安徽省十校聯盟2023屆高三年級下冊開學考試數學試題（含答案解析）

安徽省十校聯盟2023屆高三下學期開學考試數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合A=X*2*≤4卜8={x∣T≤x<-l},則AB=().

A.H，2]B.[-2,-1)

C.(-1,2]D.[-2,-1]

2.疫情期間，部分小區(qū)實行封控管理，志愿者的服務態(tài)度成為了影響居民生活質量的

重要因素之一，因此對志愿者的管理也成為疫情期間必不可少的環(huán)節(jié)之一.為了解志愿

者服務的相關情況，調研人員現要求A小區(qū)居民對志愿者的服務態(tài)度進行打分，所得分

數統(tǒng)計如下圖所示，據此可以估計，A小區(qū)志愿者服務態(tài)度的平均分為().

3.已知向量「=(2,—3),?=(1,4),c=(Λ-2),若卜+2?+c∣=5,則實數7=().

A.1或TB.T或4

C.0或8D.?；?8

ιu

4.已知α=2,b=Iog32.8,c=log,7.8,則”,b,C的大小關系為().

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>oaD.c>b>a

4Ir

5.已知圓錐的母線長為10,側面展開圖的圓心角為半，則該圓錐的體積為().

A.史衛(wèi)兀B.32√6πC.16√6πD.必包兀

33

6.若直線>二奴-1是曲線/(x)=x+lnx在某點處的切線，則實數”().

A.-1B.1C.2D.3

7.已知是定義在R上的函數，且/(x+l)為奇函數.若函數

g(x)=In(√?石7Ξτ+1)與函數/(x)圖像有5個交點,其橫坐標從左到右依次為々,

5

々，?,X”4，則Xw=().

tal

A.OB.5C.6D.IO

8.已知雙曲線E：5■-春?=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為《，F2,點P是E右支上

一點，ZFlPF2=?20°,O是坐標原點，NpOK=I20。，則E的離心率為().

A.3區(qū)MB.3^+√10

2

C.CD.√iθ-√2

2

二、多選題

9.若復數z∣=l+2i,z2=7-3i,則下列說法正確的是().

A.∣Z,∣=Λ∕5

B.在復平面內，復數Z2所對應的點位于第四象限

C.z「z?的實部為13

D.z∣?z?的虛部為-U

10.若經過點尸(1,3)的直線與拋物線UV=2px(p>0)恒有公共點，則C的準線可能

是().

A.X=—2B.x=-3

C?X=_垃D.X=-2?∣2

11.已知函數/(x)=-4CoSXCoS1+］)+l,則下列說法正確的是().

A.函數/(x)的最小正周期為］

Sττ

B.X=?為函數〃x)圖像的一條對稱軸

6

4τr1Qjr

C.函數/(X)在上單調遞減

D.函數y=f(x)+■|在［(),兀］上有3個零點

12.己知正方體ABC。-AMcQl的棱長為2,過棱AB,BC的中點E,尸作正方體的截

面，下列說法正確的是().

試卷第2頁，共4頁

A.該正方體外接球的表面積是48π

B.若截面是正六邊形，則直線片。與截面垂直

C.若截面是正六邊形，則直線RB與截面所成角的正弦值為I

D.若截面過2點，則截面周長為2萬+近

三、填空題

13.已知直線Ly="(QO)與圓加：1高+/=與相切，則實數k=.

14.若(以-y)(x+y)ti的展開式中√V的系數為%則實數“=.

15.數字中暗藏著一些潛在的規(guī)律，古希臘畢達哥拉斯學派通過石子的排列發(fā)現了三角

形數、正方形數等；有時將數字進行拆分后也能夠發(fā)現新的規(guī)律，現將一組數據拆分如

下：

1

一,

1

?2

5'『

?23

3,2,T,

J_234

一'二’^z^jf

4321

觀察可知，這組數據中的第8個數為彳2，則總3是該組數據的第________個數.

39o

16.若不等式/le、+ln；IWlnX對VXe(0,”)恒成立，則正數4的取值范圍為

四、解答題

17.在一ABC中，內角A,B,C的對邊分別為4,b,c,且CCoSB+(6-2α)cosC=0.

⑴求C

⑵若b=2>a,求cosB.

18.已知數列｛可｝的前〃項和為S11,5,=3,且2“,向+2(〃+IMM=S,,+S..

2n+l

⑴求證:數列■—為等差數列;

Sn

⑵若bn=--?2",求數列｛?｝的前?項和T1,.

19.某大型國有企業(yè)計劃在某雙一流大學進行招聘面試，面試共分兩輪，且第一輪通過

后才能進入第二輪面試，兩輪均通過方可錄用.甲、乙、丙、丁4名同學參加面試，已

知這4人面試第一輪通過的概率分別為：，三，：，：，面試第二輪通過的概率分別為

3544

k1=5，24，2且4人的面試結果相互獨立.

z129?

(1)求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用的概率；

(2)記甲、乙、丙、丁4人中最終被錄用的人數為X,求X的分布列和數學期望.

20.如圖，在四棱錐S-AfiCD中，四邊形ABCQ為梯形，AB//CD,AB=2CD,AD=SD,

ABS為正三角形，SCLBC,CB=CS,。為S3的中點.

A

C

(1)求證；OCJ_平面83；

(2)求二面角C-SA-。的余弦值.

22

21.已知橢圓E:2+方=l("＞人＞0)的右焦點為凡P,。分別為右頂點和上頂點，O

為坐標原點，粵+粵=3e(e為橢圓的離心率)，AOPQ的面積為√L

⑴求E的方程；

(2)設四邊形ABCQ是橢圓E的內接四邊形,直線AB與C。的傾斜角互補,且交于點(3,0),

求證：直線AC與8。交于定點.

22.已知函數/(%)=(X-2)e-*.

⑴求“X)的單調區(qū)間；

(2)若α,b為兩個不相等的實數，且滿足αeJhe"=2(eJe"),求證：a+b＞6.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

?.B

【分析】解指數不等式化簡集合A,再利用交集的定義求解作答.

【詳解】解不等式:≤2Y4得：-2≤x≤2,即A=[-2,2],而B=[-4,T),

所以ACB=

故選：B

2.C

【分析】根據給定的頻率分布直方圖，求出服務態(tài)度的平均分作答.

【詳解】依題意，所得分數在各個小組內的頻率依次為：0.1,0.1,020.4,0.2,

所以所求平均分為55x0.1+65x0.1+75x0.2+85x0.4+95x0.2=80.

故選：C

3.D

【分析】根據向量模的坐標表示求解.

【詳解】由題意得，α+2?+c=(2,-3)+2(1,4)+(4—2)=(4+43),

1+26+c∣=44++3。=5,解得X=O或-8.

故選：D.

4.A

【分析】根據指對函數性質與對數運算進行比較即可得出答案.

ω

【詳解】由題意得，α=2>1,1=Iog33>?=Iog32.8=Iog97.84>c=Iog97.8,

s.a>b>c.

故選：A.

5.D

【分析】由側面展開圖求得圓錐底面半徑、高，然后由體積公式計算.

【詳解】記圓錐的底面半徑為「，則4三TTxlθ=2πr,解得r=4,

22

.?.圓錐的高∕?=√Z-r=2√21，

該圓錐的體積為]χπxl6x2"[=%叵兀.

33

故選：D.

答案第1頁，共15頁

6.C

【分析】設切點，求導數利用已知建立方程組解出即可.

【詳解】設切點為4(肛“),

由/(x)=x+lnx,

得/(χ)=l+}

則廣⑺句+‘二白①,

m

n-am-1

由題意得:

n=mjt-?nm

?n=m=?

聯立①可得，C

[a=2

故選：C.

7.B

【分析】由題意可得，函數g(x)與函數/(可的圖像都關于點(1,0)對稱，有玉+￡=2,

x2+x4=2,x3=1,可求和.

【詳解】?.?∕(χ+l)為奇函數，函數圖像關于原點對稱，且/(χ+l)是由/(χ)向左平移1個

單位長度得到，

???“χ)的圖像關于點(1,0)對稱，

對于函數MX)=In(GTT-X),定義域為R,

有M-X)+力(X)=In(JX2+1+x)+ln(jχ2+1-X)=In1=0,

函數以X)為奇函數，其圖像關于原點對稱，

???函數g(x)=/?(XT)=In7(x-l)2+l-(x-l)的圖像關于點(1,0)對稱，

5

/.x1÷x5=2,x2+x4=2,x3=1,.?.Z七二5.

/=1

故選：B.

8.A

答案第2頁，共15頁

（分析]由題意得△。片PSZ?ME,可得I明=&C,再由余弦定理求出歸用=回了卜

結合雙曲線的定義即可求出雙曲線的離心率.

【詳解】VZOFiP=ZPFiF2,NFQP=NFIPF2,ΔOF,PAPF1F2,

.M冏I.?.?PF?=>∕2c.

..西用國'l

在△尸耳耳中，由余弦定理得忻/?=IPK「+|P用2_2|p耳HPEICoSNEPE,

即4c?2=2c2+|P/?_2&c|Pg|x解得IP周=（后;夜K,

又ImHP閭=為，WCJMF）C"a，

2

解得g=30j√Γδ,即E的離心率為各巨士亞.

a22

故選:A.

9.ABC

【分析】由復數模長的定義可判斷A；由復數的幾何意義可判斷B；求出4號2可判斷C,

D.

22

【詳解】由題意得，∣Z1∣=√1+2=√5,故A正確；

在復平面內，復數4所對應的點為（7,-3）,位于第四象限，故B正確;

Vz1-?=(l+2i)(7-3i)=7-3i+14i+6=13+lli,

.?.z∣?4的實部為13,虛部為11,故C正確，D錯誤.

故選:ABC.

10.BD

【分析】由題意得，點P0,3）在拋物線上或其內部，則J1≥3,求出。的范圍，即可得出

答案.

【詳解】由題意得，點P（l,3）在拋物線上或其內部，則32≤2",而≥3,解得P≥],

.?.其準線為x=-9≤-g.

24

答案第3頁，共15頁

故選:BD.

11.BC

【分析】利用兩角和的余弦展開式，正余弦二倍角公式以及輔助角公式化簡函數，然后根據

函數的性質及圖像逐項分析.

【詳解】由題意得：“x)=-4CoSXCOS[X+?∣)+1

4C6.)I

=-4COSX-COSX------sin?+1

122J

=-2cos2X+2>∕3Cosxsinx+1

=-(1+cos2x)+百sin2x+1

=&sin2x-cos2x

2

22

所以/(x)=2Sinl2x-g

???/(尤)的最小正周期7=仝=4=兀，故A錯誤;

COL

-2,故B正確；

???函數/(x)在上單調遞減，故C正確;

令y=f(χ)+?∣=o,

即2sin(2x—―+?=O=Sin=——,

JTTrllJr

因為0≤x≤兀，所以-C≤2X-3≤詈

666

令f=2x?4=re-J,乎，則W)=Sin/,所以選項D的問題轉化為

OLoo_

jr117ra

/?(r)=sinr,r∈與>=-二的交點個數問題，

664

如圖所示:

答案第4頁，共15頁

12.BD

【分析】由正方體對角線是外接球直徑求出球表面積判斷A,正六邊形截面與相應棱交點是

棱中點，建立空間直角坐標系，由空間向量法證其垂直求線面角可判斷BC,由正方體性質

作出截面求出周長后判斷D.

【詳解謝于A,外接球的半徑為R=g/T彳=6,故外接球的表面積為S=4成2=叨，

故A錯誤；

對于B,建立如圖1所示的空間直角坐標系,

設AA的中點為G,則"(0,0,0),B1(2,2,2),￡(2,1,0),尸(1,2,0),G(2,0,l),

：.DBt=[2,2,2),EF=(-1,1,0),EG=(OT),

：.DBt-EF=-2+2+0=0,O8∣EG=O-2+2=0,

則DBlIEF,DBJEG,即。片，EF,DBIEG,

又EFiEG=E,EG,EFU正六邊形截面，

.?.。月_1正六邊形截面，故B正確：

對于C,如圖1,易得AB=(2,2,-2),￡>4=(2,2,2)為正六邊形截面的一個法向量,

設直線AB與截面所成的角為S,

?DB-DB]∣4÷4-4∣?

則sinφ=Icos(DB,DB=t

11網網一標成一針故C錯醫(yī);

答案第5頁，共15頁

圖1圖2

對于D,如圖2,延長EF,與D4的延長線交于點K,與OC的延長線交于點L連接AK交

AA于點連接OZ交CG于點N,則截面。MHW為平面α.

因此有AK=AE=BE=BF=FC=CX=I,例為AA的三等分點，N為CG的三等分點,

于是DK=DL=3.

故截面AMEFN的周長為2x巫+名叵'2+應=2a+&,故D正確.

33

故選：BD.

13.B

3

【分析】通過圓心到直線的距離等于半徑列方程求解即可.

【詳解】由題意得，圓M的圓心坐標為（∣,θ｝半徑為g,

l?j

則圓心〃到直線/的距離）34,

a=—√7F“7T'=一3

又大＞o,所以解得k=立，

3

故答案為：弟^

3

14.1

【分析】根據二項式定理得出（x+y『展開式的通項公式，即可得出（Or-y）（x+y）''的展開

式中r"2為r=l或r=2時，則Vy?的系數為Ch-C,=9,即可解出答案.

【詳解】（x+yf展開式的通項公式為：（M=q?χ6-y,

42

則Ti=*/,T3=Clxy,

答案第6頁，共15頁

所以(Or-y)(x+)T展開式中χ5y2的系數為CT-CJ,=9,

解得a=?.

故答案為：1

15.4953

3

【分析】觀察數據規(guī)律，知鼐在第100行的第3個數，求出前99行所有數的個數后可得結

論.

【詳解】由題意得，［在第100行，前99行共有(1+99)X99=4950個數,

982

故總3是該組數據的第4953個數.

98

故答案為：4953.

16.：，+8)

【分析】利用同構的思想變形給定不等式，再構造函數，利用函數單調性建立恒成立的不等

式，分離參數求解作答

【詳解】VXe(0,+∞)，&"+In彳≥InXoλel+lnλ+x≥lnx+x<≠>λe'+ln(Λe,)≥x+lnx,

令/(x)=x+lnx,則原問題可化為y(∕le")≥∕(x)對TX∈(0,+∞)成立，

而函數/(x)在(O,+a)上單調遞增，因此VXe(O,+∞),λex≥x<^λ≥^,

令g(x)=W(x>O),求導得g<χ)=r，由g'(x)>O,得O<x<l,由g'(x)<O,得Q1，

ee

于是得函數g(χ)在(0,1)上單調遞增，在(l,+∞)上單調遞減，g(x)max=g⑴=9則力靈，

所以正數4的取值范圍為

故答案為：->+0°^

17.(∣)C=∣

⑵-五

14

【分析】(1)由正弦定理化邊為角，然后由兩角和的正弦公式、誘導公式變形后可得C角；

(2)利用余弦定理再求得a。關系，然后求得cos8.

【詳解】(1)由CCOS3+(。-2〃)CoSC=。，

答案第7頁，共15頁

得sinCcosB+sinβcosC-2sinAcosC=O,

則Sin(B+C)-2sinAcosC=O,即sinA-2sinAcosC=O.

VsinA≠O,cosC=—,

2

X0<C<π,C=]

(2)在ABC中，C=I

由余弦定理得￠2=a2+b2-20?cosC=a2+b2-ab,

,b=3a,??c=?∣a2+b2—ab=幣a`

a2+c2-b21+7-9√7

.?.cosB=

2ac2√7一14

18.(1)證明見解析

⑵7>(2〃—3>2"∣+6

【分析】(1)由%與S“關系化已知為⑸｝的遞推關系式，變形后根據等差數列的定義證明;

(2)結合等差數列通項公式求得“，用錯位相減法求和.

【詳解】⑴證明：?.?2SRt∣+2("+l)%=S,+S,U,

2S,,Sa+∣+2(〃+I)S"+1—2("+l)S,=Sn+5,,+1,

:?2S?S?+,+(2n+l)S?+l=(2n+3)S?,

2n+12n÷32〃+32〃+1

.?.2+丁=飛丁’即飛=2,

l

n+ιSZl

32鼠+1

又不???數列是以為首項，為公差的等差數列.

=1,?12

2∏+1

(2)由(1)知，則一［=2〃-1,Λ?=(2n-I)?2n,

貝Ij7；=lx2∣+3X2?+5X23++(2∕ι-l)?2w,

.?.27；,=1X22+3X23+5X24++(2n-l)?2n+',

z,,,+l

兩式相減，可得一Z,=2x2'+2x2?+2x2^+L+2.2-(2n-l)?2-2

答案第8頁，共15頁

=4'?"?-(2∕i-l)?2"tl-2=(3-2∕ι)?2"+1-6.

故Z,=(2〃—3)?2"+∣+6.

23

'9?⑴為

3

(2)分布列見解析，I

【分析】Q)根據題意分別計算出甲、乙、丙、丁4名同學參加面試通過的概率，利用對立

事件的概率公式可知“至少有1人被錄用的概率”與“沒有人被錄用的概率”之和為1,即可計

算出結果；(2)寫出X的所有可能取值，再根據積事件與和事件的概率公式分別求的其概率

即可列出分布列，進而求得期望值.

211

【詳解】(1)由題意得，甲被錄用的概率為:X：=：,

323

乙被錄用的概率為,4X*5=:1,

341

丙被錄用的概率為

493

321

丁被錄用的概率為=

事件“至少有1人被錄用”與事件“沒有人被錄用”互為對立事件,

沒有人被錄用的概率為(1-jχ[ι-g)χ(If小寸

設甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用為事件M,

424

則P(M)=I-萬=藥，

即甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用的概率為券23

(2)由題意得，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

P(X=I)=《X；XI"+叫眄I)

,

P(X=2)=Cxgx(?∣[+X!X2^3

答案第9頁，共15頁

P(X=3)=C

DZVzlλ11111

'7333254

???x的分布列為

XO1234

410?71

P

272735454

4IO1713

，期望值E(X)=0x-+lx-+2x-+3x-+4χ-=-

V72727354542

20.（1）證明見解析

⑵苧

【分析】（1）取A5的中點E,證明OCy/￡>￡,由DELSA,有OCLS4,又OC_LS3,可

得OC_L平面SAB；

（2）以O為坐標原點建立空間直角坐標系，利用平面法向量解決二面角的余弦值.

【詳解】（1）取AS的中點E,連接OE,ED,如圖所示，

C

則OE∕∕A8,OE=-AB.

2

?/ABHCD,AB=2CD,：.OE//CD且OE=CD,

：.四邊形Oa>E為平行四邊形，，OCHDE.

VAD=SD,：.DELSA,：.OC1SA,

'：CB=CS,：.OClSB,

又SB=S,SA,SBu平面SAB,OC_L平面SA8.

(2)連接A。，：ZXSAB為正三角形，ΛAOLSB,

答案第10頁，共15頁

：。（7_1平面弘8,，。4,OS,OC兩兩垂直，

以。為坐標原點，0C,0S,。4所在直線分別為X,y,Z軸建立如圖所示的空間直角坐標

系，

設3C=SC=2,則AB=SB=2√∑,OA=娓,OC=應,

：.λ(θ,θ,√6),C(√2,θ,θ),S(θ,√2,θ),β(θ,-√2,θ)

由AB=2f>C可得。

ΛAS=(θ,√2,-√6),SD=五-李用，CS=(-√2,√2,θ).

設平面SAO的法向量為Jz=(?η,y∣,zJ,

m?AS=y∕2yl-y∕βzl-O

m-SD=>∕2xl——X+半■zl=O

令z∣=l,則M=G,Λ1=0,得機=（0,百,1）.

設平面SAC的法向量為。=（W,%*2），

n-AS=?∣2y-,-?/ez,=O

則rr'，

nCS=-√2X2+√2y2=O

令%=G，KO?=?/?,Z2=I9得力=(G,G,ι),

m?n_4_2不

則CoS(肛M=

同時2×Λ∕77

由圖可知，—?面角C-SA-。為銳—?面角,

答案第11頁，共15頁

???二面角C-SA-。的余弦值為名自

7

22

2L嗚+p

(2)證明見解析

【分析】(1)由己知求得”力,c得橢圓方程；

(2)題意說明4與O,B與C分別關于X軸對稱，設Aa,y),8(%,%)，則C(Λ2,-%),

Da,-)3利用直線方程求得AC與B。的交點坐標(用Xlj,與，%表示)，設直線AB的方

程為x=(y+3,代入橢圓方程后應用韋達定理得,+/，兇丫2,把它代入AC與Bo的交點坐

標得常數，從而得證結論.

【詳解】⑴?；寨+黑=3e,.?.^+^∑Ξ=主，：.a=2c,

?OF??OP?caa

又Sa"Q=5"∕2=6,111?=∕3,

a=b+cy?*?a=2fλ

22

.?.橢圓E的方程為二+匯=1.

43

(2)?.?直線AB與Co的傾斜角互補，且交于點(3,0),

.?.直線AB與8關于X軸對稱，,A與。，B與C分別關于X軸對稱.

設Aa,χ),B(x2,y2),則C(孫-%),Da,-yj,

,直線AC的方程為y-X=XYf)(Hf)，

XI-X2

直線8￡)的方程為y-%=')2(χ-%),

Xi-X2

XIy2+±x

聯立解得X=y=°,

>,∣+%

，直線AC與交于點Λ2il?o.

Iy+)’2)

設直線AB的方程為x=)+3,

與橢圓E的方程［→0=l聯立得(3/+4)y2+i8(y+15=0,

由題意得，A=(18∕)2-60(3∕+4)>0,解得戶>|,

答案第12頁，共15頁

又y+%=一3r+4''v'?v'2-3r2+4,

?不