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文檔簡(jiǎn)介
2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第13講:計(jì)數(shù)原理
一.選擇題(共10小題,滿分50分,每小題5分)
1.(5分)(2022?新高考II)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不
站在兩端,丙和丁相鄰,則不同的排列方式共有()
A.12種B.24種C.36種D.48種
2.(5分)(2022?北京)若C2x-1)4=a4x4+a3xi+a2x2+aix+?o>則αo+42+α4=()
A.40B.41C.-40D.-41
3.(5分)(2022?山東模擬)在(/-2x+y)6的展開式中,含項(xiàng)的系數(shù)為()
A.-480B.480C.-240D.240
4.(5分)(2022?廣東三模)將5名核酸檢測(cè)工作志愿者分配到防疫測(cè)溫、信息登記、維持
秩序、現(xiàn)場(chǎng)指引4個(gè)崗位,每名志愿者只分配1個(gè)崗位,每個(gè)崗位至少分配1名志愿者,
則不同分配方案共有()
A.120種B.240種C.360種D.480種
5.(5分)(2022?道里區(qū)校級(jí)三模)舉世矚目的第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日至2月20
日在北京舉辦,某高校甲乙丙丁戊5位大學(xué)生志愿者前往/、B、C、。四個(gè)場(chǎng)館服務(wù),
每個(gè)場(chǎng)館至少分配一位志愿者.由于工作需要甲同學(xué)不能去Z場(chǎng)館,則所有不同的安排
方法種數(shù)為()
A.72B.108C.180D.216
6.(5分)(2022春?番禺區(qū)校級(jí)期中)已知(2-%2)(l+2x)4的展開式中含χ3的項(xiàng)的系數(shù)
為()
A.56B.60C.68D.72
7.(5分)(2022?濟(jì)南二模)(2+x)(x+l)4的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為()
X
A.2B.6C.8D.12
8.(5分)(2022?道里區(qū)校級(jí)二模)已知(支《)卿J展開式中,第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第
3項(xiàng)的系數(shù)之比為工,則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第()項(xiàng).
4
A.3B.4C.5D.6
9.(5分)(2022?廣西模擬)“雙減”政策實(shí)施以來(lái)各地紛紛推行課后服務(wù)“5+2”模式,即
學(xué)校每周周一至周五這5天要面向所有學(xué)生提供課后服務(wù),每天2個(gè)小時(shí).某校計(jì)劃按
第1頁(yè)(共23頁(yè))
照“5+2”模式開展“學(xué)業(yè)輔導(dǎo)”,“體育鍛煉”,“實(shí)踐能力培養(yǎng)”三類課后服務(wù),并且每
天只開設(shè)一類服務(wù),每周每類服務(wù)的時(shí)長(zhǎng)不低于2小時(shí),不高于6小時(shí),那么不同的安
排方案的種數(shù)為()
A.60B.90C.150D.210
10.(5分)(2022春?灌云縣校級(jí)月考)已知(3χ-l)(x+l)"的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之
和為64,則展開式中含有一的項(xiàng)系數(shù)為()
A.20B.30C.45D.60
二.多選題(共5小題,滿分25分,每小題5分)
102+1,
(多選)11.(5分)(2022?如皋市模擬)設(shè)(l+2χ)=a0+a1x+a2x"?+a10x0
則下列說(shuō)法正確的是()
A.αo=1
b10
?a1+a2+-+a10=3-l
C.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)
D.。2=9。1
(多選)12.(5分)(2022?茂名模擬)已知(2χ七J-)11的展開式共有13項(xiàng),則下列說(shuō)法
中正確的有()
A.所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為212
B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為3口
C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng)
D.有理項(xiàng)共5項(xiàng)
62
(多選)13.(5分)(2022春?萊陽(yáng)市校級(jí)月考)設(shè)(2x+l)=αo+aι(x+l)+a2(XH)+-
+aβ(x+1)6,下列結(jié)論正確的是()
A.ao-a?+a2-a3+a4-as+?6—36
B.圖+。3=-IOO
C.<71,Q2,Q3,Q4,。5,。6中最大的是〃2
D.當(dāng)x=999時(shí),(2x+l)6除以2000的余數(shù)是1
(多選)14.(5分)(2022春?船營(yíng)區(qū)校級(jí)月考)關(guān)于
(2χ-l)99=ao+aιx+a2χ2+…+aggχ99,下列說(shuō)法正確的是()
第2頁(yè)(共23頁(yè))
A.4i+02+Q3+…+"99=1
b99
?aι-a2+a3--+a99=3-l
?-§99
C,
a0+a2+a4+-+a98=^一
D.6∏+2α2÷3a3H----∏99α99=198
(多選)15.(5分)(2022?深圳模擬)已知(2-x)8=tzo÷α1x+α2x2÷β??+asx8,貝IJ()
A.6ro=28B.Qi+a2+…+。8=1
C.?a?∣÷∣ɑ2∣+∣Λ3∣+?,?+∣fl8∣=38D.41+2〃2+3。3+…+8。8=^8
三.填空題(共5小題,滿分25分,每小題5分)
16.(5分)(2022?浙江)已知多項(xiàng)式(x÷2)(x-1)4=ao+a∣x+a2x2+^3Λ3+Λ4x4÷a5x5,則
=,a?+02+43+44+45=.
17.(5分)(2022?新高考I)(1-X)(x+y)8的展開式中今6的系數(shù)為(用數(shù)字
X
作答).
8
18.(5分)(2022?寧河區(qū)校級(jí)模擬)二項(xiàng)式(q發(fā)—《1)的展開式中,常數(shù)項(xiàng)是.
5
19.(5分)(2022?河西區(qū)校級(jí)模擬)在(/_])(2X1J)的展開式中,含X項(xiàng)的系數(shù)
X
為.
20.(5分)(2022?湛江二模)(81+工)(x-工)$的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.
X3
四,解答題(共5小題,滿分50分,每小題10分)
21(10分)(2022春?淮安期中)設(shè)
-al-∣÷a?x+a2x÷a3x+a4x+a5x+a6x+a7x÷a8x
(1)求〃0+。2+。4+〃6+。8的值;
(2)求S=(?+C?+C?+…+C駕+嚼除以9的余數(shù);
(3)求αι+202+303+444+…+8。8的值.
22.(10分)(2022春?湖北期中)甲、乙、丙、丁、戊5人并排站成一排.
(1)若甲、乙不相鄰,則有多少種不同排法?
(2)若甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊,則有多少種不同的排法?
(3)若甲不在最左,乙不在最右,則有多少種不同的排法?
23.(10分)(2022春?湖北期中)從5名男生和4名女生中選出4人去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽.
第3頁(yè)(共23頁(yè))
(1)如果選出的4人中男生、女生各2人,那么有多少種選法?
(2)如果男生中的小王和女生中的小紅至少有1人入選,那么有多少種選法?
(3)如果被選出的4人是甲、乙、丙、丁,將這4人派往2個(gè)考點(diǎn),每個(gè)考點(diǎn)至少1人,
那么有多少種派送方式?
24.(10分)(2022春?響水縣校級(jí)期中)已知二項(xiàng)式(X8
(1)求展開式的有理項(xiàng);
(2)求展開式的系數(shù)最大項(xiàng).
25.(10分)(2022春?山東月考)4個(gè)男同學(xué),3個(gè)女同學(xué)站成一排.
(1)3個(gè)女同學(xué)必須排在一起,有多少種不同的排法?
(2)任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰,有多少種不同的排法?
(3)甲、乙兩人相鄰,但都不與丙相鄰,有多少種不同的排法?
第4頁(yè)(共23頁(yè))
2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第13講:計(jì)數(shù)原理
參考答案與試題解析
?選擇題(共10小題,滿分50分,每小題5分)
1.(5分)(2022?新高考∏)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不
站在兩端,丙和丁相鄰,則不同的排列方式共有()
A.12種B.24種C.36種D.48種
【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.
【專題】計(jì)算題;整體思想;綜合法;排列組合;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】利用捆綁法求出丙和丁相鄰的不同排列方式,再減去甲站在兩端的情況即可求
出結(jié)果.
【解答】解:把丙和丁捆綁在一起,4個(gè)人任意排列,有A^.A:=48種情況,
32
甲站在兩端的情況有C!AA=24種情況,
2?2
???甲不站在兩端,丙和丁相鄰的不同排列方式有48-24=24種,
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用,本題運(yùn)用排除法,可以避免討論,簡(jiǎn)化計(jì)算,屬于
基礎(chǔ)題.
2.(5分)(2022?北京)若(2x-1)4=6Γ4X4+6f3X3+tZ2X2÷Λix+^o?則QO+Q2+Q4=()
A.40B.41C.-40D.-41
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】由題意,利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,求出“0和42,以及的值,可得結(jié)論.
【解答】解:(2χ-l)4=α4χ4+α3χ3+q2χ2+α]χ+
??4o+α2+α4=-24=1+24+16=41,
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.
(5分)(2022?山東模擬)在(x2-2x+y)‘的展開式中,含x5y2項(xiàng)的系數(shù)為()
A.-480B.480C.-240D.240
第5頁(yè)(共23頁(yè))
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】計(jì)算題;整體思想;綜合法;二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】利用二項(xiàng)式定理求解.
【解答】解:(χ2-2χ+y)6的展開式中,
480.r5√,
.?.含X5/項(xiàng)的系數(shù)為-480,
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)式定理,屬于基礎(chǔ)題.
4.(5分)(2022?廣東三模)將5名核酸檢測(cè)工作志愿者分配到防疫測(cè)溫、信息登記、維持
秩序、現(xiàn)場(chǎng)指引4個(gè)崗位,每名志愿者只分配1個(gè)崗位,每個(gè)崗位至少分配1名志愿者,
則不同分配方案共有()
A.120種B.240種C.360種D.480種
【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.
【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;排列組合;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】5名核酸檢測(cè)工作志愿者先選2人一組,然后4組全排列即可.
【解答】解:5名核酸檢測(cè)工作志愿者選2個(gè)1組,有C52種方法,然后4組進(jìn)行全排列,
有種,
24
共有C5>14=240種,
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列組合的應(yīng)用,利用先分組后排列的方法是解決本題的關(guān)鍵,
是基礎(chǔ)題.
5.(5分)(2022?道里區(qū)校級(jí)三模)舉世矚目的第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日至2月20
日在北京舉辦,某高校甲乙丙丁戊5位大學(xué)生志愿者前往/、B、C、。四個(gè)場(chǎng)館服務(wù),
每個(gè)場(chǎng)館至少分配一位志愿者.由于工作需要甲同學(xué)不能去Z場(chǎng)館,則所有不同的安排
方法種數(shù)為()
A.72B.108C.180D.216
【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.
【專題】計(jì)算題;方程思想;綜合法;排列組合;邏輯推理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】分兩種情況討論:①/場(chǎng)館安排1人;②/場(chǎng)館安排2人.再安排其余三個(gè)場(chǎng)
第6頁(yè)(共23頁(yè))
館的志愿者,結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.
【解答】解:分以下兩種情況討論:
①若/場(chǎng)館安排1人,則其余4人分為三組,每組人數(shù)分別為2、1、1,分為三組后再
分配給8、C、。三個(gè)場(chǎng)館,
此時(shí),安排方法種數(shù)為
②若4場(chǎng)館安排2人,則其余三個(gè)場(chǎng)館各安排1人,此時(shí),安排方法種數(shù)為cjA9=36?
綜上所述,不同的安排方法種數(shù)為144+36=180種.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列組合及其相關(guān)計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.
6.(5分)(2022春?番禺區(qū)校級(jí)期中)己知(2-X2)(l+2x)4的展開式中含小的項(xiàng)的系數(shù)
為()
A.56B.60C.68D.72
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】計(jì)算題:整體思想;綜合法;二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】將二項(xiàng)式前一項(xiàng)展開并乘入后面的多項(xiàng)式,根據(jù)(l+2x)4展開式的通項(xiàng),分別
求得各項(xiàng)中χ3的項(xiàng)的系數(shù),相加即可.
【解答】解:(2-X2)(l+2x)4=2(l+2x)4-X2(l+2x)4,
其中(l+2x)4展開式的通項(xiàng)Tr+]=%.(2χ)r=C4?2r?χ^
.Z的項(xiàng)的系數(shù)為2C;23_C:,2=56,
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)式定理,屬于基礎(chǔ)題.
7.(5分)(2022?濟(jì)南二模)(2+x)(x+A)it的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為()
X
A.2B.6C.8D.12
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)即可求解.
【解答】解:根據(jù)二項(xiàng)式定理可得二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為:2Xc^χ2χ(工)2=12,
4Y
故選:D,
第7頁(yè)(共23頁(yè))
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
8.(5分)(2022?道里區(qū)校級(jí)二模)已知(√W招)11的展開式中,第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第
3項(xiàng)的系數(shù)之比為工,則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第()項(xiàng).
4
A.3B.4C.5D.6
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;排列組合;二項(xiàng)式定理;邏輯推理:數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】直接利用展開式的運(yùn)算和組合數(shù)的運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果.
【解答】解:根據(jù)二項(xiàng)展開式:T[+[=c:?(F)n^r.2r.號(hào))r,
故第三項(xiàng)的系數(shù)為C:,22,倒數(shù)第三項(xiàng)C'?.2”-2,
C2.221
第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)之比為工,則,a----------工
4Q∏-2.2n-24
解得n=6.
故展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng).
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):二項(xiàng)展開式,組合數(shù)的運(yùn)算,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力
和數(shù)學(xué)思維能力,屬于基礎(chǔ)題.
9.(5分)(2022?廣西模擬)“雙減”政策實(shí)施以來(lái)各地紛紛推行課后服務(wù)“5+2”模式,即
學(xué)校每周周一至周五這5天要面向所有學(xué)生提供課后服務(wù),每天2個(gè)小時(shí).某校計(jì)劃按
照“5+2”模式開展“學(xué)業(yè)輔導(dǎo)”,“體育鍛煉”,“實(shí)踐能力培養(yǎng)”三類課后服務(wù),并且每
天只開設(shè)一類服務(wù),每周每類服務(wù)的時(shí)長(zhǎng)不低于2小時(shí),不高于6小時(shí),那么不同的安
排方案的種數(shù)為()
A.60B.90C.150D.210
【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.
【專題】計(jì)算題:分類討論;綜合法;排列組合;邏輯推理.
【分析】由題意,可分成兩類,一類是有一科占三天共6小時(shí),二類是有兩科各占兩天,
各有4小時(shí),由此解決問(wèn)題,按照先選科,再選天的步驟進(jìn)行即可.
【解答】解:若有一科占三天,共6小時(shí)服務(wù)時(shí)間,則有C!?C>AW=60種安排方案;
J/
若有兩科各占兩天,各有4小時(shí)服務(wù)時(shí)間,貝IJ有cg?c∕cW=9o種安排方案;
J33
第8頁(yè)(共23頁(yè))
故共有60+90=150種安排方案.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用問(wèn)題,屬于中檔題.
10.(5分)(2022春?灌云縣校級(jí)月考)已知(3x7)(x+l)"的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之
和為64,則展開式中含有一的項(xiàng)系數(shù)為()
A.20B.30C.45D.60
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;二項(xiàng)式定理:數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】令X=1,可由各項(xiàng)系數(shù)和可得〃;利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,令r=3和2即
可求得結(jié)果.
【解答】解:令X=1,則2?2"=64,解得:n=5;
則(x+l)"展開式的通項(xiàng)為:αχ5~r,
令5-廠=2,解得:r=3,貝∣J3xC>5^r=3C、3=30χ3;
令5-r=3,解得:r=2,貝U-LCEX3=-]()*3;
,展開式中含有X3的項(xiàng)的系數(shù)為30-10=20.
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性
質(zhì),屬基礎(chǔ)題.
二.多選題(共5小題,滿分25分,每小題5分)
1021,
(多選)11.(5分)(2022?如皋市模擬)設(shè)(l+2χ)=a0+a1x+a2x+???+a10χ°
則下列說(shuō)法正確的是()
A.αo=l
B,10
aι+a2+??→a10=3-l
C.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)
D.。2=9。1
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】方程思想;轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法:二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】利用賦值法以及二項(xiàng)式定理求出對(duì)應(yīng)系數(shù)進(jìn)行判斷即可.
第9頁(yè)(共23頁(yè))
【解答】解:令X=0,得αo=l,故/正確,
令X=1,得αo+αi+α2+…+αιo=(1+2)∣°=3∣°,
即α1+α2+…+αιo=3∣°-1,故8正確,
展開式共11項(xiàng),二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第6項(xiàng),故C錯(cuò)誤,
。2=「j02?22=180,ioXPz?I=20,則α2=9αι成立,故Z)正確,
故選:ABD.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,利用賦值法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵,是
基礎(chǔ)題.
(多選)12.(5分)(2022?茂名模擬)己知(2χ+?L)n的展開式共有13項(xiàng),則下列說(shuō)法
山
中正確的有()
A.所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2口
B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為3口
C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng)
D.有理項(xiàng)共5項(xiàng)
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】整體思想;綜合法;二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】由二項(xiàng)式定理結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的求法及展開式有理項(xiàng)問(wèn)題逐一判斷即可得解.
【解答】解:由(2χ七/一)11的展開式共有13項(xiàng),則〃=12,
對(duì)于選項(xiàng)由展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為2%則所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2”,即選
項(xiàng)Z錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)8,令x=l,得(2Xn?)∣2=3∣2,即所有項(xiàng)的系數(shù)和為3∣2,即選項(xiàng)8正
確;
對(duì)于選項(xiàng)C,由(2x七J-)11的展開式共有13項(xiàng),則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng),即
選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
第10頁(yè)(共23頁(yè))
對(duì)于選項(xiàng)。,由(2x+」一)12展開式的通項(xiàng)公式為Tf=212',rχl2~q-,又OWrWI2,
3/-t-12
Vx
則廠=0、3、6、9、12時(shí),12-冷€工,即展開式有理項(xiàng)共5項(xiàng),即選項(xiàng)。正確,
故選:BD.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理,重點(diǎn)考查了二項(xiàng)式系數(shù)、展開式有理項(xiàng)問(wèn)題,屬基礎(chǔ)
題.
2
(多選)13.(5分)(2022春?萊陽(yáng)市校級(jí)月考)設(shè)(2x+l)6=αo+m(x+l)+a2(x+l)+???
+o6(x+l)6,下列結(jié)論正確的是(〉
A.ao-a?+a2~a3+a4-a5+?6=36
B.42+α3=-IOO
C.αι.?2,。3,。4,as,。6中最大的是及
D.當(dāng)x=999時(shí),(2x+l)6除以2000的余數(shù)是1
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
66
【分析】將已知等式轉(zhuǎn)化為(2x+l)6=[2(x+l)-1]=[1-2(x+l)]=α0+αι(x+l)
+°2(x+l)2+??+aβ(x+l)6,利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可求得αι,a2,“3,…,°6,
再逐項(xiàng)判斷即可求解.
66
【解答】解:由(2x+l)6=[2(x+l)-1]=[1-2(x+l)]=α0+αι(x+l)+a2(x+l)
2+-+aβ(x+l)6)
A,令x=-2,貝IJao-αι+°2…-as+aβ=36>故/正確,
B,通項(xiàng)公式為刀+1=CW-2(X+1)Y=量(-2)'(x+l)I
貝!|.2=22「2=60,ti3=-23∩3=-160,'.a2+a3=6O-160=-100,故5正確,
L,6^6
C,'.Li=「1(-2)=-12,θ2=6O,。3=-160,a4=「4(-2)4=240,“5=「5(-
t?6^6^6
2)5=-192,。6=¢6(-2)6=64,
.?.最大的是“4,故C錯(cuò)誤,
D,當(dāng)x=999時(shí),x+l=1000,a?(x+l),aι(x+l)2,-,aβ(x+l)6都能被2000整除,
而no='O=l,所以(2x+l)6除以2000的余數(shù)是1,故。正確.
t,6
故選:ABD.
第11頁(yè)(共23頁(yè))
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理,將已知等式轉(zhuǎn)化為(2x+l)6=[2(x+l)-1]6=[1-2
2
(X+1)a="。+。](X+1)+a2(X+1)+-+aβ(x+l),是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.
(多選)14.(5分)(2022春?船營(yíng)區(qū)校級(jí)月考)關(guān)于
99299
(2x-l)=a0+a1x+a2x÷???+a99x-下列說(shuō)法正確的是()
A.4i+Q2+Q3+…+〃99=1
B99
-a1-a2+a3-?-+a99=3-l
「§99
c-a0+a2+a4+^"+a98=-2―
D.。1+2。2+3。3+…+99。99=198
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】計(jì)算題;對(duì)應(yīng)思想;綜合法;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用;二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】令二項(xiàng)式中的x=0、x=l,可判斷選項(xiàng)/,再令二項(xiàng)式中的X=-1,可判斷選
項(xiàng)8,聯(lián)合二項(xiàng)式中的x=l、X=-1時(shí)的表達(dá)式可判斷選項(xiàng)C,利用導(dǎo)數(shù)判斷選項(xiàng)D?
【解答】解:令x=0得(-1)99=αo,即αo=-l,
令X=I得(2-1)99=ao+a∣+a2jt-a3+a4+.......+a99,①
即0o+m+α2+03+"4+.......+α99=1>
故m+α2+α3+α4+........+499=2,
故選項(xiàng)/錯(cuò)誤;
令X=_1得(-2-I)99=ao-a?+a2-a3+a4+..........499,②
故a?-a2+a3-a4..........+α99=_I+399,
故選項(xiàng)B正確;
①+②得,
1-399
-
a0+a2+a4+??'+a98=^,
故選項(xiàng)C正確;
99299,
?:(2χ-l)=a0+a1x+a2x÷'"÷a99x
982398
???求導(dǎo)得99X2(2r-1)=l÷2^2r+3tZ3X+4^+........÷99Λ99X,
令X=I得〃1+2。2+3。3+…+99Q99=198,
故選項(xiàng)D正確;
故選:BCD.
第12頁(yè)(共23頁(yè))
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.
(多選)15.(5分)(2022?深圳模擬)已知(2-x)8=ao+a?x+av^?^t-αsx81則()
A.ao=28B.α1+α2+…+。8=1
C.?a1∣+∣Λ2∣+∣<23∣+,??+∣αs∣=38D,αι+2α2+343+…+8.8=-8
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】利用賦值法可判斷/8C,對(duì)X求導(dǎo)后利用賦值可判斷D
【解答】解:取x=0,可得ao=28,故Z正確;
即X=1,可得“ι+α2+…+α8=1-故8不正確;
取x=-l,可得IalI+㈤+向+…+隧|=38-2?,故C不正確;
對(duì)已知等式兩邊對(duì)X求導(dǎo)數(shù)可得-8(2-x)7=α1+2a2x+*??+8agx7,
取x=l,可得m+2.2+3"3+…+848=-8,故。正確.
故選:AD.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查賦值法求代數(shù)式的值,屬中檔題.
≡.填空題(共5小題,滿分25分,每小題5分)
16.(5分)(2022?浙江)已知多項(xiàng)式(x+2)(x-1)4=ao+a?x+avc1+avcl+a4x^+a5r',貝∣J"2
—8,a1+α2÷Λ3+β4÷<75—~2.
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】整體思想;綜合法;二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】。2相當(dāng)于是用(X+2)中的一次項(xiàng)系數(shù)乘以(X-I)4展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)加
上(x+2)中的常數(shù)項(xiàng)乘以(X-I)4展開式中的二次項(xiàng)系數(shù)之和,分別令χ=o,X=I,
即可求得a?+a2+a3+a4+a5的值.
4432
【解答】解:V(?-?)=x-4X+6X-4X+?,
∕?C12—~4+12=8;
令X=0,則〃o=2,
令X=1,則ao+a1+a2+a3+α4÷ɑ5=0,
.'.41+42+03+44+05=-2.
故答案為:8,-2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
第13頁(yè)(共23頁(yè))
17.(5分)(2022?新高考I)(1-工)(x+y)8的展開式中χ276的系數(shù)為-28(用數(shù)
X
字作答).
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】方程思想;轉(zhuǎn)化法;二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】由題意依次求出(x+y)8中J.,χ3y5項(xiàng)的系數(shù),求和即可.
【解答】解:(x+y)8的通項(xiàng)公式為7μι=C8d-y,
5
C53
當(dāng)r=6時(shí),,當(dāng)r=5時(shí),T68Xy
(1-?)(χ+y)8的展開式中X2/的系數(shù)為哈28-56=-28?
XO(4,??O'
故答案為:-28.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.
Q8
18.(5分)(2022?寧河區(qū)校級(jí)模擬)二項(xiàng)式(爽一改1_)的展開式中,常數(shù)項(xiàng)是7.
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】求出展開式的通項(xiàng)公式,然后令X的指數(shù)為0,進(jìn)而可以求解.
8-4r
【解答】解:展開式的常數(shù)項(xiàng)為Tf=q(★)8=(得_)「=(7/(一/)`M,
令8-n=0,解得r=2,
3
所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為Cg?(1)2=7,
故答案為:7.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
5
21
19.(5分)(2022?河西區(qū)校級(jí)模擬)在(x-l)(2X-Λ)的展開式中,含X項(xiàng)的系數(shù)為一
X
40.
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】求出展開式的含X的項(xiàng),再求出X項(xiàng)的系數(shù).
【解答】解:展開式中含X的項(xiàng)為"?c"2χ)2(L)3-iXcW(2χ)3(_L)2=-40x,
DYOγ
故X的系數(shù)為-40,
第14頁(yè)(共23頁(yè))
故答案為:-40.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
20.(5分)(2022?湛江二模)(81+工)(x-1)5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為__烏_.
X3-81―
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;二項(xiàng)式定理;邏輯推理.
【分析】將原式化為81(χ-l)5+l(?-?)5,再利用組合的知識(shí)求解.
3x3
【解答】解:原式=81(x-1)5+A(X-1)5,
3x3
故原式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為81XCc(二)5Jc]χ?(」)4=_22.
53X5381
故答案為:J2
81
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
四.解答題(共5小題,滿分50分,每小題10分)
21(10分)(2022春?淮安期中)設(shè)
1
/n-?ι\8_..2.?,4I5.6,I.8
UxI)-a0+a?x+a2x÷a3x+a4x+a5x÷a6x+a7x+a8x
(?)求。0+。2+。4+。6+。8的值;
⑵求S=C;7+喙+*+…+C符+嚼除以9的余數(shù);
(3)求41+2〃2+3。3+4。4+…+8四的值.
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】(1)分別令X=1,X=-1,可得。0+。2+。4+〃6+。8的值;
(2)根據(jù)S=CJ7+喙+*+…+啜+嚼=(I+1)27^1=89^1=<9-1)9-1,按
IΛΛI(xiàn)MI乙rCaI
照二項(xiàng)式定理展開,可得結(jié)論,
(3)對(duì)所給的等式求導(dǎo)數(shù),再令X=1,可得αι+2α2+343+…+8々8的值.
【解答】解:(1)*.*(3x-1)8=Qo+mχ+α2x2+α3χ3?ι----i-ɑs?8,
令X=1,可得ao+a1+6f2+^3÷?*φ+^8=28(1),
令X=-1,可得40-41+Q2^“3+…+48=4*②,
88
①+②并除以2可得,40+。2+〃4+。6+。8=—~~苧一,
第15頁(yè)(共23頁(yè))
(2)由于S=C%+吸+*+???+C駕+嚼=(1+1)27-1=227-1=89-I=(9-1)9
乙/4rc?I&Ic?I
-1
=pO?9^-pl?9^÷r,2?9^-p3?9^÷???÷pθa9-09-?,
υ9L,9υ9υ9υ9υ9
顯然,除了最后二項(xiàng)以外,其余的各項(xiàng)都能被9整除,故S除以9的余數(shù),即-1-1除
以9的余數(shù),
故S除以9的余數(shù)為7,
2
(3)對(duì)于(3χ-1)8=αo+αιχ+α2x+α3χ3+…+αgχ8,
兩邊對(duì)X求導(dǎo)數(shù)可得24(3x-1)7=αι+202x+3α3x2+…+84?r7,
再令x=l,可得“1+2。2+3。3+…+8"8=24X27.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公
式,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),屬于中檔題.
22.(10分)(2022春?湖北期中)甲、乙、丙、丁、戊5人并排站成一排.
(1)若甲、乙不相鄰,則有多少種不同排法?
(2)若甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊,則有多少種不同的排法?
(3)若甲不在最左,乙不在最右,則有多少種不同的排法?
【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;排列組合;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】(1)利用不相鄰問(wèn)題插空法進(jìn)行求解,
(2)利用相鄰問(wèn)題捆綁法進(jìn)行求解,
(3)利用排除法進(jìn)行求解即可.
【解答】解:⑴先排其他3人,3人之間有4個(gè)空,然后利用插空法排甲乙,則有MAj
=72,
(2)甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊,則甲乙看作一個(gè)元素,且甲乙只有一種位置關(guān)系,
則有A:=24,
(3)當(dāng)甲在最左時(shí)有A:=24,當(dāng)乙在最右邊時(shí)有A:=24,當(dāng)甲在最左,乙在最右時(shí)有
43,
3
則甲不在最左,乙不在最右,則有AE-Aj-A:+A,=7&
第16頁(yè)(共23頁(yè))
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題,利用相鄰問(wèn)題捆綁法,不相鄰問(wèn)題插空法以及
復(fù)雜問(wèn)題排除法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵,是中檔題.
23.(10分)(2022春?湖北期中)從5名男生和4名女生中選出4人去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽.
(1)如果選出的4人中男生、女生各2人,那么有多少種選法?
(2)如果男生中的小王和女生中的小紅至少有1人入選,那么有多少種選法?
(3)如果被選出的4人是甲、乙、丙、丁,將這4人派往2個(gè)考點(diǎn),每個(gè)考點(diǎn)至少1人,
那么有多少種派送方式?
【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.
【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;排列組合;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】(1)用組合知識(shí)直接求解:
(2)先求出若小王和小紅均未入選時(shí)的選法,從而求出如果男生中的小王和女生中的小
紅至少有1人入選時(shí)的選法;
(3)分兩種情況進(jìn)行求解,再使用分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.
【解答】解:⑴從5名男生中選2名,4名女生中選2人,屬于組合問(wèn)題,WCi=60,
故有60種選法:
(2)若小王和小紅均未入選,則有c;=35種選法,故男生中的小王和女生中的小紅至
少有1人入選,則有C,-¢4=126-35=91種選法;
(3)若2個(gè)考點(diǎn)派送人數(shù)均為2人,則有CiCW=6種派送方式,
若1個(gè)考點(diǎn)派送1人,另1個(gè)考點(diǎn)派送3人,則有C:CWA^=8種派送方式,故一共有
8+6=14種派送方式.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩大計(jì)數(shù)原理及組合的應(yīng)用.考查了定義法,間接法,邏輯推理
能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.本題屬基礎(chǔ)題.
24.(10分)(2022春?響水縣校級(jí)期中)已知二項(xiàng)式&
(1)求展開式的有理項(xiàng);
(2)求展開式的系數(shù)最大項(xiàng).
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.
【專題】方程思想;綜合法;二項(xiàng)式定理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
第17頁(yè)(共23頁(yè))
【分析】(1)先寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng),再令8-∣r為整數(shù),解出r的值,然后代回
通項(xiàng)公式,即可得有理項(xiàng);
^c^∣)r>cΓ1φr+1
(2)假設(shè)第什1項(xiàng)的系數(shù)最大,由{解出r的值,即可.
c^∣)r<cΓ1(?)r-1
【解答】解:(1)項(xiàng)式(X展開式的通項(xiàng)為
8專?
一「工θ-r3r且,
τ?r+1^^8x(?),OWrW8WN*,
當(dāng)8-∣r為整數(shù)時(shí),展開式中取得有理項(xiàng),即r=0或r=3或r=6,
所以Tl=X8,T4=c?4(^∣)3=7x*丁7=4°?,
故展開式的有理項(xiàng)有7x3?.
16
cθg)r≥Cδ+1(^?)r+11
解
(2)假設(shè)第什1項(xiàng)的系數(shù)最大,貝必,即《產(chǎn)H?》;解
c?φr<cΓ1φr-1
得2?,
因?yàn)镺W廠W8且r∈N*,所以廠=2或廠=3,
1616
23434
所以T3=(?3(y)=7χ'T4=CgX(-∣)=7X-
16
故系數(shù)最大的項(xiàng)為7χT,7x4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理,熟練掌握二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,理解有理項(xiàng)與系數(shù)
最大項(xiàng)等概念是解題的關(guān)鍵,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.
25.(10分)(2022春?山東月考)4個(gè)男同學(xué),3個(gè)女同學(xué)站成一排.
(1)3個(gè)女同學(xué)必須排在一起,有多少種不同的排法?
(2)任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰,有多少種不同的排法?
(3)甲、乙兩人相鄰,但都不與丙相鄰,有多少種不同的排法?
【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.
【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;排列組合;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【分析】(1)根據(jù)據(jù)題意,分兩步進(jìn)行分析:①3個(gè)女同學(xué)進(jìn)行全排列,看成一個(gè)整體,
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②把這個(gè)整體和4個(gè)男同學(xué)進(jìn)行排列,由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案;
(2)根據(jù)題意,分兩步進(jìn)行分析:①先排4個(gè)男同學(xué),②4個(gè)男同學(xué)之間有5個(gè)空擋,
任找3個(gè)空擋把3名女同學(xué)放進(jìn)去,由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案;
(3)根據(jù)題意,先用捆綁法排甲乙,再用插空法排丙,由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.
【解答】解:(1)根據(jù)
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