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文檔簡介

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國甲卷)

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

L設(shè)集合4=x=3k+\,k&Z},B={x\x=3k+2,ksZ},為整數(shù)集,Qj(ZU6)=

()

A.{x|x=3左,左eZ}B,{x|x=3左一1,左eZ}

C.{x|x=3k-2,keZ}D.0

【答案】A

【詳解】因為整數(shù)集2=k|彳=3左,左£2}1]{8|》=3%+1,左eZ}U{x|x=3左+2,無eZ},

U=Z,所以,名(4U8)={x|x=3斤,無eZ}.

故選:A.

2.若復(fù)數(shù)(a+i)(l—ai)=2,aeR,則。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【詳解】因為(a+i)(l-0)=4一4t+1+4=2a+(l-a?)i=2,

’2。=2

所以《,2c,解得:a-\.

l-a=0

故選:C.

3.執(zhí)行下面的程序框遇,輸出的8=()

n=l,A-\,5=2

A=A+B

B=A+B

n=n+\

/輸嬴/

(結(jié)束)

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【詳解】當(dāng)〃=1時,判斷框條件滿足,第一次執(zhí)行循環(huán)體,/=1+2=3,3=3+2=5,

〃=1+1=2;

當(dāng)〃=2時,判斷框條件滿足,第二次執(zhí)行循環(huán)體,4=3+5=8,8=8+5=13,

〃=2+1=3;

當(dāng)〃=3時,判斷框條件滿足,第三次執(zhí)行循環(huán)體,4=8+13=21,5=21+13=34,

〃=3+1=4;

當(dāng)〃=4時,判斷框條件不滿足,跳出循環(huán)體,輸出8=34.

故選:B.

4.向量|町=向=一1,?=播,且彳+5+1=。,則C0sS-13-J〉=()

1224

A.一一B.一一C.-D.-

5555

【答案】D

【詳解】因為3+[+仁=0,所以1+b=~c,

即/+廬+2展萬=于,即1+1+2;)=2,所以展5=0.

如圖,設(shè)況=%礪=B,反=5,

由題知,OA=OB=1,OC=6,AOAB是等腰直角三角形,

AB邊上的高立,/。=交,

22

所以8=。。+。。=返+也=逑,

22

tanNACD=—cosNACD=

CD3M

cos(a-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-l

2

故選:D.

5.已知正項等比數(shù)列{4}中,q=1,S”為{叫前〃項和,55=553-4,則S4=()

A.7B.9C.15D.30

【答案】C

【詳解】由題知l+q+/+/+q4=5(l+q+/)-4,

即/+/=4g+4q2,即/+g2_4q_4=0,即(q—2)(g+l)(q+2)=0.

由題知q>0,所以q=2.

所以邑=1+2+4+8=15.

故選:C.

6.有60人報名足球俱樂部,60人報名乒乓球俱樂部,70人報名足球或乒乓球俱樂部,若

已知某人報足球俱樂部,則其報乒乓球俱樂部的概率為()

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

【答案】A

【詳解】報名兩個俱樂部的人數(shù)為50+60-70=40,

記“某人報足球俱樂部”為事件A,記“某人報兵乓球俱樂部”為事件8,

則P(/)=1^=*尸(/8)=404

707

4

-

明7

=-=8

所以尸(6|⑷尸⑷5

7

故選:A.

7.“siira+sin~,=l”是“5淪1+(:05£=0”的()

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

【答案】B

【詳解】當(dāng)sin?a+sin?,=1時,例如a=5,4=0但sina+cos^w0,

即sin2a+sin2f5=1推不出sina+cos/?=0;

當(dāng)sina+cos£=0時,sin2a+sin20=(-cosy3)2+sin20=1,

即sina+cos夕=0能推出sin2a+sin2B=\.

3

綜上可知,sin2tz+sin2/=1是sina+cos/=0成立的必要不充分條件.

故選:B

8已知雙曲線//叱。力>。)的離心率為-其中一條漸近線與圓

(工一2)2+3—3)2=1交于48兩點,則|[6|=()

.175?245475

A.—Bn.——C.

555丁

【答案】D

【詳解】由《=逐,則4=土之=1+1=5,

aa~a

解得2=2,

a

所以雙曲線的一條漸近線不妨取y=2x,

則圓心(2,3)到漸近線的距離d=量-:=*,

所以弦長|481=21戶—d?=2

故選:D

9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù),共服務(wù)星期六、星期天兩天,每天從中任選兩人參加服務(wù),

則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為()

A.120B.60C.40D.30

【答案】B

【詳解】不妨記五名志愿者為a,b,c,d,e,

假設(shè)。連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù),再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服

務(wù),共有A;=12種方法,

同理:b,c,d,e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù),也各有12種方法,

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選:B.

10.已知/(X)為函數(shù)y=cos(2x+.)向左平移:個單位所得函數(shù),則夕=/(x)與

y='彳一,的交點個數(shù)為()

22

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

4

TT

【詳解】因為yCOSX

=|2+£向左平移一個單位所得函數(shù)為

6

所以/(x)=-sin2x,

與,x=\^處/(X)與>=的

大小關(guān)系,

當(dāng)X暫時,3兀+41

kj

當(dāng)》=四時,

4

當(dāng)彳=乂時,

4

所以由圖可知,/卜)與歹=!》一;的交點個數(shù)為3.

故選:C.

II.在四棱錐P—力88中,底面Z8C。為正方形,AB=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,

則APBC的面積為()

A.2V2B.3亞c.40D.572

【答案】C

【詳解】法一:

連結(jié)交于。,連結(jié)尸。,則。為/C,8。的中點,如圖,

5

因為底面N8C7)為正方形,48=4,所以AC=BD=4yR,則OO=CO=2J5,

又PC=PD=3,PO=OP,所以△尸£>。三APCO,則NPOO=NPCO,

又PC=PD=3,4C=BD=46,所以APDB=APCA,則尸/=尸6,

在△&(7中,尸。=3,/。=4后,/尸。=45°,

則由余弦定理可得

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x4—=17-

2

故PN=JI7,則尸B=JT7,

故在APBC中,PC=3,PB=后,BC=4,

/…PC2+BC2-PB29+16-171

所以cosZPCB=---------------------=-------------=-

2PCBC2x3x43

又。<NPCB<n,所以sin4PCB=Jl-cos24PCB=迪,

3

所以△PBC的面積為S=1pC.8CsinN尸C8=Lx3x4x4^=4萬.

223

法二:

連結(jié)交于。,連結(jié)尸。,則。為NC,8。的中點,如圖,

因為底面48CD為正方形,48=4,所以4。=8。=40,

在中,尸C=3,NPG4=45。,

則由余弦定理可得

6

5

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x4>j2x3x—=17,故PA=歷,

2

//2+尸。2一_17+9-32

所以cos//PC=

IPAPC_2x717x3

^4-PC=|ft4||pc|cosZJPC=V17x3x

不妨記PB=m,NBPD=e,

因為麗=;(秒+定)=;(而+而),所以(蘇+正『=(而+而『,

即尸〃+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD'

則17+9+2x(-3)=加2+9+2x3xmcos6>,整理得加2+6〃zcos。-11=0①,

又在△尸8。中,BD2=PB~+PD~-2PB-PDcosABPD)即32=+9—6加cos6,

則m2-6mcos6-23=0②,

兩式相加得2,〃2-34=0,故08=〃?=J萬,

故在APBC中,PC=3,PB=y[H,BC=4,

PC?+BC?-PB?9+16-171

所以cosNPC3=

2PCBC2x3x4-3

又0<NPCB<n,所以sinNPCB=J1—cos?NPCB=,

3

所以APBC的面積為5=工尸08。5出/。。8=1*3乂4*馬2=4虛.

223

故選:C.

r2v23

12.己知橢圓二+\=1,小巴為兩個焦點,O為原點,尸為橢圓上一點,cosN片尸6=-,

則|「。|=()

A2RV30r3nV35

?5252

【答案】B

【詳解】方法一:設(shè)/月產(chǎn)8=2。,0<。<^,所以&-F=從tan3P&="tan6>,

2122

cos2^-sin20l-tan2^_31

由cosZFPF=cos26=一,解得:tan0=-,

}2cos26+sin201+tan2052

7

由橢圓方程可知,/=9,〃=6,02=/—〃=3,

所以,^=1x|^|xk|=|x2V3x|yp|=6x1)解得:斤=3,

即*=9*(1_訃:,因此吁心+片=6|=1.

故選:B.

方法二:因為忸用+忸用=2a=6①,|尸片『+|產(chǎn)用2一2歸川尸用N片尸鳥=出E「,

即|尸用2+|尸尸2f一3尸用留切=]2②,聯(lián)立①②,

解得:附歸B|=T,附『+歸可=21,

而用=;(歷+電),所以|。刈=|麗卜曰兩+A司,

故選:B.

方法三:因為|尸用+|尸周=2a=6①,儼片「+|尸鳥「一2仍用歸用/片//=出閭2,

即|尸用2+0用2_如尸用|尸周二口②,聯(lián)立①②,解得:忸娟2+歸周2=21,

由中線定理可知,(2[0尸|)2+|甲聯(lián)=2(附『+歸段2)=42,易知出國二26解得:

故選:B.

二、填空題

13.若y=(x-l)2+ox+sin(x+1^為偶函數(shù),則。=.

【答案】2

【詳解】因為y=/(x)=(x-l)2+ax+sin(x+5)=(x-l『+ax+cosx為偶函數(shù),定

義域為R,

8

/\2/\2

則兀。=|四+1---1=2兀,故a=2,

此時/(x)=(x-l)2+2X+COSX=X2+1+COSX,

所以/(一X)=(-》)2+1+COS(-X)=/+1+COSX=/(X),

又定義域為R,故/(X)為偶函數(shù),

所以a=2.

故答案為:2.

-2x+3y<3

14.設(shè)工,y滿足約束條件<3》-2歹43,設(shè)z=3x+2y,則z的最大值為

x+y>l

【答案】15

【詳解】作出可行域,如圖,

、

\//-2x+3v=3

,°x\,

/4\\'

、、

X、

、、

3z

由圖可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)yn-'X+s過點A時,Z有最大值,

-2x+3y=3x=3

由,、c.、可得<,,即4(3,3),

3x-2y-3尸3

所以Zmax=3x3+2x3=15.

故答案為:15

15.在正方體—中,E,尸分別為8,4與的中點,則以班■為直徑的球

面與正方體每條棱的交點總數(shù)為

9

【答案】12

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2,中點為O,取中點G,M,側(cè)面84GC的

中心為N,連接FG,EG,OMQN,MN,如圖,

由題意可知,。為球心,在正方體中,EF=^FG2+EG1=A/22+22=2A/2-

即R=-^2,

則球心。到BB]的距離為OM=y]0N2+MN2=712+I2=VI,

所以球。與棱8片相切,球面與棱84只有1個交點,

同理,根據(jù)正方體的對稱性知,其余各棱和球面也只有1個交點,

所以以£尸為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.

故答案為:12

16.在ABC中,AB=2,NBAC=60。鳳=痛,D為BC上一點,為48ZC的

平分線,則.

【答案】2

如圖所示:記AB=c,AC=b,BC=a,

方法一:由余弦定理可得,22+b2_2x2x6xcos600=6,

因為b>0,解得:6=1+JL

由S“BC=S.ABD+S^ACD可得,

10

—x2x/)xsin60°=—x2x^Z)xsin30°+—x/Z)xbxsin30°,

222

/_2匈1+碼

2

解得:而-3+百

2

故答案為:2.

方法二:由余弦定理可得,22+〃-2x2xbxcos60°=6,因為6>0,解得:b=l+G,

由正弦定理可得,4—=上=?_,解得:sin8=C+后,sinC=--

sin60°sinBsinC42

因為1+百>&>&,所以。=45°,6=180。-60°—45°=75°,

又NBAD=30°,所以NZ06=75°,即/D=/8=2.

故答案為:2.

三、解答題

17.已知數(shù)列{4}中,生=1,設(shè)S”為{/}前〃項和,2S,,=nan.

(1)求{%}的通項公式;

(2)求數(shù)列{專4)的前〃項和

【答案】(1)an=n-\

⑵7;=2-(2+〃)()

【小問1詳解】

因為2s“,

當(dāng)”=1時,2a[=%,即q=0;

當(dāng)〃=3時,2(1+%)=3%,即。3=2,

當(dāng)〃22時,2s1)%,所以2(S,—=(〃—1)%=24,

化簡得:(〃-2)。“=(〃-I)。,一,當(dāng)〃23時,罩」=巴4=...=2=1,即4=〃一1,

n-\〃一22

當(dāng)〃=1,2,3時都滿足上式,所以a,,=〃-l(〃eN*).

【小問2詳解】

因為空長所以騫=唱+2哂+3x1)+…+咽,

11

61出)+2x[]+…+(〃—l)x]£|+娛),

兩式相減得,

1

2

2

=1-(1+與)0'即1=2-(2+〃)(;),?eN,.

18.在三棱柱48C-44C|中,幺4=2,4c,底面力5C,ZACB=90°,4到平面

8CG4的距離為1.

(2)若直線AA,與BS,距離為2,求/耳與平面BCCE所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵巫

13

【小問1詳解】

如圖,

8

;4。,底面48。,8Cu面Z8C,

A.CA.BC,又8C_L4C,4C,NCu平面,AxCoAC=C,

12

,8C_L平面/CCA,又BCu平面BCC/i,

,平面NCG4,平面8。。隹,

過4作4。,CC,交CG于。,又平面ACCXA{A平面5CC,B,=cq,A.0U平面

ACC,A,,

4。J?平面BCGA

???4到平面BCC[B1的距離為11%。=1,

在RtA^CC,中,4。J_4cl,CC|=AA1—2,

設(shè)CO=x,則C0=2—x,

-?^A.OC,AApC},A4CC,為直角三角形,且C£=2,

222

co+/02=4c2,A,O+oc;=CM:,4c2+A,C~=c,c,

.-.1+X2+1+(2-X)2=4,解得x=l,

AC=Atc=4G=V2,

/.AC-4c

【小問2詳解】

-:AC=4£,BC14C,BCYAC,

RtA^C5^RtA4C5

/.BA-BA},

過8作交于。,則。為Z4中點,

由直線/4與距離為2,所以8。=2

VA1D=1,BD=2,:.AiB=AB=y/5,

在RtAASC,BC=JAB?-AC?=6,

延長4C,使/C=CM,連接G",

由CM〃4G,CA/=4G知四邊形4CM£為平行四邊形,

.??G河〃4C,???£/,平面Z8C,又⑷Wu平面NBC,

C.M±AM

22

則在RtA^C,M中,AM2AC,C{M=&C,AC,=yl(2AC)+AiC,

在Rt△力4G中,/G=J(2/c>+4c2,B\G=BC=6

AB,=J(2揚2+(&y+(百y=岳,

又A到平面BCC}B}距離也為1,

所以力用與平面5CC.B,所成角的正弦值為―三=二士.

V1313

19.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用,將40只小鼠均分為兩組,分別為對照組(不加

藥物)和實驗組(加藥物).

(1)設(shè)其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)測得40只小鼠體重如下(單位:g):(已按從小到大排好)

對照組:17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

實驗組:5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠體重的中位數(shù)加,并完成下面2x2列聯(lián)表:

<m>m

對照組

實驗組

(ii)根據(jù)2x2列聯(lián)表,能否有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.

參考數(shù)據(jù):

0.100.050.010

尸伊次)2.7063.8416.635

【答案】(1)分布列見解析,E(X)=1

(2)(i)加=23.4;列聯(lián)表見解析,(ii)能

【小問1詳解】

依題意,X的可能取值為0,1,2,

貝”(X=0)=等=呆尸(X=l)=*4,尸(X=2)=*=卷

所以X的分布列為:

X012

14

192019

P

7178

ML八八c19,20-19

故E(X)=0x1-1x--F2x—=1.

783978

【小問2詳解】

(i)依題意,可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起,從小到大排后第20

位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù),

由于原數(shù)據(jù)己經(jīng)排好,所以我們只需要觀察對照組第一排數(shù)據(jù)與實驗組第二排數(shù)據(jù)即可,

可得第11位數(shù)據(jù)為14.4,后續(xù)依次為

17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…,

故第20位為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6,

23.2+23.6

所以加==23.4

2

故列聯(lián)表為:

<m>m介訃

對照組61420

實驗組14620

合計202040

(ii)由(i)可得,K=40x(6x6~14xl4r=6.400>3.841,

20x20x20x20

所以能有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.

20.已知直線x-2y+l=0與拋物線C:/=2px(p>0)交于48兩點,且|45|=4A后.

(1)求2:

(2)設(shè)C的焦點為尸,M,N為C上兩點,赤.而=0,求面積的最小值.

【答案】(1)p=?

(2)12-872

【小問1詳解】

設(shè)2(/,以),8(%,%),

x-2y+l=0

由2c可得,^--4勿+2。=0,所以y“+歹8=4,,y,歹8=2。,

y=2px

15

2

所以I『+Ef)2=指|一1=后x^(yA+yB)-4yAyB=4715,

即2p2—p—6=0,因為p>0,解得:p=2.

【小問2詳解】

因為尸(1,0),顯然直線MN的斜率不可能為零,

設(shè)直線MV:x=my+n,M(x,,y,),7V(x2,y2),

2

[y=4x7

由<可得,/-4m7-4/7=0,所以,M=4加,必歹2=-4〃,

[x=my+n

A=167772+16〃>0=>0,

因為赤?標(biāo)=0,所以(2—1)(12—1)+必先=0,

即(沖]+〃一1)(〃92+〃—1)+M、2=0,

亦即(〃廣+1)V必+〃?(拉-1)(必+%)+(〃-I)二。,

將必+%=4m,必必二-4〃代入得,

4加2=〃2一6〃+1,4(/+〃)=(〃-1)->0,

所以〃#1,且〃2—6〃+120,解得〃23+2式或〃<3-2加?

設(shè)點尸到直線的距離為d,所以“二〃一,,

Jl+m2

\MN\={(再-/I+(必-歹2)2-|必一%|二Jl+〃/J16〃22+16〃

=2,1+川,4(〃2一6"+1)+16"=2”4-/W2|^-1|?

1..1\n-\\

所以4MNF的面積S=--x[MN1xd=彳x.-x2yl\+m2|n-l|=(M-l)~,

22,1+加2

而〃23+2萬或〃<3-2加,所以,

當(dāng)”=3—20時,△〃///的面積Smm=(2-2貶『=12-8立.

-1?//、sinx峭

21.已知/(x)=or-----,xs0,—

cosxI2J

(1)若a=8,討論〃x)的單調(diào)性;

(2)若/(x)<sin2x恒成立,求°的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析.

(2)(-<?,3]

16

【小問1詳解】

cosxcos3x+3sinxcos2xsinx

f\x)=a-

cos6x

cos2x+3sin2x3-2cos2x

=a--------------=a------------

44

COSXCOSX

令cos?x=f,貝!I,w(0,l)

-j_

貝叮'(x)=g(/)="學(xué)cit~+2t3

X?!?,,、,八8『+2-3(2/-1)(4/+3)

當(dāng)a=8,/(x)=g(t)=————=——p-----

當(dāng)fe

所以/(x)在上單調(diào)遞增,在[苦)上單調(diào)遞減

【小問2詳解】

設(shè)g(x)=/(x)-sin2x

g(x)=/(%)-2cos2x=g(Z)-2^2COS2X-1)=—―2(2/-l)=?+2-4z+—g

23

設(shè)/(。=〃+2_々+——r

9⑺一年+品一丁肥一久-叱產(chǎn)小〉。

所以奴⑴="3.

「若ae(-oo,3],g'(x)=(p(t)<a-3<0

即g(x)在(0,上單調(diào)遞減,所以g(x)<g(0)=0.

所以當(dāng)a£(-8,3],/(x)<sin2x,

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