2023年全國(guó)甲卷理數(shù)試題-普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（答案）

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)甲卷)

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

L設(shè)集合4=x=3k+\,k&Z},B={x\x=3k+2,ksZ},為整數(shù)集，Qj(ZU6)=

()

A.{x|x=3左，左eZ}B,{x|x=3左一1,左eZ}

C.{x|x=3k-2,keZ}D.0

【答案】A

【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集2=k|彳=3左,左￡2}1]{8|》=3%+1,左eZ}U{x|x=3左+2,無(wú)eZ},

U=Z,所以，名(4U8)={x|x=3斤，無(wú)eZ}.

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)(a+i)(l—ai)=2,aeR,則。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【詳解】因?yàn)?a+i)(l-0)=4一4t+1+4=2a+(l-a?)i=2,

’2。=2

所以《，2c，解得：a-\.

l-a=0

故選：C.

3.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的8=()

n=l,A-\,5=2

A=A+B

B=A+B

n=n+\

/輸嬴/

（結(jié)束）

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，/=1+2=3,3=3+2=5,

〃=1+1=2；

當(dāng)〃=2時(shí)，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，4=3+5=8,8=8+5=13,

〃=2+1=3；

當(dāng)〃=3時(shí)，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，4=8+13=21,5=21+13=34,

〃=3+1=4；

當(dāng)〃=4時(shí)，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出8=34.

故選：B.

4.向量|町=向=一1,?=播,且彳+5+1=。，則C0sS-13-J〉=（）

1224

A.一一B.一一C.-D.-

5555

【答案】D

【詳解】因?yàn)?+[+仁=0,所以1+b=~c,

即/+廬+2展萬(wàn)=于，即1+1+2；）=2,所以展5=0.

如圖，設(shè)況=%礪=B,反=5,

由題知,OA=OB=1,OC=6,AOAB是等腰直角三角形，

AB邊上的高立,/。=交，

22

所以8=。。+。。=返+也=逑，

22

tanNACD=—cosNACD=

CD3M

cos(a-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-l

2

故選:D.

5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中,q=1,S”為｛叫前〃項(xiàng)和，55=553-4,則S4=()

A.7B.9C.15D.30

【答案】C

【詳解】由題知l+q+/+/+q4=5(l+q+/)-4,

即/+/=4g+4q2,即/+g2_4q_4=0,即(q—2)(g+l)(q+2)=0.

由題知q>0,所以q=2.

所以邑=1+2+4+8=15.

故選:C.

6.有60人報(bào)名足球俱樂(lè)部，60人報(bào)名乒乓球俱樂(lè)部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂(lè)部，若

已知某人報(bào)足球俱樂(lè)部，則其報(bào)乒乓球俱樂(lè)部的概率為()

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

【答案】A

【詳解】報(bào)名兩個(gè)俱樂(lè)部的人數(shù)為50+60-70=40,

記“某人報(bào)足球俱樂(lè)部”為事件A,記“某人報(bào)兵乓球俱樂(lè)部”為事件8,

則P(/)=1^=*尸(/8)=404

707

4

-

氣

明7

=-=8

所以尸(6|⑷尸⑷5

7

故選:A.

7.“siira+sin~，=l”是“5淪1+(:05￡=0”的()

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

【答案】B

兀

【詳解】當(dāng)sin?a+sin?，=1時(shí)，例如a=5,4=0但sina+cos^w0,

即sin2a+sin2f5=1推不出sina+cos/?=0；

當(dāng)sina+cos￡=0時(shí)，sin2a+sin20=(-cosy3)2+sin20=1,

即sina+cos夕=0能推出sin2a+sin2B=\.

3

綜上可知，sin2tz+sin2/=1是sina+cos/=0成立的必要不充分條件.

故選：B

8已知雙曲線//叱。力＞。）的離心率為-其中一條漸近線與圓

（工一2）2+3—3）2=1交于48兩點(diǎn)，則|[6|=（）

.175?245475

A.—Bn.——C.

555丁

【答案】D

【詳解】由《=逐，則4=土之=1+1=5，

aa~a

解得2=2,

a

所以雙曲線的一條漸近線不妨取y=2x,

則圓心（2,3）到漸近線的距離d=量-：=*,

所以弦長(zhǎng)|481=21戶—d?=2

故選：D

9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù),

則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）

A.120B.60C.40D.30

【答案】B

【詳解】不妨記五名志愿者為a,b,c,d,e,

假設(shè)。連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服

務(wù)，共有A；=12種方法，

同理：b,c,d,e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有12種方法,

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

10.已知/（X）為函數(shù)y=cos（2x+.）向左平移:個(gè)單位所得函數(shù)，則夕=/（x）與

y='彳一，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

22

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

4

TT

【詳解】因?yàn)閥COSX

=|2+￡向左平移一個(gè)單位所得函數(shù)為

6

所以/(x)=-sin2x,

與,x=\^處/（X）與＞=的

大小關(guān)系,

當(dāng)X暫時(shí),3兀+41

kj

當(dāng)》=四時(shí),

4

當(dāng)彳=乂時(shí),

4

所以由圖可知，/卜）與歹=!》一；的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

II.在四棱錐P—力88中，底面Z8C。為正方形，AB=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,

則APBC的面積為（）

A.2V2B.3亞c.40D.572

【答案】C

【詳解】法一：

連結(jié)交于。，連結(jié)尸。，則。為/C,8。的中點(diǎn)，如圖，

5

因?yàn)榈酌鍺8C7)為正方形，48=4,所以AC=BD=4yR，則OO=CO=2J5，

又PC=PD=3,PO=OP,所以△尸￡＞。三APCO,則NPOO=NPCO,

又PC=PD=3,4C=BD=46,所以APDB=APCA,則尸/=尸6,

在△&(7中，尸。=3,/。=4后,/尸。=45°,

則由余弦定理可得

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x4—=17-

2

故PN=JI7，則尸B=JT7，

故在APBC中，PC=3,PB=后,BC=4,

/…PC2+BC2-PB29+16-171

所以cosZPCB=---------------------=-------------=-

2PCBC2x3x43

又。＜NPCB＜n,所以sin4PCB=Jl-cos24PCB=迪，

3

所以△PBC的面積為S=1pC.8CsinN尸C8=Lx3x4x4^=4萬(wàn).

223

法二:

連結(jié)交于。，連結(jié)尸。，則。為NC,8。的中點(diǎn)，如圖,

因?yàn)榈酌?8CD為正方形，48=4,所以4。=8。=40，

在中，尸C=3,NPG4=45。，

則由余弦定理可得

6

5

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x4>j2x3x—=17，故PA=歷，

2

//2+尸。2一_17+9-32

所以cos//PC=

IPAPC_2x717x3

^4-PC=|ft4||pc|cosZJPC=V17x3x

不妨記PB=m,NBPD=e,

因?yàn)辂?；（秒+定）=；（而+而），所以（蘇+正『=（而+而『，

即尸〃+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD'

則17+9+2x（-3）=加2+9+2x3xmcos6>,整理得加2+6〃zcos。-11=0①，

又在△尸8。中，BD2=PB~+PD~-2PB-PDcosABPD）即32=+9—6加cos6，

則m2-6mcos6-23=0②，

兩式相加得2，〃2-34=0，故08=〃?=J萬(wàn)，

故在APBC中，PC=3,PB=y[H,BC=4,

PC?+BC?-PB?9+16-171

所以cosNPC3=

2PCBC2x3x4-3

又0<NPCB<n,所以sinNPCB=J1—cos?NPCB=，

3

所以APBC的面積為5=工尸08。5出/。。8=1*3乂4*馬2=4虛.

223

故選：C.

r2v23

12.己知橢圓二+\=1,小巴為兩個(gè)焦點(diǎn),O為原點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，cosN片尸6=-,

則|「。|=()

A2RV30r3nV35

?5252

【答案】B

【詳解】方法一：設(shè)/月產(chǎn)8=2。,0<。<^，所以&-F=從tan3P&="tan6>,

2122

cos2^-sin20l-tan2^_31

由cosZFPF=cos26=一，解得：tan0=-,

}2cos26+sin201+tan2052

7

由橢圓方程可知，/=9,〃=6,02=/—〃=3,

所以，^=1x|^|xk|=|x2V3x|yp|=6x1)解得：斤=3,

即*=9*(1_訃：，因此吁心+片=6|=1.

故選：B.

方法二：因?yàn)殁钣?忸用=2a=6①，|尸片『+|產(chǎn)用2一2歸川尸用N片尸鳥=出E「,

即|尸用2+|尸尸2f一3尸用留切=]2②，聯(lián)立①②，

解得：附歸B|=T，附『+歸可=21，

而用=；(歷+電)，所以|。刈=|麗卜曰兩+A司，

故選：B.

方法三：因?yàn)閨尸用+|尸周=2a=6①，儼片「+|尸鳥「一2仍用歸用/片//=出閭2,

即|尸用2+0用2_如尸用|尸周二口②，聯(lián)立①②，解得：忸娟2+歸周2=21,

由中線定理可知，(2[0尸|)2+|甲聯(lián)=2(附『+歸段2)=42,易知出國(guó)二26解得:

故選：B.

二、填空題

13.若y=(x-l)2+ox+sin(x+1^為偶函數(shù)，則。=.

【答案】2

【詳解】因?yàn)閥=/(x)=(x-l)2+ax+sin(x+5)=(x-l『+ax+cosx為偶函數(shù)，定

義域?yàn)镽，

8

/\2/\2

則兀。=|四+1---1=2兀，故a=2,

此時(shí)/（x）=（x-l）2+2X+COSX=X2+1+COSX,

所以/（一X）=（-》）2+1+COS（-X）=/+1+COSX=/（X）,

又定義域?yàn)镽，故/（X）為偶函數(shù)，

所以a=2.

故答案為：2.

-2x+3y<3

14.設(shè)工，y滿足約束條件<3》-2歹43,設(shè)z=3x+2y,則z的最大值為

x+y>l

【答案】15

【詳解】作出可行域，如圖，

、

\//-2x+3v=3

，°x\,

/4\\'

、、

X、

、、

3z

由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)yn-'X+s過(guò)點(diǎn)A時(shí),Z有最大值,

-2x+3y=3x=3

由，、c.、可得＜,,即4（3,3）,

3x-2y-3尸3

所以Zmax=3x3+2x3=15.

故答案為：15

15.在正方體—中，E,尸分別為8,4與的中點(diǎn)，則以班■為直徑的球

面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為

9

【答案】12

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,中點(diǎn)為O,取中點(diǎn)G,M,側(cè)面84GC的

中心為N,連接FG,EG,OMQN,MN,如圖，

由題意可知，。為球心，在正方體中，EF=^FG2+EG1=A/22+22=2A/2-

即R=-^2,

則球心。到BB]的距離為OM=y]0N2+MN2=712+I2=VI，

所以球。與棱8片相切，球面與棱84只有1個(gè)交點(diǎn)，

同理，根據(jù)正方體的對(duì)稱性知，其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn)，

所以以￡尸為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.

故答案為：12

16.在ABC中，AB=2,NBAC=60。鳳=痛,D為BC上一點(diǎn),為48ZC的

平分線，則.

【答案】2

如圖所示：記AB=c,AC=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，22+b2_2x2x6xcos600=6,

因?yàn)閎>0,解得：6=1+JL

由S“BC=S.ABD+S^ACD可得，

10

—x2x/)xsin60°=—x2x^Z)xsin30°+—x/Z)xbxsin30°,

222

/_2匈1+碼

2

解得:而-3+百

2

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+〃-2x2xbxcos60°=6,因?yàn)?>0,解得：b=l+G，

由正弦定理可得，4—=上=?_,解得：sin8=C+后,sinC=--

sin60°sinBsinC42

因?yàn)?+百>&>&，所以。=45°，6=180。-60°—45°=75°，

又NBAD=30°，所以NZ06=75°，即/D=/8=2.

故答案為：2.

三、解答題

17.已知數(shù)列｛4｝中，生=1，設(shè)S”為｛/｝前〃項(xiàng)和，2S,,=nan.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛專4)的前〃項(xiàng)和

【答案】(1)an=n-\

⑵7；=2-(2+〃)()

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?s“，

當(dāng)”=1時(shí)，2a[=%,即q=0；

當(dāng)〃=3時(shí)，2(1+%)=3%，即。3=2，

當(dāng)〃22時(shí),2s1)%,所以2(S,—=(〃—1)%=24,

化簡(jiǎn)得：(〃-2)?！?(〃-I)。,一，當(dāng)〃23時(shí)，罩」=巴4=...=2=1,即4=〃一1,

n-\〃一22

當(dāng)〃=1,2,3時(shí)都滿足上式，所以a,,=〃-l(〃eN*).

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)榭臻L(zhǎng)所以騫=唱+2哂+3x1)+…+咽,

11

61出）+2x[]+…+（〃—l）x]￡|+娛）,

兩式相減得，

1

2

2

=1-（1+與）0'即1=2-（2+〃）（；），?eN,.

18.在三棱柱48C-44C|中，幺4=2,4c，底面力5C,ZACB=90°,4到平面

8CG4的距離為1.

（2）若直線AA,與BS,距離為2,求/耳與平面BCCE所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵巫

13

【小問(wèn)1詳解】

如圖，

8

；4。，底面48。，8Cu面Z8C,

A.CA.BC,又8C_L4C,4C,NCu平面,AxCoAC=C,

12

，8C_L平面/CCA，又BCu平面BCC/i，

，平面NCG4，平面8。。隹，

過(guò)4作4。，CC,交CG于。，又平面ACCXA{A平面5CC,B,=cq,A.0U平面

ACC,A,,

4。J?平面BCGA

???4到平面BCC[B1的距離為11%。=1,

在RtA^CC,中，4。J_4cl,CC|=AA1—2,

設(shè)CO=x,則C0=2—x,

-?^A.OC,AApC},A4CC,為直角三角形，且C￡=2,

222

co+/02=4c2,A,O+oc；=CM：,4c2+A,C~=c,c,

.-.1+X2+1+(2-X)2=4,解得x=l,

AC=Atc=4G=V2,

/.AC-4c

【小問(wèn)2詳解】

-：AC=4￡,BC14C,BCYAC,

RtA^C5^RtA4C5

/.BA-BA},

過(guò)8作交于。，則。為Z4中點(diǎn)，

由直線/4與距離為2,所以8。=2

VA1D=1,BD=2,：.AiB=AB=y/5,

在RtAASC，BC=JAB?-AC?=6，

延長(zhǎng)4C,使/C=CM,連接G"，

由CM〃4G，CA/=4G知四邊形4CM￡為平行四邊形，

.??G河〃4C，???￡/，平面Z8C,又⑷Wu平面NBC,

C.M±AM

22

則在RtA^C,M中，AM2AC,C{M=&C,AC,=yl(2AC)+AiC，

在Rt△力4G中，/G=J(2/c>+4c2,B\G=BC=6

AB,=J（2揚(yáng)2+（&y+（百y=岳,

又A到平面BCC}B}距離也為1,

所以力用與平面5CC.B,所成角的正弦值為―三=二士.

V1313

19.為探究某藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組（不加

藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）.

（1）設(shè)其中兩只小鼠中對(duì)照組小鼠數(shù)目為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）測(cè)得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）

對(duì)照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

實(shí)驗(yàn)組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)加，并完成下面2x2列聯(lián)表:

<m>m

對(duì)照組

實(shí)驗(yàn)組

（ii）根據(jù)2x2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用.

參考數(shù)據(jù)：

0.100.050.010

尸伊次）2.7063.8416.635

【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，E（X）=1

（2）（i）加=23.4；列聯(lián)表見(jiàn)解析，（ii）能

【小問(wèn)1詳解】

依題意，X的可能取值為0,1,2,

貝”(X=0)=等=呆尸(X=l)=*4,尸(X=2)=*=卷

所以X的分布列為:

X012

14

192019

P

7178

ML八八c19,20-19

故E(X)=0x1-1x--F2x—=1.

783978

【小問(wèn)2詳解】

(i)依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20

位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

由于原數(shù)據(jù)己經(jīng)排好，所以我們只需要觀察對(duì)照組第一排數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)組第二排數(shù)據(jù)即可，

可得第11位數(shù)據(jù)為14.4,后續(xù)依次為

17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…，

故第20位為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6,

23.2+23.6

所以加==23.4

2

故列聯(lián)表為:

<m>m介訃

對(duì)照組61420

實(shí)驗(yàn)組14620

合計(jì)202040

(ii)由(i)可得，K=40x(6x6~14xl4r=6.400>3.841，

20x20x20x20

所以能有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用.

20.已知直線x-2y+l=0與拋物線C:/=2px(p>0)交于48兩點(diǎn)，且|45|=4A后.

(1)求2：

(2)設(shè)C的焦點(diǎn)為尸，M,N為C上兩點(diǎn)，赤.而=0，求面積的最小值.

【答案】(1)p=?

(2)12-872

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)2(/，以)，8(%,%)，

x-2y+l=0

由2c可得，^--4勿+2。=0，所以y“+歹8=4，，y，歹8=2。，

y=2px

15

2

所以I『+Ef）2=指|一1=后x^（yA+yB）-4yAyB=4715，

即2p2—p—6=0,因?yàn)閜>0,解得：p=2.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)槭?,0）,顯然直線MN的斜率不可能為零，

設(shè)直線MV：x=my+n,M（x,,y,）,7V（x2,y2）,

2

[y=4x7

由<可得，/-4m7-4/7=0,所以，M=4加，必歹2=-4〃，

[x=my+n

A=167772+16〃>0=>0，

因?yàn)槌?標(biāo)=0,所以（2—1）（12—1）+必先=0，

即（沖]+〃一1）（〃92+〃—1）+M、2=0，

亦即（〃廣+1）V必+〃?（拉-1）（必+%）+（〃-I）二。，

將必+%=4m,必必二-4〃代入得,

4加2=〃2一6〃+1，4（/+〃）=（〃-1）->0,

所以〃#1,且〃2—6〃+120，解得〃23+2式或〃<3-2加?

設(shè)點(diǎn)尸到直線的距離為d,所以“二〃一,，

Jl+m2

\MN\=｛（再-/I+（必-歹2）2-|必一%|二Jl+〃/J16〃22+16〃

=2，1+川,4（〃2一6"+1）+16"=2”4-/W2|^-1|?

1..1\n-\\

所以4MNF的面積S=--x[MN1xd=彳x.-x2yl\+m2|n-l|=（M-l）~,

22,1+加2

而〃23+2萬(wàn)或〃<3-2加，所以，

當(dāng)”=3—20時(shí)，△〃///的面積Smm=(2-2貶『=12-8立.

-1?//、sinx峭

21.已知/(x)=or-----,xs0,—

cosxI2J

(1)若a=8,討論〃x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求°的取值范圍.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析.

(2)(-<?,3]

16

【小問(wèn)1詳解】

cosxcos3x+3sinxcos2xsinx

f\x)=a-

cos6x

cos2x+3sin2x3-2cos2x

=a--------------=a------------

44

COSXCOSX

令cos?x=f,貝！I，w(0,l)

-j_

貝叮'(x)=g(/)="學(xué)cit~+2t3

X?！?，,、,八8『+2-3(2/-1)(4/+3)

當(dāng)a=8,/(x)=g(t)=————=——p-----

當(dāng)fe

所以/(x)在上單調(diào)遞增，在[苦)上單調(diào)遞減

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)g(x)=/(x)-sin2x

g(x)=/(%)-2cos2x=g(Z)-2^2COS2X-1)=—―2(2/-l)=?+2-4z+—g

23

設(shè)/(。=〃+2_々+——r

9⑺一年+品一丁肥一久-叱產(chǎn)小〉。

所以奴⑴="3.

「若ae(-oo,3],g'(x)=(p(t)<a-3<0

即g(x)在(0,上單調(diào)遞減，所以g(x)<g(0)=0.

所以當(dāng)a￡(-8,3],/(x)<sin2x，