三角形的全等與相似-2023年中考數(shù)學知識點練習（江蘇）（解析版）

2023年中考數(shù)學【熱點?重點?難點】專練（江蘇專用）

熱點05.三角形的全等與相似

【考綱解讀】

1.了解：三角形的中線、角平分線、高線；三角形的外角；等腰（邊）三角形的概念；全等圖形的概念；知

道什么是比例式、比例中項；知道黃金分割的意義和生活中的應用；知道什么是相似三角形：了解相似多

邊形的性質；位似圖形的概念

2.理解：三角形的中線、角平分線、高線；三角形的三邊關系；等腰（邊）三角形的性質及判定；直角三角

形的性質及判定；全等三角形的判定；角平分線的性質與判定：理解并掌握角平分線的性質；比例的基本

性質及定理；平行線分線段成比例定理；相似多邊形的性質

3.會：作三角形的中線、角平分線、高線；證明三角形的內角和定理；.利用HL判定兩個三角形全等；會

判定兩個三角形全等；會運用定理進行相似計算和證明：知道位似是相似的特殊情況.

4.掌握：三角形的內角和定理及其三邊關系定理；三角形的外角性質；等腰三角形的性質及判定；直角三

角形的性質及判定；勾股定理及逆定理；全等三角形的判定方法；相似三角形；平行線分線段成比例定理；

相似三角形的判定和性質；相似多邊形的性質。

5.能：利用三角形內（外）角和定理進行角的有關計算與證明；解決等腰三角形的有關計算；證明一個三

角形是等腰（邊）三角形；運用勾股定理及逆定理解決實際問題；利用角平分線的判定解決有關的實際問

題；能熟練運用比例的基本性質進行相關的計算.能運用相似三角形的性質和判定方法證明簡單問題；能

利用位似放大和縮小一個圖形

【命題形式】

1.從考查的題型來看，涉及本知識點的主要以填空題或選擇題形式考查,屬于中低檔題,難度一般.少數(shù)以

解答題的形式考查（以三角形或四邊形為背景），此類題型屬于中高檔題,難度比較大

2.從考查內容來看,涉及本知識點的主要有：三角形的中線、角平分線、高線；三角形的內（外）角和定理

及其三邊關系定理；勾股定理及逆定理；等腰（邊）三角形的性質及判定；全等三角形的判定方法；相似

三角形的定義、性質與判定；平行線分線段成比例定理；相似多邊形的性質

3.從考查熱點來看,涉及本知識點的主要有：三角形的內（外）角和定理及其三邊關系定理；勾股定理及逆

定理：等腰（邊）三角形的性質及判定；全等三角形的判定方法；角平分線的性質；相似三角形的性質及

判定；相似多邊形的性質；位似的性質；平行線分線段成比例定理、相似三角形與生活實際問題的應用

【限時檢測】

A卷（真題過關卷）

備注：本套試卷所選題目多數(shù)為近三年江蘇省各地區(qū)中考真題，針對性強，可作為一輪、二

輪復習必刷真題過關訓練.

一、單選題

1.（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）

A.3,3,6B.3,5,10C.4,6,9D.4,5,9

【答案】C

【分析】根據三角形的三邊關系判斷即可.

【詳解】A.□3+3=6,

「長度為3,3,6的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；

B.13+5<10,

長度為3,5,10的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；

C.□4+6>9,6-4<9,

口長度為4,6,9的三條線段能組成三角形，本選項符合題意；

D.4+5=9,

長度為4,5,9的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查的是三角形的三邊關系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊

是解題的關鍵.

2.（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,NBAe的平分線交BC于點D,E為AC的

中點，若力B=I0,則DE的長是（）

A.8B.6C.5D.4

【答案】C

【分析】利用等腰三角形三線合一以及直角三角形斜邊上的中線進行求解即可.

【詳解】LAB=AC=10,4。平分NB4C,

AD1BC,

ΛADC=90°,

E為AC的中點，

口叫"=5,

故選C.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質和直角三角形斜邊上的中線.熟練掌握等腰三角形三線合一和直角三

角形斜邊上的中線等于斜邊的?半是解題的關鍵.

3.(2022?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題)若等腰三角形的兩邊長分別是3c機和5cm,則這個等腰三角形的周長是

()

A.8cmB.?^icmC.8c加或13c∕nD.IlC加或13c加

【答案】D

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要

應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形.

【詳解】解：當3是腰時，

□3+3>5,

匚3,3,5能組成三角形，

此時等腰三角形的周長為3+3+5=11(cm),

當5是腰時，

□3+5>5,

5,5,3能夠組成三角形，

此時等腰三角形的周長為5+5+3=13(cm),

則三角形的周長為11。"或13cm.

故選：D

【點睛】本題考查等腰三角形的性質及三角形三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情

況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵.

4.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題)如圖，點4B、C、D在網格中小正方形的頂點處，AD與BC相交于點。，

小正方形的邊長為1,則4。的長等于()

【答案】A

【分析】先根據勾股定理計算的長，再根據AXOBILDOC,對應邊成比例，從而求出Zo的長.

【詳解】解：/∕>√32+42=5,AB=2,CD=S,

?2ABΠDC,

△/O8E）1DOC,

-A-O--A-B=一2,

ODCD3

設AO=2χ9則OD=3x,

AOWD=ADi

□2r+3x=5.

解得：X=L

AO=2f

故選：A.

【點睛】本題考查勾股定理和相似三角形的判定和性質，解題關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質.

5.（2021?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在A∕18C中，48的垂直平分線分別交力8、BC于前D、E,連接

AE,若4E=4,EC=I,則BC的長是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到EB=E4=4,結合圖形計算，得到答案.

【詳解】解：QDE是48的垂直平分線，4E=4,

IEB=EA=4,

LBC=EB+EC=4+2=6,

故選：C.

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，解題的關鍵是掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩

個端點的距離相等.

6.(2021?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題)在Rt△4BC中，乙4=90。，AB=6,AC=8,點P是△ABC所在平面

內一點，貝曲爐+282+「。2取得最小值時，下列結論正確的是()

A.點尸是△4BC三邊垂直平分線的交點B.點尸是AABC三條內角平分線的交點

C.點P是AABC三條高的交點D.點尸是AABC三條中線的交點

【答案】D

【分析】以點力為坐標原點，/8所在直線為X軸，建立直角坐標系，貝步"+pg2+pc2=3(χ-2)2+

3(y-1)+等，可得P(2,|)時，PA2+PB2+PC2^,進而即可得到答案.

【詳解】以點/為坐標原點，/8所在直線為X軸，建立直角坐標系，如圖，

則4(0,0),5(6,0),C(0,8),

設P(x,y),則P42+pB2+pC2=x2+y2+(%—6)2+y2+χ2+(y―β)2

=3x2+3y2-12X-16y+100=3(%—2)z+3(y-§+等，

「當x=2,y=∣時，即：P(2,|)時，PA2+PB2+PC2^,

匚由待定系數(shù)法可知：48邊上中線所在直線表達式為：y=-g%+8,

AC邊上中線所在直線表達式為：y=-∣x+4,

又IP(2,$滿足/8邊上中線所在直線表達式和4C邊上中線所在直線表達式，

口點尸是4ABC三條中線的交點，

故選D.

【點睛】本題主要考查三角形中線的交點，兩點間的距離公式，建立合適的坐標系，把幾何問題化為代數(shù)

問題，是解題的關鍵.

7.（2021?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）如圖，AABC中，BDLAB,BQ、4C相交于點。，力D="C,AB=2,

44BC=I50。，則ADBC的面積是（）

【答案】A

【分析】過點C作CE14B的延長線于點E,由等高三角形的面積性質得到SADBC：SMBC=3:7,再證明A

ADB~?ACE,解得嶗=J分別求得/IE、CE長，最后根據△ACE的面積公式解題.

AE7

【詳解】解：過點C作CE_LAB的延長線于點E,

???△OBC-?ΔADB是等高三角形,

43

S^ADB?SΔDBC=AD:DC=-AC:-AC=4:3

ΛS^DBC：SAABC=3:7

???BD1AB

?△ADBACE

4

SAADBAD∏AC16

SAACEACjvACj49

AB4

—

AE7

VAB=2

7

：,AE=—

73

?BF=--2=-

22

???LABC=150。，

?乙CBE=180°-150°=30°

√3

???CE=tan30o?BE=—

2

設SMOB=4X,S^DBC=3%

49

?'?S&ACE=彳％

—49X=-1×-7×—√3

4222

√3

??X=—

14

故選：A.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質、正切等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵.

8.（2022?江蘇揚州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，4B<4C,將AABC以點A為中心逆時針旋轉得到A4DE,

點。在BC邊上，DE交AC于點F.下歹（J結論：JΛAFE-^DFC↑□ZM平分NBDE；□zCDF=?BAD,其中

所有正確結論的序號是（）

A

E

/?∕F?^

BDC

A.□□B.□□C.□□D.□□□

【答案】D

【分析】根據旋轉的性質可得對應角相等，對應邊相等，進而逐項分析判斷即可求解.

【詳解】解：將AABC以點4為中心逆時針旋轉得到A4DE,

△ADE=ΔABCt

?E=乙C,

V?AFE=?DFC9

???△4FE?ZiDFC,故∏正確；

??,△ADE≡ΔABC,

.?.AB=ADi

?Z-ABD=?ADB,

V?ADE=?ABCf

??.?ADB=Z.ADE9

???ZM平分48。已故正確；

,**△ADE=△ABC,

：,乙BAC=?DAE,

：.?BAD=?CAE,

V△AFEDFC9

：,/-CAE=Z-CDF1

??.?CDF=?BADi

故□正確

故選D

【點睛】本題考查了性質的性質，等邊對等角，相似三角形的性質判定與性質，全等三角形的性質，掌握

以上知識是解題的關鍵.

二、填空題

9.（2021?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）如圖,在Λ∕ΔABC中，CD為斜邊AB上的中線,若CD=2,則AB=

【分析】根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可解決問題:

：△月BC是直角三角形，CD是斜邊中線，

.'.CD=-2AB,

?"CD=2,

.?.48=4,

故答案為4.

【點睛】本題考查直角三角形的性質，解題的關鍵是記住直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

10.（2021?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題）《九章算術》中一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出

水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正

方形，一棵蘆葦ZC生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向

岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的C'處（如圖），水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是

A

【答案】12

【分析】我們可將其轉化為數(shù)學幾何圖形，如圖所示，根據題意，可知EC'的長為10尺，貝∣JC'B=5尺，設

蘆葦長AC=4C'=X尺，表示出水深48,根據勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水

深.

【詳解】解：依題意畫出圖形，

則水深AB=(X-I)尺,

CE=10尺,

□C,β=5尺，

在RtΔ,4C'B中,

52÷(x—I)2=X2,

解得X=13,

即蘆葦長13尺，水深為12尺，

故答案為：12.

【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，解本題的關鍵是數(shù)形結合.

II.(2022?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題)如圖上，△力BC中,NC=9(Γ,4C=8,BC=6,。為內心，過點O的直線

分別與/C、/8相交于。、E,若DE=CD+BE,則線段CO的長為.

【答案】2或淵:或2

【分析】分析判斷出符合題意的。E的情況，并求解即可;

【詳解】解：口如圖，作DElIBJOF1BC,OGIAB,連接08,則OD□4G

DEllBC,

Q?0BF=乙BOE

。為A4BC的內心,

?0BF=乙OBE,

(BOE=乙OBE

DBE=OE9

同理，CD=OD,

□DE=CD+BE,

2222

AB=y/BC-^-AC=√6+8=10

。為AABC的內心，

OF=OD=OG=CDf

[JBF—BG,AD=AG

UAB=BG+AG=BC-CDAC-CD=6-CD+8-CD=10

CD=2

CDA

由知,1BE=4,AE=6,

?ACB=?AED,乙CAB=4EAD

LABC?LADE

ABAD

L—=一

ACAE

CABAE10×615

AλD=-----=-----=—

AC82

DCD=AC-AD=8--=-

22

22

DDE=>JAD-AE=佰Y-62=2

19

□0E=BE+CD=4+±=三

22

□CD=-

2

故答案為：2或

【點睛】本題主要考查三角形內心的性質、勾股定理、三角形的相似，根據題意正確分析出符合題意的情

況并應用性質定理進行求解是解題的關鍵.

12.（2022?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）如圖,在Rt△4BC中，NC=90。，AC=9,BC=12.在RtZkDEF中，

NF=90o,DF=3,EF=4.用一條始終繃直的彈性染色線連接CF,Rt△OEF從起始位置（點。與點B重

合）平移至終止位置（點E與點4重合），且斜邊DE始終在線段AB上，則RtAABC的外那被染色的區(qū)域面積

【答案】21

【分析】過點F作AB的垂線交于G,同時在圖上標出MN,F如圖，需要知道的是RtAABC的被染色的區(qū)域

面積是S梯形MNF，F(xiàn)，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四邊形的判定及性質，求出相應邊長，即可

求解.

【詳解】解：過點F作4B的垂線交于G,同時在圖上標出M,MF'如下圖:

?.??C=90o,AC=9,BC=12,

.?.AB=>JAC2+BC2=15,

在Rt△DEF中，ZF=90°,DF=3,EF=4.

.?.DE=√DF2+FE2=5,

?.?AE=AB-DE=15-5=10,

?：EF//AF',EF=AF',

???四邊形4EFF'為平行四邊形，

.?.AE=FF'=10,

???SADEF=3DF?EF=三DE?GF=6,

解得：GF=三,

■：DF//AC,

???4DFM=ΛACM,/.FDM=LCAM,

DFMACM,

—DM=—DF=—1,

AMAC3

：.DM=-AM=-AB

344

???BCIlAF,

同理可證：AANFJADNC,

AF,AN1

"BC~DN~~3

345

???DN=3AN=-AB=-

44t

.?.MN=DN-DM

442

RtΔ4BC的外部被染色的區(qū)域面積為S梯形MNrF=→(y+10)×γ=21,

故答案為：21.

【點睛】本題考查了直角三角形，相似三角形的判定及性質、勾股定理、平行四邊形的判定及性質，解題

的關鍵是把問題轉化為求梯形的面積.

13.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）《九章算術》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿,

也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線.用該衡桿稱物，可以把被稱

物與祛碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個祛碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物

體.圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是祛碼重量的倍.

被稱物祛碼

【答案】1.2

【分析】設被稱物的重量為α,祛碼的重量為1,根據圖中可圖列出方程即可求解.

【詳解】解：設被稱物的重量為α,祛碼的重量為1,依題意得，

2.5a=3x1,

解得α=1.2,

故答案為：1.2.

【點睛】本題考查了比例的性質，掌握杠桿的原理是解題的關鍵.

14.（2022?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）如圖，?Δ?BCφ,E是中線4。的中點.若A4EC的面積是1,則AABD

的面積是.

【答案】2

【分析】根據AACE的面積=ACCE的面積，A4BD的面積=AACD的面積計算出各部分三角形的面積.

【詳解】解：40是BC邊上的中線，E為40的中點，

根據等底同高可知，Δ?CE的面積=ADCE的面積=1,

AABC的面積=A4C。的面積=2A4EC的面積=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查了三角形的面積，解題的關鍵是利用三角形的中線平分三角形面積進行計算.

15.（2022?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍

長三角形”.若等腰口45C是“倍長三角形"，底邊BC的長為3,則腰/8的長為.

【答案】6

【分析】分類討論：∕8=∕C=28C或8C=2N8=2NC,然后根據三角形三邊關系即可得出結果.

【詳解】解：Z8C是等腰三角形，底邊8C=3

UAB=AC

當AB=AC=IBC時，ABC是“倍長三角形”；

當8C=248=2ZC時，AB+AC=BC,根據三角形三邊關系，此時/、B、C不構成三角形，不符合題意；

所以當?shù)妊?8C是“倍長三角形"，底邊3C的長為3,則腰48的長為6.

故答案為6.

【點睛】本題考查等腰三角形，三角形的三邊關系，涉及分類討論思想，結合三角形三邊關系，靈活運用

分類討論思想是解題的關鍵.

16.（2022?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）△月BC是邊長為5的等邊三角形，ADCE是邊長為3的等邊三角形，直

線8。與直線NE交于點F.如圖，若點。在4/8C內，□DBC=20%貝∣J□B∕F=°；現(xiàn)將△￡＞（“繞

點C旋轉1周，在這個旋轉過程中，線段/尸長度的最小值是.

【答案】804-V3##-V3+4

【分析】利用SAS證明"OCAAEC,得到DBC=EAC=20o,據此可求得8∕Λ■的度數(shù)；利用全等三角

形的性質可求得AFB=60o,推出/、B、C、F四個點在同一個圓上，當BP是圓C的切線時，即當CZ）□BF

時，F(xiàn)BC最大,貝（1口FA4最小，此時線段4『長度有最小值，據此求解即可.

【詳解】解：/8C和AOCE都是等邊三角形，

AC=BC9DC=EC,BAC=ACB=DCE=60。,

□CDCB+□JCZ)=□fCJ+□JCZ>=60o,

即□DC5=口EC4,

(CD=CE

在48CQ和A4CE中，??BCD=?ACE,

(BC=AC

□匚4CE□□BCD(SAS),

QLEAC=LDBCf

□匚DBC=20。,

o

UΠEAC=20f

BAF=LBAC+E4C=800;

設8/與力C相交于點，，如圖：

MCEBCD

AE=BD,[JEAC=VDBCfJ^JAHF=CBHCf

o

ΩΠAFB=UACB=60f

A、B、C、尸四個點在同一個圓上，

點。在以C為圓心，3為半徑的圓上，當是圓C的切線時，即當Co8/時，F(xiàn)BC最大,則FBA

最小，

□此時線段4尸長度有最小值，

在RfABCD中,BC=',CD=3,

BD=?S2-32=4,即4E=4,

FDE=I80o-90o-60o=30o,

"8=60。,

FDE=FED=3G0,

□FD=FE,

過點/作QGQOE于點G,

3

DG=GE*,

2

FE=DF-DG=√3,

cos30

∏AF=AE-FE=A-^,

故答案為：80；4-√3.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，圓周角定理，切線的性質，解直角三角形，解答本

題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

三、解答題

17.（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，點4、D、C、尸在一條直線上，月.4。=CF,AB=DE,

乙BAC=乙EDF.求證：NB=NE.

【答案】見解析

【分析】根據SAS證明AABCwZiDEH即可得出答案.

【詳解】證明：ΞL4D=CF,

UAD+CD=CF+CD,

UAC=DF,

AB=DE

:在△?BC?ΔDEFtVl?A=乙EDF,

.AC=DF

△4BC三ΔDFF（SAS）,

□4B=?E.

【點睛】本題主要考查了三角形全等的性質和判定，熟練掌握三角形全等的判定方法，是解題的關鍵.

18.（2022?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內有一個垂直于地面的立柱/8,其旁邊有一個坡面CQ,

坡角NQCN=30°.在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為120cm,在坡面上的影長為180cm.同一時刻,

小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm(其影子完全落在地面上).求立柱AB的高度.

【答案】(I70+60√3)cm

【分析】延長/。交SN于點E,過點。作BN丁點凡根據直角三角形的性質求出OR根據余弦的定

義求出CF,根據題意求出ER再根據題意列出比例式，計算即可.

【詳解】解：延長4。交BN于點E,過點。作。尸BN于點、F,

在RtACDF中，□CFA9Qo,UDCF=30o,

則DF^CD=90(cm),CF=CZ)?cos□Z>CF=l80×y=90√3(cm),

由題意得：即竺="，

EF90EF90

解得：EF=I35,

BE=BC+CF+EF=?20+90√3+135=(255+90√3)cm,

hill—_=≤5,

、255+90√390

解得：^5=170+60√3,

答：立柱AB的高度為(170+60√5)cm.

【點睛】此題考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題、平行投影的應用，解題的關鍵是數(shù)形結合，正確

作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計算.

19.（2022?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）如圖，點4在射線OX上，OA=a.如果。4繞點。按逆時針方向旋轉ntl（0<

n≤360）到。4',那么點4的位置可以用表示.

（1）按上述表示方法，若α=3,τι=37,則點A的位置可以表示為；

（2）在（1）的條件下，已知點B的位置用（3,74。）表示，連接44、A'B.求證：A'A=A'B.

【答案】（1）（3,37。）

（2）見解析

【分析】（I）根據點的位置定義，即可得出答案；

（2）畫出圖形，證明A∕O4ΛBOA'（SAS）,即可由全等三角形的性質，得出結論.

【詳解】⑴解:由題意,得4（。,〃。），

□α=3,w=37,

□Ar（3,37o）,

故答案為：（3,37。）；

4（3,37。），8（3,74。）,

,o

AOA=37t□AOB=74°,OA=OB=3,

40B=AOB-JOJr=74o-37o=37o,

,,

{JOA=OAf

□□4O%'□□5O4'（SAS）,

A,A=A,B.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，新定義，旋轉的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是

解題的關鍵.

20.(2022?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題)在四邊形ABCD中，。是邊BC上的一點.若△OAB三△OCD,則點。叫

做該四邊形的“等形點”.

⑴正方形“等形點”(填“存在”或“不存在”)；

(2)如圖，在四邊形中，邊BC上的點O是四邊形4BC。的“等形點”.已知CD=4√2,OA=5,BC=12,

連接AC,求AC的長；

⑶在四邊形EFGH中，EHHFG.若邊FG上的點。是四邊形EFGH的“等形點”，求器的值.

OG

【答案】(1)不存在，理由見詳解

(2)4√5

(3)1

【分析】(1)根據“等形點'’的概念，采用反證法即可判斷；

(2)過/點作AMBC于點根據“等形點”的性質可得AB=CD=Wl,OA=OC=5,OB=J=OD,設MO=a,

則8Λ∕=8O-MO=7-α,在Rt/8M和&AOM利用勾股定理即可求出ZM,則在用/MC中利用勾股定

理即可求出AC；

(3)根據“等形點'’的性質可得OF=O4,OE=OG,：EOF=EGOH,再根據EHI尸G,可得□EOF=□OEH,

GOH=EHO,^JOEH=DOHE,進而有OE=O//,可得OF=OG,則問題得解.

【詳解】(1)不存在，

理由如下：

假設正方形4SC0存在“等形點”點O,即存在OABOCD,

□在正方形/88中，點。在邊BC上，

□□480=90。，

JDOABUCOCD,

ABO=CDo=90°,

CDDO,

CDGBC,

ODO??BC,

。點在BC上，

DO與BC交于點O,

□假設不成立，

故正方形不存在“等形點”；

(2)如圖，過4點作∕Λ∕BC于點M,如圖,

O點是四邊形ABCD的“等形點”，

OABOCD,

AB=CD,OA=OC,OB=OD,□AOB=□COD,

DCD=4√2,OA=5,BC=?2,

□^5=C∕?4√2,OA=OC=5,

OB=BC-OC=12-5=7=OD

GAMUBC,

AMO=90o=?AMB,

口設ΛΛAα,貝∣J8M=8O-Λ∕O=7-α,

在RASMfnRtM中，AM2=AB2-BM2=AO2-MO2,

AB2-BM2=AO2-MO2,即（4位）2—（7—α）2=52-α2,

解得：a=3,即M。=3,

ΠMC=MO+OC=3+5=8,4M=>JAO2-MO2=√52-32=4

口在RtDAMC中，AC=y∕AM2+MC2=√42+82=4√5,

即/C的長為44；

（3）如圖，

O點是四邊形EFGH的“等形點”，

GCOEFDQOGH,

COF=OH,OE=OG,GEOF=DGOH,

DEHWFG,

ΠDEOF=DOEH,DGOH=JEHO,

根據EOF=GoH有OEH=OHE,

OE=OH,

DOF=OH,OE=OG,

OF=OG,

□竺=L

OG

【點睛】本題考查了全等三角形的性質、勾股定理、正方形的性質、平行的性質等知識，充分利用全等三

角形的性質是解答本題的關鍵.

21.（2022?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）如圖，C為銳角三角形.

圖1圖2

⑴請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在ZC右上方確定點。，使EIDNC=□4C8,且CDI4D；（不寫

作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，若48=60。，AB=2,BC=3,則四邊形/8CD的面積為.（如需畫草圖，

請使用試卷中的圖2）

【答案】（1）見解析

⑵然

【分析】（1）先作DAC=UACB,再利用垂直平分線的性質作CD14。，即可找出點。；

（2）由題意可知四邊形/88是梯形，利用直角三角形的性質求出ZE、BE、CE,力。的長，求出梯形的

面積即可.

點。為所求點.

（2）解：過點工作XE垂直于8C,垂足為￡,

□NB=60o,/-AEB=90°,

□NB4E=90°—60°=30。，

DAB=2,

DBE=-AB=1,CE=BC-BE=2,

2

DAE=√∕4F2-BE2=√22-I2=√3,

Ω?JDAC=?JACBf

ADHSC,四邊形力8CD是梯形，

乙D=乙ECD=90°,

四邊形/ECD是矩形,

CE=AD=2,

匚四邊形ABCD的面積為TGW+BC）?ΛE=I×（2+3）×√3=?,

故答案為：?.

【點睛】本題考查作圖，作相等的角，根據垂直平分線的性質做垂線，根據直角三角形的性質及勾股定理

求線段的長，正確作出圖形是解答本題的關鍵.

22.（2021?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）如圖，B、F、C、E是直線/上的四點，AB/∕DE,AB=DE,BF=CE.

（1）求證：4ABC"DEF;

（2）將△4BC沿直線/翻折得到A4到C.

口用直尺和圓規(guī)在圖中作出A4'BC（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

;連接4D,則直線HD與I的位置關系是.

【答案】（1）見詳解；（2）□見詳解；口平行

【分析】（1）根據“"S'即可證明△4BC三ACEF;

（2）以點8為圓心，8/為半徑畫弧，以點C為圓心，CA為半徑畫畫弧，兩個弧交于A',連接48,AC,

即可；

過點A作小"過點。作DN□∕,則AMM且4'M=DN,證明四邊形4Λ∕NZ）是平行四邊形，即可得

到結論.

【詳解】（1）證明：□B尸=CE,

BC=EF,

AB//DE,

QQABC=DDEF,

又□AB=DE,

△ABC=LDEFx

（2）如圖所示，△48C即為所求;

A'D?2l,理由如下：

口△力BC三ADEF,AdBC與△4BC關于直線/對稱，

□△力'BC≤ΔDEF,

過點4作4Λ∕I,過點。作IW/,則/TMOM且AM=DM

四邊形4'Λ∕M）是平行四邊形，

UA'D0l,

故答案是：平行.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，添加輔助線，構造平行四邊

形是解題的關鍵.

23.（2022?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在一/8C中，LBAC=90o,∕8=∕C=12,點尸在邊/8上，D、

E分別為8C、PC的中點，連接OE.過點E作8C的垂線，與BC、ZC分別交于尸、G兩點.連接。G,交

PC于點

A

備用圖

（I）ElEQC的度數(shù)為

(2)連接PG,求□∕PG的面積的最大值：

(3)PE與。G存在怎樣的位置關系與數(shù)量關系？請說明理由；

(4)求義的最大值.

Cc

【答案】(1)45。

(2)9

(3)PE=DG,理由見解析

修

【分析】(1)先說明口8=45。，再說明OE是□CBP的中位線可得OEIhSP,然后由平行線的性質即可解答；

(2)先說明EO尸和□G*r是等腰直角三角形可得。尸=E尸考DE、GF=CF當CG:設">=x,則2P=12-x,

BP=?2-x=2DE,然后通過三角形中位線、勾股定理、線段的和差用X表示出/G,再根據三角形的面積公式

列出表達式，最后運用二次函數(shù)求最值即可；

(3)先證明GFDCFE,可得。G=CE,進而可得PE=3G;由GFDCFE可得ECF=DGF,進而

得至∣J□G"E=[CFE=90。，即可說明。G、PE的位置關系；

⑷先說明CEF8H得到笑=會,進而得到穿=嘿,然后將己經求得的量代入可得累==

CDCHCECE"CE

——?s—,然后根據ɑ+三=(√H+：)2-2≥2求最值即可.

x+12+宙24°I

【詳解】(1)解：在ABCΦ,BAC90o,4B=AC=12

B=ACB=45o

□.。、E分別為8C、PC的中點

CDE??BP,DEKBP

EDC=UB=A5o.

(2)解：如圖：連接PG

?ΔLEDC=QACB=ASO,GFJDC

□匚EDF和匚GPC是等腰直角三角形

DF=EF巫DE,GF=CF=^CG,

22

設ZP=X,則BP=I2-x,BP=?2-x=2DE

12-x

□。沖EF=

2√2

RtAPC,

PC=>∕AP2^AC2=√x2÷144

RtEFC

_12+Λ:

FC=FG=y∕CE2-EF2=

-2√2

0CG=√2CF=^i≡

AG=12-CG=12-1--1--

22

c1ΛΠAr112-x12x-xz-(x-6)2+36

SAPG=-AP?AG=-X------=--------=-------------

A22244

所以當x=6時，SJPG有最大值9.

A

DF=EF,CFE=GFD,GF=CF

GFDCFf(SAS)

DG=CE

E是尸C的中點

DPE=CE

PE=DG;

匚UGFD^V?CFE

DΠECF=UDGF

a?JCEF=UPEG

GHE=EFC=90。,即DGJPE.

(4)解：GFDΓWCFE

CEF=CDH

又ECF=DCH

CEFCDH

—,BPCECH=CFCF

CH_CFCD

CE-CE2

22

FC^2+X,CE=l√χ2+144,CD=^BC=√12+12=6√2

2√222

12+XQ

生=FS7?=12χ%+12=12

CE(i√j2Tπ5)2N+144X+12+福-24

12_12_1_2√2+2_√2+1

一2√288-24^24√2-24^2√2-2^4-2

□稱的最大值為與i?

【點睛】本題主要考查了三角形中位線、平行線的性質、二次函數(shù)求最值、全等三角形的判定與性質、相

似三角形的判定與性質等知識點，綜合應用所學知識成為解答本題的關鍵.

24.(2022?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題)【問題情境】在一次數(shù)學興趣小組活動中，小昕同學將一大一小兩個

三角板按照如圖1所示的方式擺放.其中乙4CB=乙DEB=90o,ZB=30o,BE=AC=3.

【問題探究】小昕同學將三角板DEB繞點8按順時針方向旋轉.

(1)如圖2,當點E落在邊4B上時，延長DE交BC于點F,求BF的長.

(2)若點C、E、。在同一條直線上，求點。到直線BC的距離.

(3)連接DC,取DC的中點G,三角板DEB由初始位置(圖1),旋轉到點C、B、O首次在同一條直線上(如圖

3),求點G所經過的路徑長.

(4)如圖4,G為。C的中點，則在旋轉過程中，點G到直線AB的距離的最大值是

【答案】(1)2√5

(2)√6±1

（4）W

【分析】(D在RfUSE尸中，根據余弦的定義求解即可；

(2)分點E在BC上方和下方兩種情況討論求解即可；

(3)取BC的中點。，連接GO,從而求出。G=√5,得出點G在以。為圓心，冉為半徑的圓上，然后根據弧長

公式即可求解；

(4)由(3)知，點G在以。為圓心，火為半徑的圓上，過。作Oa4B于H,當G在OH的反向延長線上

時，GH最大,即點G到直線AB的距離的最大，在法80〃中求出O4,進而可求G"

【詳解】(1)解：由題意得，/-BEF=/.BED=90°,

，在RtABE/1■中，?ABC=30o,BE=3,COSUBC=些.

BF

GBF=■—-=-?-=2√3.

COSZ.ABCcos30o

(2)匚當點E在BC上方時,

如圖一，過點。作DHlBC,垂足為H,

圖1

在ZMBC中，?ACB=90o,NABC=30。，AC=3,

Otan?ABC=—,

BC

DBC=一蛆一==3√3.

tan?ABCtan30

在ABDE中，NDEB=90°,?DBE=?ABC=30°,

，

BE=3,tan?DBE——BE

DDE=BE-tan30o=√3.

點C、E、。在同一直線上，且NDEB=90。，

D?CEB=180°-乙DEB=90°.

又□在ACBE中，NCEB=90。，BC=3√3,BE=3,

DCE=√FC2-BE2=3√2,

DCD=CF+Dfi,=3√2+√3.

□在中，

ABCCSΔBCD=?CDBE=^BC?DH,

BC

「當點E在BC下方時.，

如圖二，

圖2

在ABCE中，O?CEB=90o,BE=3,BC=3√3,

GCE=y∕BC2-BE2=3√2.

OCD=CF-DF=3√2-√3.

過點。作。MIBC,垂足為M?

在ABCe中，SABDC=WBC?DM=gCD?BE,

DDM=√6-1.

綜上，點。到直線BC的距離為述±1.

(3)解：如圖三，取BC的中點0,連接G。，則Go=TBD=√5.

圖3

「點G在以。為圓心，百為半徑的圓上.

當三角板。EB繞點8順時針由初始位置旋轉到點C、B、。首次在同一條直線上時，點G所經過的軌跡為150。

所對的圓弧，圓弧長為山X2τrx6=27T.

3606

□點G所經過的路徑長為學兀.

（4）解：由（3）知，點G在以。為圓心，百為半徑的圓上，

如圖四，過。作O“□∕5于"，

當G在OH的反向延長線上時，GH最大，即點G到直線的距離的最大，

在M80"中，BHo=90°,OBH=3Q°,BO=-BC=—,

22

DOH=BO-SinzOfiH=—?sin30o=—,

24

GH=OG+OH=V3H—~~=~

即點G到直線的距離的最大值為尊.

【點睛】本題考查了勾股定理，旋轉的性質，弧長公式，解直角三角形等知識，分點E在BC上方和下方是

解第（2）的關鍵，確定點G的運動軌跡是解第（3）（4）的關鍵.

25.（2022?江蘇揚州?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在A4BC中，NBAC=90。,4C=60。，點。在BC邊上由點C向點

B運動（不與點B、C重合），過點。作。EIAD,交射線4B于點E.

A

A

⑴分別探索以下兩種特殊情形時線段4E與BE的數(shù)量關系，并說明理由；

「點E在線段AB的延長線上且BE=BD；

口點E在線段AB上且EB=ED.

（2）若AB=6.

□當案=爭寸，求AE的長；

口直接寫出運動過程中線段4E長度的最小值.

【答案】（1）口4E=2BEDAE=2BE

⑵口21爭4

【分析】（1）」算出AABD各個內角，發(fā)現(xiàn)其是等腰上角形即可推出；

算出△4。E各內角發(fā)現(xiàn)其是30。的直角三角形即可推出；

（2）「分別過點4E作8C的垂線，得到一線三垂直的相似，即AEGDsADH/,設DE=√5α,AD=2a,

利用30。直角三角形的三邊關系，分別表示出ED,AD,EG,DH,列式求解α即可；

分別過點4E作BC的垂線，相交于點G,H,證明AEHDsADGA可得*=瞿，然后利用完全平方公

DHEH

式變形得出4EN3+E，，求出4E的取值范圍即可.

【詳解】（1）口口在AABC中，?BAC=90o,NC=60。

匚乙4BC=30°

CBF=BD

乙BDE=-?ABC=15o,?BDA=90°-4BDE=90°-15°=75°

2

在^ABD中，乙BAD=180°一?ABD-4BDA=180°—30°-75°=75°

匚乙BAD=?BDA=75°

UAB=BD=BE

AE=2BE?

如圖:

□BE=DE

口乙EBD=乙EDB=30o,?AED=60°

L在Rt△4。E中，Z-EAD=30°

AE=2ED

DAE=2BE；

(2)口分別過點4,E作3。的垂線，相交于點凡G,則□EGO=口Q∕==9()o,

GED+UGDE=90。,

ΩDHDA+∏GDE=90o,

UUGED=[JHDAf

□?EGDS△DHA9

設。E=√5α,AD=2a,則4E=VW+4"=巾c