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文檔簡介
2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國甲卷)
理科數(shù)學(xué)
一、選擇題
L設(shè)集合4=x=3k+\,k&Z},B={x\x=3k+2,ksZ},為整數(shù)集,Qj(ZU6)=
()
A.{x|x=3左,左eZ}B,{x|x=3左一1,左eZ}
C.{x|x=3k-2,keZ}D.0
【答案】A
【詳解】因為整數(shù)集2=k|彳=3左,左£2}1]{8|》=3%+1,左eZ}U{x|x=3左+2,無eZ},
U=Z,所以,名(4U8)={x|x=3斤,無eZ}.
故選:A.
2.若復(fù)數(shù)(a+i)(l—ai)=2,aeR,則。=()
A.-1B.0C.1D.2
【答案】C
【詳解】因為(a+i)(l-0)=4一4t+1+4=2a+(l-a?)i=2,
’2。=2
所以《,2c,解得:a-\.
l-a=0
故選:C.
3.執(zhí)行下面的程序框遇,輸出的8=()
n=l,A-\,5=2
A=A+B
B=A+B
n=n+\
/輸嬴/
(結(jié)束)
A.21B.34C.55D.89
【答案】B
【詳解】當(dāng)〃=1時,判斷框條件滿足,第一次執(zhí)行循環(huán)體,/=1+2=3,3=3+2=5,
〃=1+1=2;
當(dāng)〃=2時,判斷框條件滿足,第二次執(zhí)行循環(huán)體,4=3+5=8,8=8+5=13,
〃=2+1=3;
當(dāng)〃=3時,判斷框條件滿足,第三次執(zhí)行循環(huán)體,4=8+13=21,5=21+13=34,
〃=3+1=4;
當(dāng)〃=4時,判斷框條件不滿足,跳出循環(huán)體,輸出8=34.
故選:B.
4.向量|町=向=一1,?=播,且彳+5+1=。,則C0sS-13-J〉=()
1224
A.一一B.一一C.-D.-
5555
【答案】D
【詳解】因為3+[+仁=0,所以1+b=~c,
即/+廬+2展萬=于,即1+1+2;)=2,所以展5=0.
如圖,設(shè)況=%礪=B,反=5,
由題知,OA=OB=1,OC=6,AOAB是等腰直角三角形,
AB邊上的高立,/。=交,
22
所以8=。。+。。=返+也=逑,
22
tanNACD=—cosNACD=
CD3M
cos(a-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-l
2
故選:D.
5.已知正項等比數(shù)列{4}中,q=1,S”為{叫前〃項和,55=553-4,則S4=()
A.7B.9C.15D.30
【答案】C
【詳解】由題知l+q+/+/+q4=5(l+q+/)-4,
即/+/=4g+4q2,即/+g2_4q_4=0,即(q—2)(g+l)(q+2)=0.
由題知q>0,所以q=2.
所以邑=1+2+4+8=15.
故選:C.
6.有60人報名足球俱樂部,60人報名乒乓球俱樂部,70人報名足球或乒乓球俱樂部,若
已知某人報足球俱樂部,則其報乒乓球俱樂部的概率為()
A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1
【答案】A
【詳解】報名兩個俱樂部的人數(shù)為50+60-70=40,
記“某人報足球俱樂部”為事件A,記“某人報兵乓球俱樂部”為事件8,
則P(/)=1^=*尸(/8)=404
707
4
-
氣
明7
=-=8
所以尸(6|⑷尸⑷5
7
故選:A.
7.“siira+sin~,=l”是“5淪1+(:05£=0”的()
A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件
C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件
【答案】B
兀
【詳解】當(dāng)sin?a+sin?,=1時,例如a=5,4=0但sina+cos^w0,
即sin2a+sin2f5=1推不出sina+cos/?=0;
當(dāng)sina+cos£=0時,sin2a+sin20=(-cosy3)2+sin20=1,
即sina+cos夕=0能推出sin2a+sin2B=\.
3
綜上可知,sin2tz+sin2/=1是sina+cos/=0成立的必要不充分條件.
故選:B
8已知雙曲線//叱。力>。)的離心率為-其中一條漸近線與圓
(工一2)2+3—3)2=1交于48兩點,則|[6|=()
.175?245475
A.—Bn.——C.
555丁
【答案】D
【詳解】由《=逐,則4=土之=1+1=5,
aa~a
解得2=2,
a
所以雙曲線的一條漸近線不妨取y=2x,
則圓心(2,3)到漸近線的距離d=量-:=*,
所以弦長|481=21戶—d?=2
故選:D
9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù),共服務(wù)星期六、星期天兩天,每天從中任選兩人參加服務(wù),
則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為()
A.120B.60C.40D.30
【答案】B
【詳解】不妨記五名志愿者為a,b,c,d,e,
假設(shè)。連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù),再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服
務(wù),共有A;=12種方法,
同理:b,c,d,e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù),也各有12種方法,
所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有5x12=60種.
故選:B.
10.已知/(X)為函數(shù)y=cos(2x+.)向左平移:個單位所得函數(shù),則夕=/(x)與
y='彳一,的交點個數(shù)為()
22
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
4
TT
【詳解】因為yCOSX
=|2+£向左平移一個單位所得函數(shù)為
6
所以/(x)=-sin2x,
與,x=\^處/(X)與>=的
大小關(guān)系,
當(dāng)X暫時,3兀+41
kj
當(dāng)》=四時,
4
當(dāng)彳=乂時,
4
所以由圖可知,/卜)與歹=!》一;的交點個數(shù)為3.
故選:C.
II.在四棱錐P—力88中,底面Z8C。為正方形,AB=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,
則APBC的面積為()
A.2V2B.3亞c.40D.572
【答案】C
【詳解】法一:
連結(jié)交于。,連結(jié)尸。,則。為/C,8。的中點,如圖,
5
因為底面N8C7)為正方形,48=4,所以AC=BD=4yR,則OO=CO=2J5,
又PC=PD=3,PO=OP,所以△尸£>。三APCO,則NPOO=NPCO,
又PC=PD=3,4C=BD=46,所以APDB=APCA,則尸/=尸6,
在△&(7中,尸。=3,/。=4后,/尸。=45°,
則由余弦定理可得
PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x4—=17-
2
故PN=JI7,則尸B=JT7,
故在APBC中,PC=3,PB=后,BC=4,
/…PC2+BC2-PB29+16-171
所以cosZPCB=---------------------=-------------=-
2PCBC2x3x43
又。<NPCB<n,所以sin4PCB=Jl-cos24PCB=迪,
3
所以△PBC的面積為S=1pC.8CsinN尸C8=Lx3x4x4^=4萬.
223
法二:
連結(jié)交于。,連結(jié)尸。,則。為NC,8。的中點,如圖,
因為底面48CD為正方形,48=4,所以4。=8。=40,
在中,尸C=3,NPG4=45。,
則由余弦定理可得
6
5
PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x4>j2x3x—=17,故PA=歷,
2
//2+尸。2一_17+9-32
所以cos//PC=
IPAPC_2x717x3
^4-PC=|ft4||pc|cosZJPC=V17x3x
不妨記PB=m,NBPD=e,
因為麗=;(秒+定)=;(而+而),所以(蘇+正『=(而+而『,
即尸〃+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD'
則17+9+2x(-3)=加2+9+2x3xmcos6>,整理得加2+6〃zcos。-11=0①,
又在△尸8。中,BD2=PB~+PD~-2PB-PDcosABPD)即32=+9—6加cos6,
則m2-6mcos6-23=0②,
兩式相加得2,〃2-34=0,故08=〃?=J萬,
故在APBC中,PC=3,PB=y[H,BC=4,
PC?+BC?-PB?9+16-171
所以cosNPC3=
2PCBC2x3x4-3
又0<NPCB<n,所以sinNPCB=J1—cos?NPCB=,
3
所以APBC的面積為5=工尸08。5出/。。8=1*3乂4*馬2=4虛.
223
故選:C.
r2v23
12.己知橢圓二+\=1,小巴為兩個焦點,O為原點,尸為橢圓上一點,cosN片尸6=-,
則|「。|=()
A2RV30r3nV35
?5252
【答案】B
【詳解】方法一:設(shè)/月產(chǎn)8=2。,0<。<^,所以&-F=從tan3P&="tan6>,
2122
cos2^-sin20l-tan2^_31
由cosZFPF=cos26=一,解得:tan0=-,
}2cos26+sin201+tan2052
7
由橢圓方程可知,/=9,〃=6,02=/—〃=3,
所以,^=1x|^|xk|=|x2V3x|yp|=6x1)解得:斤=3,
即*=9*(1_訃:,因此吁心+片=6|=1.
故選:B.
方法二:因為忸用+忸用=2a=6①,|尸片『+|產(chǎn)用2一2歸川尸用N片尸鳥=出E「,
即|尸用2+|尸尸2f一3尸用留切=]2②,聯(lián)立①②,
解得:附歸B|=T,附『+歸可=21,
而用=;(歷+電),所以|。刈=|麗卜曰兩+A司,
故選:B.
方法三:因為|尸用+|尸周=2a=6①,儼片「+|尸鳥「一2仍用歸用/片//=出閭2,
即|尸用2+0用2_如尸用|尸周二口②,聯(lián)立①②,解得:忸娟2+歸周2=21,
由中線定理可知,(2[0尸|)2+|甲聯(lián)=2(附『+歸段2)=42,易知出國二26解得:
故選:B.
二、填空題
13.若y=(x-l)2+ox+sin(x+1^為偶函數(shù),則。=.
【答案】2
【詳解】因為y=/(x)=(x-l)2+ax+sin(x+5)=(x-l『+ax+cosx為偶函數(shù),定
義域為R,
8
/\2/\2
則兀。=|四+1---1=2兀,故a=2,
此時/(x)=(x-l)2+2X+COSX=X2+1+COSX,
所以/(一X)=(-》)2+1+COS(-X)=/+1+COSX=/(X),
又定義域為R,故/(X)為偶函數(shù),
所以a=2.
故答案為:2.
-2x+3y<3
14.設(shè)工,y滿足約束條件<3》-2歹43,設(shè)z=3x+2y,則z的最大值為
x+y>l
【答案】15
【詳解】作出可行域,如圖,
、
\//-2x+3v=3
,°x\,
/4\\'
、、
X、
、、
3z
由圖可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)yn-'X+s過點A時,Z有最大值,
-2x+3y=3x=3
由,、c.、可得<,,即4(3,3),
3x-2y-3尸3
所以Zmax=3x3+2x3=15.
故答案為:15
15.在正方體—中,E,尸分別為8,4與的中點,則以班■為直徑的球
面與正方體每條棱的交點總數(shù)為
9
【答案】12
【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2,中點為O,取中點G,M,側(cè)面84GC的
中心為N,連接FG,EG,OMQN,MN,如圖,
由題意可知,。為球心,在正方體中,EF=^FG2+EG1=A/22+22=2A/2-
即R=-^2,
則球心。到BB]的距離為OM=y]0N2+MN2=712+I2=VI,
所以球。與棱8片相切,球面與棱84只有1個交點,
同理,根據(jù)正方體的對稱性知,其余各棱和球面也只有1個交點,
所以以£尸為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.
故答案為:12
16.在ABC中,AB=2,NBAC=60。鳳=痛,D為BC上一點,為48ZC的
平分線,則.
【答案】2
如圖所示:記AB=c,AC=b,BC=a,
方法一:由余弦定理可得,22+b2_2x2x6xcos600=6,
因為b>0,解得:6=1+JL
由S“BC=S.ABD+S^ACD可得,
10
—x2x/)xsin60°=—x2x^Z)xsin30°+—x/Z)xbxsin30°,
222
/_2匈1+碼
2
解得:而-3+百
2
故答案為:2.
方法二:由余弦定理可得,22+〃-2x2xbxcos60°=6,因為6>0,解得:b=l+G,
由正弦定理可得,4—=上=?_,解得:sin8=C+后,sinC=--
sin60°sinBsinC42
因為1+百>&>&,所以。=45°,6=180。-60°—45°=75°,
又NBAD=30°,所以NZ06=75°,即/D=/8=2.
故答案為:2.
三、解答題
17.已知數(shù)列{4}中,生=1,設(shè)S”為{/}前〃項和,2S,,=nan.
(1)求{%}的通項公式;
(2)求數(shù)列{專4)的前〃項和
【答案】(1)an=n-\
⑵7;=2-(2+〃)()
【小問1詳解】
因為2s“,
當(dāng)”=1時,2a[=%,即q=0;
當(dāng)〃=3時,2(1+%)=3%,即。3=2,
當(dāng)〃22時,2s1)%,所以2(S,—=(〃—1)%=24,
化簡得:(〃-2)。“=(〃-I)。,一,當(dāng)〃23時,罩」=巴4=...=2=1,即4=〃一1,
n-\〃一22
當(dāng)〃=1,2,3時都滿足上式,所以a,,=〃-l(〃eN*).
【小問2詳解】
因為空長所以騫=唱+2哂+3x1)+…+咽,
11
61出)+2x[]+…+(〃—l)x]£|+娛),
兩式相減得,
1
2
2
=1-(1+與)0'即1=2-(2+〃)(;),?eN,.
18.在三棱柱48C-44C|中,幺4=2,4c,底面力5C,ZACB=90°,4到平面
8CG4的距離為1.
(2)若直線AA,與BS,距離為2,求/耳與平面BCCE所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
⑵巫
13
【小問1詳解】
如圖,
8
;4。,底面48。,8Cu面Z8C,
A.CA.BC,又8C_L4C,4C,NCu平面,AxCoAC=C,
12
,8C_L平面/CCA,又BCu平面BCC/i,
,平面NCG4,平面8。。隹,
過4作4。,CC,交CG于。,又平面ACCXA{A平面5CC,B,=cq,A.0U平面
ACC,A,,
4。J?平面BCGA
???4到平面BCC[B1的距離為11%。=1,
在RtA^CC,中,4。J_4cl,CC|=AA1—2,
設(shè)CO=x,則C0=2—x,
-?^A.OC,AApC},A4CC,為直角三角形,且C£=2,
222
co+/02=4c2,A,O+oc;=CM:,4c2+A,C~=c,c,
.-.1+X2+1+(2-X)2=4,解得x=l,
AC=Atc=4G=V2,
/.AC-4c
【小問2詳解】
-:AC=4£,BC14C,BCYAC,
RtA^C5^RtA4C5
/.BA-BA},
過8作交于。,則。為Z4中點,
由直線/4與距離為2,所以8。=2
VA1D=1,BD=2,:.AiB=AB=y/5,
在RtAASC,BC=JAB?-AC?=6,
延長4C,使/C=CM,連接G",
由CM〃4G,CA/=4G知四邊形4CM£為平行四邊形,
.??G河〃4C,???£/,平面Z8C,又⑷Wu平面NBC,
C.M±AM
22
則在RtA^C,M中,AM2AC,C{M=&C,AC,=yl(2AC)+AiC,
在Rt△力4G中,/G=J(2/c>+4c2,B\G=BC=6
AB,=J(2揚2+(&y+(百y=岳,
又A到平面BCC}B}距離也為1,
所以力用與平面5CC.B,所成角的正弦值為―三=二士.
V1313
19.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用,將40只小鼠均分為兩組,分別為對照組(不加
藥物)和實驗組(加藥物).
(1)設(shè)其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)測得40只小鼠體重如下(單位:g):(已按從小到大排好)
對照組:17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4
26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3
實驗組:5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2
14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0
(i)求40只小鼠體重的中位數(shù)加,并完成下面2x2列聯(lián)表:
<m>m
對照組
實驗組
(ii)根據(jù)2x2列聯(lián)表,能否有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.
參考數(shù)據(jù):
0.100.050.010
尸伊次)2.7063.8416.635
【答案】(1)分布列見解析,E(X)=1
(2)(i)加=23.4;列聯(lián)表見解析,(ii)能
【小問1詳解】
依題意,X的可能取值為0,1,2,
貝”(X=0)=等=呆尸(X=l)=*4,尸(X=2)=*=卷
所以X的分布列為:
X012
14
192019
P
7178
ML八八c19,20-19
故E(X)=0x1-1x--F2x—=1.
783978
【小問2詳解】
(i)依題意,可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起,從小到大排后第20
位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù),
由于原數(shù)據(jù)己經(jīng)排好,所以我們只需要觀察對照組第一排數(shù)據(jù)與實驗組第二排數(shù)據(jù)即可,
可得第11位數(shù)據(jù)為14.4,后續(xù)依次為
17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…,
故第20位為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6,
23.2+23.6
所以加==23.4
2
故列聯(lián)表為:
<m>m介訃
對照組61420
實驗組14620
合計202040
(ii)由(i)可得,K=40x(6x6~14xl4r=6.400>3.841,
20x20x20x20
所以能有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.
20.已知直線x-2y+l=0與拋物線C:/=2px(p>0)交于48兩點,且|45|=4A后.
(1)求2:
(2)設(shè)C的焦點為尸,M,N為C上兩點,赤.而=0,求面積的最小值.
【答案】(1)p=?
(2)12-872
【小問1詳解】
設(shè)2(/,以),8(%,%),
x-2y+l=0
由2c可得,^--4勿+2。=0,所以y“+歹8=4,,y,歹8=2。,
y=2px
15
2
所以I『+Ef)2=指|一1=后x^(yA+yB)-4yAyB=4715,
即2p2—p—6=0,因為p>0,解得:p=2.
【小問2詳解】
因為尸(1,0),顯然直線MN的斜率不可能為零,
設(shè)直線MV:x=my+n,M(x,,y,),7V(x2,y2),
2
[y=4x7
由<可得,/-4m7-4/7=0,所以,M=4加,必歹2=-4〃,
[x=my+n
A=167772+16〃>0=>0,
因為赤?標(biāo)=0,所以(2—1)(12—1)+必先=0,
即(沖]+〃一1)(〃92+〃—1)+M、2=0,
亦即(〃廣+1)V必+〃?(拉-1)(必+%)+(〃-I)二。,
將必+%=4m,必必二-4〃代入得,
4加2=〃2一6〃+1,4(/+〃)=(〃-1)->0,
所以〃#1,且〃2—6〃+120,解得〃23+2式或〃<3-2加?
設(shè)點尸到直線的距離為d,所以“二〃一,,
Jl+m2
\MN\={(再-/I+(必-歹2)2-|必一%|二Jl+〃/J16〃22+16〃
=2,1+川,4(〃2一6"+1)+16"=2”4-/W2|^-1|?
1..1\n-\\
所以4MNF的面積S=--x[MN1xd=彳x.-x2yl\+m2|n-l|=(M-l)~,
22,1+加2
而〃23+2萬或〃<3-2加,所以,
當(dāng)”=3—20時,△〃///的面積Smm=(2-2貶『=12-8立.
-1?//、sinx峭
21.已知/(x)=or-----,xs0,—
cosxI2J
(1)若a=8,討論〃x)的單調(diào)性;
(2)若/(x)<sin2x恒成立,求°的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析.
(2)(-<?,3]
16
【小問1詳解】
cosxcos3x+3sinxcos2xsinx
f\x)=a-
cos6x
cos2x+3sin2x3-2cos2x
=a--------------=a------------
44
COSXCOSX
令cos?x=f,貝!I,w(0,l)
-j_
貝叮'(x)=g(/)="學(xué)cit~+2t3
X?!?,,、,八8『+2-3(2/-1)(4/+3)
當(dāng)a=8,/(x)=g(t)=————=——p-----
當(dāng)fe
所以/(x)在上單調(diào)遞增,在[苦)上單調(diào)遞減
【小問2詳解】
設(shè)g(x)=/(x)-sin2x
g(x)=/(%)-2cos2x=g(Z)-2^2COS2X-1)=—―2(2/-l)=?+2-4z+—g
23
設(shè)/(。=〃+2_々+——r
9⑺一年+品一丁肥一久-叱產(chǎn)小〉。
所以奴⑴="3.
「若ae(-oo,3],g'(x)=(p(t)<a-3<0
即g(x)在(0,上單調(diào)遞減,所以g(x)<g(0)=0.
所以當(dāng)a£(-8,3],/(x)<sin2x,
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