2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第13講：計(jì)數(shù)原理（附答案解析）

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第13講：計(jì)數(shù)原理

一.選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）

1.（5分）（2022?新高考II）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不

站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

2.（5分）（2022?北京）若C2x-1）4=a4x4+a3xi+a2x2+aix+?o>則αo+42+α4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

3.（5分）（2022?山東模擬）在（/-2x+y）6的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-480B.480C.-240D.240

4.（5分）（2022?廣東三模）將5名核酸檢測(cè)工作志愿者分配到防疫測(cè)溫、信息登記、維持

秩序、現(xiàn)場(chǎng)指引4個(gè)崗位，每名志愿者只分配1個(gè)崗位，每個(gè)崗位至少分配1名志愿者,

則不同分配方案共有（）

A.120種B.240種C.360種D.480種

5.（5分）（2022?道里區(qū)校級(jí)三模）舉世矚目的第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日至2月20

日在北京舉辦，某高校甲乙丙丁戊5位大學(xué)生志愿者前往/、B、C、。四個(gè)場(chǎng)館服務(wù)，

每個(gè)場(chǎng)館至少分配一位志愿者.由于工作需要甲同學(xué)不能去Z場(chǎng)館，則所有不同的安排

方法種數(shù)為（）

A.72B.108C.180D.216

6.（5分）（2022春?番禺區(qū)校級(jí)期中）已知（2-%2）（l+2x）4的展開式中含χ3的項(xiàng)的系數(shù)

為（）

A.56B.60C.68D.72

7.（5分）（2022?濟(jì)南二模）（2+x）（x+l）4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

X

A.2B.6C.8D.12

8.（5分）（2022?道里區(qū)校級(jí)二模）已知（支《）卿J展開式中，第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第

3項(xiàng)的系數(shù)之比為工，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第（）項(xiàng).

4

A.3B.4C.5D.6

9.（5分）（2022?廣西模擬）“雙減”政策實(shí)施以來(lái)各地紛紛推行課后服務(wù)“5+2”模式，即

學(xué)校每周周一至周五這5天要面向所有學(xué)生提供課后服務(wù)，每天2個(gè)小時(shí).某校計(jì)劃按

第1頁(yè)（共23頁(yè)）

照“5+2”模式開展“學(xué)業(yè)輔導(dǎo)”，“體育鍛煉”，“實(shí)踐能力培養(yǎng)”三類課后服務(wù)，并且每

天只開設(shè)一類服務(wù)，每周每類服務(wù)的時(shí)長(zhǎng)不低于2小時(shí)，不高于6小時(shí)，那么不同的安

排方案的種數(shù)為（）

A.60B.90C.150D.210

10.（5分）（2022春?灌云縣校級(jí)月考）已知（3χ-l）（x+l）"的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之

和為64,則展開式中含有一的項(xiàng)系數(shù)為（）

A.20B.30C.45D.60

二.多選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

102+1,

（多選）11.（5分）（2022?如皋市模擬）設(shè)（l+2χ）=a0+a1x+a2x"?+a10x0

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.αo=1

b10

?a1+a2+-+a10=3-l

C.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)

D.。2=9。1

（多選）12.（5分）（2022?茂名模擬）已知（2χ七J-）11的展開式共有13項(xiàng)，則下列說(shuō)法

中正確的有（）

A.所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為212

B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為3口

C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng)

D.有理項(xiàng)共5項(xiàng)

62

（多選）13.（5分）（2022春?萊陽(yáng)市校級(jí)月考）設(shè)（2x+l）=αo+aι（x+l）+a2（XH）+-

+aβ（x+1）6,下列結(jié)論正確的是（）

A.ao-a?+a2-a3+a4-as+?6—36

B.圖+。3=-IOO

C.<71，Q2，Q3，Q4，。5，。6中最大的是〃2

D.當(dāng)x=999時(shí)，（2x+l）6除以2000的余數(shù)是1

（多選）14.（5分）（2022春?船營(yíng)區(qū)校級(jí)月考）關(guān)于

（2χ-l）99=ao+aιx+a2χ2+…+aggχ99,下列說(shuō)法正確的是（）

第2頁(yè)（共23頁(yè)）

A.4i+02+Q3+…+"99=1

b99

?aι-a2+a3--+a99=3-l

?-§99

C，

a0+a2+a4+-+a98=^一

D.6∏+2α2÷3a3H----∏99α99=198

（多選）15.（5分）（2022?深圳模擬）已知（2-x）8=tzo÷α1x+α2x2÷β??+asx8,貝IJ（）

A.6ro=28B.Qi+a2+…+。8=1

C.?a?∣÷∣ɑ2∣+∣Λ3∣+?,?+∣fl8∣=38D.41+2〃2+3。3+…+8。8=^8

三.填空題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

16.（5分）（2022?浙江）已知多項(xiàng)式（x÷2）（x-1）4=ao+a∣x+a2x2+^3Λ3+Λ4x4÷a5x5,則

=，a?+02+43+44+45=.

17.（5分）（2022?新高考I）（1-X）（x+y）8的展開式中今6的系數(shù)為（用數(shù)字

X

作答）.

8

18.（5分）（2022?寧河區(qū)校級(jí)模擬）二項(xiàng)式（q發(fā)—《1）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是.

5

19.（5分）（2022?河西區(qū)校級(jí)模擬）在（/_］）（2X1J）的展開式中，含X項(xiàng)的系數(shù)

X

為.

20.（5分）（2022?湛江二模）（81+工）（x-工）$的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

X3

四,解答題（共5小題，滿分50分，每小題10分）

21（10分）（2022春?淮安期中）設(shè)

-al-∣÷a?x+a2x÷a3x+a4x+a5x+a6x+a7x÷a8x

（1）求〃0+。2+。4+〃6+。8的值；

（2）求S=（?+C?+C?+…+C駕+嚼除以9的余數(shù);

（3）求αι+202+303+444+…+8。8的值.

22.（10分）（2022春?湖北期中）甲、乙、丙、丁、戊5人并排站成一排.

（1）若甲、乙不相鄰，則有多少種不同排法？

（2）若甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則有多少種不同的排法？

（3）若甲不在最左，乙不在最右，則有多少種不同的排法？

23.（10分）（2022春?湖北期中）從5名男生和4名女生中選出4人去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽.

第3頁(yè)（共23頁(yè)）

（1）如果選出的4人中男生、女生各2人，那么有多少種選法？

（2）如果男生中的小王和女生中的小紅至少有1人入選，那么有多少種選法？

（3）如果被選出的4人是甲、乙、丙、丁，將這4人派往2個(gè)考點(diǎn)，每個(gè)考點(diǎn)至少1人,

那么有多少種派送方式？

24.（10分）（2022春?響水縣校級(jí)期中）已知二項(xiàng)式（X8

（1）求展開式的有理項(xiàng)；

（2）求展開式的系數(shù)最大項(xiàng).

25.（10分）（2022春?山東月考）4個(gè)男同學(xué)，3個(gè)女同學(xué)站成一排.

（1）3個(gè)女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？

（2）任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？

（3）甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？

第4頁(yè)（共23頁(yè)）

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第13講：計(jì)數(shù)原理

參考答案與試題解析

?選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）

1.（5分）（2022?新高考∏）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不

站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用捆綁法求出丙和丁相鄰的不同排列方式，再減去甲站在兩端的情況即可求

出結(jié)果.

【解答】解：把丙和丁捆綁在一起，4個(gè)人任意排列，有A^.A：=48種情況，

32

甲站在兩端的情況有C!AA=24種情況，

2?2

???甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有48-24=24種，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，本題運(yùn)用排除法，可以避免討論，簡(jiǎn)化計(jì)算，屬于

基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2022?北京）若（2x-1）4=6Γ4X4+6f3X3+tZ2X2÷Λix+^o?則QO+Q2+Q4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求出“0和42,以及的值，可得結(jié)論.

【解答】解：（2χ-l）4=α4χ4+α3χ3+q2χ2+α]χ+

??4o+α2+α4=-24=1+24+16=41,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

（5分）（2022?山東模擬）在（x2-2x+y）‘的展開式中，含x5y2項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-480B.480C.-240D.240

第5頁(yè)（共23頁(yè)）

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用二項(xiàng)式定理求解.

【解答】解：（χ2-2χ+y）6的展開式中,

480.r5√,

.?.含X5/項(xiàng)的系數(shù)為-480,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）（2022?廣東三模）將5名核酸檢測(cè)工作志愿者分配到防疫測(cè)溫、信息登記、維持

秩序、現(xiàn)場(chǎng)指引4個(gè)崗位，每名志愿者只分配1個(gè)崗位，每個(gè)崗位至少分配1名志愿者,

則不同分配方案共有（）

A.120種B.240種C.360種D.480種

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】5名核酸檢測(cè)工作志愿者先選2人一組，然后4組全排列即可.

【解答】解：5名核酸檢測(cè)工作志愿者選2個(gè)1組，有C52種方法，然后4組進(jìn)行全排列,

有種，

24

共有C5>14=240種，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，利用先分組后排列的方法是解決本題的關(guān)鍵，

是基礎(chǔ)題.

5.（5分）（2022?道里區(qū)校級(jí)三模）舉世矚目的第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日至2月20

日在北京舉辦，某高校甲乙丙丁戊5位大學(xué)生志愿者前往/、B、C、。四個(gè)場(chǎng)館服務(wù)，

每個(gè)場(chǎng)館至少分配一位志愿者.由于工作需要甲同學(xué)不能去Z場(chǎng)館，則所有不同的安排

方法種數(shù)為（）

A.72B.108C.180D.216

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；排列組合；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】分兩種情況討論：①/場(chǎng)館安排1人；②/場(chǎng)館安排2人.再安排其余三個(gè)場(chǎng)

第6頁(yè)（共23頁(yè)）

館的志愿者，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【解答】解：分以下兩種情況討論：

①若/場(chǎng)館安排1人，則其余4人分為三組，每組人數(shù)分別為2、1、1,分為三組后再

分配給8、C、。三個(gè)場(chǎng)館，

此時(shí),安排方法種數(shù)為

②若4場(chǎng)館安排2人，則其余三個(gè)場(chǎng)館各安排1人，此時(shí)，安排方法種數(shù)為cjA9=36?

綜上所述，不同的安排方法種數(shù)為144+36=180種.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列組合及其相關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.（5分）（2022春?番禺區(qū)校級(jí)期中）己知（2-X2）（l+2x）4的展開式中含小的項(xiàng)的系數(shù)

為（）

A.56B.60C.68D.72

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題：整體思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】將二項(xiàng)式前一項(xiàng)展開并乘入后面的多項(xiàng)式，根據(jù)（l+2x）4展開式的通項(xiàng)，分別

求得各項(xiàng)中χ3的項(xiàng)的系數(shù)，相加即可.

【解答】解：（2-X2）（l+2x）4=2（l+2x）4-X2（l+2x）4,

其中（l+2x）4展開式的通項(xiàng)Tr+]=%.（2χ）r=C4?2r?χ^

.Z的項(xiàng)的系數(shù)為2C；23_C：,2=56,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

7.（5分）（2022?濟(jì)南二模）（2+x）（x+A）it的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

X

A.2B.6C.8D.12

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)即可求解.

【解答】解：根據(jù)二項(xiàng)式定理可得二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為：2Xc^χ2χ（工）2=12,

4Y

故選：D,

第7頁(yè)（共23頁(yè)）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.（5分）（2022?道里區(qū)校級(jí)二模）已知（√W招）11的展開式中，第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第

3項(xiàng)的系數(shù)之比為工，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第（）項(xiàng).

4

A.3B.4C.5D.6

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；二項(xiàng)式定理；邏輯推理：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】直接利用展開式的運(yùn)算和組合數(shù)的運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)二項(xiàng)展開式：T[+[=c：?（F）n^r.2r.號(hào)）r,

故第三項(xiàng)的系數(shù)為C：,22,倒數(shù)第三項(xiàng)C'?.2”-2,

C2.221

第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)之比為工,則，a----------工

4Q∏-2.2n-24

解得n=6.

故展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：二項(xiàng)展開式，組合數(shù)的運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力

和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.（5分）（2022?廣西模擬）“雙減”政策實(shí)施以來(lái)各地紛紛推行課后服務(wù)“5+2”模式，即

學(xué)校每周周一至周五這5天要面向所有學(xué)生提供課后服務(wù)，每天2個(gè)小時(shí).某校計(jì)劃按

照“5+2”模式開展“學(xué)業(yè)輔導(dǎo)”，“體育鍛煉”，“實(shí)踐能力培養(yǎng)”三類課后服務(wù)，并且每

天只開設(shè)一類服務(wù)，每周每類服務(wù)的時(shí)長(zhǎng)不低于2小時(shí)，不高于6小時(shí)，那么不同的安

排方案的種數(shù)為（）

A.60B.90C.150D.210

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.

【專題】計(jì)算題：分類討論；綜合法；排列組合；邏輯推理.

【分析】由題意，可分成兩類，一類是有一科占三天共6小時(shí)，二類是有兩科各占兩天,

各有4小時(shí)，由此解決問(wèn)題，按照先選科，再選天的步驟進(jìn)行即可.

【解答】解：若有一科占三天，共6小時(shí)服務(wù)時(shí)間，則有C!?C>AW=60種安排方案;

J/

若有兩科各占兩天，各有4小時(shí)服務(wù)時(shí)間,貝IJ有cg?c∕cW=9o種安排方案;

J33

第8頁(yè)（共23頁(yè)）

故共有60+90=150種安排方案.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題.

10.（5分）（2022春?灌云縣校級(jí)月考）已知（3x7）（x+l）"的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之

和為64,則展開式中含有一的項(xiàng)系數(shù)為（）

A.20B.30C.45D.60

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】令X=1,可由各項(xiàng)系數(shù)和可得〃；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令r=3和2即

可求得結(jié)果.

【解答】解：令X=1,則2?2"=64,解得：n=5；

則（x+l）"展開式的通項(xiàng)為：αχ5~r,

令5-廠=2，解得：r=3,貝∣J3xC>5^r=3C、3=30χ3;

令5-r=3,解得：r=2,貝U-LCEX3=-］（）*3；

，展開式中含有X3的項(xiàng)的系數(shù)為30-10=20.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性

質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

二.多選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

1021,

（多選）11.（5分）（2022?如皋市模擬）設(shè)（l+2χ）=a0+a1x+a2x+???+a10χ°

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.αo=l

B，10

aι+a2+??→a10=3-l

C.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)

D.。2=9。1

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法：二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用賦值法以及二項(xiàng)式定理求出對(duì)應(yīng)系數(shù)進(jìn)行判斷即可.

第9頁(yè)（共23頁(yè)）

【解答】解：令X=0,得αo=l,故/正確，

令X=1,得αo+αi+α2+…+αιo=（1+2）∣°=3∣°,

即α1+α2+…+αιo=3∣°-1,故8正確，

展開式共11項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第6項(xiàng)，故C錯(cuò)誤，

。2=「j02?22=180,ioXPz?I=20,則α2=9αι成立，故Z）正確，

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，利用賦值法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是

基礎(chǔ)題.

（多選）12.（5分）（2022?茂名模擬）己知（2χ+?L）n的展開式共有13項(xiàng)，則下列說(shuō)法

山

中正確的有（）

A.所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2口

B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為3口

C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng)

D.有理項(xiàng)共5項(xiàng)

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】整體思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由二項(xiàng)式定理結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的求法及展開式有理項(xiàng)問(wèn)題逐一判斷即可得解.

【解答】解：由（2χ七/一）11的展開式共有13項(xiàng)，則〃=12,

對(duì)于選項(xiàng)由展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為2%則所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2”,即選

項(xiàng)Z錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)8,令x=l,得（2Xn?）∣2=3∣2,即所有項(xiàng)的系數(shù)和為3∣2,即選項(xiàng)8正

確；

對(duì)于選項(xiàng)C,由（2x七J-）11的展開式共有13項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)，即

選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

第10頁(yè)（共23頁(yè)）

對(duì)于選項(xiàng)。，由(2x+」一)12展開式的通項(xiàng)公式為Tf=212',rχl2~q-,又OWrWI2,

3/-t-12

Vx

則廠=0、3、6、9、12時(shí)，12-冷€工，即展開式有理項(xiàng)共5項(xiàng)，即選項(xiàng)。正確，

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理，重點(diǎn)考查了二項(xiàng)式系數(shù)、展開式有理項(xiàng)問(wèn)題，屬基礎(chǔ)

題.

2

(多選)13.(5分)(2022春?萊陽(yáng)市校級(jí)月考)設(shè)(2x+l)6=αo+m(x+l)+a2(x+l)+???

+o6(x+l)6,下列結(jié)論正確的是(〉

A.ao-a?+a2~a3+a4-a5+?6=36

B.42+α3=-IOO

C.αι.?2，。3，。4,as，。6中最大的是及

D.當(dāng)x=999時(shí)，(2x+l)6除以2000的余數(shù)是1

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

66

【分析】將已知等式轉(zhuǎn)化為(2x+l)6=[2(x+l)-1]=[1-2(x+l)]=α0+αι(x+l)

+°2(x+l)2+??+aβ(x+l)6,利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可求得αι,a2,“3,…，°6,

再逐項(xiàng)判斷即可求解.

66

【解答】解：由(2x+l)6=[2(x+l)-1]=[1-2(x+l)]=α0+αι(x+l)+a2(x+l)

2+-+aβ(x+l)6)

A,令x=-2,貝IJao-αι+°2…-as+aβ=36>故/正確,

B,通項(xiàng)公式為刀+1=CW-2(X+1)Y=量(-2)'(x+l)I

貝!|.2=22「2=60,ti3=-23∩3=-160,'.a2+a3=6O-160=-100,故5正確，

L,6^6

C,'.Li=「1(-2)=-12,θ2=6O,。3=-160,a4=「4(-2)4=240,“5=「5(-

t?6^6^6

2)5=-192,。6=￠6(-2)6=64,

.?.最大的是“4,故C錯(cuò)誤，

D,當(dāng)x=999時(shí)，x+l=1000,a?(x+l),aι(x+l)2,-,aβ(x+l)6都能被2000整除,

而no='O=l,所以(2x+l)6除以2000的余數(shù)是1,故。正確.

t,6

故選：ABD.

第11頁(yè)(共23頁(yè))

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理，將已知等式轉(zhuǎn)化為(2x+l)6=[2(x+l)-1]6=[1-2

2

(X+1)a="。+。](X+1)+a2(X+1)+-+aβ(x+l),是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

(多選)14.(5分)(2022春?船營(yíng)區(qū)校級(jí)月考)關(guān)于

99299

(2x-l)=a0+a1x+a2x÷???+a99x-下列說(shuō)法正確的是()

A.4i+Q2+Q3+…+〃99=1

B99

-a1-a2+a3-?-+a99=3-l

「§99

c-a0+a2+a4+^"+a98=-2―

D.。1+2。2+3。3+…+99。99=198

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】令二項(xiàng)式中的x=0、x=l,可判斷選項(xiàng)/,再令二項(xiàng)式中的X=-1,可判斷選

項(xiàng)8,聯(lián)合二項(xiàng)式中的x=l、X=-1時(shí)的表達(dá)式可判斷選項(xiàng)C,利用導(dǎo)數(shù)判斷選項(xiàng)D?

【解答】解：令x=0得(-1)99=αo,即αo=-l,

令X=I得(2-1)99=ao+a∣+a2jt-a3+a4+.......+a99,①

即0o+m+α2+03+"4+.......+α99=1>

故m+α2+α3+α4+........+499=2,

故選項(xiàng)/錯(cuò)誤；

令X=_1得(-2-I)99=ao-a?+a2-a3+a4+..........499,②

故a?-a2+a3-a4..........+α99=_I+399,

故選項(xiàng)B正確；

①+②得，

1-399

-

a0+a2+a4+??'+a98=^，

故選項(xiàng)C正確；

99299,

?：(2χ-l)=a0+a1x+a2x÷'"÷a99x

982398

???求導(dǎo)得99X2(2r-1)=l÷2^2r+3tZ3X+4^+........÷99Λ99X,

令X=I得〃1+2。2+3。3+…+99Q99=198,

故選項(xiàng)D正確；

故選：BCD.

第12頁(yè)(共23頁(yè))

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

（多選）15.（5分）（2022?深圳模擬）已知（2-x）8=ao+a?x+av^?^t-αsx81則（）

A.ao=28B.α1+α2+…+。8=1

C.?a1∣+∣Λ2∣+∣<23∣+,??+∣αs∣=38D,αι+2α2+343+…+8.8=-8

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用賦值法可判斷/8C,對(duì)X求導(dǎo)后利用賦值可判斷D

【解答】解：取x=0,可得ao=28,故Z正確；

即X=1,可得“ι+α2+…+α8=1-故8不正確；

取x=-l,可得IalI+㈤+向+…+隧|=38-2?,故C不正確；

對(duì)已知等式兩邊對(duì)X求導(dǎo)數(shù)可得-8（2-x）7=α1+2a2x+*??+8agx7，

取x=l,可得m+2.2+3"3+…+848=-8,故。正確.

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查賦值法求代數(shù)式的值，屬中檔題.

≡.填空題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

16.（5分）（2022?浙江）已知多項(xiàng)式（x+2）（x-1）4=ao+a?x+avc1+avcl+a4x^+a5r',貝∣J"2

—8,a1+α2÷Λ3+β4÷<75—~2.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】整體思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】。2相當(dāng)于是用（X+2）中的一次項(xiàng)系數(shù)乘以（X-I）4展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)加

上（x+2）中的常數(shù)項(xiàng)乘以（X-I）4展開式中的二次項(xiàng)系數(shù)之和，分別令χ=o,X=I,

即可求得a?+a2+a3+a4+a5的值.

4432

【解答】解：V（?-?）=x-4X+6X-4X+?,

∕?C12—~4+12=8；

令X=0,則〃o=2,

令X=1,則ao+a1+a2+a3+α4÷ɑ5=0，

.'.41+42+03+44+05=-2.

故答案為：8,-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

第13頁(yè)（共23頁(yè)）

17.（5分）（2022?新高考I）（1-工）（x+y）8的展開式中χ276的系數(shù)為-28（用數(shù)

X

字作答）.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意依次求出（x+y）8中J.,χ3y5項(xiàng)的系數(shù)，求和即可.

【解答】解：（x+y）8的通項(xiàng)公式為7μι=C8d-y,

5

C53

當(dāng)r=6時(shí),,當(dāng)r=5時(shí)，T68Xy

(1-?)(χ+y)8的展開式中X2/的系數(shù)為哈28-56=-28?

XO(4,??O'

故答案為：-28.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

Q8

18.（5分）（2022?寧河區(qū)校級(jí)模擬）二項(xiàng)式（爽一改1_）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是7.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】求出展開式的通項(xiàng)公式，然后令X的指數(shù)為0,進(jìn)而可以求解.

8-4r

【解答】解：展開式的常數(shù)項(xiàng)為Tf=q（★）8=（得_）「=（7/（一/）`M,

令8-n=0,解得r=2,

3

所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為Cg?（1）2=7,

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5

21

19.（5分）（2022?河西區(qū)校級(jí)模擬）在（x-l）（2X-Λ）的展開式中，含X項(xiàng)的系數(shù)為一

X

40.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】求出展開式的含X的項(xiàng)，再求出X項(xiàng)的系數(shù).

【解答】解：展開式中含X的項(xiàng)為"?c"2χ）2（L）3-iXcW（2χ）3（_L）2=-40x,

DYOγ

故X的系數(shù)為-40,

第14頁(yè)（共23頁(yè)）

故答案為：-40.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.(5分)(2022?湛江二模)(81+工)(x-1)5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為__烏_.

X3-81―

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；邏輯推理.

【分析】將原式化為81(χ-l)5+l(?-?)5,再利用組合的知識(shí)求解.

3x3

【解答】解：原式=81(x-1)5+A(X-1)5,

3x3

故原式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為81XCc(二)5Jc]χ?(」)4=_22.

53X5381

故答案為：J2

81

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題(共5小題，滿分50分，每小題10分)

21(10分)(2022春?淮安期中)設(shè)

1

/n-?ι\8_..2.?,4I5.6,I.8

UxI)-a0+a?x+a2x÷a3x+a4x+a5x÷a6x+a7x+a8x

(?)求。0+。2+。4+。6+。8的值；

⑵求S=C；7+喙+*+…+C符+嚼除以9的余數(shù);

(3)求41+2〃2+3。3+4。4+…+8四的值.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)分別令X=1,X=-1,可得。0+。2+。4+〃6+。8的值；

(2)根據(jù)S=CJ7+喙+*+…+啜+嚼=(I+1)27^1=89^1=<9-1)9-1,按

IΛΛI(xiàn)MI乙rCaI

照二項(xiàng)式定理展開，可得結(jié)論，

(3)對(duì)所給的等式求導(dǎo)數(shù)，再令X=1,可得αι+2α2+343+…+8々8的值.

【解答】解：(1)*.*(3x-1)8=Qo+mχ+α2x2+α3χ3?ι----i-ɑs?8,

令X=1,可得ao+a1+6f2+^3÷?*φ+^8=28(1),

令X=-1,可得40-41+Q2^“3+…+48=4*②，

88

①+②并除以2可得，40+。2+〃4+。6+。8=—~~苧一，

第15頁(yè)(共23頁(yè))

(2)由于S=C%+吸+*+???+C駕+嚼=(1+1)27-1=227-1=89-I=(9-1)9

乙/4rc?I&Ic?I

-1

=pO?9^-pl?9^÷r,2?9^-p3?9^÷???÷pθa9-09-?,

υ9L,9υ9υ9υ9υ9

顯然，除了最后二項(xiàng)以外，其余的各項(xiàng)都能被9整除，故S除以9的余數(shù)，即-1-1除

以9的余數(shù)，

故S除以9的余數(shù)為7,

2

(3)對(duì)于(3χ-1)8=αo+αιχ+α2x+α3χ3+…+αgχ8,

兩邊對(duì)X求導(dǎo)數(shù)可得24(3x-1)7=αι+202x+3α3x2+…+84?r7,

再令x=l,可得“1+2。2+3。3+…+8"8=24X27.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公

式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題.

22.(10分)(2022春?湖北期中)甲、乙、丙、丁、戊5人并排站成一排.

(1)若甲、乙不相鄰，則有多少種不同排法？

(2)若甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則有多少種不同的排法？

(3)若甲不在最左，乙不在最右，則有多少種不同的排法？

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)利用不相鄰問(wèn)題插空法進(jìn)行求解，

(2)利用相鄰問(wèn)題捆綁法進(jìn)行求解，

(3)利用排除法進(jìn)行求解即可.

【解答】解：⑴先排其他3人，3人之間有4個(gè)空，然后利用插空法排甲乙，則有MAj

=72,

(2)甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則甲乙看作一個(gè)元素，且甲乙只有一種位置關(guān)系，

則有A：=24,

(3)當(dāng)甲在最左時(shí)有A：=24，當(dāng)乙在最右邊時(shí)有A：=24，當(dāng)甲在最左，乙在最右時(shí)有

43,

3

則甲不在最左，乙不在最右，則有AE-Aj-A：+A,=7&

第16頁(yè)(共23頁(yè))

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題，利用相鄰問(wèn)題捆綁法，不相鄰問(wèn)題插空法以及

復(fù)雜問(wèn)題排除法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

23.（10分）（2022春?湖北期中）從5名男生和4名女生中選出4人去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽.

（1）如果選出的4人中男生、女生各2人，那么有多少種選法？

（2）如果男生中的小王和女生中的小紅至少有1人入選，那么有多少種選法？

（3）如果被選出的4人是甲、乙、丙、丁，將這4人派往2個(gè)考點(diǎn)，每個(gè)考點(diǎn)至少1人,

那么有多少種派送方式？

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）用組合知識(shí)直接求解：

（2）先求出若小王和小紅均未入選時(shí)的選法，從而求出如果男生中的小王和女生中的小

紅至少有1人入選時(shí)的選法；

（3）分兩種情況進(jìn)行求解，再使用分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.

【解答】解：⑴從5名男生中選2名，4名女生中選2人，屬于組合問(wèn)題，WCi=60,

故有60種選法：

（2）若小王和小紅均未入選，則有c；=35種選法，故男生中的小王和女生中的小紅至

少有1人入選,則有C,-￠4=126-35=91種選法;

（3）若2個(gè)考點(diǎn)派送人數(shù)均為2人，則有CiCW=6種派送方式，

若1個(gè)考點(diǎn)派送1人，另1個(gè)考點(diǎn)派送3人，則有C：CWA^=8種派送方式，故一共有

8+6=14種派送方式.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩大計(jì)數(shù)原理及組合的應(yīng)用.考查了定義法，間接法，邏輯推理

能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.本題屬基礎(chǔ)題.

24.（10分）（2022春?響水縣校級(jí)期中）已知二項(xiàng)式&

（1）求展開式的有理項(xiàng)；

（2）求展開式的系數(shù)最大項(xiàng).

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】方程思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

第17頁(yè)（共23頁(yè)）

【分析】（1）先寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，再令8-∣r為整數(shù)，解出r的值，然后代回

通項(xiàng)公式，即可得有理項(xiàng);

^c^∣）r>cΓ1φr+1

（2）假設(shè)第什1項(xiàng)的系數(shù)最大，由｛解出r的值，即可.

c^∣）r<cΓ1（?）r-1

【解答】解：（1）項(xiàng)式（X展開式的通項(xiàng)為

8專?

一「工θ-r3r且，

τ?r+1^^8x(?),OWrW8WN*,

當(dāng)8-∣r為整數(shù)時(shí)，展開式中取得有理項(xiàng)，即r=0或r=3或r=6,

所以Tl=X8，T4=c?4(^∣)3=7x*丁7=4°?,

故展開式的有理項(xiàng)有7x3?.

16

cθg)r≥Cδ+1(^?)r+11

解

（2）假設(shè)第什1項(xiàng)的系數(shù)最大，貝必，即《產(chǎn)H?》;解

c?φr<cΓ1φr-1

得2?,

因?yàn)镺W廠W8且r∈N*,所以廠=2或廠=3,

1616

23434

所以T3=(?3(y)=7χ'T4=CgX(-∣)=7X-

16

故系數(shù)最大的項(xiàng)為7χT,7x4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理，熟練掌握二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，理解有理項(xiàng)與系數(shù)

最大項(xiàng)等概念是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

25.（10分）（2022春?山東月考）4個(gè)男同學(xué)，3個(gè)女同學(xué)站成一排.

（1）3個(gè)女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？

（2）任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？

（3）甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？

【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）根據(jù)據(jù)題意，分兩步進(jìn)行分析：①3個(gè)女同學(xué)進(jìn)行全排列，看成一個(gè)整體,

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②把這個(gè)整體和4個(gè)男同學(xué)進(jìn)行排列，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；

（2）根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行分析：①先排4個(gè)男同學(xué)，②4個(gè)男同學(xué)之間有5個(gè)空擋,

任找3個(gè)空擋把3名女同學(xué)放進(jìn)去，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；

（3）根據(jù)題意，先用捆綁法排甲乙，再用插空法排丙，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【解答】解：（1）根據(jù)