三角形的全等與相似-2023年中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)練習(xí)（江蘇）（解析版）

2023年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)?重點(diǎn)?難點(diǎn)】專練（江蘇專用）

熱點(diǎn)05.三角形的全等與相似

【考綱解讀】

1.了解：三角形的中線、角平分線、高線；三角形的外角；等腰（邊）三角形的概念；全等圖形的概念；知

道什么是比例式、比例中項(xiàng)；知道黃金分割的意義和生活中的應(yīng)用；知道什么是相似三角形：了解相似多

邊形的性質(zhì)；位似圖形的概念

2.理解：三角形的中線、角平分線、高線；三角形的三邊關(guān)系；等腰（邊）三角形的性質(zhì)及判定；直角三角

形的性質(zhì)及判定；全等三角形的判定；角平分線的性質(zhì)與判定：理解并掌握角平分線的性質(zhì)；比例的基本

性質(zhì)及定理；平行線分線段成比例定理；相似多邊形的性質(zhì)

3.會(huì)：作三角形的中線、角平分線、高線；證明三角形的內(nèi)角和定理；.利用HL判定兩個(gè)三角形全等；會(huì)

判定兩個(gè)三角形全等；會(huì)運(yùn)用定理進(jìn)行相似計(jì)算和證明：知道位似是相似的特殊情況.

4.掌握：三角形的內(nèi)角和定理及其三邊關(guān)系定理；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)及判定；直角三

角形的性質(zhì)及判定；勾股定理及逆定理；全等三角形的判定方法；相似三角形；平行線分線段成比例定理；

相似三角形的判定和性質(zhì)；相似多邊形的性質(zhì)。

5.能：利用三角形內(nèi)（外）角和定理進(jìn)行角的有關(guān)計(jì)算與證明；解決等腰三角形的有關(guān)計(jì)算；證明一個(gè)三

角形是等腰（邊）三角形；運(yùn)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題；利用角平分線的判定解決有關(guān)的實(shí)際問

題；能熟練運(yùn)用比例的基本性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.能運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和判定方法證明簡(jiǎn)單問題；能

利用位似放大和縮小一個(gè)圖形

【命題形式】

1.從考查的題型來看，涉及本知識(shí)點(diǎn)的主要以填空題或選擇題形式考查,屬于中低檔題,難度一般.少數(shù)以

解答題的形式考查（以三角形或四邊形為背景），此類題型屬于中高檔題,難度比較大

2.從考查內(nèi)容來看,涉及本知識(shí)點(diǎn)的主要有：三角形的中線、角平分線、高線；三角形的內(nèi)（外）角和定理

及其三邊關(guān)系定理；勾股定理及逆定理；等腰（邊）三角形的性質(zhì)及判定；全等三角形的判定方法；相似

三角形的定義、性質(zhì)與判定；平行線分線段成比例定理；相似多邊形的性質(zhì)

3.從考查熱點(diǎn)來看,涉及本知識(shí)點(diǎn)的主要有：三角形的內(nèi)（外）角和定理及其三邊關(guān)系定理；勾股定理及逆

定理：等腰（邊）三角形的性質(zhì)及判定；全等三角形的判定方法；角平分線的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)及

判定；相似多邊形的性質(zhì)；位似的性質(zhì)；平行線分線段成比例定理、相似三角形與生活實(shí)際問題的應(yīng)用

【限時(shí)檢測(cè)】

A卷（真題過關(guān)卷）

備注：本套試卷所選題目多數(shù)為近三年江蘇省各地區(qū)中考真題，針對(duì)性強(qiáng)，可作為一輪、二

輪復(fù)習(xí)必刷真題過關(guān)訓(xùn)練.

一、單選題

1.（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（）

A.3,3,6B.3,5,10C.4,6,9D.4,5,9

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可.

【詳解】A.□3+3=6,

「長(zhǎng)度為3,3,6的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；

B.13+5<10,

長(zhǎng)度為3,5,10的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；

C.□4+6>9,6-4<9,

口長(zhǎng)度為4,6,9的三條線段能組成三角形，本選項(xiàng)符合題意；

D.4+5=9,

長(zhǎng)度為4,5,9的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊

是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,NBAe的平分線交BC于點(diǎn)D,E為AC的

中點(diǎn)，若力B=I0,則DE的長(zhǎng)是（）

A.8B.6C.5D.4

【答案】C

【分析】利用等腰三角形三線合一以及直角三角形斜邊上的中線進(jìn)行求解即可.

【詳解】LAB=AC=10,4。平分NB4C,

AD1BC,

ΛADC=90°,

E為AC的中點(diǎn)，

口叫"=5,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線.熟練掌握等腰三角形三線合一和直角三

角形斜邊上的中線等于斜邊的?半是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題)若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3c機(jī)和5cm,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是

()

A.8cmB.?^icmC.8c加或13c∕nD.IlC加或13c加

【答案】D

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為3和5,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要

應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【詳解】解：當(dāng)3是腰時(shí)，

□3+3>5,

匚3,3,5能組成三角形，

此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為3+3+5=11(cm),

當(dāng)5是腰時(shí)，

□3+5>5,

5,5,3能夠組成三角形，

此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為5+5+3=13(cm),

則三角形的周長(zhǎng)為11。"或13cm.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情

況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

4.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題)如圖，點(diǎn)4B、C、D在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，AD與BC相交于點(diǎn)。，

小正方形的邊長(zhǎng)為1,則4。的長(zhǎng)等于()

【答案】A

【分析】先根據(jù)勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)，再根據(jù)AXOBILDOC,對(duì)應(yīng)邊成比例，從而求出Zo的長(zhǎng).

【詳解】解：/∕>√32+42=5,AB=2,CD=S,

?2ABΠDC,

△/O8E）1DOC,

-A-O--A-B=一2,

ODCD3

設(shè)AO=2χ9則OD=3x,

AOWD=ADi

□2r+3x=5.

解得：X=L

AO=2f

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì).

5.（2021?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在A∕18C中，48的垂直平分線分別交力8、BC于前D、E,連接

AE,若4E=4,EC=I,則BC的長(zhǎng)是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB=E4=4,結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：QDE是48的垂直平分線，4E=4,

IEB=EA=4,

LBC=EB+EC=4+2=6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩

個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

6.(2021?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考中考真題)在Rt△4BC中，乙4=90。，AB=6,AC=8,點(diǎn)P是△ABC所在平面

內(nèi)一點(diǎn)，貝曲爐+282+「。2取得最小值時(shí)，下列結(jié)論正確的是()

A.點(diǎn)尸是△4BC三邊垂直平分線的交點(diǎn)B.點(diǎn)尸是AABC三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)

C.點(diǎn)P是AABC三條高的交點(diǎn)D.點(diǎn)尸是AABC三條中線的交點(diǎn)

【答案】D

【分析】以點(diǎn)力為坐標(biāo)原點(diǎn)，/8所在直線為X軸，建立直角坐標(biāo)系，貝步"+pg2+pc2=3(χ-2)2+

3(y-1)+等，可得P(2,|)時(shí)，PA2+PB2+PC2^,進(jìn)而即可得到答案.

【詳解】以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，/8所在直線為X軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，

則4(0,0),5(6,0),C(0,8),

設(shè)P(x,y),則P42+pB2+pC2=x2+y2+(%—6)2+y2+χ2+(y―β)2

=3x2+3y2-12X-16y+100=3(%—2)z+3(y-§+等，

「當(dāng)x=2,y=∣時(shí)，即：P(2,|)時(shí)，PA2+PB2+PC2^,

匚由待定系數(shù)法可知：48邊上中線所在直線表達(dá)式為：y=-g%+8,

AC邊上中線所在直線表達(dá)式為：y=-∣x+4,

又IP(2,$滿足/8邊上中線所在直線表達(dá)式和4C邊上中線所在直線表達(dá)式，

口點(diǎn)尸是4ABC三條中線的交點(diǎn)，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中線的交點(diǎn)，兩點(diǎn)間的距離公式，建立合適的坐標(biāo)系，把幾何問題化為代數(shù)

問題，是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）如圖，AABC中，BDLAB,BQ、4C相交于點(diǎn)。，力D="C,AB=2,

44BC=I50。，則ADBC的面積是（）

【答案】A

【分析】過點(diǎn)C作CE14B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,由等高三角形的面積性質(zhì)得到SADBC：SMBC=3:7,再證明A

ADB~?ACE,解得嶗=J分別求得/IE、CE長(zhǎng)，最后根據(jù)△ACE的面積公式解題.

AE7

【詳解】解：過點(diǎn)C作CE_LAB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

???△OBC-?ΔADB是等高三角形,

43

S^ADB?SΔDBC=AD:DC=-AC:-AC=4:3

ΛS^DBC：SAABC=3:7

???BD1AB

?△ADBACE

4

SAADBAD∏AC16

SAACEACjvACj49

AB4

—

AE7

VAB=2

7

：,AE=—

73

?BF=--2=-

22

???LABC=150。，

?乙CBE=180°-150°=30°

√3

???CE=tan30o?BE=—

2

設(shè)SMOB=4X,S^DBC=3%

49

?'?S&ACE=彳％

—49X=-1×-7×—√3

4222

√3

??X=—

14

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

8.（2022?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，4B<4C,將AABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到A4DE,

點(diǎn)。在BC邊上，DE交AC于點(diǎn)F.下歹（J結(jié)論：JΛAFE-^DFC↑□ZM平分NBDE；□zCDF=?BAD,其中

所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A

E

/?∕F?^

BDC

A.□□B.□□C.□□D.□□□

【答案】D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】解：將AABC以點(diǎn)4為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到A4DE,

△ADE=ΔABCt

?E=乙C,

V?AFE=?DFC9

???△4FE?ZiDFC,故∏正確；

??,△ADE≡ΔABC,

.?.AB=ADi

?Z-ABD=?ADB,

V?ADE=?ABCf

??.?ADB=Z.ADE9

???ZM平分48。已故正確；

,**△ADE=△ABC,

：,乙BAC=?DAE,

：.?BAD=?CAE,

V△AFEDFC9

：,/-CAE=Z-CDF1

??.?CDF=?BADi

故□正確

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，相似三角形的性質(zhì)判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握

以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

9.（2021?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）如圖,在Λ∕ΔABC中，CD為斜邊AB上的中線,若CD=2,則AB=

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可解決問題:

：△月BC是直角三角形，CD是斜邊中線，

.'.CD=-2AB,

?"CD=2,

.?.48=4,

故答案為4.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

10.（2021?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出

水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長(zhǎng)各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其地面是邊長(zhǎng)為10尺的正

方形，一棵蘆葦ZC生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向

岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的C'處（如圖），水深和蘆葦長(zhǎng)各多少尺？則該問題的水深是

A

【答案】12

【分析】我們可將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知EC'的長(zhǎng)為10尺，貝∣JC'B=5尺，設(shè)

蘆葦長(zhǎng)AC=4C'=X尺，表示出水深48,根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L(zhǎng)和水

深.

【詳解】解：依題意畫出圖形，

則水深A(yù)B=(X-I)尺,

CE=10尺,

□C,β=5尺，

在RtΔ,4C'B中,

52÷(x—I)2=X2,

解得X=13,

即蘆葦長(zhǎng)13尺，水深為12尺，

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.

II.(2022?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題)如圖上，△力BC中,NC=9(Γ,4C=8,BC=6,。為內(nèi)心，過點(diǎn)O的直線

分別與/C、/8相交于。、E,若DE=CD+BE,則線段CO的長(zhǎng)為.

【答案】2或淵:或2

【分析】分析判斷出符合題意的。E的情況，并求解即可;

【詳解】解：口如圖，作DElIBJOF1BC,OGIAB,連接08,則OD□4G

DEllBC,

Q?0BF=乙BOE

。為A4BC的內(nèi)心,

?0BF=乙OBE,

(BOE=乙OBE

DBE=OE9

同理，CD=OD,

□DE=CD+BE,

2222

AB=y/BC-^-AC=√6+8=10

。為AABC的內(nèi)心，

OF=OD=OG=CDf

[JBF—BG,AD=AG

UAB=BG+AG=BC-CDAC-CD=6-CD+8-CD=10

CD=2

CDA

由知,1BE=4,AE=6,

?ACB=?AED,乙CAB=4EAD

LABC?LADE

ABAD

L—=一

ACAE

CABAE10×615

AλD=-----=-----=—

AC82

DCD=AC-AD=8--=-

22

22

DDE=>JAD-AE=佰Y-62=2

19

□0E=BE+CD=4+±=三

22

□CD=-

2

故答案為：2或

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)、勾股定理、三角形的相似，根據(jù)題意正確分析出符合題意的情

況并應(yīng)用性質(zhì)定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）如圖,在Rt△4BC中，NC=90。，AC=9,BC=12.在RtZkDEF中，

NF=90o,DF=3,EF=4.用一條始終繃直的彈性染色線連接CF,Rt△OEF從起始位置（點(diǎn)。與點(diǎn)B重

合）平移至終止位置（點(diǎn)E與點(diǎn)4重合），且斜邊DE始終在線段AB上，則RtAABC的外那被染色的區(qū)域面積

【答案】21

【分析】過點(diǎn)F作AB的垂線交于G,同時(shí)在圖上標(biāo)出MN,F如圖，需要知道的是RtAABC的被染色的區(qū)域

面積是S梯形MNF，F(xiàn)，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四邊形的判定及性質(zhì)，求出相應(yīng)邊長(zhǎng)，即可

求解.

【詳解】解：過點(diǎn)F作4B的垂線交于G,同時(shí)在圖上標(biāo)出M,MF'如下圖:

?.??C=90o,AC=9,BC=12,

.?.AB=>JAC2+BC2=15,

在Rt△DEF中，ZF=90°,DF=3,EF=4.

.?.DE=√DF2+FE2=5,

?.?AE=AB-DE=15-5=10,

?：EF//AF',EF=AF',

???四邊形4EFF'為平行四邊形，

.?.AE=FF'=10,

???SADEF=3DF?EF=三DE?GF=6,

解得：GF=三,

■：DF//AC,

???4DFM=ΛACM,/.FDM=LCAM,

DFMACM,

—DM=—DF=—1,

AMAC3

：.DM=-AM=-AB

344

???BCIlAF,

同理可證：AANFJADNC,

AF,AN1

"BC~DN~~3

345

???DN=3AN=-AB=-

44t

.?.MN=DN-DM

442

RtΔ4BC的外部被染色的區(qū)域面積為S梯形MNrF=→(y+10)×γ=21,

故答案為：21.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形，相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定及性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求梯形的面積.

13.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿,

也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線.用該衡桿稱物，可以把被稱

物與祛碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個(gè)祛碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物

體.圖為銅衡桿的使用示意圖，此時(shí)被稱物重量是祛碼重量的倍.

被稱物祛碼

【答案】1.2

【分析】設(shè)被稱物的重量為α,祛碼的重量為1,根據(jù)圖中可圖列出方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)被稱物的重量為α,祛碼的重量為1,依題意得，

2.5a=3x1,

解得α=1.2,

故答案為：1.2.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握杠桿的原理是解題的關(guān)鍵.

14.（2022?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）如圖，?Δ?BCφ,E是中線4。的中點(diǎn).若A4EC的面積是1,則AABD

的面積是.

【答案】2

【分析】根據(jù)AACE的面積=ACCE的面積，A4BD的面積=AACD的面積計(jì)算出各部分三角形的面積.

【詳解】解：40是BC邊上的中線，E為40的中點(diǎn)，

根據(jù)等底同高可知，Δ?CE的面積=ADCE的面積=1,

AABC的面積=A4C。的面積=2A4EC的面積=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用三角形的中線平分三角形面積進(jìn)行計(jì)算.

15.（2022?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫做“倍

長(zhǎng)三角形”.若等腰口45C是“倍長(zhǎng)三角形"，底邊BC的長(zhǎng)為3,則腰/8的長(zhǎng)為.

【答案】6

【分析】分類討論：∕8=∕C=28C或8C=2N8=2NC,然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)果.

【詳解】解：Z8C是等腰三角形，底邊8C=3

UAB=AC

當(dāng)AB=AC=IBC時(shí)，ABC是“倍長(zhǎng)三角形”；

當(dāng)8C=248=2ZC時(shí)，AB+AC=BC,根據(jù)三角形三邊關(guān)系，此時(shí)/、B、C不構(gòu)成三角形，不符合題意；

所以當(dāng)?shù)妊?8C是“倍長(zhǎng)三角形"，底邊3C的長(zhǎng)為3,則腰48的長(zhǎng)為6.

故答案為6.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形，三角形的三邊關(guān)系，涉及分類討論思想，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，靈活運(yùn)用

分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

16.（2022?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考中考真題）△月BC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，ADCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直

線8。與直線NE交于點(diǎn)F.如圖，若點(diǎn)。在4/8C內(nèi)，□DBC=20%貝∣J□B∕F=°；現(xiàn)將△￡＞（“繞

點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段/尸長(zhǎng)度的最小值是.

【答案】804-V3##-V3+4

【分析】利用SAS證明"OCAAEC,得到DBC=EAC=20o,據(jù)此可求得8∕Λ■的度數(shù)；利用全等三角

形的性質(zhì)可求得AFB=60o,推出/、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，當(dāng)BP是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CZ）□BF

時(shí)，F(xiàn)BC最大,貝（1口FA4最小，此時(shí)線段4『長(zhǎng)度有最小值，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：/8C和AOCE都是等邊三角形，

AC=BC9DC=EC,BAC=ACB=DCE=60。,

□CDCB+□JCZ)=□fCJ+□JCZ>=60o,

即□DC5=口EC4,

(CD=CE

在48CQ和A4CE中，??BCD=?ACE,

(BC=AC

□匚4CE□□BCD(SAS),

QLEAC=LDBCf

□匚DBC=20。,

o

UΠEAC=20f

BAF=LBAC+E4C=800;

設(shè)8/與力C相交于點(diǎn)，，如圖：

MCEBCD

AE=BD,[JEAC=VDBCfJ^JAHF=CBHCf

o

ΩΠAFB=UACB=60f

A、B、C、尸四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，

點(diǎn)。在以C為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)Co8/時(shí)，F(xiàn)BC最大,則FBA

最小，

□此時(shí)線段4尸長(zhǎng)度有最小值，

在RfABCD中,BC=',CD=3,

BD=?S2-32=4,即4E=4,

FDE=I80o-90o-60o=30o,

"8=60。,

FDE=FED=3G0,

□FD=FE,

過點(diǎn)/作QGQOE于點(diǎn)G,

3

DG=GE*,

2

FE=DF-DG=√3,

cos30

∏AF=AE-FE=A-^,

故答案為：80；4-√3.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，解答本

題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

三、解答題

17.（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，點(diǎn)4、D、C、尸在一條直線上，月.4。=CF,AB=DE,

乙BAC=乙EDF.求證：NB=NE.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)SAS證明AABCwZiDEH即可得出答案.

【詳解】證明：ΞL4D=CF,

UAD+CD=CF+CD,

UAC=DF,

AB=DE

:在△?BC?ΔDEFtVl?A=乙EDF,

.AC=DF

△4BC三ΔDFF（SAS）,

□4B=?E.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形全等的判定方法，是解題的關(guān)鍵.

18.（2022?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱/8,其旁邊有一個(gè)坡面CQ,

坡角NQCN=30°.在陽(yáng)光下，小明觀察到在地面上的影長(zhǎng)為120cm,在坡面上的影長(zhǎng)為180cm.同一時(shí)刻,

小明測(cè)得直立于地面長(zhǎng)60cm的木桿的影長(zhǎng)為90cm(其影子完全落在地面上).求立柱AB的高度.

【答案】(I70+60√3)cm

【分析】延長(zhǎng)/。交SN于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作BN丁點(diǎn)凡根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OR根據(jù)余弦的定

義求出CF,根據(jù)題意求出ER再根據(jù)題意列出比例式，計(jì)算即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)4。交BN于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。尸BN于點(diǎn)、F,

在RtACDF中，□CFA9Qo,UDCF=30o,

則DF^CD=90(cm),CF=CZ)?cos□Z>CF=l80×y=90√3(cm),

由題意得：即竺="，

EF90EF90

解得：EF=I35,

BE=BC+CF+EF=?20+90√3+135=(255+90√3)cm,

hill—_=≤5,

、255+90√390

解得：^5=170+60√3,

答：立柱AB的高度為(170+60√5)cm.

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確

作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計(jì)算.

19.（2022?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)4在射線OX上，OA=a.如果。4繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)ntl（0<

n≤360）到。4',那么點(diǎn)4的位置可以用表示.

（1）按上述表示方法，若α=3,τι=37,則點(diǎn)A的位置可以表示為；

（2）在（1）的條件下，已知點(diǎn)B的位置用（3,74。）表示，連接44、A'B.求證：A'A=A'B.

【答案】（1）（3,37。）

（2）見解析

【分析】（I）根據(jù)點(diǎn)的位置定義，即可得出答案；

（2）畫出圖形，證明A∕O4ΛBOA'（SAS）,即可由全等三角形的性質(zhì)，得出結(jié)論.

【詳解】⑴解:由題意,得4（。,〃。），

□α=3,w=37,

□Ar（3,37o）,

故答案為：（3,37。）；

4（3,37。），8（3,74。）,

,o

AOA=37t□AOB=74°,OA=OB=3,

40B=AOB-JOJr=74o-37o=37o,

,,

{JOA=OAf

□□4O%'□□5O4'（SAS）,

A,A=A,B.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，新定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

20.(2022?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題)在四邊形ABCD中，。是邊BC上的一點(diǎn).若△OAB三△OCD,則點(diǎn)。叫

做該四邊形的“等形點(diǎn)”.

⑴正方形“等形點(diǎn)”(填“存在”或“不存在”)；

(2)如圖，在四邊形中，邊BC上的點(diǎn)O是四邊形4BC。的“等形點(diǎn)”.已知CD=4√2,OA=5,BC=12,

連接AC,求AC的長(zhǎng)；

⑶在四邊形EFGH中，EHHFG.若邊FG上的點(diǎn)。是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，求器的值.

OG

【答案】(1)不存在，理由見詳解

(2)4√5

(3)1

【分析】(1)根據(jù)“等形點(diǎn)'’的概念，采用反證法即可判斷；

(2)過/點(diǎn)作AMBC于點(diǎn)根據(jù)“等形點(diǎn)”的性質(zhì)可得AB=CD=Wl,OA=OC=5,OB=J=OD,設(shè)MO=a,

則8Λ∕=8O-MO=7-α,在Rt/8M和&AOM利用勾股定理即可求出ZM,則在用/MC中利用勾股定

理即可求出AC；

(3)根據(jù)“等形點(diǎn)'’的性質(zhì)可得OF=O4,OE=OG,：EOF=EGOH,再根據(jù)EHI尸G,可得□EOF=□OEH,

GOH=EHO,^JOEH=DOHE,進(jìn)而有OE=O//,可得OF=OG,則問題得解.

【詳解】(1)不存在，

理由如下：

假設(shè)正方形4SC0存在“等形點(diǎn)”點(diǎn)O,即存在OABOCD,

□在正方形/88中，點(diǎn)。在邊BC上，

□□480=90。，

JDOABUCOCD,

ABO=CDo=90°,

CDDO,

CDGBC,

ODO??BC,

。點(diǎn)在BC上，

DO與BC交于點(diǎn)O,

□假設(shè)不成立，

故正方形不存在“等形點(diǎn)”；

(2)如圖，過4點(diǎn)作∕Λ∕BC于點(diǎn)M,如圖,

O點(diǎn)是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”，

OABOCD,

AB=CD,OA=OC,OB=OD,□AOB=□COD,

DCD=4√2,OA=5,BC=?2,

□^5=C∕?4√2,OA=OC=5,

OB=BC-OC=12-5=7=OD

GAMUBC,

AMO=90o=?AMB,

口設(shè)ΛΛAα,貝∣J8M=8O-Λ∕O=7-α,

在RASMfnRtM中，AM2=AB2-BM2=AO2-MO2,

AB2-BM2=AO2-MO2,即（4位）2—（7—α）2=52-α2,

解得：a=3,即M。=3,

ΠMC=MO+OC=3+5=8,4M=>JAO2-MO2=√52-32=4

口在RtDAMC中，AC=y∕AM2+MC2=√42+82=4√5,

即/C的長(zhǎng)為44；

（3）如圖，

O點(diǎn)是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，

GCOEFDQOGH,

COF=OH,OE=OG,GEOF=DGOH,

DEHWFG,

ΠDEOF=DOEH,DGOH=JEHO,

根據(jù)EOF=GoH有OEH=OHE,

OE=OH,

DOF=OH,OE=OG,

OF=OG,

□竺=L

OG

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識(shí)，充分利用全等三

角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

21.（2022?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考中考真題）如圖，C為銳角三角形.

圖1圖2

⑴請(qǐng)?jiān)趫D1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在ZC右上方確定點(diǎn)。，使EIDNC=□4C8,且CDI4D；（不寫

作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，若48=60。，AB=2,BC=3,則四邊形/8CD的面積為.（如需畫草圖，

請(qǐng)使用試卷中的圖2）

【答案】（1）見解析

⑵然

【分析】（1）先作DAC=UACB,再利用垂直平分線的性質(zhì)作CD14。，即可找出點(diǎn)。；

（2）由題意可知四邊形/88是梯形，利用直角三角形的性質(zhì)求出ZE、BE、CE,力。的長(zhǎng)，求出梯形的

面積即可.

點(diǎn)。為所求點(diǎn).

（2）解：過點(diǎn)工作XE垂直于8C,垂足為￡,

□NB=60o,/-AEB=90°,

□NB4E=90°—60°=30。，

DAB=2,

DBE=-AB=1,CE=BC-BE=2,

2

DAE=√∕4F2-BE2=√22-I2=√3,

Ω?JDAC=?JACBf

ADHSC,四邊形力8CD是梯形，

乙D=乙ECD=90°,

四邊形/ECD是矩形,

CE=AD=2,

匚四邊形ABCD的面積為TGW+BC）?ΛE=I×（2+3）×√3=?,

故答案為：?.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖，作相等的角，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)做垂線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理

求線段的長(zhǎng)，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵.

22.（2021?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）如圖，B、F、C、E是直線/上的四點(diǎn)，AB/∕DE,AB=DE,BF=CE.

（1）求證：4ABC"DEF;

（2）將△4BC沿直線/翻折得到A4到C.

口用直尺和圓規(guī)在圖中作出A4'BC（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

;連接4D,則直線HD與I的位置關(guān)系是.

【答案】（1）見詳解；（2）□見詳解；口平行

【分析】（1）根據(jù)“"S'即可證明△4BC三ACEF;

（2）以點(diǎn)8為圓心，8/為半徑畫弧，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑畫畫弧，兩個(gè)弧交于A',連接48,AC,

即可；

過點(diǎn)A作小"過點(diǎn)。作DN□∕,則AMM且4'M=DN,證明四邊形4Λ∕NZ）是平行四邊形，即可得

到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：□B尸=CE,

BC=EF,

AB//DE,

QQABC=DDEF,

又□AB=DE,

△ABC=LDEFx

（2）如圖所示，△48C即為所求;

A'D?2l,理由如下：

口△力BC三ADEF,AdBC與△4BC關(guān)于直線/對(duì)稱，

□△力'BC≤ΔDEF,

過點(diǎn)4作4Λ∕I,過點(diǎn)。作IW/,則/TMOM且AM=DM

四邊形4'Λ∕M）是平行四邊形，

UA'D0l,

故答案是：平行.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造平行四邊

形是解題的關(guān)鍵.

23.（2022?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在一/8C中，LBAC=90o,∕8=∕C=12,點(diǎn)尸在邊/8上，D、

E分別為8C、PC的中點(diǎn)，連接OE.過點(diǎn)E作8C的垂線，與BC、ZC分別交于尸、G兩點(diǎn).連接。G,交

PC于點(diǎn)

A

備用圖

（I）ElEQC的度數(shù)為

(2)連接PG,求□∕PG的面積的最大值：

(3)PE與。G存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

(4)求義的最大值.

Cc

【答案】(1)45。

(2)9

(3)PE=DG,理由見解析

修

【分析】(1)先說明口8=45。，再說明OE是□CBP的中位線可得OEIhSP,然后由平行線的性質(zhì)即可解答；

(2)先說明EO尸和□G*r是等腰直角三角形可得。尸=E尸考DE、GF=CF當(dāng)CG:設(shè)">=x,則2P=12-x,

BP=?2-x=2DE,然后通過三角形中位線、勾股定理、線段的和差用X表示出/G,再根據(jù)三角形的面積公式

列出表達(dá)式，最后運(yùn)用二次函數(shù)求最值即可；

(3)先證明GFDCFE,可得。G=CE,進(jìn)而可得PE=3G;由GFDCFE可得ECF=DGF,進(jìn)而

得至∣J□G"E=[CFE=90。，即可說明。G、PE的位置關(guān)系；

⑷先說明CEF8H得到笑=會(huì),進(jìn)而得到穿=嘿,然后將己經(jīng)求得的量代入可得累==

CDCHCECE"CE

——?s—,然后根據(jù)ɑ+三=(√H+：)2-2≥2求最值即可.

x+12+宙24°I

【詳解】(1)解：在ABCΦ,BAC90o,4B=AC=12

B=ACB=45o

□.。、E分別為8C、PC的中點(diǎn)

CDE??BP,DEKBP

EDC=UB=A5o.

(2)解：如圖：連接PG

?ΔLEDC=QACB=ASO,GFJDC

□匚EDF和匚GPC是等腰直角三角形

DF=EF巫DE,GF=CF=^CG,

22

設(shè)ZP=X,則BP=I2-x,BP=?2-x=2DE

12-x

□。沖EF=

2√2

RtAPC,

PC=>∕AP2^AC2=√x2÷144

RtEFC

_12+Λ:

FC=FG=y∕CE2-EF2=

-2√2

0CG=√2CF=^i≡

AG=12-CG=12-1--1--

22

c1ΛΠAr112-x12x-xz-(x-6)2+36

SAPG=-AP?AG=-X------=--------=-------------

A22244

所以當(dāng)x=6時(shí)，SJPG有最大值9.

A

DF=EF,CFE=GFD,GF=CF

GFDCFf(SAS)

DG=CE

E是尸C的中點(diǎn)

DPE=CE

PE=DG;

匚UGFD^V?CFE

DΠECF=UDGF

a?JCEF=UPEG

GHE=EFC=90。,即DGJPE.

(4)解：GFDΓWCFE

CEF=CDH

又ECF=DCH

CEFCDH

—,BPCECH=CFCF

CH_CFCD

CE-CE2

22

FC^2+X,CE=l√χ2+144,CD=^BC=√12+12=6√2

2√222

12+XQ

生=FS7?=12χ%+12=12

CE(i√j2Tπ5)2N+144X+12+福-24

12_12_1_2√2+2_√2+1

一2√288-24^24√2-24^2√2-2^4-2

□稱的最大值為與i?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線、平行線的性質(zhì)、二次函數(shù)求最值、全等三角形的判定與性質(zhì)、相

似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵.

24.(2022?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題)【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)

三角板按照如圖1所示的方式擺放.其中乙4CB=乙DEB=90o,ZB=30o,BE=AC=3.

【問題探究】小昕同學(xué)將三角板DEB繞點(diǎn)8按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E落在邊4B上時(shí)，延長(zhǎng)DE交BC于點(diǎn)F,求BF的長(zhǎng).

(2)若點(diǎn)C、E、。在同一條直線上，求點(diǎn)。到直線BC的距離.

(3)連接DC,取DC的中點(diǎn)G,三角板DEB由初始位置(圖1),旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、O首次在同一條直線上(如圖

3),求點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).

(4)如圖4,G為。C的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)G到直線AB的距離的最大值是

【答案】(1)2√5

(2)√6±1

（4）W

【分析】(D在RfUSE尸中，根據(jù)余弦的定義求解即可；

(2)分點(diǎn)E在BC上方和下方兩種情況討論求解即可；

(3)取BC的中點(diǎn)。，連接GO,從而求出。G=√5,得出點(diǎn)G在以。為圓心，冉為半徑的圓上，然后根據(jù)弧長(zhǎng)

公式即可求解；

(4)由(3)知，點(diǎn)G在以。為圓心，火為半徑的圓上，過。作Oa4B于H,當(dāng)G在OH的反向延長(zhǎng)線上

時(shí)，GH最大,即點(diǎn)G到直線AB的距離的最大，在法80〃中求出O4,進(jìn)而可求G"

【詳解】(1)解：由題意得，/-BEF=/.BED=90°,

，在RtABE/1■中，?ABC=30o,BE=3,COSUBC=些.

BF

GBF=■—-=-?-=2√3.

COSZ.ABCcos30o

(2)匚當(dāng)點(diǎn)E在BC上方時(shí),

如圖一，過點(diǎn)。作DHlBC,垂足為H,

圖1

在ZMBC中，?ACB=90o,NABC=30。，AC=3,

Otan?ABC=—,

BC

DBC=一蛆一==3√3.

tan?ABCtan30

在ABDE中，NDEB=90°,?DBE=?ABC=30°,

，

BE=3,tan?DBE——BE

DDE=BE-tan30o=√3.

點(diǎn)C、E、。在同一直線上，且NDEB=90。，

D?CEB=180°-乙DEB=90°.

又□在ACBE中，NCEB=90。，BC=3√3,BE=3,

DCE=√FC2-BE2=3√2,

DCD=CF+Dfi,=3√2+√3.

□在中，

ABCCSΔBCD=?CDBE=^BC?DH,

BC

「當(dāng)點(diǎn)E在BC下方時(shí).，

如圖二，

圖2

在ABCE中，O?CEB=90o,BE=3,BC=3√3,

GCE=y∕BC2-BE2=3√2.

OCD=CF-DF=3√2-√3.

過點(diǎn)。作。MIBC,垂足為M?

在ABCe中，SABDC=WBC?DM=gCD?BE,

DDM=√6-1.

綜上，點(diǎn)。到直線BC的距離為述±1.

(3)解：如圖三，取BC的中點(diǎn)0,連接G。，則Go=TBD=√5.

圖3

「點(diǎn)G在以。為圓心，百為半徑的圓上.

當(dāng)三角板。EB繞點(diǎn)8順時(shí)針由初始位置旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、。首次在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)G所經(jīng)過的軌跡為150。

所對(duì)的圓弧，圓弧長(zhǎng)為山X2τrx6=27T.

3606

□點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為學(xué)兀.

（4）解：由（3）知，點(diǎn)G在以。為圓心，百為半徑的圓上，

如圖四，過。作O“□∕5于"，

當(dāng)G在OH的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，GH最大，即點(diǎn)G到直線的距離的最大，

在M80"中，BHo=90°,OBH=3Q°,BO=-BC=—,

22

DOH=BO-SinzOfiH=—?sin30o=—,

24

GH=OG+OH=V3H—~~=~

即點(diǎn)G到直線的距離的最大值為尊.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，解直角三角形等知識(shí)，分點(diǎn)E在BC上方和下方是

解第（2）的關(guān)鍵，確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解第（3）（4）的關(guān)鍵.

25.（2022?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在A4BC中，NBAC=90。,4C=60。，點(diǎn)。在BC邊上由點(diǎn)C向點(diǎn)

B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)。作。EIAD,交射線4B于點(diǎn)E.

A

A

⑴分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段4E與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

「點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上且BE=BD；

口點(diǎn)E在線段AB上且EB=ED.

（2）若AB=6.

□當(dāng)案=爭(zhēng)寸，求AE的長(zhǎng)；

口直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中線段4E長(zhǎng)度的最小值.

【答案】（1）口4E=2BEDAE=2BE

⑵口21爭(zhēng)4

【分析】（1）」算出AABD各個(gè)內(nèi)角，發(fā)現(xiàn)其是等腰上角形即可推出；

算出△4。E各內(nèi)角發(fā)現(xiàn)其是30。的直角三角形即可推出；

（2）「分別過點(diǎn)4E作8C的垂線，得到一線三垂直的相似，即AEGDsADH/,設(shè)DE=√5α,AD=2a,

利用30。直角三角形的三邊關(guān)系，分別表示出ED,AD,EG,DH,列式求解α即可；

分別過點(diǎn)4E作BC的垂線，相交于點(diǎn)G,H,證明AEHDsADGA可得*=瞿，然后利用完全平方公

DHEH

式變形得出4EN3+E，，求出4E的取值范圍即可.

【詳解】（1）口口在AABC中，?BAC=90o,NC=60。

匚乙4BC=30°

CBF=BD

乙BDE=-?ABC=15o,?BDA=90°-4BDE=90°-15°=75°

2

在^ABD中，乙BAD=180°一?ABD-4BDA=180°—30°-75°=75°

匚乙BAD=?BDA=75°

UAB=BD=BE

AE=2BE?

如圖:

□BE=DE

口乙EBD=乙EDB=30o,?AED=60°

L在Rt△4。E中，Z-EAD=30°

AE=2ED

DAE=2BE；

(2)口分別過點(diǎn)4,E作3。的垂線，相交于點(diǎn)凡G,則□EGO=口Q∕==9()o,

GED+UGDE=90。,

ΩDHDA+∏GDE=90o,

UUGED=[JHDAf

□?EGDS△DHA9

設(shè)。E=√5α,AD=2a,則4E=VW+4"=巾c