2022-2023學(xué)年北京市高一年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市高一上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)模擬試題

(含解析)

一、單選題

1.設(shè)全集{-2,-1,0,1,2},A={x\x<l},5={-2,0,2),則用(4口5)=()

A.{-2,0}B.{-2,0,2}C.{-1,1,2}D.{-1,0,2}

【答案】C

【分析】利用集合的交、補(bǔ)運(yùn)算求名(/C8)即可.

【詳解】由題設(shè),>105={-2,0},又。={-2,-1,0,1,2},

.?.屯(/口8)={-1,1,2}.

故選：C

2.命題"Vx±l,都有Inx+x-lWO”的否定是()

A.llVx>l,都有l(wèi)nx+x-l<0"B."女。<1,使lnx°+x0-1<0”

C.“玉。21,使lnXo+Xo-120"D.“卻21,使lnXo+Xo—l<O"

【答案】D

【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題來(lái)得答案.

【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題得

命題“VxWl,都有l(wèi)nx+x-120”的否定是“加21,使lnXo+Xo-l<O”

故選：D.

3.已知函數(shù)/(x)=x+j2x-3,則函數(shù)/(x)有()

A.最小值1,無(wú)最大值B.最大值;，無(wú)最小值

2

C.最小值3;，無(wú)最大值D.無(wú)最大值，無(wú)最小值

【答案】C

【分析】先用換元法將/(x)變形為二次函數(shù)的形式，然后根據(jù)對(duì)稱軸求解出二次函數(shù)的最值，則

〃x)的最值情況可知.

【詳解】因?yàn)?(x)=x+-2%-3,令j2x-3=/w[0,+8),所以工=(一，

所以/(x)=g?)=^^+￡=；e+1)2+if￡[°，包))，

因?yàn)間⑺的對(duì)稱軸為f=-1,所以g（。在［0,+8）上遞增,

所以g（f）mm=g（°）=》無(wú)最大值，

所以/（X）的最小值為:，無(wú)最大值，

故選：C.

4.對(duì)于任意實(shí)數(shù)。，b,c,d,命題：

①若a>b,c工0,貝ljac>be；

②若a>b,則ac2>be2;

③若ac2>bc2,則。>b;

④若a>b,則上<'.

ab

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷各個(gè)命題，錯(cuò)誤的可舉反例說(shuō)明.

【詳解】時(shí)，若。<0,則ac<bc,①錯(cuò)誤；

若c=0,則加2=從2,②錯(cuò)誤；

若>兒2,則。2〉0,二?！??,③正確；

a>b,若a>0>b,仍然有，④錯(cuò)誤.

ab

正確的只有1個(gè).

故選：A

5.已知x>0,y>o,且x+4y=l,則匕上的最小值為（）

xy

A.4B.9C.10D.12

【答案】B

【分析】將三吆=1+'='+'](x+4y)展開(kāi)利用基本不等式即可求解.

孫XyyXy)

【詳解】由x>0,y>。，且x+4y=l得

￡±2=i+i=fi+ik+”)=5q=9,

xyxy\xy)xy\xy

x+4y=\

當(dāng)且僅當(dāng)4yx即x=:，y=g時(shí)等號(hào)成立，金的最小值為9,

-=-36xy

Ixy

故選：B.

6.若定義域?yàn)镽的奇函數(shù)/(x)滿足/(2-x)=〃x),且/(3)=2,則八4)+〃1)=()

A.2B.IC.0D.-2

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)/(x)為R的奇函數(shù)和/(X)滿足/(2-x)=/(x)，得到函數(shù)T=4,再結(jié)合/⑶=2

求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為R的奇函數(shù)，

所以/(r)=-〃x),

又/(x)滿足〃2-x)=/(x),

所以〃2-x)=-/(-x),即"2+x)=-/(x),

所以〃4+x)=/(x),即T=4,

因?yàn)?3)=2,八0)=0,

所以/'(4)=0,/(3)=-/(1)=2,

所以/(4)+/。)=-2

故選：D

7.已知函數(shù)應(yīng)0=機(jī)/+(川一3)x+l的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，則實(shí)數(shù)加的取值

范圍是()

A.(0,1]B.(0,1)C.(-co,1)D.(-00,1]

【答案】D

【詳解】由題意可知：

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，由外)=0知，-3x+l=0,，x=；>0,符合題意；

=(m-3)2

當(dāng)，心0時(shí)，由/(0)=1可知：\m-3，解得

------>0

2m

當(dāng)”?<0時(shí)，由負(fù)0)=1可知，函數(shù)圖象恒與x軸正半軸有一個(gè)交點(diǎn)

綜上可知，m的取值范圍是：(ro,l].

故選D.

點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵是處理二次函數(shù)在區(qū)間上大于0的有解問(wèn)題，對(duì)于二次函數(shù)的研究一般從以幾

個(gè)方面研究：

一是，開(kāi)口；

二是，對(duì)稱軸，主要討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系;

三是，判別式，決定于X軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；

四是，區(qū)間端點(diǎn)值.

8.已知?jiǎng)t“Ina/nb>0”是"(a-l)?(b-l)>0”的()

A.充分而不必可條件B.必要而不充分他件：

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】可求出lnalnb>0的等價(jià)條件，根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

,,,Una〉04<0[a>1f0<a<1

【詳解】解析：由題，因?yàn)樗?皿1時(shí)〉0,即一八或一八，所以A?或八人.

[lnft>0[In方<0[0<6<1

即等價(jià)于(a—1)(6—1)>0,即“1皿1昉>0"是"(a-1)?他的充分必要條件，

故選：C.

9.已知函數(shù)/(x)=卜:二+是定義域上的遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

【答案】B

【解析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知即二次函數(shù)是開(kāi)口向下的，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸與1比

較，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于。的不等式，解不等式即可得到實(shí)數(shù)。的取值范

圍.

【詳解】函數(shù)/(x)上:*：:+3agl)是定義域上的遞減函數(shù)，

當(dāng)x<l時(shí)，/(x)=a"T為減函數(shù)，故0<a<l；

當(dāng)x21時(shí)，/(x)=(a-l)f+ax+3a為減函數(shù)，由a<l,得開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為

=~^41，即-a±2(a-I),解得

2(a-l)3

當(dāng)x=l時(shí)，由分段函數(shù)單調(diào)性知，(a-l)x\2+a-\+3a<a'-',解得

綜上三個(gè)條件都滿足，實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故選：B.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中解答時(shí)易忽略函數(shù)在整

個(gè)定義域上為減函數(shù)，則在分界點(diǎn)處（x=l）時(shí)，前一段的函數(shù)值不小于后一段的函數(shù)值，考查學(xué)

生的分析能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題.

10.根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限”約為3361,而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)

N約為1080.則下列各數(shù)中與空最接近的是

N

（參考數(shù)據(jù)：Ig3ko.48）

A.1033B.1053

C.1073D.1093

【答案】D

361

【詳解】試題分析：設(shè)u"=%3，兩邊取對(duì)數(shù)，

N1O80

手61

Igx=lg-^=lg336l-lgl08o=361xlg3-80-93.28,所以戶世迷，即最接近i（）93,故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題以實(shí)際問(wèn)題的形式給出，但本質(zhì)就是對(duì)數(shù)的運(yùn)算關(guān)

系，以及指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系，難點(diǎn)是令》=焉，并想到兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)進(jìn)行求解，對(duì)數(shù)運(yùn)算公

M

式包含噬《M+log,,N=logMN,log?M-log,,N=log?—,log?M"=nlog,,M.

aN

二、解答題

11.函數(shù)y=lg（x+l）+"^的定義域?yàn)?

【答案】（7,4]

【分析】根據(jù)真數(shù)大于零，被開(kāi)方數(shù)不小于零列不等式求解.

[x+1>0

【詳解】由己知〈八，解得-l<x<4

4-x>0

即函數(shù)7=lg（x+1）+VTG的定義域?yàn)椋?1,4].

故答案為：

三、填空題

12.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=log2x,則//(-；)的值為.

【答案】1

【分析】根據(jù)奇函數(shù)可得到/(-；)=-/(：)，然后利用題意中的解析式即可求解

44

【詳解】因?yàn)椤╔)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=10g2x,

所以/(-；)=-/4=-1%：=2,

444

所以//(->=/(2)=log,2=l

故答案為：1

13.已知奇函數(shù)〃力在R上是增函數(shù)，g(x)=V(x).若“=g⑶，Z>=g(20S),c=g(-log,5),則

a、b、c的大小關(guān)系為.(用〈連接)

【答案】b<c<a

【分析】分析出函數(shù)g(x)為偶函數(shù)且在(0,+紇)上為增函數(shù)，比較3、2"、log?5的大小關(guān)系，由此

可得出。、b、c的大小關(guān)系.

【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)/(x)在火上是增函數(shù)，則當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>/(0)=0,

且g(-x)=-M(-x)=M(x)=g(x),故函數(shù)g(x)為偶函數(shù),

任取玉、%€(0,+8)且X|>￡,貝！]/(%)>/(工2)>0,

由不等式的性質(zhì)可得V(x,)>x2/(x2)>0,即g(xj>g(z)>0,

所以，函數(shù)g(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

因?yàn)閍=g(3),6=g(2°s),c=g(-log25)=g(log25),

08

又因?yàn)?°8<2=log24<log25<log28=3,B|]2<log25<3,故b<c<a.

故答案為：b<c<a.

四、雙空題

14.函數(shù)/(x)的圖像是如圖所示的折線段0/8,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,0).定義函數(shù)

g(x)=/(x)-(x-l),貝器⑴=，函數(shù)g(x)的最大值為

2x,0<x<1..2x2-2x,0<x<1

【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到函數(shù)/(x)=-(x-3)/<x43,繼而得到8(司=

—x2+4x—3,1<x43

然后利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求解

【詳解】設(shè)線段的方程為，=船+6,

2=k+hk=-\

由點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)可得0=3k+b'解得

b=3

所以函數(shù)"/X)、=Lf2x,+03<,x1<X143'

又???g(x)=f(x>(x-l),.?.函數(shù)g(x)={,

[—x+4x—3,1<x3

所以g⑴=2-2=0,

當(dāng)04x41時(shí)，g(x)=2(x-g)2-；,二此時(shí)g(x)max=g(l)=g(0)=0；

當(dāng)1<XM3時(shí),g(x)=-(x-2y+l,二此時(shí)g(x)max=g(2)=l;

二函數(shù)g(x)最大值為1.

故答案為：0；1

五、填空題

|x+1|,X＜0

15.已知/")=￡:八，若方程〃x)=a有四個(gè)不同的解不＜々＜匕＜匕，則下面結(jié)論正確的

|log2x|,x＞0

代號(hào)為.

①X1+X2=-2

②X/2=1

③七項(xiàng)=1

11（5

④一+一€2,-

X3匕I2J

【答案】①③④

【分析】作出函數(shù)“X）的圖象，根據(jù)圖象得出占+々=-2,1<x3<l<x4<2,玉/=1,再利用對(duì)勾

函數(shù)的單調(diào)性求得,+’的取值范圍即可.

%x4

【詳解】作出函數(shù)/（X）的圖象如圖所示：

由圖象可知x“2關(guān)于X=-1對(duì)稱，%,+x2=-2,故①正確:

當(dāng)％=-；，芻=-|滿足%+七=-2,但不滿足工內(nèi)=1，故②不正確;

?.?|log2x3|=|log2x4|,i<x3<1<x4<2B|Jlog2x3+log2x4=0,

X3X4=1,故③正確，

111「1J

/%/,L2J

又對(duì)勾函數(shù)y=x+1在（0,1）單調(diào)遞減，

X

所以，+X3/2,金，即，，④正確，

匕I2」x3x4<2J

故答案為：①③④

六、解答題

16.計(jì)算：

（1）出+（癢1）。_正5）：+02；

（2）（log43+log83）（log32+log,2）,

【答案】（1）10；（2）

4

【分析】（1）利用有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)求解;

（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

【詳解】解：(1)原式=4+1-(-5)+0=5+5=10；

(2)原式=(：唾23+;唾23)(唾32+：噫2[=[噬23乂。睢32=：.

(23八27624

17.已知集合/={x|w-14x42w+3},函數(shù)/(x)=lg(-f+2x+8)的定義域?yàn)锽.

(1)當(dāng)加=2時(shí)，求&4)c8；

(2)若4仆8=/,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】(I){x|-2<x<l}；(2)(-co,-4)u|^-l,1j.

【分析】(1)先求出集合4再求出其補(bǔ)集，由-/+2》+8>0,求出集合8,然后求出

(2)由=4得然后分4=0和NW0兩種情況求解即可

【詳解】.解：(1)根據(jù)題意，當(dāng)皿=2時(shí)，^={x|l<x<7},則a4=卜,<1或x>7},

由-/+2*+8>0,得-2<x<4,

所以8={力2Vx<4},

所以1/)c8={x|-2<x<l}；

(2)根據(jù)題意，若4口8=/,則/±8,

分2種情況討論：

①當(dāng)力=0時(shí)、有〃?-1>2加+3,解可得〃?<-4,

②當(dāng)力工0時(shí)，

m-\<2m+3

若有4=8,必有<〃?一1>-2,解可得-1<加<!，

2

2加+3<4

綜上可得：機(jī)的取值范圍是：(-8,-4)

18.已知函數(shù)/(均=竺=，且/⑴=2,/(2)=|,

x2

(1)確定函數(shù)/(X)的解析式，并判斷奇偶性；

(2)用單調(diào)性定義證明函數(shù)/(X)在區(qū)間(-8,-1)上單調(diào)遞增.

2

【■答石案田】Y/(1、)八幻=X土+二1，大奇-7函?以數(shù)

X

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)先通過(guò)/⑴=2,”2)列方程求出函數(shù)“X)的解析式，再利用奇偶性的定義證明即

可;

(2)令王<、2<T，做差判斷了(%)-/(毛)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)單調(diào)性?

a+h=2

【詳解】（1）由/。）=2,U2）=g得■4“+6

_5

22

解得。=b=1,

=—,其定義域?yàn)椋?8,0）U（0,+8）

X

X2+]r24-1

,/（-）=-----=——=o，

-xx

故函數(shù)/(X)為定義域上的奇函數(shù);

（2）令王<12<T，

貝|J???/（X）-/'（工2）一玉+1=（X,-X.）4—］［一期）（西工2—1）

）中2

玉%I再X2

*/Xj<X2<-1,

/.%!-x2<0,xxx2-1>0

???/(演)-/(々)<0,即/(*)</5)，

故函數(shù)/(X)在區(qū)間上單調(diào)遞增

19.設(shè)函數(shù)/(x)=x2+6x+c(b,ceR),已知/(x)<0的解集為(-1,3).

(I)求6,c的值；

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-ax在區(qū)間［0,2］上的最小值為-4,求實(shí)數(shù)a的值.

仿=-2

【答案】⑴.

［c=-3

⑵。二0

【分析】(1)根據(jù)二次不等式的解和二次方程的的根的關(guān)系，利用韋達(dá)定理列方程求解；

(2)先通過(guò)g(0)=-4,g(2)=-4,g(等)=T求出。，再驗(yàn)證是否在對(duì)應(yīng)的x處取到最小值即可.

【詳解】(1)由已知〃x)<0的解集為(-1,3),

則方程Y+6x+c=0的根為7,3,

—1+3=-Z7

由韋達(dá)定理得

(-1)x3=c，

(2)由(1)得函數(shù)g(x)=xJ(2+q)x-3,

由于開(kāi)口向上的二次函數(shù)的最小值只能在區(qū)間端點(diǎn)或者對(duì)稱軸處取到，

若g(0)=-4,即-3=-4,不符，舍去；

若g(2)=-4,即4-2(2+a)-3=T,得。=；,

此時(shí)g(x)=x2-：x-3,對(duì)稱軸為x=3e[O,2],故函數(shù)應(yīng)該在x時(shí)取到最小值，不符，舍去;

244

若g^)=-4,即(若T_(2+a)(g^)_3=-4,得4=-4或a=0

當(dāng)。=-4時(shí)，g(x)=/+2x-3,對(duì)稱軸為》=-1e[0,2],不符合在對(duì)稱軸處取到最小值，舍去;

當(dāng)。=0時(shí)，g(x)=x2-2x-3,對(duì)稱軸x=le[0,2],符合在對(duì)稱軸處取到最小值.

綜合得。=0.

20.設(shè)/(X)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=lg(x2-ox+l),6TeR.

(1)若/(1)=1,求〃x)的解析式；

(2)若f(x)在區(qū)間(1,2)單調(diào)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

lg(x2-ax+l),x>0

【答案】⑴〃x)=

-lg(x2+ax+l),x<0

⑵a*1

【分析】(1)先根據(jù)八1)=1求出。，再通過(guò)x<0時(shí)/(x)=-/(-x)求函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)對(duì)稱軸的位置，以及+120在區(qū)間。，2)上恒成立來(lái)列不等式求解.

【詳解】(1)由已知I(l)=lg(l-a+D=l,得。=-8

故當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=lg(x2+8x+l)

又〃x)是R上的奇函數(shù)，

.,.當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=-/(-x)=-lg[(-x)2+8(-x)+lJ=-lg(x2-8x+l),

v/(0)+/(0)=0,.-./(o)=o

.植（"+8x+D，x>0

[-lg（x2-8x+l）,x<0

（2）/（x）在區(qū)間（1,2）單調(diào)，即/（x）=lg，-6+1）在（1,2）上單調(diào)，

/（l）=lg（l-a+l）>0

ljlij]/（2）=lg（4-2a+l）>0）

“（1，2）

21.非空有限集合S