2023-2024學年遼寧省遼東區(qū)域高一年級下冊期中考試數(shù)學模擬試題

2023-2024學年遼寧省遼東區(qū)域高一下冊期中考試數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.點P（tan2023°,cos2023°）位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【正確答案】D

【分析】先判斷2023。在第幾象限，進而判斷三角函數(shù)值的符號，即可得結果.

【詳解】因為2023。=5*360。+223。，則2023°為第三象限角，

可得tan2023o>0,cos20230<0,

所以P（tan2023°,cos2023。）位于第四象限.

故選：D.

2.已知Sina=3且α為第二象限角，則SinS"m+cacTs"oSa的值為（）

5sma-2cosa

【正確答案】A

先求tan。，再將三角函數(shù)式齊次后可求其值.

33

【詳解】因為Sina==，且α為第二象限角，故tanα=-

54

sina÷cosa_tana+11

Sina-2cosαtanɑ-2∏

故選：A.

3.已知向量∣α∣=2,W=l,且卜—3可=近，則向量q,6的夾角是（）

A.—B.-C.—D.

663

【正確答案】D

【分析】由『「361=7可求得a?b,根據(jù)向量夾角公式可求得結果.

【詳解】∣0-3?∣^=p∣2-6a??+9∣?∣2=13-6<7??=7,;.ab=l'

.a`b1π

.?.cos<α,fe>=∣-ψj=-t又<α,∕>>e[0,π],.?.<d,6>=:

故選：D.

4.勝利塔位于大連市旅順口區(qū)，是市級文物保護單位.該塔是蘇軍撤離旅順之前，為紀念世界反法

西斯戰(zhàn)爭勝利10周年而建.基座為五角形，五面各有二層臺階，上立有五根六角柱，中心為五角形

的塔身，其頂端鑄有象征勝利的紅色徽標，金碧輝煌，格外耀眼.某同學為測量勝利塔的高度

在勝利塔的正北方向找到一座建筑物A8,高約為22.5m,在地面上點C處（B,C,N三點共線）測

得建筑物頂部A,勝利塔頂部M的仰角分別為30°和45°,在A處測得勝利塔頂部M的仰角為15。,

那么勝利塔的高度約為（）

A.32mB.39mC.45mD.55m

【正確答案】C

【分析】在一ABC中，由正弦定義求AC,在Z?ACM中由正弦定理求MC,再解三角形MNC求MN即

可.

【詳解】由已知在.ABC中，∕48C=90,AB=22.5,NAeB=30,

所以AC==45,

sin30

在A4CM中，ZMAC=15+30=45,ZACM=180-45-30=105,

所以ZAMC=I80-105-45=30,又AC=45,

MCMC45

由正弦定理可得,所以

Sin/MACsinZAΛ∕Csin45sin30

所以MC=45√5,

在&MNC中，NMNC=90,NMCN=45,Λ∕C=45√2-

所以腸V=MCSin45≈45(m).

故選：C.

5.要得到y(tǒng)=cos2x-√Jsin2x的圖象，可將函數(shù)y=Tsinxcosx的圖象（）

A.向左平移已個單位長度B.向右平移已個單位長度

C.向左平移5個單位長度D.向右平移B個單位長度

66

【正確答案】B

【分析】利用輔助角公式和二倍角公式化簡函數(shù)解析式，再結合三角函數(shù)圖象變換結論判斷各選項.

【詳解】函數(shù)y=-4sinxcosx的解析式可化為y=-4sinXCOSx=-2sin2x,

函數(shù)y=cos2x-6sinIx的解析式可化為y=-(6sin2x-cos2x)=-2sin^2x-?j,

將函數(shù)y=-2sin2x的圖象向左平移專個單位長度可得y=-2sin(2x+"的圖象，A錯誤；

將函數(shù)產-2sin2x的圖象向右平移三個單位長度可得丫=-2如伍-曰的圖象，B正確；

將函數(shù)y=-2sin2x的圖象向左平移E個單位長度可得y=-2sin(2x+])的圖象，C錯誤；

將函數(shù)N=-2sin2x的圖象向右平移巳個單位長度可得y=-2sin(2γ)的圖象，D錯誤：

故選：B.

6.已知.ABC中，角A,BC的對邊分別為。，b,c,且α=csin3+0CoSC,匕=4,則------;---

1sinΛ-sinC

()

A.4B.6C.4√2D.6√2

【正確答案】C

【分析】由條件，利用正弦定理化邊為角可求8,再結合正弦定理求.~

sinΛ-sinC

【詳解】設一ABC的外接圓半徑為R,

b

由正弦定理可得就=2R

sinBsinCf

所以4=2RSinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

所以α=csin3+Z?CoSC,可化為SinA=SinCSin8+sinBcosC，

又SinA=Sin(B+C)=sinBcosC+cosBSinC,

所以SinCSinB=COS3sinC,因為SineWO,cosfi≠0,

所以tanB=l,又8e(0,π),

TT

所以8二:，

4

CLC_2∕?SinA—2RSmC一2.二.一4一

乂SinA-SinCsinA-sinCsinBλ∕2

2

故選：C.

7.已知。=2sin-,b=2sin-,c=cos-,則()

244

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

【正確答案】D

【分析】由0<!<:<W,利用正弦函數(shù)的單調性可比較。*；當O<x<I時，SinX<x,可得sin!<!,

422244

結合二倍角公式可比較W*進而得到結果.

【詳解】先證明結論：當()<x<5時，sinx<x.

如圖，設ZAoB=X,x∈fθ,?j,A(1,O),08與單位圓交于B,OA=l,B(cosx,sinx),

12

易知S^OAB<S扇形OA8，得;XO"'×sinx<-×x×OA,即SinXVX,

2

.,.0八<1-<?-<兀-,???si∕<sinL/.2sin,<2si∏1,艮

4224242

1π111

O<<∞S>O

4-2-4-4-4-

.?.α=2sin—=4sin-cos—<4×-cos-=cos-=c,

244444

綜上，b<a<c.

故選：D.

AB4AC

8.在△ABC中，ABAC=0>且面積等于2,若點尸是△ABC所在平面內的一點，且AP=M+M,

則尸8?PC的最大值等于()

A.9B.15C.19D.25

【正確答案】A

【分析】建立平面直角坐標系，根據(jù)條件表示P,8,C坐標，得出P8?PC的表達式，結合基本不等式

求解最值.

【詳解】VABAC=O-ABlAC,

以A為原點，直線AB,AC分別為X軸，丫軸，建立如圖平面直角坐標系，

ABAC

其中扃的為X軸,y軸上的單位向量，

則根據(jù)條件得：P(1,4),8(；,O),C((V),，>0,

PB?∕,C=P-l,-4∣-(-l,r-4)=-→l-4r+16=:-

4r+-+17≤-2,4r?-+l7=9

4

當且僅當4/=一，即/=1時等號成立,

t

???P3?PC的最大值為9.

故選：A.

二、多選題

9.在JLBC中，C=；,AB=近,則下列說法正確的是()

A.一ASC的外接圓的面積是兀

B.若&<AC<2,則滿足條件的4BC有兩個

C.若滿足條件的_4?C有且只有1個，則AC=2

D.若4C=2,則滿足條件的ABC有且只有1個

【正確答案】ABD

【分析】利用正弦定理求.ABC的外接圓半徑，判斷A,由正弦定理結合正弦函數(shù)性質，判斷BCD.

【詳解】設.43C的外接圓的半徑為R,

AfiAC

由正弦定理可得「；=—?=2R,

sinCsinB

因為A8=J∑,C=￡，

2R=-------=2U匚N?1

所以.π,所以R=1,

sin

4

所以，ABC的外接圓的面積是兀，A正確,

,ABAC-，曰._AC

由一?;=-?;,∏rΓ<sιnB=-,

sinCsinB2

當√Σ<AC<2時，可得F與<1,

因為AC>AB,所以ZB>ZA,

又3e(0,π),所以方程SinB=十存在兩個解，故B正確;

ARAC1

取AC=1,由仁=9可得sins=；,

sinCsinB2

因為B∈(0,7i),AC<ABf

所以B=],C錯誤；

6

ARAC

若AC=2,由第=丹可得SinB=1,

sinCsinB

又Be(O,π),所以B=],故滿足條件的三角形有且只有一解，D正確.

故選：ABD.

10.已知函數(shù)/(x)=2sin"-W)圖象的一個對稱中心是(加，且fy∈(0,3),則以下結論正確的是

()

A.的最小正周期為2πB./Q-總為偶函數(shù)

C."x)在。，5上的最小值為-6D,若SCXl＜々＜兀，則/(%)＞/(工2)

【正確答案】BC

【分析】由條件結合正弦函數(shù)的對稱性可求。，根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式求周期判斷A；根據(jù)三角

函數(shù)的平移變換結合函數(shù)的奇偶性的定義可判斷B；求函數(shù)/(x)在0e上的最小值可判斷C；根據(jù)

三角函數(shù)的單調性可判斷D.

【詳解】因為點信,0)是函數(shù)的一個對稱中心，

--------=E,Z∈Z,國卒得0=2+6女，k￡Z,

63

又因為＜ye(0,3),所以/=2,/(x)=2sin[2x-]}

r)τr

對于A項：最小正周期為T=m=τt,故A錯；

對于B項:β]?/^?-?j=2sin^2x-?^?-y^=2sin^2x-yj=-2cosIx,

函數(shù)/1-')的定義域為R，定義域關于原點對稱，

又/[-X-m=-2cos(-2x)=-2cos2x=/上一總，

所以函數(shù)/(X-A)為偶函數(shù)，故B對；

對于C項：當時，一馬42x—'≤如，

L2」333

所以—~sin∣2x-41,

可得-6≤∕(X)≤2,所以/(X)的最小值為-石，故C對；

對于D項：當]＜x＜兀時，所以2x亨序

當xe(∕,膏?時，2》-梟?？?，/(x)單調遞減，

當xe[詈,j時，2jc^je[τ`τ])/U)單調遞增，故D錯，

故選：BC.

11.在AWC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,C,且a:A:c=3：4：5,P為JlBC內一點，則下

列結論氐硬的是()

A.CosA=SinBB.若α=3,則一ABC內切圓的半徑為2

C.若/?=4,則AB?2C=-9D.若PA+2P8+PC=0，則S△&?■：S””=1：2

【正確答案】ACD

【分析】由條件設α=3x,則b=4x,c=5x,由三角函數(shù)定義判斷A,根據(jù)內切圓的性質判斷B,由

數(shù)量積的定義判斷C,化筒向量等式，結合三角形面積公式判斷D.

【詳解】因為a：b：c=3：4：5,設α=3x,則b=4x,c=5x,

因為/+加=9χ2+16χ2=25V,

所以..ABC為以A8為斜邊的直角三角形，

h4b4

對于A,cosA=—=—,sinB=-=—,所以CoSA=SinB,A正確;

c5c5

對于B,由a=3,可得Z?=4,c=5,

設JlBC的面積為S,內切圓的半徑為，

則S=；(a+b+c)r,又S=；ab=6,

所以r=l,B錯誤;

對于C,由6=4,可得α=3,c=5,

所以A8?BC=(AC+CB)?BC=0-BC?BC=-9,C正確,

對于D,設AC的中點為E,則尸A+PC=2尸E,

由尸A+2PB+PC=0，可得2PE+2PB=0,

所以點尸為線段8E的中點,

所以點P到BC的距離為點E到BC的距離的一半,

點尸到AC的距離為點8到AC的距離的一半,

,

所以SBPC=ISBEC=WSABCSAPC=QSabc,

所以SABPC:SAAPC=1：2,D正確;

故選：ACD.

12.已知函數(shù)/(x)=ShlN+忖m，則下列結論中不卿勺是()

A./(x)是周期函數(shù)B.f(χ)圖象關于y軸對稱

C.f(x)的零點是E(ZWZ)D.〃力的值域是[0,2]

【正確答案】AC

【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，即可判斷B,再對X分類討論化簡函數(shù)解析,即可得到函數(shù)圖象,

數(shù)形結合即可判斷A、C、D.

【詳解】?.?1(X)=SiHX+1SinX,xeR，

/./(-x)=sin∣-x∣+∣sin(-x)∣=sin∣x∣+∣sinx∣=/(?),

???函數(shù)/(χ)=Sin國+卜inχ為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關于y軸對稱，故B正確;

若x≥0,當2Aπ≤x≤2E+τc,Z∈N時，/(x)=2sinx.

當2Aπ+兀<x<2阮+2兀，Z∈N時，f(x)=O,故C錯誤；

若XV0,當一兀+2E≤xv2E,ZeZ時，/(x)=2sinx,

當2E—2πvx<2?π-τι,ZeZ時，/(x)=0,

所以/(x)的圖象如下所示：

由圖可知〃力不是周期函數(shù)，且函數(shù)的值域為[0,2],故A錯誤，D正確;

故選：AC

三、填空題

4JrTr

13.已知扇形的弧長為手，圓心角為三，則該扇形的面積為.

【正確答案】"/卜

【分析】利用扇形弧長公式和面積公式即可求得結果.

【詳解】由題意知，圓心角為α=W,弧長為/=￥，

33

4兀

設扇形半徑為,，根據(jù)弧長公式∕=αr=手得r=4,

則扇形面積S="$萼x4=".

2233

8π

故不

14.已知ΔA5C的三個內角A,3,C滿足23=A+C,且AB=I,3C=4,則JBC邊上的中線AO的長為

【正確答案】√3

根據(jù)三角形內角和定理可得B=60°,在AABD中根據(jù)余弦定理可得答案.

【詳解】：2B=A+C,:.A+B+C=3B=18O°,ΛB=6()°.

,/BC=4,:.BD=I.

在ΔABD中,=√AB2+BD2-2AB-βDcos60°=√12+22-2×1×2cos6θ"=√3?

故答案為:百

本題考查了三角形內角和定理,考查了余弦定理解三角形,屬于基礎題.

則g(x)=tan?x的最小正周期

15.已知函數(shù)/(x)=αsinx+bCoSX,α?≠0,若f

為.

【正確答案】回

3

【分析】根據(jù)題意可得(],o)是函數(shù)/(x)的對稱中心，根據(jù)三角函數(shù)的對稱性以及周期性分析運算

即可.

【詳解】由題意可得：f(x)=asinx-i-bcosx=y∕a2+b2sin(x+??),其中

b

Sine=/—,cosφ=,==',

?Ja2+?2?∣a2+?2

,信是數(shù)小的對稱中心,

因為/則°J函)

且

可得了+?/?=O,QbWO,

2

整理得2=-G,

a

hT_兀_兀=GTt

所以g(x)=tan/x的最小正周期=Fj=耳=亍.

故答案為.叵

3

16.若點P為ABC所在平面內一點,且ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,則點P叫做..ABC的費馬點.當

三角形的最大角小于120。時，可以證明費馬點就是“到三角形的三個頂點的距離之和最小的點“，即

E4+P8+PC最小.已知點。是邊長為2的正ABC的費馬點，。為BC的中點，E為80的中點，

則AC-DE的值為.

【正確答案】-1

【分析】證明,ABC的外心為其費馬點，建立平面直角坐標系，求向量AC,DE的坐標，根據(jù)數(shù)量積

的坐標運算公式求AC?OE?

(詳解】如圖，設正—ABC的中心為0',則ZBAO'=ZCAO'=ZACO'=NBCor=ZCBO,=ZABO'=30，

所以NAO'3=ZAOC=NBOC=120,所以點。'為_ABC的費馬點，

由已知點。與點O'重合,

如圖，以。為原點，Z)C,D4為χ,y軸的正方向，建立平面直角坐標系,

則4(0,√5),C(1,0),E>(0,0),00,日,B(-1,0),E

所以ACHI,-?,DE=一；,骼

所以AC?DE=lx+(-^)×τ

故答案為.-1

“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解

決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)

象看本質，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬

變才是制勝法寶.

四、解答題

sin∣π-α∣cos∣α--π?an(2π-ɑ)

17.已知函數(shù)Ta)_(22)`).

tan(α+π)sin(α+π)

⑴化簡"c);

（2）若小+撲2”α）,求八吟嗚-可的值?

2

【正確答案】⑴-COSa

（2）-1

【分析】(1)由題意，利用誘導公式化簡f(α)的解析式即可求解.

(2)由題意，可得tanα=-2,利用誘導公式及同角三角函數(shù)的基本關系即可求解.

【詳解】⑴解.心—嗎-α)8s(α-1)tan(2/α)3ɑ?(Tina)?(-tana).

J)————VVJo(X

tan(a+π)sin(α+π)tana?(-sina)

Tr7Γ

(2)解：Qf(a+—)=2∕(α),.?.-cos(a+-)=-2cosa,即Sina=-2cos0,tana=-2,

、.π、?SinaCoSatana2

故J(a)?/r(a)=-cosa?[r-cos(----a)]=sinacosa=—；-------------=—；------=—.

22Siira+cosatana+15

18.在一ABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,。是AC邊上的點，

2λ>sinS=(2?-c)sinA+(2c-a)sinC.

⑴求NABC的大??；

(2)若Co=1,AD=BD=2,求BC的長.

【正確答案】(1)，

⑵&

【分析】（1）由正弦定理角化邊，整理可得6+。2一尸=這，然后根據(jù)余弦定理即可求得COSNA8C=；,

進而根據(jù)角的范圍，即可得出答案；

（2）在3。C以及A3D4中，分別根據(jù)余弦定理，結合NBDC+N3D4=兀，整理化簡可得

￠2+2,/-18=0.在一45C中，根據(jù)余弦定理推出儲+/"c=/聯(lián)立兩個方程，即可得出答案.

【詳解】（1）由正弦定理以及已知可得，?2=。（勿—c）+c（2c—a）,

整理可得，a2+c2-h2=ac.

由余弦定理可得，CoSNABC=上上=

Ifac2ac2

又NABC∈（0,7t）,所以乙ABC=

C

BD2+CD2-BC2

IBDCD4

*.?-τ4≡._.?,β[J^+√4D*^—AB^8—

在AλBPA中，由余弦定理可得，cosZBDA=---------------=-----

2BD?AD8

又ZBDC+/BDA=Tt,所以CoSNBOC=-COSNBZM,

S—〃2父—浮

即二_=一三二，整理可得￠2+2/78=0.

48

因為。=AC=AO+8=3,

在-ABC中，由余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosZABC,

即9=/+c2-2accos^=02+c2-ac,

整理可得，a2+c2-ac=9.

￠2+2/-18=0a=?∣3

聯(lián)立V可得

a2+c2-ac=9c=2百

所以，BC=α=√3?

19.已知向量α=(sinθ,2)與6=(CoSe,1),其中Oe0,?∣

⑴若〃e)=αw,求的單調遞減區(qū)間；

⑵若?！?，且$出(。-9)=1^,求夕的值.

兀

【正確答案】(I)IJ,J71A

【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的坐標運算結合二倍角正弦公式求/(。)，再由正弦函數(shù)的單調性求其單調

遞減區(qū)間；

(2)由條件結合平方關系可求cos(e-0),由向量平行的坐標表示結合平方關系可求SinaCos，，再

由兩角差余弦公式可求cose,由此可求。.

【詳解】（1）:向量α=（sin6,2）,?=（cos^,l）,

.*.f^θ）=a?b=SineCoSe+2=gsin26+2,

又?.?6e（θ,?∣],貝!∣20e（0,π）

兀、「TT兀）

.?.當20∈-,πl(wèi),即。e“5J時，/（。）單調遞減,

TTTT?

即/（。）的單調遞減區(qū)間為-,-I.

、八兀CC兀?冗兀

（/C2）0<φ<-0<∕9<-,..——<ZθI-φ<-,

29222

又sin（"°）二嚕，

所以CoS==~~^,

又〈allb，efθ,2]

，sin。-2cos8=0,Xsin26>+cos2/9=1,

???sin。=至，cosθ=-

55

「.[。一（。一）（。一）（。一）

cos°=cos0]=CosOcos°+SineSin°_χ???θ+x2^12=

又???o＜夕苦，

π

φ;%

20.等邊三角形一ABC,邊長為2,。為BC的中點，動點E在邊AC上，E關于。的對稱點為F.

(1)若E為AC的中點，求Az)?8E?

⑵求AE?4尸的取值范圍?

3

【正確答案】（l）-5

9-

ɑ

⑵4-

一

【分析】（1）利用平行四邊形法則表示向量，然后利用向量數(shù)量積計算即可;

（2）利用己知條件求出AD的值，根據(jù)E關于。的對稱點為F,DE=-DF>

然后計算AE?AF=3-0目，由于動點E在Ae上，當AC時，|。El取最小值，當E與A重合時,

IQEl取最大值，即可求得AEAF的取值范圍.

【詳解】(1)因為。為8C中點，

11

所以AO=—A8+—AC.

22

因為E為AC中點，

所以BE=LBA+'BCAC-AB)」AC-48,

所以ADBE=G4B+JAC)(；AC-AB)

12121.3

=-AC——AB——AB-AC=--.

4242

(2)因為等邊三角形ABC,邊長為2,。為BC中點

所以Af）為由,

因為E關于D的對稱點為F,

所以DE'=-DF，

所以AE?AF=(AQ+OE)?(A￡>+￡>F)=(AO+OE)?(AO-OE)=AzZ-OE?

=∣ΛD∣2-∣DE∣2=3-|時,

因為動點E在AC上,

所以當￡>￡工AC時，|。目取最小值，即日,

當E與A重合時，|。El取最大值，即百,

所以:≤∣時≤3,

所以也國9

3-的取值范圍為0,-.

21.己知函數(shù)"x)=ASin(S+9)b＞0,0＞0,冏＜?的部分圖象如圖所示，且直線工后為〃燈圖

象的一條對稱軸.

⑴求“X)的解析式；

⑵若方程/(χ-()-%=0在區(qū)間0,上有且僅有1個實數(shù)根，求，”的取值范圍.

【正確答案】(l)”x)=2sin(2x+]j

⑵[τ,l]{2}

【分析】(1)由周期得到。=2,代入對稱軸得到8=方，再根據(jù)/(0)=&得到4=2,即可得到解析

式；

(2)根據(jù)題意分析可得y=sin[2x-F),xe0,])與y=有且僅有一個交點，結合正弦函數(shù)分析運

算.

TTtT2兀

【詳解】(1)由己知可得:=W，故τ=g=兀，

22I到

且勿＞0,解得3=2、

因為直線X=專為f(x)圖象的一條對稱軸，則備2+e=]+E,AeZ,

解得夕=g+E,%eZ,且解＜],

當k=o時滿足條件，此時"=q,

則/(x)=ASin(2犬+