增，可能會(huì)在某點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)等于0,比如尤）=產(chǎn)為單調(diào)遞增函數(shù)，/（力=犬3在*=0處導(dǎo)函數(shù)值

為0,故/（X）在R上單調(diào)遞增不是尸（x）＞0在R上恒成立的充要條件，B說法錯(cuò)誤；

若函數(shù)Ax）既有極小值又有極大值，則其極小值可能會(huì)比它的極大值大，比如/'（尤）=x+」，在x=T處取得極大值

-2,在x=l處取得極小值2,極小值大于極大值，故C說法錯(cuò)誤；

根據(jù)極值點(diǎn)和極值的定義可以判斷，若在R上存在極值，則它在R一定不單調(diào)，D說法正確.

故選：D

練習(xí)3.(2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考期中)已知函數(shù)，(x)的導(dǎo)函數(shù)為，(x),函數(shù)y=x-/'(x)的圖象如圖所示,

則/(x)在x=___________處取得極大值，在尤=處取得極小值.

【答案】5-5

【分析】結(jié)合圖象說明當(dāng)x<-5或x>5時(shí)，r(x)<0,當(dāng)一5<x<0或0<x<5時(shí)，制x)>。，且/(一5)=((5)=0,

由此確定函數(shù)的極值點(diǎn).

【詳解】由圖象可得當(dāng)x<-5時(shí)，V，(x)>0,所以

當(dāng)—5<x<。時(shí)，xf'(x)<0,所以

當(dāng)0<x<5時(shí)，xf'(x)>0,所以/4x)〉。，

當(dāng)x>5時(shí)，礦所以/'(%)<0,

又(-5>尸(-5)=0,5-/(5)=0,所以尸(—5)=/")=。,

所以x=-5時(shí)函數(shù)取極小值，當(dāng)x=5時(shí)函數(shù)取極大值.

故答案為：5；-5.

練習(xí)4.(2023春?上海長(zhǎng)寧?高三上海市延安中學(xué)?？计谥?若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽且可導(dǎo),貝廣y=/(X)在x=2

處的導(dǎo)數(shù)為?！笔恰爱?dāng)x=2時(shí)，y=取到極值”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】先驗(yàn)證充分性，不妨設(shè)/(0=。-2)3,在x=2處有尸(0)=0,但f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，x=2不是極值點(diǎn);

再驗(yàn)證必要性，即可得結(jié)果.

【詳解】充分性：不妨設(shè)〃尤)=(尤-2。則((尤)=3(*-2)2,

在龍=2處有/(2)=0,

但是/'(元注0,/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，故x=2不是極值點(diǎn)，故充分性不成立；

必要性：由當(dāng)x=2時(shí)，y=取到極值，得八2)=0,

即y=/(x)在x=2處的導(dǎo)數(shù)為0,故必要性成立.

所以“y=/(X)在X=2處的導(dǎo)數(shù)為0”是“當(dāng)x=2時(shí)，y=f(x)取到極值”的必要不充分條件.

故選：B

練習(xí)5.（2023?新疆喀什??？寄M預(yù)測(cè)）以函數(shù)y=2cosox（0>O）的圖象上相鄰四個(gè)極值點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對(duì)角線

互相垂直，則刃=.

【答案】直南叵

44

【分析】作出函數(shù)y=2cosOx（0>0）的圖象，取點(diǎn)4（0,2）、32-2）、可知四邊形ABCD

為菱形，可得出|AB|=|AD|,可得出關(guān)于。的等式，即可解得。的值.

【詳解】作出函數(shù)y=2cosox（0>O）的圖象如下圖所示:

2兀

則AD〃3C且|4￡>|=忸1=一，又因?yàn)锳C/3D,則四邊形ABCD為菱形,

CD

+42=—,解得。=走兀.

所以，即

co4

故答案為：生.

題型二最值與極值的辨析

例3.（2023?高三?？颊n時(shí)練習(xí)）下列有關(guān)函數(shù)的極值與最值的命題中，為真命題的是（）.

A.函數(shù)的最大值一定不是這個(gè)函數(shù)的極大值

B.函數(shù)的極大值可以小于這個(gè)函數(shù)的極小值

C.函數(shù)在某一閉區(qū)間上的極小值就是函數(shù)的最小值

D.函數(shù)在開區(qū)間上不存在極大值和最大值

【答案】B

【分析】設(shè)〃x）=—尤2,xe（-l,l）,求出其最大值和極大值可判斷A和D；若函數(shù)Ax）在工2］上單調(diào)遞增,在（2,3）

上單調(diào)遞減，在(3,4)上單調(diào)遞增，在(4,5)上單調(diào)遞減時(shí)，在(5,6)上單調(diào)遞增時(shí)，可以出現(xiàn)極大值小于這個(gè)函數(shù)的

極小值，說明B正確；根據(jù)極小值一定不是端點(diǎn)值，最小值可能是端點(diǎn)值，可判斷C.

【詳解】對(duì)于A,設(shè)/(x)=f2,xe(-l,l),f\x)=-2x,當(dāng)一1cx<0時(shí),f'(x)>0,

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)<0,所以函數(shù)/(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(尤)在x=0時(shí)取得極大值了(0),也是最大值，故A不正確；

對(duì)于B,若函數(shù)/(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，在(2,3)上單調(diào)遞減，在(3,4)上單調(diào)遞增，在(4,5)上單調(diào)遞減時(shí)，在(5,6)

上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)/(%)在x=2時(shí)取得極大值/(2),在x=5時(shí)取得極小值”5),這里/(2)可以小于/(5),故B

正確；

對(duì)于C,函數(shù)在某一閉區(qū)間上的最小值可能是端點(diǎn)值，而極小值一定不是端點(diǎn)值，故C不正確；

對(duì)于D,由A可知，函數(shù)/。)=-爐在開區(qū)間(一1,1)上存在極大值和最大值.故D不正確；

故選：B

例4.(2023春?甘肅金昌?高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥?定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖

所示，則以下結(jié)論正確的是()

A.-3是函數(shù)〃尤)的一個(gè)零點(diǎn)B.-2是函數(shù)〃力的極大值點(diǎn)

C.的單調(diào)遞增區(qū)間是(-3,刈)D.無最小值

【答案】C

【分析】由圖象可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)，即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知圖象，僅可得出函數(shù)的單調(diào)性以及極值點(diǎn)，并不能得出函數(shù)的值，故A項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于B項(xiàng)，由已知圖象可知，

當(dāng)3)時(shí)，/(力<0,所以在(3,-3)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(-3,+⑹時(shí)，恒成立，所以〃另在(-3,內(nèi))上單調(diào)遞增，

所以-3是/(X)的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，由B可知，外力在(-3,w)上單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于D項(xiàng)，由B可知，/(x)在尤=-3處取得唯一極小值，也是最小值，所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

舉一m

練習(xí)6.(2022秋?江西南昌?高三校聯(lián)考期末)設(shè)/(x)是區(qū)間團(tuán),句上的連續(xù)函數(shù)，且在(",3內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論中

正確的是()

A./(x)的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)

B.7(x)的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)

C.在區(qū)間加上可能沒有極值點(diǎn)

D./⑴在區(qū)間團(tuán),句上可能沒有最值點(diǎn)

【答案】C

【解析】根據(jù)連續(xù)函數(shù)的極值和最值的關(guān)系即可判斷.

【詳解】根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知，AM的極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)，/(x)的最值點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).可能是

區(qū)間的端點(diǎn)，連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項(xiàng)A,B,D都不正確，若函數(shù)Ax)在區(qū)間團(tuán),勿上單調(diào)，

則函數(shù)Ax)在區(qū)間用上沒有極值點(diǎn)，所以C正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的極值與最值的概念辨析，屬于容易題.

練習(xí)7.(2023春?河北邯鄲?高三武安市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí))函數(shù)圖象連續(xù)的函數(shù)y=/(x)在區(qū)間國(guó)上()

A.一定存在極小值B.一定存在極大值C.一定存在最大值D.極小值一定比極大值小

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)最值和極值的定義即可得解.

【詳解】由函數(shù)的最值與極值的概念可知y=/(x)在上一定存在最大值.

故選：C.

練習(xí)8.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))定義在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)y=/(x)有唯一的極值點(diǎn)％=且

V極小值^(彳。)，則下列說法正確的是

A.函數(shù)〃尤)的最大值也可能是八％)B.函數(shù)有最小值，但不一定是〃后)

C.函數(shù)/(x)有最小值了(%)D.函數(shù)/(x)不一定有最小值

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的極值與最值的定義即可求解.

【詳解】???定義在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)y=/(x)有唯一的極值點(diǎn)x=x。，且y極小值=/?(%),

函數(shù)以x)在區(qū)間［a,x0)上單調(diào)遞減,在(無。，句上單調(diào)遞增,

；.當(dāng)彳=尤0時(shí)，函數(shù)/（＞）有極小值，也為最小值.

故選：C.

練習(xí)9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)〃彳）=-/+2/+3,在［a,句上，以下結(jié)論正確的是（）

A./（冷的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)B./（尤）的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)

C.〃x）在以上可能沒有極值點(diǎn)D.〃x）在句上可能沒有最值點(diǎn)

【答案】C

【分析】結(jié)合極值點(diǎn)、最值點(diǎn)的概念對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.

,,4

【詳解】由已知，/（x）=-3x2+4x=-x（3x-4）,由/'（尤）＜0,得或無＜0時(shí);由/'（尤）＞0,

得0＜x＜：時(shí)，所以〃尤）在（0。）上單調(diào)遞增，在（-雙。），《,+8）上單調(diào)遞減.

對(duì)于選項(xiàng)A,取［”,可=［-1,3］,易知f（x）的極值點(diǎn)為x=0,x=；

且〃0）=3jg）=黑，而〃-1）=6"（3）=-6,所以x=O,x=g不是最小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,取可=［2,3］,則/（X）在［2,3］上單調(diào)遞減，故X=2,尤=3是最值點(diǎn)，但

不是極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,由連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最值，知選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)概念的辨析，考查學(xué)生對(duì)極值點(diǎn)、最值點(diǎn)的理解，是一道容易題.

練習(xí)10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（多選）下列結(jié)論中不正確的是（）.

A.若函數(shù)〃尤）在區(qū)間［a,可上有最大值，則這個(gè)最大值一定是函數(shù)f（尤）在區(qū)間上的極大值

B.若函數(shù)f（x）在區(qū)間目上有最小值，則這個(gè)最小值一定是函數(shù)/（x）在區(qū)間,,同上的極小值

C.若函數(shù)八%）在區(qū)間可上有最值，則最值一定在了=?；騲=b處取得

D.若函數(shù)在區(qū)間,，目?jī)?nèi)連續(xù)，則在區(qū)間可內(nèi)必有最大值與最小值

【答案】ABC

【分析】根據(jù)極值與最值的關(guān)系判斷即可.

【詳解】若函數(shù)/（尤）在區(qū)間可上有最值，則最值可能在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得，故A,B,C都不正確；函數(shù)

在閉區(qū)間上一定有最值，故D正確.

故選：ABC.

題型三求已知函數(shù)的極值(點(diǎn))和最值

例5.(2023春?寧夏吳忠?高三吳忠中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)〃X)=3X3—9X+5.

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求函數(shù)的極值.

【答案】⑴見解析

(2)極小值-1,極大值11

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)性的步驟即可求解；

(2)根據(jù)函數(shù)的極值的定義及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟即可求解.

【詳解】(1)由題意可知，人龍)的定義域?yàn)?r,+s).

因?yàn)?3尤-9x+5,所以/'(了)=9%2-9=9(尤

令f\x)<0,即9(x+l)(x—1)<0,解得—1<x<1,

令廣(幻>0,即9(x+l)(x-l)>0,解得x<-1或x>l,

所以函數(shù)/(丈)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(―,T)和(1,內(nèi)).

(2)由(1)可知，當(dāng)x變化時(shí)，/'(x)J(x)的變化情況如下表：

Xy，T-1(T，l)1(l,+s)

(尤)+0—0+

f(x)遞增極大值遞減極小值遞增

所以,⑺的極小值為/(l)=3x(l)3-9xl+5=-l,

極大值為/(-1)=3X(-1)3-9X(-1)+5=11.

例6.(2023?廣西玉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))己知x=l為函數(shù)〃x)=lnx+2x+4的極值點(diǎn)，則/⑺在區(qū)間匕2上的最

x_

大值為()(注：出2。0.69)

A.3B.7-ln2

C.5D.—Fln2

2

【答案】B

【分析】由廣⑴=。以及極值點(diǎn)的知識(shí)求得。，求得了(%)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得了(%)在區(qū)間；，2上的最大值.

【詳解】r(x)=1+2-^,由于x=l是/(X)的極值點(diǎn)，

所以(1)=1+2—<2=3—<2=0,61=3,

,/\132x2+x—3(%—l)(2x+3)/、

止匕n時(shí)/(x)=_+2-=--------——=——-------L(x>0),

X-X-XJC

所以〃尤)在區(qū)間(O」)J'(x)<O,/(x)遞減；在區(qū)間(l,y),/'(x)>0,/(x)遞增.

所以x=l是〃x)極小值點(diǎn)，〃=3符合題意.

/出=lng+l+6=7-1112,/(2)=ln2+4+|=ln2+y,

由于7-ln2。7-0.69=6.31,1112+口。0.69+5.5=6.19,

2

所以〃尤)在區(qū)間(,2上的最大值為7-ln2.

故選：B

舉一

練習(xí)11.（2023春?上海楊浦?高三上海市控江中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)/（x）=e*-x,xeR

⑴求廣（0）的值，并寫出該函數(shù)在點(diǎn)（OJ（O））處的切線方程；

⑵求函數(shù)>=/（%）在區(qū)間［-M］上的最大值和最小值.

【答案】⑴）=1

（2）最大值是e-l,最小值是1.

【分析】（1）求出r（x）=e'-l,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，求出/（0）=1,即可得出答案;

（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合端點(diǎn)值，即可得出函數(shù)的最值.

【詳解】（1）由已知可得尸（x）=e-l,所以解（0）=0,

則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)在點(diǎn)（0,/（0））處的切線的斜率為k=7?'（（））=0.

又"0）=1,所以函數(shù)在點(diǎn)（0"（0））處的切線的方程為y=L

（2）當(dāng)時(shí)，/,（%）=ex-l<0,所以f（x）在［一1,0）上單調(diào)遞減；

當(dāng)0<xVl時(shí)，/,（x）=ev-l>0,所以在（0）上單調(diào)遞增.

所以，f（x）在x=0處取得唯一極小值，也是最小值f（0）=1.

又〃-1）=：+1<1.5,/⑴=e—l>L5>〃—l）,

所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是e-1,最小值是1.

練習(xí)12.(2023春?北京海淀?高三北理工附中?？计谥?已知函數(shù)〃力=丁—12彳+12.

⑴求〃x)的極值；

⑵求〃尤)在區(qū)間［-3,4］上的最大值和最小值；

⑶若曲線/(x)在點(diǎn)A乃處的切線互相平行，寫出A,2中點(diǎn)的坐標(biāo)(只需直接寫出結(jié)果).

【答案】(1)極大值28,極小值T

(2)最大值為28,最小值為一4

⑶(。/2)

【分析】(1)求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及極值的定義求解；

(2)函數(shù)的極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較可得最值；

(3)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得了'(再)=/'(々)，由此求解即可.

【詳解】(1)r(x)=3%2-12=3(x+2)(x-2),

當(dāng)x<-2時(shí),f\x)>0,單調(diào)遞增;

當(dāng)一2<x<2時(shí)，/'(%)<0,/■(*)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>2時(shí),用勾>0,〃力單調(diào)遞增,

所以，當(dāng)x=—2時(shí)，“X)取極大值/(-2)=28；當(dāng)x=2時(shí)，〃x)取極小值〃2)=-4.

(2)由(1)知，當(dāng)-3<x<-2時(shí)，”力單調(diào)遞增；當(dāng)-2<X<2時(shí)，/(X)單調(diào)遞減；當(dāng)2Vx<4時(shí)，〃尤)單調(diào)遞

增，

當(dāng)x=-2時(shí)，〃力取極大值〃-2)=28；當(dāng)x=2時(shí)，〃尤)取極小值/(2)=-4.

又一(-3)=19"(4)=28,

所以，〃x)在區(qū)間［-3,4］上的最大值為28,最小值為-4.

(3)設(shè)4(%,%),以孫方),x產(chǎn)々，

由題意尸(占)=r(%2)，即3x；-12=3君-12,

/.(x1+x2)(x1-x2)=0,/.七+冗2=0,

**(+)2=X：—12玉+12+—12%+12=(石+%?)(x；—玉々+￥)—12(石+9)+24—24,

???43中點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,12).

練習(xí)13.(2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=c"sin"，行,(],則函數(shù)/(x)的最小值為_____.

2cosx+sinxL，」

【答案】1/0.5

【分析】對(duì)Ax)求導(dǎo)，然后令g(x)=2+2sinx-cosx,判斷析(x)的單調(diào)性,得到g(x)的值域，從而判斷了⑴的單調(diào)

性，即可確定函數(shù)人無)的最小值.

1+sinx

【詳解】因?yàn)?(x)=

2cosx+sin%

cosx(2cosx+sinx)-(1+sinx)(-2sinx+cosx)2+2sinx-cosx

所以f(x)=

(2cosx+sinx)2(2cosx+sinx)2

1己g(x)=2+2sinx—cosx,XG0,-^,

則g'(%)=2cos%+sinx,因?yàn)椋ァ?,—TT,所以g〈%)=2cos%+sin%>0,

jr

所以g(x)=2+2sinx-cos尤在0,-上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(。)=2-1=1>。，

所以制x)>0在［o,g］上恒成立，所