高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019選擇性必修一）專題3.5直線與橢圓的位置關(guān)系-重難點題型精講

專題3.5直線與橢圓的位置關(guān)系重難點題型精講1．點與橢圓的位置關(guān)系(1)點與橢圓的位置關(guān)系：

(2)對于點與橢圓的位置關(guān)系，有如下結(jié)論：點在橢圓外+>1;

點在橢圓內(nèi)+<1;

點在橢圓上+=1.2．直線與橢圓的位置關(guān)系(1)直線與橢圓的三種位置關(guān)系

類比直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓有相離、相切、相交三種位置關(guān)系，如圖所示.

(2)利用方程討論直線與橢圓的位置關(guān)系：>0直線與橢圓相交有兩個公共點;

=0直線與橢圓相切有且只有一個公共點;

<0直線與橢圓相離無公共點.3．弦長問題(1)定義：直線與橢圓的交點間的線段叫作橢圓的弦.

(2)弦長公式：設(shè)直線l:y=kx+m交橢圓+=1(a>b>0)于，兩點，則或.4．“中點弦問題”(1)解決橢圓中點弦問題的兩種方法

①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決.

②點差法：利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.

設(shè)，，代入橢圓方程+=1(a>b>0)，得，

①②可得+=0，

設(shè)線段AB的中點為，當(dāng)時，有+=0.

因為為弦AB的中點，從而轉(zhuǎn)化為中點與直線AB的斜率之間的關(guān)系，這就是處理弦中點軌跡問題的常用方法.(2)弦的中點與直線的斜率的關(guān)系

線段AB是橢圓+=1(a>b>0)的一條弦，當(dāng)弦AB所在直線的斜率存在時，弦AB的中點M的坐標(biāo)為，則弦AB所在直線的斜率為，即.5．橢圓中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【題型1判斷直線與橢圓的位置關(guān)系】【方法點撥】結(jié)合具體條件，根據(jù)直線與橢圓的三種位置關(guān)系，進(jìn)行判斷，即可得解.【例1】1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知2b=a+c，則直線ax+by+c=0與橢圓x26+A．相交 B．相切 C．相離 D．以上三種情況均有可能【解題思路】結(jié)合題意得直線ax+by+c=0過定點1,?2，再結(jié)合點1,?2在橢圓內(nèi)部即可判斷.【解答過程】解：因為2b=a+c，所以直線ax+by+c=0可化為a2x+y所以，直線ax+by+c=0過定點1,?2，因為點1,?2在橢圓x2所以，直線ax+by+c=0與橢圓x2故選：A.【變式11】（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線y=2x?1與橢圓x29+A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【解題思路】根據(jù)直線恒過0,?1，且0,?1在橢圓內(nèi)可直接得到結(jié)論.【解答過程】∵029∵y=2x?1恒過點0,?1，∴直線y=2x?1與橢圓x2故選：A.【變式12】（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線y=kx+2與橢圓x23+y2A．63 B．?63 C．±【解題思路】直線和橢圓只有一個交點，則直線和橢圓相切，聯(lián)立直線和橢圓方程得到二次方程，二次方程只有一個解，根據(jù)＝0即可求出k的值﹒【解答過程】由y=kx+2x23由題意知Δ=12k2故選：C．【變式13】（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點(m，n)的直線與橢圓x29+A．0 B．1 C．2 D．1或2【解題思路】根據(jù)直線與圓沒有交點可得m2＋n2<4，即可判斷點(m，n)在橢圓的內(nèi)部，即可得出結(jié)論.【解答過程】∵直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點，∴4m2+n2>2，∴m2＋∴點(m，n)在橢圓x2∴過點(m，n)的直線與橢圓x2故選：C.【題型2弦長問題】【方法點撥】①解決弦長問題，一般運用弦長公式.而用弦長公式時，若能結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系“設(shè)而不求”，可大大簡化運算過程.②涉及弦長問題，應(yīng)聯(lián)立直線與橢圓的方程，并設(shè)法消去未知數(shù)y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到(或)，代入到弦長公式即可.【例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:x24+y23=1的左、右焦點分別為F1、F2，過F2且斜率為1的直線lA．247 B．127 C．122【解題思路】利用弦長公式求解即可.【解答過程】設(shè)直線AB方程為y=x?1，聯(lián)立橢圓方程x整理可得：7x2?8x?8=0則x1+xAB=1+k2故選：A.【變式21】（2021·甘肅省高二期中（理））已知斜率為1的直線l過橢圓x24+y2=1的右焦點，交橢圓于A．45 B．65 C．85【解題思路】根據(jù)題意求得直線l的方程，設(shè)Ax1,【解答過程】解：由橢圓P得，a2=4,b所以右焦點坐標(biāo)為?3,0，則直線2的方程為設(shè)Ax聯(lián)立y=x?3x24+則x1所以AB=即弦E長為85故選：C.【變式22】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線y=2x+m與橢圓C:x25+y2=1相交于A,B兩點，OA．54221 C．5427 【解題思路】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化簡，得到韋達(dá)定理，由弦長公式求得AB，由O到直線AB的距離d=|m|5，表示出△AOB的面積，利用基本不等關(guān)系求得最大值，從而求得此時的【解答過程】由y=2x+mx25設(shè)A(x1,y1)，|AB|=1+22又O到直線AB的距離d=|m|則△AOB的面積S=12d?|AB|=當(dāng)且僅當(dāng)m2=21?m2，即此時，|AB|=10故選：A.【變式23】（2021·江西·高安中學(xué)高二期末（文））過橢圓T:x22+y2=1上的焦點F作兩條相互垂直的直線l1、l2，l1A．833,33 B．823【解題思路】當(dāng)直線l1、l2有一條斜率不存在時，可直接求得AB+CD=32，當(dāng)直線l1、l2的斜率都存在且不為0時，不妨設(shè)直線l1的斜率為k，則直線l2的斜率為?1k，則可得直線【解答過程】當(dāng)直線l1、l2有一條斜率不存在時，不妨設(shè)直線此時AB=22，所以AB+當(dāng)直線l1、l2的斜率都存在且不為0時，不妨設(shè)直線l1的斜率為k不妨設(shè)直線l1、l所以直線l1:y=k(x?1)，直線聯(lián)立l1與橢圓Ty=k(x?1)x2Δ=(?4x1所以AB=1+同理CD=所以AB+令1+k2=t，因為k≠0所以AB+CD=令y=2+1因為t>1，所以1t所以y∈2,94所以AB+綜上AB+CD的取值范圍是故選：C.【題型3橢圓的“中點弦”問題】【方法點撥】根據(jù)“中點弦”問題的兩種解題方法進(jìn)行求解即可.這三種方法中又以點差法最為常用，點差法中體現(xiàn)的設(shè)而不求思想還可以用于解決對稱問題，因為這類問題也與弦中點和斜率有關(guān).與弦中點有關(guān)的問題有平行弦的中點軌跡、過定點且被定點平分的弦所在的直線方程等.這類問題的解決，從不同的角度體現(xiàn)了判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、點差法、橢圓的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識在直線與橢圓的位置關(guān)系中的作用，解法多、方法活.【例3】（2020·重慶高二期末）已知橢圓C:x28+y24=1，過點P(2,1)的直線交橢圓于A，B兩點，若A．4113 B．2153 C．【解題思路】設(shè)A(x1,y1),B(x2,【解答過程】由題,設(shè)A(x1,y1),B(x則{x12即y1?y則直線AB為y?1=?(x?2),即y=?x+3,所以聯(lián)立{x28+y所以|AB|=1+故選：D.【變式31】（2022·四川·高二階段練習(xí)（文））已知橢圓C：x24+y22=1內(nèi)一點M1,12，直線l與橢圓C交于A．橢圓的焦點坐標(biāo)為2,0，?2,0 B．橢圓C的長軸長為4C．直線l的方程為2x+2y?3=0 D．AB【解題思路】根據(jù)橢圓方程求得a,b,c，從而確定AB選項的正確性.利用點差法確定C選項的正確性.利用弦長公式確定D選項的正確性.【解答過程】依題意橢圓C：x2所以a=2,b=2所以橢圓的焦點坐標(biāo)為?2橢圓的長軸長為2a=4，B選項正確.設(shè)Ax則x1兩式相減并化簡得?2由于M1,12所以?24=12所以直線AB的方程為y?12x+2y?3=0x24+yx1所以AB=故選：A.【變式32】（2022·河北·高二階段練習(xí)（文））已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為A．52 B．25 C．52【解題思路】設(shè)兩點的坐標(biāo)A(x1,y1)，B(x2,y2)【解答過程】設(shè)A(x1,將兩點坐標(biāo)代入橢圓方程，x12a由中點坐標(biāo)(1,?1)，焦點坐標(biāo)F(3,0)得0?(?1)3?1又由a2?b2=9所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x218+y29=1，直線AB的方程為x?2y?3=0，聯(lián)立方程組，消去y弦長|AB|=1+故選A.【變式33】（2022·內(nèi)蒙古·高三期末（文））設(shè)橢圓的方程為x22+y24=1，斜率為k的直線不經(jīng)過原點O，而且與橢圓相交于A，BA．直線AB與OM垂直；B．若直線方程為y=2x+2，則|AB|=4C．若直線方程為y=x+1，則點M坐標(biāo)為(D．若點M坐標(biāo)為(1,1)，則直線方程為【解題思路】利用橢圓中中點弦問題的處理方法，結(jié)合弦長的求解方法，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【解答過程】不妨設(shè)A,B坐標(biāo)為x1,yy1+y2x對A：kAB×k對B：若直線方程為y=2x+2，聯(lián)立橢圓方程2x可得：6x2+8x=0，解得x則AB=169對C：若直線方程為y=x+1，故可得y0x0×1=?2，即解得x0=?13,對D：若點M坐標(biāo)為(1,1),則11又AB過點(1,1)，則直線AB的方程為y?1=?2(x?1)，即2x+y?3=0，故故選：D.【題型4橢圓中的面積問題】【方法點撥】橢圓中的面積問題主要有三角形面積和四邊形面積問題，三角形面積問題的解題步驟是：聯(lián)立直線與橢圓方程，求出弦長，再利用點到直線的距離公式求出三角形的高，利用三角形面積公式求解即可；四邊形面積問題可化為兩個三角形面積來求解.【例4】（2022·江西·高二開學(xué)考試）已知直線x+3y?7=0與橢圓x29+y2b2=10<b<3相交于A，B兩點，橢圓的兩個焦點分別是F1，A．2 B．3 C．23 D．【解題思路】根據(jù)線段AB的中點為C1,2，利用點差法求得b【解答過程】解：設(shè)Ax則x1所以y1即?1解得c2所以S△C故選：C.【變式41】（2021·河南·高二階段練習(xí)（文））已知橢圓C:x22+y2=1的左?右焦點分別是F1，F(xiàn)2，過F1的直線l:y=x+m與橢圓A．43 B．83 C．169【解題思路】由題知F1?1,0，直線l:y=x+1，進(jìn)而與橢圓方程聯(lián)立得y1+y【解答過程】解：由題意可得F1?1,0，F(xiàn)2聯(lián)立y=x+1x22設(shè)Ax1,則y1+y從而y1因為F1所以△ABF2的面積是故選：A.【變式42】（2021·四川·高二期末（文））過原點O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓x22+y2=1交于A、C與B、A．83 B．42 C．22【解題思路】直線AC、BD與坐標(biāo)軸重合時求出四邊形面積，與坐標(biāo)軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【解答過程】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個頂點為橢圓頂點時，而a=2四邊形ABCD的面積S=1當(dāng)直線AC斜率存在且不0時，設(shè)其方程為y=kx，由y=kxx2+2y2設(shè)A(x1,|AC|=1+直線BD方程為y=?1kx則有S=12|AC|?|BD|=4當(dāng)且僅當(dāng)k2=1k2，即k=?1所以四邊形ABCD面積最小值為83故選：A.【變式43】（2021·江蘇·高二單元測試）已知A，F(xiàn)分別是橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的下頂點和左焦點，過A且傾斜角為60°的直線l分別交x軸和橢圓C于M，NA．1653 B．853 C．【解題思路】根據(jù)已知條件求得a,b,c，由此求得△FMN的面積.【解答過程】由題意得，A0，?b因為直線AM的傾斜角為60°，所以直線MN的方程為y=3把y=35b代入橢圓方程解得x因為A在直線MN上，所以35b=3又a2=b2+令y=3x?b=0，則Mb因為M為橢圓的右焦點，所以FM=2c由橢圓的定義可知，NF+因為△FMN的周長為6，所以2a+2c=6，所以ba=32，所以a=2c，c=1，所以a=2，所以S△FAN故選B．【題型5橢圓中的定點、定值、定直線問題】【例5】（2022·廣東廣州·一模）已知橢圓C:x28+y24=1，直線l：y=kx+n(k>0)(1)若點A是橢圓C的右頂點，當(dāng)n=0時，證明：直線AM和AN的斜率之積為定值；(2)當(dāng)直線l過橢圓C的右焦點F時，x軸上是否存在定點P，使點F到直線NP的距離與點F到直線MP的距離相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【解題思路】(1)聯(lián)立直線方程和橢圓方程得(1+2k2)x2(2)由題意可得直線l的方程為y=k(x?2)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程得(1+2k2)x2?8k2x+8(k2【解答過程】（1）證明：因為n=0，所以直線l：y=kx，聯(lián)立直線方程和橢圓方程：y=kxx2+2設(shè)M(x則有x1所以y1又因為A(22所以kAM=y所以kAM?kAN=所以直線AM和AN的斜率之積為定值?1（2）解：假設(shè)存在滿足題意的點P，設(shè)P(m,0)，因為橢圓C的右焦點F(2,0)，所以2k+n=0,即有n=?2k，所以直線l的方程為y=k(x?2).由y=k(x?2)x2+2設(shè)M(x則有x3因為點F到直線NP的距離與點F到直線MP的距離相等，所以PF平分∠MPN,所以kPM即y3x3?m+又因為k>0，所以2x代入x3即有4m?161+2解得m=4.故x軸上存在定點P(4,0)，使得點F到直線NP的距離與點F到直線MP的距離相等.【變式51】（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的方程；(2)若過點Q1,0且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在x軸的正半軸上是否存在點Tt,0，使得直線TM，TN斜率之積為定值？若存在，求出【解題思路】（1）根據(jù)題意得a＝3b，再將點1,223（2）設(shè)l的方程為x＝my＋1，Mx1,y1【解答過程】（1）解：由題意得a＝3b，故橢圓C為x2又點1,223在C上，所以19b故橢圓C的方程即為x2（2）解：由已知知直線l過Q1,0，設(shè)l的方程為x＝my聯(lián)立兩個方程得x29+y2Δ=4m2設(shè)Mx1,y1kTM?k將（*）代入上式，可得：?8要使kTM?kTN為定值，則有9?t2=0此時kTM∴存在點T3,0，使得直線TM與TN斜率之積為定值?29【變式52】（2022·高三階段練習(xí)）已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸，y軸，且過A(?2,0),B1,(1)求橢圓C的方程；(2)F為橢圓C的右焦點，直線l交橢圓C于P,Q（不與點A重合）兩點，記直線AP,AQ,l的斜率分別為k1,k2,k【解題思路】（1）結(jié)合A,B兩點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得橢圓C的方程.（2）設(shè)直線l:y=kx+m，聯(lián)立直線l的方程和橢圓C的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，利用k1+k2=?3k求得m,k【解答過程】（1）由已知設(shè)橢圓C方程為：mx代入A?2,0,B1,故橢圓C方程為x2（2）設(shè)直線l:y=kx+m,Px由y=kx+m,3x1+x又k1故k==3m?6k由k1+k故m?2km?k=0?m=2k或①當(dāng)m=2k時，直線l:y=kx+2k=kx+2，過定點A②當(dāng)m=k時，直線l:y=kx+k=kx+1，過定點?1,0，即直線l此時Δ=192所以△FPQ的周長為定值4a=8.【變式53】（2022·江蘇·高三階段練習(xí)）已知橢圓C:x25+y24=1的上下頂點分別為A，B，過點P0，3且斜率為k(k(1)設(shè)AN，BN的斜率分別為k1(2)求證：點G在定直線上.【解題思路】（1）設(shè)M(x1,y1（2）設(shè)直線PM為y=kx+3，與橢圓聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，列出韋達(dá)定理，寫出直線MB，NA的方程，聯(lián)立這兩條直線的方程，求出G點的縱坐標(biāo)，即可得出答案.【解答過程】（1）設(shè)M(x1,k1又x22所以k1（2）設(shè)PM:y=kx+3聯(lián)立4得到(4+5k∴x1+Δ=900直線MB:y=y直線NA:y=y聯(lián)立得:y+2y?2法一：y+2y?2=?5解得y=4法二：由韋達(dá)定理得x1∴y+2y?2=解得y=4所以點G在定直線y=4【題型6橢圓中的最值問題】【方法點撥】求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【例6】已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點，求△AOB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點）【解題思路】（1）根據(jù)橢圓的定義可得a=3，進(jìn)而可求其方程，（2）根據(jù)弦長公式和點到直線的距離可表達(dá)三角形的面積，結(jié)合不等式即可求解最大值.【解答過程】（1）由橢圓的定義，可知2a=解得a=3，又b2∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m，聯(lián)立橢圓方程，得5x△=36m2設(shè)Ax1,∴|AB|==2點O(0,0)到直線l:x+y?m=0的距離d=|m|∴≤6當(dāng)且僅當(dāng)15?m2=∴△AOB面積的最大值為36【變式61】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為12，過橢圓C右焦點并垂直于x軸的直線PM交橢圓C于P，M(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l交橢圓C于A，B（A，B異于點P）兩點，且直線PA與PB的斜率之積為?94，求點P到直線【解題思路】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，根據(jù)離心率和面積即可列出方程求解a2=4，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，進(jìn)行求解即可.【解答過程】（1）由題意可得Pc,b2a，∴由題意可得e=ca=∴橢圓的方程為：x2（2）解法1：由（1）可得P1,當(dāng)直線l沒有斜率時，設(shè)方程為：x=mm≠1，則A(m,y0),B(m,?y0)，此時kPA?kPB=y0?設(shè)直線l有斜率時，設(shè)Ax1,y1，Bx2Δ=64m2k2kPA?k整理可得94+k2x1x2+若k+m?32=0，則直線方程為：y?32若2k+4m+3=0，則直線方程為：y+34=kx?12，∴直線恒過定