預(yù)習(xí)04平面向量基本定理及加減數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示（八大考點(diǎn)）（原卷版）

預(yù)習(xí)04平面向量基本定理及加減、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示一、平面向量基本定理1.平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.2.基底:我們把不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底,記作3.對(duì)平面向量基本定理的理解（1）基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．（2）基底給定時(shí)，分解形式唯一．是被唯一確定的數(shù)值．二、平面向量的坐標(biāo)表示（1）平面向量的正交分解:把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量.（2）基底:在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底.（3）坐標(biāo):對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量,有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得，則有序數(shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo).（4）坐標(biāo)表示.（5）特殊向量的坐標(biāo):三、平面向量加減運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)向量則有下表文字描述符號(hào)表示加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)向量的坐標(biāo)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)已知,則四、平面向量共線的坐標(biāo)表示（1）條件:,其中；（2）結(jié)論:當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),向量共線.考點(diǎn)01基底的概念及辨析【方法點(diǎn)撥】（1）兩個(gè)向量能否作為一組基底,關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量是否共線.若共線,則不能作基底,反之,則可作基底；（2）一個(gè)平面的基底一旦確定,那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這組基底唯一線性表示出來.【例1】下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．一條直線上的所有向量均可以用與其共線的某個(gè)非零向量表示B．平面內(nèi)的所有向量均可以用此平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量表示C．平面上向量的基底不唯一D．平面內(nèi)的任意向量在給定基底下的分解式唯一【例2】已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【變式11】（多選）下列命題中是假命題的為（

）A．已知向量，則，可以作為某一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底B．若，共線，則C．已知是平面的一個(gè)基底，若，則也是該平面的一個(gè)基底D．若，，三點(diǎn)共線，則【變式12】設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【變式13】（多選）如圖所示，設(shè)是平行四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組，其中可作為該平面內(nèi)所有向量的基底的是（

）A．與 B．與 C．與 D．與考點(diǎn)02用基底表示向量【方法點(diǎn)撥】用基底表示向量的兩種方法：（1）運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止；（2）通過列向量方程或方程組的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.【例3】在中，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，記，，則（

）A． B． C． D．【例4】在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若，，則為（

）A． B． C． D．【變式21】已知D，E分別為的邊BC，AC的中點(diǎn)，且，，則為（

）A． B． C． D．【變式22】如圖，在直角梯形中，為上靠近的三等分點(diǎn)，交于．(1)用和表示；(2)求證：．【變式23】已知為等邊三角形，分別以CA，CB為邊作正六邊形，如圖所示，則（

）A． B．C． D．考點(diǎn)03平面向量基本定理的應(yīng)用【例5】如圖，與的面積之比為2，點(diǎn)P是區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例6】如圖，是等邊三角形，D在線段BC上，且，E為線段AD上一點(diǎn)，若與的面積相等，則（

）A． B． C． D．【變式31】如圖，在中，，過點(diǎn)的直線分別交直線于不同的兩點(diǎn)，記，用表示；設(shè)，若，則的最小值為．【變式32】已知P是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則面積之比為（

）A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1【變式33】在中，已知在線段上，且，設(shè)．(1)用向量表示；(2)若，求．考點(diǎn)04求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)【方法點(diǎn)撥】（1）求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置的坐標(biāo)；（2）求一個(gè)向量的坐標(biāo)時(shí),可以首先求出這個(gè)向量的始點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo),再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo).【例7】已知，，平面向量的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【例8】若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式41】已知向量，將向量繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C．0 D．1【變式42】設(shè)為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，已知，，．若，求在基下的坐標(biāo)．【變式43】如圖，已知，，，，求向量，，，的坐標(biāo)．考點(diǎn)05向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【方法點(diǎn)撥】（1）若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行；（2）若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則必須先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.【例9】（多選）已知，，下列選項(xiàng)中關(guān)于，的坐標(biāo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C．若且，則 D．【例10】已知點(diǎn)，向量，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C．或 D．或【變式51】若，求【變式52】已知P，Q分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式53】已知點(diǎn)，若點(diǎn)是線段中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.考點(diǎn)06利用線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示解決幾何問題【例11】已如點(diǎn)，，，則以，，為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)可以是.【例12】（多選）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，.當(dāng)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式61】已知在平行四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)則【變式62】在中，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，邊的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的重心坐標(biāo)為．【變式63】校考期末）已知，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.考點(diǎn)07向量共線的坐標(biāo)表示【方法點(diǎn)撥】利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式直接求解.【例13】已知向量，，則與向量共線的向量的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．【例14】已知向量，，若，則（

）A．8 B． C． D．【變式71】設(shè)向量，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．2 C． D．【變式72】（多選）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是（

）A． B．C． D．【變式73】已知向量，，.若與平行，則的值為.考點(diǎn)08由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題【方法點(diǎn)撥】（1）三點(diǎn)共線問題的實(shí)質(zhì)是向量共線問題.兩個(gè)向量共線只需滿足方向相同或相反,兩個(gè)向量共線與兩個(gè)向量平行是一致的；（2）利用向量平行證明三點(diǎn)共線需分兩步完成:①證明向量平行;②證明兩個(gè)向量有公共點(diǎn)【例15】已知，，三點(diǎn)共線，則.【例16】設(shè)，，，其中，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，則，的最小值為.【變式81】判斷下列各組三點(diǎn)是否共線：(1)，，；(2)，，；(3)，，.【變式82】在中，已知點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【變式83】已知點(diǎn)A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x).（1）求實(shí)數(shù)x的值，使向量共線;（2）當(dāng)向量共線時(shí)，點(diǎn)A，B，C，D是否在一條直線上?一、單選題1．在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．2．下列各組向量中，可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，3．若向量，，，則可用向量，表示為（）A． B．C． D．4．設(shè)向量，，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．95．若是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則下列說法中正確的是（

）A．不可以表示平面內(nèi)的所有向量；B．對(duì)于平面中的任一向量，使的實(shí)數(shù)有無數(shù)多對(duì)；C．若均為實(shí)數(shù)，且向量與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使；D．若存在實(shí)數(shù)使，則.6．在中，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題7．下列結(jié)論正確的是（

）A．一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底B．若，是單位向量)，則C．向量與共線存在不全為零的實(shí)數(shù)使D．已知A，B，P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若則8．下列條件中可以證明三點(diǎn)共線的是（

）A． B．C． D．9．已知向量，，若向量，則可使成立的可能是（

）A． B． C． D．三、填空題10．已知點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.11．已知點(diǎn)，若向量與的方向相反，則．12．已知中，D，E分別為線段AB，