2024屆百師聯(lián)盟高三年級上冊開學(xué)摸底聯(lián)考新高考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024屆高三開學(xué)摸底聯(lián)考

2.回答選擇題時,選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

檢皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一?并交回。

考試時間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1、已知集合,4=<1,2,3,4),B=—|，則AnB=

xL

A.⑴C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

工已知cosa

A.C

o-~T

土函數(shù)/（z）=黑卷（e為自然對數(shù)的底數(shù)）在［—2,2］的大致圖象是

力2,2

4.已知橢圓歷工+3=1的焦點在y軸上，若焦距為4,則該橢圓的離心率為

A展V3

AcI——

-T4,3

5.已知數(shù)列｛七｝和仍“｝均為等差數(shù)列，數(shù)列儲“｝的前〃項和為S“，若善為定值,Ss=45,0=6,

On

67=14,則a5=

A.15B.56C.72D.104

開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第1頁（共4頁）

6“三分損益法”是古代中國發(fā)明的制定音律時所用的生律法.例如：假設(shè)能發(fā)出第一個基準(zhǔn)音

的樂器的長度為36,那么能發(fā)出第二個基準(zhǔn)音的樂器的長度為36X0—￡)=24,能發(fā)出第

三個基準(zhǔn)音的樂器的長度為24x(1+5)=32,……，也就是依次先減少三分之一，后增加三

分之一，以此類推.現(xiàn)有一興趣小組采用此規(guī)律構(gòu)造了一個共12項的數(shù)列"“)用來研究數(shù)據(jù)

的變化，已知。8=192,則a5=

A.324B.297C.256D.168

.某令飲店有“桃喜芒芒”“草莓哦口波”“蜜桃四季春”“芋圓葡萄”四種飲品可供選擇，現(xiàn)有四位同

學(xué)到店每人購買一杯飲品，則恰有兩種飲品沒人購買的概率為

21「9廠15n15

AA.-B.—C.—D.—

64641632

已知函數(shù)/'(%)=]3+3]2+K+],設(shè)數(shù)列｛々”｝的通項公式為々“=—2〃+9,則/(ai)+

f(。2)+—+”。9)=

A.36B.24C.20D.18

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知實數(shù)滿足0V/n<〈，lV72V2,則下列關(guān)系中正確的是

A.WV九mB.sin7n<sin—C.mn2>lD.logn<log7n

nmn

io；已知隨機變量總服從兩點分布，且p(&=i)==1,2),若Jvmv加vi,則下列判斷

不正確的是

A.E(&)VD(&)B.E(K)VE(&)C.E(￡)VD(￡)D.D(K)<D(8)

ia.若關(guān)于工的方程工2+n+利=0(帆￡2有兩個不等復(fù)數(shù)根工1和劃，其中小=一方十￡i

(i是虛數(shù)單位.)，則下面四個選項正確的有

A.m=lB.xi>x2C.X?=1D.x1=x2

x3—3x,z<0,

12.已知函數(shù)若關(guān)于z的方程/2(z)—(2a+l)/(x)+a2+a=o有6

2X—2,

個不同的實根，則實數(shù)a可能的取值有

A.—yB-yC.yD.2

開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知t為實數(shù),。=（2,，），8=（3,0）,則向量a在向量b方向上的投影向量為.

14.已知（；+一］的展開式中的常數(shù)項為（用數(shù)字作答）

15.已知雙曲線E的一個焦點為F,點F到雙曲線E的一條漸近線工的距離為1,則雙曲

0

線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

16.已知在三棱錐P—ABC中，PA+BC=4,AB_LAC,PA_L平面ABC,則三棱錐P-ABC的

外接球表面積的最小值為?

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）某廠家為增加銷售量特舉行有獎銷售活動，即每位顧客購買該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品后均有

一次抽獎機會.在一個不透明的盒子中放有四個大小、質(zhì)地完全相同的小球分別標(biāo)有1,2,3,

5四個數(shù)字，抽獎規(guī)則為：每位顧客從盒中一次性抽取兩個小球，記下小球上的數(shù)字后放回，

記兩個小球上的數(shù)字分別為1小若If—笛|為奇數(shù)即為中獎.

（1）求某顧客甲獲獎的概率；

（2）求隨機變量X=|f—vl的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）.

18.（12分）已知數(shù)列｛a“｝滿足a1=0,且有3g型=a,+〃.

（1）證明：數(shù)列｛a.十2〃｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列（一4打，的前九項和S”.

\a?十2〃

19.（12分）如圖，ZVIBC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、6、c,aABC外一點。（D與AABC

在同一平面內(nèi)）滿足NBAC=ZDAC,AB=CD=2,sinZACB+cosZACB=生旦

⑴求8；

（2）若△ABC的面積為2,求線段AD的長.

A

B

20.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為矩形，平面PAB_L平面

ABCD,PA±PB,AB=7^,FB=BC=2,點Q為PC的中點.

(1)求證：平面ABQ,平面PAC；

(2)求二面角A-PC-D的余弦值.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=x2—mxln工+1,徵￡11且機￥0.

(1)當(dāng)加=1時，求曲線在點處的切線方程；

2

(2)若關(guān)于Z的不等式恒成立，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)m的取值

范圍.

22.(12分)已知點F為拋物線C：/=2拉(力＞0)的焦點，點P(2,l),Q(0,l),且|PF|=|QF|.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若斜率存在的直線/過點尸且交拋物線C于M,N兩點，若直線MF,NF交拋物線于

A,B兩點(M、N與A、B不重合)，求證:直線AB過定點.

開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)

2024屆高三開學(xué)摸底聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案及評分意見

【解析】因為B={x|zV0或了>2},又A={1,2,3,4},由交集的運算可知:Af］B={2,3,4}.故選C.

4

【解析】由題萬cosa+-^-sina=cos==.故選B.

5

2（—7'）sin（—J'）

3.B【解析】由題知/（.r）的定義域為R,/（-.r）=一十，」=/行），即/（工）為偶函數(shù),所以圖象關(guān)于）

軸對稱.排除A、C.又"1）=筌之1<1,/（2）=矍471蘭rl??>0,故選B.

e十ee--re

22何

4.B【解析】由題得，一4>10—，>0即7Vt<10,由焦距為4得（一4一（10—/）=4.解得，=9,離心率為==3-.

755

故選B.

5.A【解析】由&=50尸45得3=9,因為為定值,所以正4f=卷=右即曲=21.所以〃尸年=15.故

選A.

9)=192.解得：a$=324.故選A.

，即a

Q2

7.A【解析】解決該問題.可以將四位同學(xué)先分為2,2或3J兩堆.共有種分堆方法，再從4種飲品中選出

A2

2種.分配給兩堆人?故共有（M+G）X/U=84種方法.所以恰有兩種飲品沒人購買的概率為P=*=U?故

選A.

8.D【解析】/（I）=/+3/+7+1=（1+1）3—2（I+1）+2,所以曲線/（/）的對稱中心為（一1,2）,即/（l）+

/（—2—1）=4,因為a0=-2〃+9,易知數(shù)列{.“}為等差數(shù)列.々3=—1,。［+。9=々2+。8=。3+。7=。4+々6=

2a5=—2,所以/（卬）+/心9）=/（。2）+/（。8）=/（-）+/（。7）=/（-）+/36）=4?所以/（〃）+/（%）+…

+/,（々9）=4義4+2=18.故選D.

9.AB【解析】由題易知.WVl,小〉，所以〃7”V一,A正確；0<山<!<1<1<］，所以sin7〃Vsin',B正

LnLn

121/q、z9iiii

確；取〃？=7，〃=3?則7〃〃2=7乂丁=Y7<1,C錯誤；一>2,—<一VI,log,”〃>log,”一=—1Jog“〃?<

4，4\2J16mZnni

log,,°~=-1?即log”,〃>log“w,D錯誤.故選AB.

n

10.ACD【解析】?.?E（&）="，E（&）=%,???E（汽）VE（&）,???D（4）=?。?一小），/）（&）=〃（1-%）,.??￡：（&）>

D（&）,E（自）>D（d）,D（d）一D（&）=（小一22）（1一小一力2）>。.故選ACD.

ll.ACD【解析】由題可知⑺+才2=—1,所以工2=—1—與i,,〃=g￡2=（—；+剽］—對=1,故A

正確；山，心均為虛數(shù).不能比較大小.故B錯誤;Z；=（一$+與）=1,故C正確;狀=（一1一Ji）=-j+

73—

1i=.Z2,故D正確.故選ACD.

12.BC【解析】當(dāng)x<0時，/（工）=浦一3工，則/'（工）=3/—3=3（工一1）（工+1）,當(dāng)工6（—8,—1）時（工）>0,

開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)答案第1頁（共6頁）

/(.r)單調(diào)遞增.當(dāng)才6(—1,0)時,/'(了)<0,/(彳)單調(diào)遞減.作出/(.r)的圖象.如圖所示.

/2(x)-(2a+l)/(a-)4-a2+a=(/(x)-a)(/(a-)-a-l)=0,

即/(i)=a與/(.r)=a+l共六個不等實根，由圖可知/(工)=2時，了=-1或.r=2,即/(.r)=2有兩個根,

,Q<a<2,

若使f(x)=a與八①)=。+1共六個不等實根,只需滿足即OVaVl.故選BC.

(O<a+l<2,

13.(2,0)【解析】由題。?b=6.則向量a在向量b方向上的投影向量為%曾--4-r=—LrX(1,0)=(2,0).

bI也79+0

14.240【解析】由題T*+i=C(j)'?(了2)*=210--6#=0,1…,6,當(dāng)4=2時，為常數(shù)項.此時r=27=240.

r2y2j'2y2

15.一一/=1或^--—=i【解析】當(dāng)焦點在1軸上時.設(shè)雙曲線方程為5=l(a>0,6>0).則其漸近線方

31a'!>-

T

U=V3

程為y=±2「，點/到雙曲線E的一條漸近線￥=半工的距離為1.即『一百‘即a=6"，所以此時雙曲線E

a3

6=1,

的標(biāo)準(zhǔn)方程為J1C2一/=1;當(dāng)焦點在？軸上時,設(shè)雙曲線方程為1V一X廬~=1(。>0方>0),則其漸近線方程為y=

r-?__V3

士，■，點F到雙曲線E的一條漸近線,=個■上的距離為1.即，一耳''即a=，，所以此時雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程

6=1,

為1―/=1.綜上，雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁=1或1―>=1.

~3T

16.8K【解析】將三棱錐補成直三棱柱.設(shè)點D-D為上下底面的外心.點()為直棱柱的外接球的球心.則()為

DD,的中點，點D為BC的中點，AD為底面外接圓的半徑，設(shè)PA=z,則BC=4—.r,所以O(shè)D=*,AD=

與土=2一1■，得外接球半徑R=AC=J(5j+(2_*『=J2z+4=J.(#—2產(chǎn)+2,當(dāng)r=2時.R

有最小值為也，此時球0的表面積為：4KP=8".

17.解：(1)設(shè)事件A：某顧客甲獲獎，即IS—?|為奇數(shù)?則P(A)=-^=j,

開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)答案第2頁(共6頁)

所以某顧客甲獲獎的概率為；.

3分

(2)由題意.X的可能取值為1,2,3,4.4分

2

所以P(X=1)=R=-5分

33

P(X=2)=V=<

6分

L；o

P(X=3)="

7分

=4)=J=l

F(Xl8分

所以隨機變量X的分布列為:

X1234

11119分

PTTTT

所以E(X)=1X(+2>4+3X?4X9=S

10分

+1+2

18.(1)證明：由題力a〃+〃?即a"+i=2a”+2〃-2,

2

a”+i+2(〃+l)2a”+2〃-2+2(〃+l)2a+4〃

所以li=23分

a?+2〃a,,+2na?+27z

a?+2=2,4分

所以K“+2〃｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.5分

n

(2)解：由(1)知，+2〃=2X2—=2",所以6分

a”+2〃2n

所以S?=lX^y+2X+3x(9)+.?.+〃義⑴,

8分

(

yS?=ixI+2x(1)+…+7i-1)XI9分

兩式相減得.

+爐(k=nX

=1-1+T11分

即

S〃=2—(2+7Z)(J)12分

19.解：⑴因為cosC+sinC=—

由正弦定理可得cosC+sinc=An(丁"A

sino

即sinBcosC4-sinBsinC=>/2sinC+sinA=7^sinC+sin[7r—(B4-O]

=V?sinC+sin(B-FC)=*/2^sinC+(sinBcosC+cosBsinC)，

開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)答案第3頁(共6頁)

即sinBsinC=V2sinC+cosBsinC.........................................................3分

又C￡(0,汽)，sinC>0,故sinB=「+cosB.即sinB—cos8=V?,..............................4分

所以5/^sin(/3一個)=行,即sin(13-孑)=1,..................................................5分

因為Be(0,n),B—亨wj],汩，所以8—；=怖,得8=與....................................6分

4144yz424

(2)因為AABC的面積S=2,所以S=2=；acsin斗，即日a=2,a=2招，...........................8分

由余弦定理得AC=/f2+a2—2砒?cos8=24,..............................................9分

_4+20-8_275

所以cosZCAB10分

2X2X2755

因為AC平分NBA。.

2

/,，ACAD+20-42底

所以cos/CAD=-----------=11分

2?2店?AD5

所以AD=4.............................................................................12分

20.(1)證明：：平面PAB_L平面ABCD.BC_LAB.平面PABA平面ABCD=AB,

，BC_L平面PAB,又：APU平面PAB.

.,.BCYAP...............................................................................1分

又,.?/\4_1_28.8。0873=8,8。，8尸(=平面BCP.

.\AP_L平面BCPJ3QU平面BCP,即AP_L/3Q...............................................2分

在△BCP中.PB=BC.Q為PC的中點，

：.BQ±PC,..............................................................................3分

又AP|"IPC=P,AP,PCU平面PAC,

.?.BQ_L平面PAC,........................................................................4分

又BQU平面A8Q,

二平面ABQ_L平面PAC...................................................................5分

(2)解：作PH±AB于點H.易知PH_L平面ABCD,

在RtAPAB中，PA=VAB2~PB2=7(75)2-22=1,

則PH：」PB=等，AH=/PA：_PH2==與.................................6分

如圖以A點為原點，AD.AB所在直線為“軸，3軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

=(0.-75.0).8分

開學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)答案第4頁（共6頁）

由(1)知BQ_L平面PAC,所以平面PAC的一個法向量為試=1,_半,*J,.......................................9分

設(shè)平面PCD的一個法向量為”=(￡,、，z),

4752展

n?PC=0,2.rN=0,

則,即5取h=1.得H=(1,0,^/5).10分

n?CD=0,

-y=0,

cos〈法向=普符=3=*

11分

IBQI|n|#?#3

由題可知二面角為銳角，所以二面角A-PC-D的余弦值為《.

12分

21.解：(1)由題.當(dāng)m=1時,/(?)=/2—xIn+1.

/'(z)=2Lln7一1..............................................................................................................................................1分

/,(1)=1,/(1)=2,.................................................................................................................................................2分

所以切線方程為丁一2=1—1,.................................................................................................................................3分

化簡得7—y+1=0,

即曲線/(I)在點處的切線方程為/-y+l=0.................................................................................4分

2212

(2)/(z))一比,即/—mzlnn+12—J?，即《rT-------m\nx----->0在(0,+8)上恒成立,...........5分

eexe

人/、?1.2,1)nJC,1—)nx—1八八

令g(/)=7-|-???lnx——?則rillg(z^)x=1——7——=-------；-------.............................................................6分

xexxx

對于丁=一-7〃]-13=〃/+4>0,故其必有兩個零點，且兩個零點的積為一1,

則兩個零點一正一負(fù)，設(shè)其正零點為乙6(0,+8),

貝I]一"[①<)—1=0,即"？=/()一2,.....................................................................................................................7分

x0

且在(0,")上g'(i)V0,g(z)單調(diào)遞減,在Q5+8)上g'(I)>0,g(i)單調(diào)遞增.

故g(io))O,即xQH--——G*oIn①0——^0.............................................................................................8分

ioVxo)e

令h(X')=J:+------Cr——llnx——,

Vx)e

貝I]//(J*)=1-(1+±)In/-(1=-(1+4)InX，

當(dāng)(0.1)時"'(1)>0?當(dāng)/6(1.+8)時.，(1)<0,

則人(紀(jì))在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

又刀(；)=刀(e)=0,故工。W；，e?.................................................................................................................10分

顯然函數(shù)機=工。一，在[L,e]上是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)*

e

x0L_

則〃?G——e?e--，

ee

所以實數(shù)，”的取值范圍為e,O)U(O.e—；

12分

.解：(由題設(shè)(，則|PF|=J(2一及

221)F?,0